柯西對極限的定義引入 ε 精確描述，意義何在？ 為什麼這種精確的數學描述很重要？
因為這樣不會出錯
題主，不知道你是不是和我一樣，也被那本綠油油的同濟版《高等數學》搞得暈頭轉向，想從頭開始自己研究一番，又一下子陷入了「極限」這個概念的泥潭。其實對極限的定義本身就是一件十分困難的事情，偉大如牛頓、萊布尼茲，也不得不含糊其辭，為此還遭到嘲諷（1695荷蘭物理學家B.Niewentyjt《無窮小分析》，英國哲學家、牧師G.Berkeley的小冊子《分析學家，或致一位不信神的數學家》）直到19世紀初柯西第一個把這個有點模糊的概念轉換成算數語句。
我曾對這個概念思考過好久，也請教過許多人，卻也不敢保證能很好的回答這個問題。為了了解精確描述的意義何在，我們先看看不同時期對於極限的定義：- 萊布尼茲（1684）：如果任何一個連續變遷以一個極限為終結，那麼就能夠形成一種普遍的推理，它也能適用於最終的極限。
- 牛頓（1687）：逐漸變小的量之間的最終比值…（是）極限，即數量比值無限減小卻總是收斂於它；它們比任何事先給定的差值更接近地趨向於它，但永遠也不超過也不達到它，直到這些量減到無窮小。
- 麥克勞林（1742）：2x+o與a的比率當o減小時連續地減小，併當o是任意實增量時總是大於2x與a的比，而這顯示了它連續趨向於2x與a的比，並以其為極限。
- 達朗貝爾（1754）：比值[a:2y+z]總是小於a:2y，但是z越小，這個比值就越大，並且由於人們可選取任意小的z，比值a:2y+z就可按我們希望的那樣靠近比值a:2y，因此a:2y是比值a:2y+z的極限。
- 拉克魯瓦（1806）：比值（μ1-μ）/h的極限…是這樣一個值，當量h減小時這個比值按比例趨向於它並且可按我們作出的選擇來接近於它。
- 柯西（1821）：如果賦予同一變數的連續不斷的一系列數值使其無限地趨向於一個固定的值，使得最終它們與固定值的差按人們所希望的那樣小，則後者稱為所有其他數值的極限。
的確，自然語言有時候更為直觀，「無限接近」、「要多小有多小」比起奇怪的字母和不等式更容易理解，但是數學本身的特點決定了它必須嚴謹，不夠嚴密的理論帶來的後果很明顯，對於無限的理解產生矛盾，以「飛矢不動」等悖論為代表的第二次數學危機爆發。數學家們憑直覺想當然地做出判斷
的後果才是最可怕的，基礎的理論不夠嚴謹，在此之上的發展便很容易犯錯，看起來高大堅固的理論大廈實則不堪一擊。17世紀和18世紀的數學家，在研究運動和變化中，把一個量x在連續流動中持續地趨向一個極限值x1的觀念視作當然的事而接受下來，沿著一個離散的序列a1，a2，a3…一步步走下去是沒有困難的，但是在處理數軸上整個區間上的一個連續變數x時，就不能說出x如何按照區間上所有的值的大小次序一個點一個點地「趨近」固定值x1了。因為直線上的點組成稠密集，在已經到達的已知點後沒有「下一個」點。當然，在人們頭腦中，連續的直觀觀念，在心理上是實在的，但是，數學上的不可能性並未因此而解決，因此在直觀觀念和數學語言之間必然存在著不一致的地方。
柯西的成就在於認識到，只要涉及數學概念，任何關於連續運動的先驗的直觀觀念，是能夠避免甚至必須避免的。如經常見到的那樣，由於放棄了形而上學方向上的努力，轉而只採用那些在原則上相應於「可觀測到的」現象的觀念，從而開闢了科學進步的途徑。如果我們分析「連續趨近」這個詞的真正意思，和在一個特定的情形下必須如何對它進行檢驗，那麼就不得不接受像柯西這樣的定義。這個定義是靜態的，它沒有預先假定運動的直觀觀念，相反只有這樣一個靜態的定義，才能對時間上的連續運動作出精確的數學分析，並且就數學科學來說，解決了季諾的悖論。
即使是在柯西一定程度上澄清了微積分基礎問題的混亂之後，當時仍存在著一個普遍的錯誤觀點即凡連續函數都是可微的。因此當德國數學家魏爾斯特拉斯在1861年舉出一個處處連續卻處處不可微的函數例子（魏爾斯特拉斯函數）時，數學界可以說是大為震驚，這個例子使人們迫切感到徹底擺脫對幾何直覺的依賴，重新認識考察分析基礎的必要性。
這就是隨後的「分析算術化」運動努力的開端。魏爾斯特拉斯批評柯西等前人「無限地接近」等說法具有明顯的運動學涵義，代之以更精密的ε-δ表述，用這種方式重新定義了極限、連續、導數等分析基本概念，特別是通過引進以往被忽視的一致收斂性而消除了微積分中不斷出現的各種異議和混亂。他認為實數賦予我們極限與連續性等概念從而成為全部分析的本源，要使分析嚴格化，首先就要使實數系本身嚴格化。因此，後來證明了實數系是完備系之後，長期圍繞著實數概念的邏輯循環徹底消除，分析算術化運動大致宣告完成。
題主，從流數法到實數理論，幾百年的時光，數不盡的紛爭，無數人的嘗試，足以證明這是最適合數學的方式。就像無論我們以什麼比喻理解了極限，最後都會發現現在的定義最無懈可擊，簡潔，嚴密，充滿美感。
不愧是上帝的語言。
參考文獻[1]R·柯朗 H·羅賓.什麼是數學.左平，譯.上海：復旦大學出版社，2012
[2]李文林.數學史概論.2版.北京：高等教育出版社，2002
[3]VICTOR J.KATZ.數學史通論.2版.李文林，譯.北京：高等教育出版社，2004
糾正一下，epsilon是魏爾斯特拉斯開始的，柯西只是初步提出收斂。
意義就是避免了很多含糊不清的情況。
比如1-1+1-1+1-1+……到底是1還是0還是1/2。
儘管如此，由於沒有epsilon這樣的精細語言，一些複雜的命題仍然難以論述清楚。@北冥絕雲的回答已經非常好了，給出了極限定義發展的脈絡以及原因。我再做一個搬運工，以下內容來自 Wikipedia: (ε, δ)-definition of limit
In calculus, the (ε, δ)-definition of limit ("epsilon-delta definition of limit") is a formalization of the notion of limit. It was first given by Bernard Bolzano in 1817. Augustin-Louis Cauchy never gave an () definition of limit in his Cours d"Analyse, but occasionally used arguments in proofs. The definitive modern statement was ultimately provided by Karl Weierstrass.
[1]
[2]
偉大的數學物理學家牛頓同學發明了無窮小的概念，並應用在自己的傳世著作中，解決了當時最為轟動的行星問題，成為史家之絕唱。（牛頓想說：俺只是想證明上帝的存在而已，科學算啥，還是掙小錢錢來為上帝服務來的重要）
但這個無窮小受到數學家的各種批評，你怎麼能這樣隨意？你們學物理的不能這麼隨便！太不按常理出牌了。不能這樣。可是，這個東西又太好用了，以至於無法否定。
於是，數學家們就花了N代人的時間，發明了一套數學書嚴密的語言，來精確的、以他們可以接受的方式，把這種無窮小的思想給表述出來。
（當然，無窮小只是個出發點，還有一系列其他東西，孔子說過：不要在意這些細節。）
對於極限的 ε描述，是微積分趨於嚴格化的標誌。
為什麼精確的描述很重要？？嚴格性不是數學的一切，但沒有嚴格性數學就失去了一切。
要取得一個東西的極限，直觀方法無非是無限逼近。
更進一步來說，就是鄰域不斷縮小。
極限的數學定義就是鄰域不斷逼近這種直觀方法的數學描述。
它的定義這麼長，但是要表達的核心意思只有一點，就是鄰域不斷縮小極限值卻一直在範圍內。
物理學家們正在建設物理學大廈的地基：
數學家們：
試想一下，假如你歷盡艱辛，受盡屈辱，終於出任CEO，迎娶白富美，登上人生巔峰，突然有天警察接到舉報，你三歲的時候偷過媽媽的錢買糖，犯罪事實確認無疑，於是你被判沒收全部財產，老婆女兒入官，在死囚牢白天洗廁所晚上獻菊花。。。
重大成果證明出錯，對科學家來說就是這種心境。
證明費馬大定律的數學家就經歷過這樣的地獄，好在他最後關頭驚天逆轉了。
所以所有的數學定理，都必須要保證正確，不然誰敢花費幾年幾十年，甚至一生、幾代人的時間去構築一座沙上城堡。
而分析初期這種隨意的、無法計算和等價變換的定義，對數學家來說就像蒙眼過獨木橋一樣，雖然目前為止沒人掉下去過，可也許下一秒就有人提出個悖論，把橋鋸斷。
如果一個理論不完備（覆蓋所有情況），那悖論就可能藏在前方你還沒看到的地方。
畢達哥拉斯學派的理論不完備，本身包含著無理數存在的必然性，用整數的奇偶性就能導出無理數悖論，導致悖論被證明時威脅到很多人的信仰，這種可怕的體驗讓他們做出了可怕的事。
證明別人一生的努力和奉獻毫無意義，這事足夠讓人自殺或者殺人了。
可好死不死有個叫哥德爾的，證明所有理論都不可能是完備的，這個和上面的例子一樣，被叫做數學危機。如果你無法證明自己是安全的，誰還會用你？因為這是科學與想當然的區別
因為這是目前能找到描述極限最好的語言。
第一次學的時候都會覺得這套語言怎麼如此麻煩什麼狗屁。
等你多多細細品味其中奧秘後你會發現用它去敘述極限當真是極好的。
當然這需要功夫。
然後你會發現。數學真的很美、這些數學家真TMD聰明。
嗯、就醬。1, 好用. 用這套定義,任意給一個函數,都可以較方便的無歧義的計算一個函數的極限, 甚至像維爾斯特拉斯函數這樣的怪異函數,也不難計算. 其他定義方法要不是不嚴謹就是不方便.
2. 仔細看這個定義,發現並沒有真正出現無窮這個概念,當時數學屆大部分承認潛無窮,不承認實無窮, 而這個定義恰巧沒有實際用到無窮這個概念卻定義了帶有"無窮"意味的極限這個概念,可謂十分精妙. 當然,後來康拓的理論真正涉及到了無窮的概念,那是後話.
因為無窮不能參與絕大多數數學運算，自然也不能用在絕大多數證明裡面。一定要換個說法代替無窮
比方說無窮小序列中構造任意大於0實數，通俗的說，就是無論你n怎麼取，只要你n大於N，N和我這個任意實數相關，xn就小於這個任意實數，無論我這個數有多小，總有xn比我小，就是這麼賤。
|f(x)-a|&<€是描述函數f(x)與它的極限a的接近程度，其中€是任意給的一個正數，它可以無限小，但是不管它怎麼小，函數f(x)到y=a的距離比€還要小，這是高數書上對於極限的定義。
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