小球從一米高處自由落下，每次跳起的高度減少一半，小球是否會在某時刻停止運動？

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這是我們高數講無窮級數時的一個範例。我自己覺得，小球不會停止，只是小球升起的高度會無限趨近於0，但是教案上用時間分析，小球運動時間會無限趨近於一個常數，所以得出結論小球會停止運動。不知我的想法是否有錯，有錯的話，錯在哪裡？
補充：
按照老師的說法，這也是在較為理想的狀態下的求解。

先講個故事。

阿基里斯是古希臘神話中善跑的英雄。在他和烏龜的競賽中，烏龜在前面跑，他在後面追，但他不可能追上烏龜。因為在競賽中，追者首先必須到達被追者的出發點，當阿基里斯追到烏龜的的起點時，烏龜已經又向前爬了一定的距離，於是，一個新的起點產生了；阿基里斯必須繼續追，而當他追到烏龜這個新的起點時，烏龜又已經向前爬了一段距離，阿基里斯只能再追向那個更新的起點。就這樣，烏龜會製造出無窮個起點，它總能在起點與自己之間製造出一個距離，不管這個距離有多小，但只要烏龜不停的奮力向前爬，阿基里斯就永遠也追不上烏龜！

講完了，沒有感到震撼么？有沒有什麼奇怪的地方。只要把人物換一下，我們就會發現：
只要我領先他人一段別人就永遠追不上我了，當得知這個真理後，我激動的心情久久不能平復。
當天下午，蓄謀已久的我抄起水果攤的大菠蘿拔腿就跑，扭頭一看，一臉黑線的店主手拿塑料袋站在我身後十米開外還沒緩過神，哈哈哈，就算差兩米你也追不上我，我正仰天長笑之際，突然眼前一黑。。

好吧，這裡引用了芝諾悖論，為什麼叫悖論，因為這很明顯是不正確的，按照這個理論，警察也不用追小偷了。那問題出在哪裡？
它把追上前的時間做了無限分割，但無窮個過程的和並不是無窮大。
回到小球問題，小球會停止，沒有任何異議。跟樓上所說的理想條件，現實情況沒有關係，就算是理想條件也是會停下來的。
題主的想法就是類似芝諾悖論，把停止前的時間進行了無限的分割，這個沒錯，允許，但是由此就得出因為球一直在彈，所以時間就為無窮大，永遠停不下來，這就錯了。
因為每一次再彈起用時是一個收斂級數，趨向於定值的。所以時間是有限的。
也就是說這些無窮個數字的和為有限的數，而不是想當然的無窮大。

在其他樓下的評論，增補一下單貼出來。

在這個問題里，很多人的誤區在於把有限的性質盲目地套用到無限上，以及，把表示某一過程會無限次重複的『永遠』和某一過程消耗時間的『永遠』這兩個不同的意思給混淆起來了；究後者的原因，其本質仍然是使用了有限世界的基本假設來做推理。對高等數學的概念毫無認識，也是很多人思維困在有限世界的原因之一。

直接回答就是一句話，無窮項之和不一定無窮大。

以下考慮皆為理論模型，不考慮任何阻力、損失和現實因素，除了G。

從小球開始下落開始，每次彈起的高度排成一個數列，每次下落的用時也排成一個數列（這裡沒有精確定義，不過最多影響開頭幾項，理解意思就好）。依照題目給的條件，顯然兩者都是無窮數列，稱前者為『Hn』，後者為『Tn』。那麼，可以證明並顯而易見，兩個數列的極限都是無窮小量，也就是零。

讓我們從到右遍歷這兩個數列的項，顯然，每右移一個項，就相當於小球彈跳一次。那麼有兩點是顯然的：1.因為兩個數列都是無窮數列，右移/彈跳這個過程會無限次進行。2.無論我們遍歷了多少項，永遠都不會遇見值為0的項，無論在高度數列里還是在用時數列里。

所以，不要想像著去把靜止，或者說高度為零，去當成某一次彈跳的結果。並不是說，某一次彈跳之後，球的高度就變成零了，而是在無窮次彈跳之後，球的高度最終是零。零不是得到的，而是『逼近的』。零是『不可說』的。這也是數列極限的ε-N定義。

要求零是某個高度的一半是十分滑稽的事情。

你所能『想像出』的任何一次高度再小、眼看就要靜止的彈跳，請去剛才那個高度數列里找該次彈跳對應的項，它的右邊一項會坦誠地告訴你它下一次彈起來的高度，然後你還會發現在它的右邊還有無窮多項。

你從零，也就是靜止向過去『反推』或者說『追溯』，就如同『」靜止「該是多少高度的一半呢？』這樣的問題，是不會有結果的，因為你所能『想像出』的任何一個過去的彈跳，都不可能是得到『靜止』的那個彈跳。這個問題沒有回答，因為本該沒有回答。沒有這個高度，因為本來就不可能『指出』這個高度。對極限的思想毫無了解，以至於問出這種問題，是該好好補補課了。

看完我下面的解釋，再提什麼根據xx公式、xx理論，最終小球一定會停下來的，不信可以做實驗，我只能呵呵了

再多說兩句：我認為極限的概念是人類用來解決某一類無限問題的近似解，現實解。因為如果不設定極限這個概念，很多問題就無法討論，無法計算，沒有實際意義，就不能指導生產和生活。所以從這個角度說，極限是不完美的，是人類對目前尚無法準確表達問題的妥協。

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樓下的貓兄的「芝諾悖論」的例子以及接下來的演繹很精彩，但是我要說，之所以會出現這個悖論，其根本原因就是因為他們在「現實語境」下討論「理想條件」，或者反之。可笑的是這個因為人們自身邏輯導致的問題反倒成了人們辯駁別人的理由。

在說明這個問題前，我想先明確一下什麼叫做「理想條件」和「現實條件」。現實生活中的一切事物當然就是現實條件，但是就本題來說，假設這個小球下落的環境是完全真空的，不存在任何阻力，小球和它碰撞的地面也完全是剛性的，不存在任何形變導致的能量損失，那麼我們能說這個就是理想條件么？不能！因為題目說的是」每次跳起的高度減少一半「這才是真正的「理想條件」，這是這個題目存在的大前提，而不是我們所設定的其他條件，包括任何已知的定理或者公式什麼的，忽略了這個大前提，我們就是在討論另外一個題目了，對么？
那麼一個」每次跳起的高度減少一半「的小球最後靜止了，這還是題目中要求的」每次跳起高度減少一半「么？」靜止「該是多少高度的一半呢？顯然不是，所以，我反覆聲明，這是一個邏輯問題，不是一個學術問題！！！！

也許我的說法讓很多對高等數學爛熟於胸的同學無法接受，因為高等數學就是這麼告訴他們的，什麼極限啊，什麼收斂數列啊，但是沒辦法，在回答題主的這道題時，我們只能從題主設定的前置條件中去進行討論，否則可以另開一題，把教科書中的定義和段子寫上好多，那樣也許更加合適。
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這是典型的在「現實環境」下討論「理想條件」的問題，是無解的。

如果真要討論，必須大家統一語境：
要麼都在現實環境下討論，那麼小球不會每次鐵定彈起原來高度的1/2，最後一定是停止運動。
要麼都在理想條件下討論，那麼小球將永遠運動下去，只不過每次彈起的高度都是原來的1/2.

如果我們不按上述統一語境來討論，必然是公說公有理、婆說婆有理，你說東，我說西，不會有一個公認令人信服的結論的。

1.6E-35m

一米之球，次取其半，萬次不竭。

憂桑，這是一道高一物理題，我從來沒會做過。從一開始到現在，我的憂桑的高中。

你知道它為什麼彈起高度要變為上一次的一半，就明白了

這題某悖論自行重學級數

另同意匿名用戶的一米之球，次取其半，萬次不竭。+1s

我希望大家把注意力轉向這裡：球彈跳了無數次，然後停了下來。這裡的「無數次」彈跳與 @特斯拉貓提到的芝諾悖論中追烏龜的「無數個」步驟是完全不同的。前者是物理的存在，後者是觀念中的分割。但是，當物理中出現了無限大，肯定是哪裡出了問題。個人認為，物理世界中真的不存在「每次彈起高度為上一次二分之一」這種事情。

這個問題被分類在物理下，那麼在量子物理中，當彈起高度到只有一個最基本單位後，這個單位就沒有所謂的一半了，也就是不彈起了；換個例子說說，幾百年前科學認為物質具有無限可分性，而現在科學認為組成物質的最小單位是有限度的，亦如電量的最小單位就是e，大約為-1.6*10^-19C；綜上，會停止運動。

大多數人都認為時空是連續的因此對於極限的理解很困難
是啊既然時空可以無限分割那麼小球應該是逐漸趨於一個定點而永遠無法到達
但時空是連續的這個假設為什麼一定成立呢？
就像沙海一樣看著是綿延不絕其實都是小沙子組成一個一個沙子都相互獨立間斷而沙子又是一個一個原子組成而原子又是……
嗯我們似乎可以無限細分下去但是總有一個最小單位無法被分割
例如電量目前已經找到了最小的單位
這個是物質的關於時空是不是如此還是沒有辦法直接回答
但當我們認為時空是不連續的時候諸多悖論都解決了
當然這個想法很偷懶但是累的想法也不見得是對的呀