為什麼魔方在轉動一個角塊後無法復原？

12-27

為什麼魔方在轉動一個角塊後無法復原？我來舉一個例子：

假設學校食堂里有這幾樣可以選擇：米飯1元，青菜2元，麵條3元，排骨4元。

小明的飯卡里還剩13.5元。顯然，小明無論在食堂里怎麼買東西吃，都不可能把飯卡里的錢剛好花完。

這是為什麼呢？這是因為價格最低的也有1元，所以花銷總和必為整數元，所以小明飯卡里永遠會多5角。

在這裡，『支出1元』屬於食堂消費的『原子操作』。原子操作不能再分割，而小明飯卡里的錢數不是原子操作所改變錢數的倍數，所以他的錢不能剛好花完。

魔方的原子操作是什麼？是把一個面旋轉90°。每次原子操作中，牽涉到的四個角塊的旋轉度數和是360的倍數，所以無論怎麼轉動魔方，角塊一定都是在復原狀態的基礎上轉動了360°的整數倍。

而把一個角塊旋轉120°或240°自然就會使得魔方無法還原。

我在這裡簡單地說一種證明方法，也就是 @陳霜在回答中給的網址里的那一種：

首先我們要弄清楚角塊的方向如何定義。因為每個角塊雖然會出現8個位置，但是只有3種方向。那麼我們怎麼建立一個移動的坐標來研究這3種方向的變換呢？不妨讓視線穿過角塊的頂點和魔方的中心，這個時候角塊的三條邊呈現Y字形，我把視線所在的直線叫做「旋轉軸」。

把一個復原好的魔方以確定的方向擺在自己面前（在這裡我就以白色在上，黃色在下舉例了），任意做一個原子操作，然後看一看總共需要把牽涉進原子操作中的四個角塊繞著旋轉軸順時針旋轉多少度才能使得白色黃色面全部回到上面或下面。答案一定是360的倍數。

舉個例子，比如我做一個R的操作：

原來的FUR塊變成了UBR塊，需要繞著旋轉軸順時針旋轉240°才能使白色面回到上面；

原來的UBR塊變成了BDR塊，需要繞著旋轉軸順時針旋轉120°才能使白色面回到下面；

原來的BDR塊變成了DFR塊，需要繞著旋轉軸順時針旋轉240°才能使黃色面回到下面；

原來的DFR塊變成了FUR塊，需要繞著旋轉軸順時針旋轉120°才能使黃色面回到上面。

（我來解釋一下這些字母什麼意思。F=Front, B=Behind, L=Left, R=Right, U=Up, D=Down，R的操作就是指把魔方的右邊順時針旋轉90°，而每個角塊可以用其所在的三個面來表示，比如FUR塊就是指在前右上角的那個角塊。）

總共是240°+120°+240°+120°=720°。由於這是原子操作，所以我們不管怎麼旋轉魔方，所有角塊的角度變化之和應該是360°的倍數，不可能出現一個角塊單獨轉120°或240°的情況。

我們可以用原子操作的思想來證明魔方不能單獨翻轉一個棱塊，也不能單獨交換兩個同類塊。具體的方法可以看 @陳霜給出的網址魔方小站魔方總變化數的道理。

當然，原子操作的思想還可以用來證明許多東西，比如交換了14和15之後的16格拼圖不能復原等等。

那麼就這樣=w=

因為這個情形不在魔方群里。

因為在魔方的轉動過程中，有一些屬性是保持不變的。

舉一些很顯然的例子吧（我們假設魔方每個面是純顏色的，沒有圖案，還原時白色面正對著的是黃色面）：

無論怎麼轉動魔方，它總是只有6個面
無論怎麼轉動魔方，它總是有54個色塊，一共6種顏色，每種顏色恰好出現9次
無論怎麼轉動魔方，白色中心的對面依然是黃色中心

於是，如果你拿到了一個魔方，發現它：

或者有54個色塊，但數量上，白色有10個而黃色只有8個
或者白色中心正對著的不是黃色中心

那麼很顯然，你不用去轉它就能知道這貨肯定沒法復原。

回到原問題，為什麼魔方在轉動一個角塊後無法復原？因為還有一些並不顯然的其他屬性也保持不變。包括（僅給出結論，省去各種定義和證明，感興趣請圍觀魔方小站魔方總變化數的道理）：

角塊色向和不變
棱塊色向和不變
角塊和棱塊的置換處於相同的奇偶態

而單獨轉動一個角塊會導致角塊色向和變化，就好比現在這個魔方有10個白色8個黃色一樣，很顯然不需要嘗試還原我們就可以知道它無法復原了。

把這種拼圖玩具的一塊橫過來或者倒過來，那當然就拼不出來了。所以…

說個不頭疼的。

你在桌上放6枚硬幣，全部菊花朝上。
遊戲規則是，你可以同時任意翻動兩枚硬幣，全部菊花面朝下就算成功。

感覺很簡單是吧。

要是其中有一枚被單獨翻動了。那自然是無法成功。

皺是介么個道理。

看到的一瞬間已經構思了一部小說（≧?≦）

只有拆掉角塊才能把它轉個面，想轉回來當然只有拆了

我來補充點兒：
（L：左側順時針 R『：右側逆時針 x：整個魔方以R方向轉動 z:整個魔方以F方向轉動）
假設我們有一個六面還原好的魔方，按照下面的公式：
(L R" x z)*4
如果我的表述清楚而且你的動作正確的話，我們將得到一個六個面都是字母O（其實是方形）的魔方。
像這樣：

（額，不要嘲笑我的魔方）
現在我們把正對我們的紅藍白角塊逆時針旋轉120°，同時把體對角線另一端的橙黃綠角塊順時針旋轉120°，我們就會得到一個六面都是字母Q的魔方。
像這樣：

那麼，這個魔方能不能還原呢？
當然是可以的啦！
實際上這個用 @匡世珉的回答就可以解釋：120°+（-120°）=0°
這個應該屬於花式魔方玩兒法裡面最簡單的了，但是我並不知道六面Q的公式到底是什麼，每次都是這樣翻轉。
大學有一次我把這個魔方拿給同學看，那倆哥們兒整整研究了一節課，才把一個完整的六面魔方拼成了六面Q，
然後下課時我給他倆演示的時候，他倆的表情幾乎是崩潰的（＞﹏＜）
不過我想他們應該知道公式了吧(^o^)/

我覺得可以逆向思考一下，就好比把一個拼好的魔方的一個角塊轉動之後再打亂，最後還是只能回到一個角塊被打亂的狀態，所以不能還原了…

奇排列再怎麼變換也是奇排列，
偶排列再怎麼變換也是偶排列，
就這麼簡單！

設魔方的頂面和底面為角塊的0°方向。
無論何處的一個角塊，其頂色或底色向上或向下時，該角塊的色向值為0（已經轉正之意）；
如果面對一個角塊，沿魔方的體對角線看入時，該角塊需要順時針旋轉120°才能使其頂底色朝上或朝下，則該角塊的色向值為1（要順時針轉120°之意）；
如果面對一個角塊，沿魔方的體對角線看入時，該角塊需要逆時針旋轉120°才能使其頂底色朝上或朝下，則該角塊的色向值為2（要逆時針轉120°或順時針轉240°之意）。
角塊色向值變化到3或幾個角塊的色向值之和為3時，就是色向值0。

與角塊變化有關的轉動僅為表層轉動，它們除了使角塊位移外，對角塊色向的影響分兩類：

1、U、U』、U2、D、D』、D2、F2、B2、R2、L2，這10個動作分別涉及的四個角塊的原有色向值不變。所以這10個動作各自對八個角塊的色向和都沒有改變作用。

2、F、F』、B、B』、R、R』、L、L』，這8個動作分別涉及的四個角塊，各自的原有色向值有變：其中兩個角塊色向值增加1，另兩個增加2。但是，變化值為1+1+2+2＝6，就是0°。

比如做一下F，F面的四角移位的同時，雖然各自都有色向變化，但是四角的色向和不變。F面的四角原有的色向和為0的話，現仍為0；F面四角原有的色向和為1的話，現仍為1；原有色向和為2的話，現仍為2。
所以動作F不改變八個角塊的原有色向和。
同理，這8個動作各自對八個角塊的色向和都沒有改變作用。

復原態時八個角塊的色向和為0，再根據上面第1、第2兩點，你一定可以推斷：魔方再怎麼轉亂，可能得到的巨大數目M個狀態的每一個態，八個角塊的色向和總是為零！

接著你也可以推斷：不可能單單翻轉一個角塊！

因為公式里沒這個情況

簡單來說，八個三色塊各不相同，每個都有兩個自由度：相對軸心的位置(八個頂點)和扭轉角度(三個位置)。
只有兩個自由度都和初始狀態一致，才能還原，而旋轉只能改變前者。
邊塊同理。

因為中心塊不能跟著換面

因為轉動魔方和（轉一個角以後的魔方復原）線性無關

之前收藏的博客：群論與魔方：魔方操作的表示與運算
耐心看下來，還是能看明白的，雖然我還是不敢說我懂群論。
由此也能推出二階魔方、金字塔魔方的相關性質。

可以復原的我試過好多次那些光嘴上說說停留理論的也是夠了層先法轉動一個角塊可以復原的