使用泰勒公式進行估算時，在不同點展開的區別和意義是啥?
使用泰勒公式進行估算時，在不同點進行展開結果會很不相同，但在不同的點展開是不是意味精確度不同，是否越小展開點越小就越精確呢，比如對30的二次方根的展開？
關於泰勒公式的問題，我寫過兩個答案了：
- 關於泰勒公式的來源： 牛頓插值的幾何解釋是怎麼樣的？
- 泰勒公式本身的理解： 如何通俗地解釋泰勒公式？
關於泰勒公式，之前有一個同學問了我一個問題：
這個看似簡單的問題，牽扯到一個我認為非常漂亮的數學結論，如果要我說什麼讓我體會到了數學之美，我一定會選擇這個數學結論。
下面我就借著這個問題來講解一下讓我覺得非常動人的這個數學結論。
1 泰勒級數的收斂
1.1 什麼是收斂？
泰勒公式可以把可導的函數展開為冪級數：
下面敘述中，我可能把泰勒公式、泰勒級數、泰勒展開這三個名字進行混用，請依據上下文自行判斷（數學看多了，說話寫字都會有點強迫症，希望盡量嚴格些）。
我們對 進行泰勒展開：
1.2 泰勒公式的奇點
什麼叫做奇點？比如對於 這個函數：
不光不可導點是奇點，沒有定義的點也是奇點，比如：
還有一個更奇怪的奇點：
1.3 奇點與收斂圓
通過奇點來判斷泰勒級數的收斂，這就是我說的那個非常漂亮的數學結論，由柯西證明的泰勒級數的收斂半徑：
聽起來有點拗口，而且還涉及到複平面，我們用 這個函數來舉例子：
上面的收斂圓意味著，在實數範圍內做 的話，如果在
處泰勒展開展開，那麼只有在
內的泰勒級數才會收斂：
可以自己動手試試， 點也是可以拖動的：
此處有互動內容，點擊此處前往操作。
明白了泰勒公式的收斂半徑之後，我們就可以明白：
此時回到我們最初的那個問題：
1.4 複數與實數的關係
回到我們之前挖下的坑， 的奇點在哪裡？
很明顯 時，是
的奇點，因為
。我們把奇點和展開點放到複平面上看看：
所以在實平面上的 ，雖然奇點不在實平面內，但是依然被奇點所影響，所以其收斂半徑為
：
我們學習的高等數學，都是在實數範圍內，所以導致我很長時間認為複數只是一個表示 的一個技巧，而泰勒級數收斂圓向我展示了實數切切實實是複數的一部分，哪怕你只研究實數部分的問題，仍然會被複數所影響。這是我認為它非常美麗的原因。
我們還應該認識到泰勒級數只是對原函數的近似，並且這種近似是有條件的。
2 運用泰勒級數估算的技巧
我不喜歡技巧，不過這裡仍然說一下如何合理的估算 。
首先：
其次：
但是選 肯定不行，因為泰勒級數第一項就要計算
，咱們何必用泰勒級數進行計算？
那選 行不行？也不好，因為第一項要計算
，這個我們也不清楚。
最好就選 ，因為計算
，下面一項是
也比較好計算。至於余項的計算這裡就不說了。
首先對 30^2 展開就沒有意義，因為只是一個數。所以我姑且認為是討論 x^2 在不同點的泰勒展開。
接下來我們在不同點使用泰勒級數展開(因為對於x^2，三次及以上求導都等於0，所以不論我們是想展開10項還是100項，其實都只會有兩項）：
T.S ( x^2, x = 35 ) = 1225 + 70 (x - 35) + (x - 35)^2
T.S ( x^2, x = 5 ) = 25 + 10 (x - 5) + (x - 5)^2
看起來這兩個多項式完全不一樣是不是，但只要你把他們完全展開並且化簡，你就會發現他們又都回歸到了x^2。
以上。自己的理解，有誤請指正@王明哲的貓 謝謝
類似y＝e^x的函數不可用多項式表達，但我們可以使用多項式去模擬它，從某個點X0展開，就是模擬在那個區域附近的函數，取的項越多，就越可以描繪X0附近區域的圖像，但在遠離X0的地方模擬的函數就與實際函數會出現較大的偏差，
對於y＝e^x這樣的函數，如果取無窮多項的話，不管X0取哪個點，都可以準確而完全地描繪整個函數圖像，
也就是說有限項的展開式只是在某個X0鄰域內圖像是貼近原函數的，這個區域內的誤差是可控的，我們可以明確最大的可能誤差，在這個誤差範圍內，替代原函數就是沒有問題的
不同點展開的區別和意義的確是精度的高低，一個N次項，展開一項和展開n次精度不同，但是展開N+1與展開N就相同了，因為沒有x了，只有常數，求導為0
謝邀。 在不同點展開的精度主要取決於在不同點的泰勒展開式中余項的大小，余項越小，精度越高。而余項是與函數本身有關的(由拉格朗日余項可知)。
並不是說在不同點展開結果會很不相同，這取決於展開的階數。事實上，在不同的點展開，如果階數相同，用來數值計算結果是相同的。
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