請問如何理解極限的精確定義？

12-27

請問一下如何才能理解Precise definition of Limit？
（http://www.math.ucdavis.edu/~kouba/CalcOneDIRECTORY/preciselimdirectory/PreciseLimit.html）
尤其是在證明定理的時候
（http://en.wikibooks.org/wiki/Calculus/Proofs_of_Some_Basic_Limit_Rules）
包括這幾個的加法，減法，乘法定理。
謝謝大家了。

無窮遠到底是多遠，我能到達嗎，無限接近到底是多近，我能觸摸嗎？這個看似哲學性的問題，在數學中卻是有精確定義的。

數學中的函數極限，就是對函數去到無窮遠處和無限接近某一點的趨勢的描述。

1 極限的精確定義

先貼基本定義：

設 $displaystyle f:mathbb {D} subset mathbb {R} ightarrow mathbb {R}$ 是一個定義在實數上的函數。並在某個開區間 ${x>A}$ 或 ${x<A}$ 上有定義。 $L$ 是一個給定的實數。 $c$ 是一個實數，並且函數 $f$ 在 $c$ 的某個去心鄰域上有定義。如果對任意的正實數 $epsilon$ ，都存在一個正實數 $delta$ ，使得對任意的實數 $x$ ，只要 $f$ 在點 $x$ 處有定義，並且 $x$ 在 $c$ 的某個 $displaystyle delta$ -（去心）鄰域中（即 $displaystyle vert x-cvert leqslant delta$ ），就有 $displaystyle vert f(x)-Lvert leqslant epsilon$ ，那麼就稱 $L$ 是函數 $f$ 在 $x$ 趨於 $c$ 時的極限，或簡稱 $L$ 為 $f$ 在 $c$ 的極限，記為 $displaystyle lim _{x o c}f(x)=L$ 。反之則稱 $L$ 不是 $f$ 在 $x$ 趨於 $c$ 時的極限。
維基教科書

語句很長，名詞很多，其實把三個名詞講清楚，極限的精確定義就有了：

函數為什麼要在去心鄰域內有定義？
極限能否為 $+infty$ ？
什麼是任意正實數 $epsilon$ 和正實數 $delta$ ？

2 初見極限

2.1 數列極限與函數極限

講極限就要從數列極限講起。

人們把無窮數列收斂於一個確定的實數L，就把L叫做此無窮數列的極限。

例如

$displaystyle lim _{n o infty }a_{n}=L,a_ n=1-(frac{1}{10})^ n$

如果我們把此無窮數列看成是一個從 $N o R$ 的一個函數，那麼函數 $f(x)$ 在c的極限，就可以看做兩個無限逼近c點的無窮數列。那麼求 $f(x)$ 在c點的極限，就是求這兩個無窮數列的極限。

舉一個具體函數的例子

2.2 單邊極限與極限

函數f(x)求 $x o c$ 的極限。

我們將f(x)在c點的左側看做是一個 $x^{-} o c$ 的無窮數列，將此無窮數列稱為 $f(x),x o c$ 的左極限。

相應的，將f(x)在c點的右側看做是一個 $x^{+} o c$ 的無窮數列，將此無窮數列稱為 $f(x),x o c$ 的右極限。

只有左極限與右極限相等時， $f(x),x o c$ 的極限才存在，且等於左（右）極限。

這個很好理解，因為如果兩邊極限不同：

又如果一邊存在極限，而另一邊不存在：

極限也就懵逼了，手心手背都是肉，該聽誰的？索性就都不聽吧。

即只有當左極限右極限存在，且相等時，極限才存在。

對應到剛剛那個函數極限，在圖中f(x)在0點的左極限等於右極限等於0，因此函數f(x)在c點的極限是0.

3 鄰域與去心鄰域

3.1 鄰域

上面是對極限的第一印象，但有點問題。舉個例子：

數列 ${ a_ n} ^{infty }_{n=1}$ ,通項式為：

$egin{eqnarray} a_ n= egin{cases} -n(n<3)cr -frac{1}{n}(ngeqslant 3) end{cases}end{eqnarray}$

將其展開就是 ${ -1,-2,$ $-frac{1}{3},-frac{1}{4},-frac{1}{5}...}$

這個無窮數列顯然也是有極限的：

$displaystyle lim _{n o infty }a_{n}=0$

它的圖像是：

再舉一個例子:

數列 ${ a_ n} ^{infty }_{n=1}$ ,,通項式為：

$egin{eqnarray} a_ n= egin{cases} (-1)^ n(n<5)cr 3(ngeqslant 5) end{cases}end{eqnarray}$

將其展開就是 ${ -1,1,-1,1,$ $3,3,3,...}$ 。

它的圖像是：

可見無窮數列的有極限並不是要求數列中所有項都是單調的向極限值靠攏的。

回到剛剛那個函數的例子，換一下問題，求f(x)在1點的極限呢？

很明顯在x&<0時，f(x)在1點的左極限並不等於1.

因此，描述 $f(x)$ 在 $x o 1$ 的趨勢，至少可以將整個函數在定義域內分成三個部分。

在 $xleqslant -1$ 時， $x o 1$ ， $f(x) o 1$ （黑色部分）
在 $-1<xleqslant 0$ 時， $x o 1$ ， $f(x) o 0$ （紅色部分）
在 $x>0$ 時， $x o 1$ ， $f(x) o 1$ （藍色部分）

可見並不是整個定義域內當 $x o 1$ 時， $y o 1$ 。

由此我們就需要定義一個範圍的半徑。把半徑加上中心的這兩個元素放在一起就有了鄰域這個概念。

回到上面的圖，我們就能說， $f(x)$ 在半徑為0.5(當然也可以是0.4，0.3，總之足夠小就行)的鄰域內在 $x o 1$ 時 $f(x) o 1$ 。

3.2 去心鄰域

鄰域的概念讓我們知道了極限的作用範圍，可這是有瑕疵的。讓我們來看這種情況

$lim _{x o c}f(x)=L (x eq c)$

這時候在以c為中心的鄰域內 $f(x)$ 在c點無定義，此時還能夠求 $f(x),x o c$ 的極限嗎？

當然是可以的。

首先看看什麼叫無限接近。

類比到無窮數列，n是無限接近 $+infty$ 的。但這個數列中並沒有一項是 $a_{+infty }$ ，非正式的寫法：

${ a_ n} ^{infty }_{n=1}={ a_1,a_2,...a_ n...} eq { a_1,a_2,...a_ n...a_{+infty }}$

再來看無窮遠處的值是否影響無窮數列的極限。

用一個非正式的寫法：設 $a_{+infty }=-L$

因為 $a_{+infty }$ 並不在 ${ a_ n} ^{infty }$ 數列中，所以即使 $a_{+infty }=-L$ ， ${ a_ n} ^{infty }_{n=1}=L$ 。

甚至L可以根本不存在

來到函數極限時，趨於某一點的函數極限，若函數在此點並無定義，則其實就是兩個無限逼近同一個值的無窮數列。

由此我們可以得到:

求函數 $f(x),x o c$ 的極限的作用範圍應該是c點的去心鄰域而不是鄰域。

我們將之前的 $f(x)=x^2$ 修改為 $f(x)=x^2(x eq 1)$ ,仍然求函數在 $x o 1$ 處的極限。

我們就能說，f(x)在半徑為0.5的去心鄰域內在 $x o 1$ 時 $f(x) o 1$

可見函數只要在去心鄰域內有定義就可以了。

鄰域的半徑告訴我們，兩個人該從哪裡踏上這對相向而行的列車，去心鄰域告訴我們，兩個人雖無限接近，卻永不會相見。

4 極限能否為 $+infty$

極限存在的定義，是f(x)在逼近此點時，函數值收斂於一個給定的實數L。那麼如果 $+infty$ 是實數， $displaystyle lim _{x o a} f(x)$ 極限存在，否則 $displaystyle lim _{x o a} f(x)$ 是發散的，極限不存在。

4.1 $+infty$ 是不是實數

我們來看看實數是如何發展出來的：

也就是說從自然數系擴展到實數系是在數軸上一個一個填坑的過程。數軸上的坑被填滿，實數域就出現了。

那麼 $+infty$ 能夠被填到實數的數軸上嗎？

我們知道如果A是一個實數，那麼一定存在一個實數B=A+1

假設 $+infty$ 是一個實數，那麼一定存在一個數等於 $+infty +1$ ,這明顯違反了 $infty$ 的定義。

在實分析中，符號 $infty$ 稱為「無窮大」，代表無界極限。 $x o +infty$ 表示 $x quad$ 超出任意給定值， $x o -infty$ 表示 $x quad$ 最終小於任意給定值。
維基百科

因此 $+infty$ 放不進實數的數軸上， $+infty$ 也就不是一個實數。

4.2 極限不能是 $+infty$

在實數域中，如果函數f(x)趨向實數c時，收斂到某實數L，我們就說此函數是收斂的，並且它的極限是L，記做

$lim _{x o c} f(x) = L$

反之，如果函數f(x)趨向實數時，不收斂到任何數L，我們就說此函數是發散的，並且認為 $displaystyle lim _{x o c} f(x)$ 無定義。

通常 $displaystyle lim _{x o c} f(x)$ 發散到 $+infty$ 記做：

$lim _{x o c} f(x) = +infty$

即極限不能等於 $+infty$

4.3 超實數域

後來有人把 $+infty$ 放在實數域正半軸的端點上 $-infty$ 放在實數負半軸的端點上，組成了超實數域。

超實數域的極限，這裡就不討論了。

5 $epsilon$ 與 $delta$

無限接近L在數學裡怎麼描述呢？

如果我與L的距離小於等於任意一個正實數 $epsilon$ ，是不是就能說無限接近L？

因此如果有 $displaystyle vert f(x)-Lvert leqslant epsilon$ ,我們就可以說 $f(x)$ 與L之間的距離是趨近於無窮小的。

但函數有函數的規則，我想無限接近，是不是能無限接近呢，有沒有x滿足 $f(x)$ 無限接近呢？

因此如果存在 $x$ 滿足 $displaystyle vert f(x)-Lvert leqslant epsilon$ ，那麼函數 $f(x)$ 在 $c$ 點無限接近L。 $x$ 與 $c$ 的距離就是去心鄰域的半徑。即： $displaystyle vert x-cvert leqslant delta$ 記做

$displaystyle lim _{x o c}f(x)=L$

即 $epsilon$ 只是對f(x)無限接近L的描述， $delta$ 只是x無限接近c的描述

最後給一幅經典的極限圖

6 結語

無窮遠是多遠，我不知道，也無法到達，我只知道那裡有遠方。

無限接近是多近，我不知道，也無法觸摸，我只知道那裡將是歸宿。

貼一個剛寫的blog：[BetterExplained]重新認識極限，文章大部分參考http://betterexplained.com/articles/an-intuitive-introduction-to-limits/，加上自己的一點理解而已

什麼是極限

構想下面一個畫面：

如圖所示，4.00時刻的畫面由於緩衝跳過了。我們無法得知這個時刻球的位置，但是我們可以作出一個估計：

球在3:59時和4:01時球的位置之間的某個位置上

由於現實世界中球的軌跡是連續的，所以這是一個很不錯的估計。

但是！如果在3:599時球突然被外星人以極快的速度吸走，在4:001時按照原來的速度和方向放回來，那麼我們的估計就不正確了（儘管這不太可能發生，但是必須考慮）。

那麼，如果我們把鏡頭放慢，慢到看得清外星人的存在，那麼我們可以重新做一個更準確的估計。例如我們可以通過慢鏡頭，估計球在4:00的位置為「3:59.999和4:00.001的位置之間」。

假設3:59時球在9.9米處，4:01時球在10.1米處，我們可以換一種說法：

**在4:00時，估計球在10米處。這個估計由「縮放級別(3:59-4:01)"來保證正確性。不同程度的正確性由不同的「縮放級別」來保證**

可以感性地得知，在例子中，當這個縮放級別越小時，我們便越有信心估計球的位置（如果在某個級別中發現發現球的位置發生了意外的變化，那麼便很有可能要推翻10m的估計，要進一步縮小級別來確定球的位置）。

對數學極限定義的另一種理解

理解了上面的例子後，我們來看一看官方對極限的定義（official definition）:

lim(x-&>c) f(x) = L
means for all real ε &> 0 there exists a real δ &> 0 such that for all x with 0 &< |x ? c| &< δ, we have |f(x) ? L| &< ε (對於所有ε&>0，存在一個δ &> 0，使得對於所有x滿足0 &< |x ? c| &< δ，都有|f(x) ? L| &< ε)

可以按照以下的方式去理解：

lim(x-&>c) f(x) = L


    //當我們充滿信心地估計f(c) = L時，我們的意思是：
for all real ε &> 0
    //對於我們考慮所有的誤差範圍ε（error margin）（例如+-0.1米），
there exists a real δ &> 0
    //存在一個「縮放級別」δ（+-0.1秒），

such that for all x with 0 &< |x ? c| &< δ, we have |f(x) ? L| &< ε //使得估計值總是在這個誤差範圍內。

也就是說，如果這個估計是正確的（或者說無限有信心的），那麼對於一個任意小誤差範圍ε，總可以找出一個縮放級別δ，令到與c距離小於δ的x（0 &< |x ? c| &< δ），都滿足f(x)的值和L之間的距離在誤差範圍ε內。

極限存在的必要條件是「對於任意小的誤差範圍總可以找到相應的縮放級別」，這個條件保證了不會漏掉「中途被外星人吸走又放回去」的情況。

也就是說：

極限（Limits）是一種提供保證準確估計的策略（Limits are a strategy for making confident predictions.）

證明極限存在

舉一個例子：

證明x=2時極限存在。

我們不可以直接代入2來說明極限存在並且為5，因為(x – 2)作為分母，其值不能為0。當時當 x != 2時，我們可以將其代入，然後消掉分子和分母的(x – 2)，得到f(x) = 2x + 1。這時我們作出一個估計，當x=2時，f(x)的值為5。

我們無法得知f(2)的值，但是我們可以證明f(2)=5的估計是無限準確的。

假設允許的誤差範圍為+-1.0，我們有：

|f(x) - 5| &< 1.0 =&> |2x + 1 -5| &< 1.0 =&> |2x - 4| &< 1.0 =&> |x - 2| &< 0.5

當x在1.5到2.5的區間內取不為2的值時，所有的f(x)都滿足|f(x) – 5| &< 1.0。

下一步我們加入error tolerance (ε) 令到這個誤差區間變成任意的：

|x - 2| &< 0.5 · ε

由於x – 2是單調而且連續的，所以總能找到一個x的範圍，使得範圍內的所有x和2的距離在+-0.5 · ε內，於是我們的估計可以無限地準確了。

函數連續（A function is continuous）

當我們說一個函數在某個區間內連續（continuous）的時候，是指它在這個區間內處處可以準確地估計，也就是：

lim(x-&>c) f(x) = f(c)

ps:這裡有一篇通俗的用傳統方法解釋極限的文章

函數極限的精確定義是這樣的：
設函數 $fleft(x ight)$ 在點 $a$ 的去心領域內有定義，若存在常數 $L$ ，對於任意給定的正數 $varepsilon$ （無論它多麼小），總存在正數 $delta$ ，使得當 $x$ 滿足不等式 $0<|x-a|<delta$ 時，對應的函數值 $fleft(x ight)$ 都滿足不等式： $|fleft(x ight)-L|<varepsilon$
那麼常數 $L$ 就叫做函數 $fleft(x ight)$ 當 $x ightarrow a$ 時的極限，記作 $lim_{x ightarrow a}{fleft(x ight)}=L$
這個定義有些複雜，可以藉助下圖幫助理解：

$L$ 是我們需要擊中的目標，我們允許在擊中目標時存在一定的誤差，這個誤差就是 $varepsilon$ 。通過函數 $fleft(x ight)$ ，我們可以調整射擊的角度任意地接近於 $a$ ，射擊的角度會存在誤差，誤差範圍在 $delta$ 之內，當 $lim_{x ightarrow a}{fleft(x ight)}=L$ 時，射擊角度誤差為 $delta$ 的射擊必須保證擊中的目標在 $L$ 的 $varepsilon$ 領域內。無論 $varepsilon$ 多麼小，總能找到足夠小的 $delta$ 使得擊中的目標在 $L$ 的 $varepsilon$ 領域內。你不需要找到最優的 $delta$ ，只要足夠小的 $delta$ 的就行。

理解極限之前，我們首先要明白兩個問題：
1.我們為什麼要研究極限？
2.極限的概念是什麼，怎麼產生的？
幾乎所有的數學概念都有它們的實際意義，是從客觀實際中抽象出來的數量之間的關係。極限問題的實際意義，最普遍的一個例子，就是通過作圓的內接正多邊形來求圓的面積。
為什麼要通過這種方法求圓面積?這是因為圓是曲邊形，我們沒法按照正方形，矩形，三角形等等已有的直邊形求面積法來直接計算。

接下來我們來看極限的概念是怎麼產生的：
圓的內接正6邊形的面積為 $A_{1}$
圓的內接正12邊形的面積為 $A_{2}$
圓的內接正24邊形的面積為 $A_{3}$
邊數每次加倍，這些正多邊形的面積按照邊數由小到大排列成一列數
$A_{1} ,A_{2} ,A_{3} ,...,A_{n} ,...$
$n$ 越大， $n$ 邊形的面積 $A_{n}$ 就越大，這個 $A_{n}$ 會不會無限增大呢，顯然不會！
$A_{n}$ 的最大值就是我們要求的圓的面積，而這個面積，只要半徑定了，它就是一個實數。
這就出現了一個概念：
自然數 $n$ 由小到大變化時，有一個變數 $A_{n}$ 會隨之變化， $n$ 越大， $A_{n}$ 也越大， $n$ 和 $A_{n}$ 是同時慢慢地變大的，但是注意， $n$ 可以無限變大，但是 $A_{n}$ 卻不會， $A_{n}$ 最終一定會等於一個實數，這個實數就是圓的面積。而我們要求得這個實數的唯一辦法，就是讓 $n$ 無限變大，這顯然是不行的，因為沒有最大的數， $n$ 無法取得最大的數這個現實，導致了 $A_{n}$ 無法等於圓的面積，然而，然而，我們知道一個客觀實際是： $A_{n}$ 在 $n$ 取得最大數的時候，一定等於圓的面積。
(一)極限的概念：
$n$ 變大的過程中， $A_{n}$ 也隨之變大，但是 $A_{n}$ 不會無限變大，它最終肯定要等於一個實數，即圓的面積，這個面積就是 $A_{n}$ 的極限。看到了嗎，極限是一個確定的實數。至於 $A_{n}$ 比這個我們要求的確定的圓的面積小多少，我們根本不在乎，我們只知道這個面積一定存在。
所以，極限是一個確定的實數。
這個確定的實數，也就是這個極限要怎麼得到？只有讓 $n$ 取無窮大才行，可是我們沒辦法讓 $n$ 取無窮大啊，這個無法取無窮大的現實，就是教科書上的極限定義中使用去心鄰域的根本原因，不必使自變數取得去心鄰域的中心點 $x_{0}$ ，照樣知道極限是存在的，就像這裡， $n$ 無法取得無窮大，但是 $A_{n}$ 最終的極限是一個實數是確定無疑的。
(二)我們再來看一些列子
一輛汽車的最大速度是200km/h，這個最大速度就是汽車的速度的極限！你們看，這個極限也是一個實數，而且，注意了，汽車是可以達到它的最大速度的，可以取得它速度極限的；假如汽車達到最大速度的原因是油門的大小，那麼我們可以讓油門慢慢變大，油門越大，速度越大，油門的大小達到某個值的時候，汽車的速度就達到最大的200km/h，所以在這個例子中，油門的大小可以取得汽車的速度最大時的那個值，即假設油門大小為2cm時，汽車的速度極限就等於200km/h，這與圓面積中 $n$ 無法取得無窮大是不同的，我要強調的是，有時候，當函數取得極限時，自變數是可以取得函數值取極限值的那個點的，這個概念，就是函數連續性的概念。
(三)然而，我們研究極限問題，最根本的原因，還是在於自變數無法取得某些值，比如圓面積的例子中，我們用那個方法求解，最終目的就是需要 $n$ 取無窮大，使得我們知道此時的 $A_{n}$ ，顯然這是辦不到的。
這就是我們求極限的根本原因：我們無法取自變數的某些值，但是需要自變數在那些值的地方的函數的值；
然而，我們可以做一些人為的規定，比如規定 $frac{1}{n}$ 在 $n$ 取無窮大時等於0，這個規定是很合理的，就好像圓的內接正多邊形的面積 $A_{n}$ 在 $n$ 取無窮大時肯定等於圓的面積一樣。
(四)汽車的速度要達到最大極限，就需要油門也達到最大值，而油門的最大值，是從小變大的，同樣地，一個函數 $f(x)$ 在 $x_{0}$ 點的值（這個值就是函數在該點的極限），也需要自變數 $x$ 從遠到近地接近 $x_{0}$ ，由於某些情況下，自變數無法取 $x_{0}$ ，而我們在概念上已經知道函數在 $x_{0}$ 處的極限一定存在，比如設圓的面積例子中圓的面積為 $S$ ，我們就知道， $n$ 越大， $A_{n}$ 與 $S$ 就越接近，只要 $n$ 足夠大， $A_{n}$ 與 $S$ 就可以無限接近，這裡由於自變數 $n$ 無法取最大值，因此 $A_{n}$ 與 $S$ 只能無限接近但是不相等，但是在其它例子中，比如函數 $f(x)=2x$ 中，函數在 $x=5$ 時的極限
$lim_{x ightarrow 5}{2x}$ 顯然等於10， $x$ 無限接近5的時候， $2x$ 的值顯然無限接近10，因為在這個例子中， $x$ 是可以取5這個數的， $x$ 可以任意接近5，要多接近都可以，最接近的情況顯然就是 $x=5$ ；
(五)
函數極限的定義只是在描述一個客觀現象：即汽車速度的最大極限是200，而這個200是油門大小為2cm時達到的，那麼，油門在取2cm附近的值，比如1.8cm，1.9cm...時，速度值與200就有一個對應的距離，比如|200-180|=20，|200-190|=10，也就是說，速度值與極限200可以無限接近，要多接近有多接近，速度接近極限時，顯然油門也要與2cm無限接近才行，或者準確地說，只有油門與2cm無限接近時，速度才會與極限值無限接近。接近到什麼程度呢，當然是相等的情況，而教科書上之所以強調不能相等，主要是為了與實際情況對應，比如求圓面積那個例子中自變數就無法取的無窮大，使得正多邊形的面積等於圓的面積。後面我們學的函數連續性，實際上是描述汽車極限速度這種例子，也就是函數取得極限值時，自變數也可以取該點的值。

參考：
http://www.alphacalculus.com

極限這個概念是高等數學的一個重要概念。
結合自己有限的一點經驗，我隱約的認識到：一個學習者對「極限」這個概念理解深度影響到了其在數學、物理，甚至是對世界的理解程度和方式。簡單來講，極限是開啟微積分大門的鑰匙，而一個沒有摸過微積分大門的人，是不會、也不能思考和回味近百年來人類在科學技術史方面的進步的，儘管這些進步在知識的海洋中微不足道。
理解用「ε-δ」語言寫就的精確定義固然重要，但是關於極限的直覺和感性認識對於認識和理解其含義也很重要。
我結合自己學習經歷談談看法，拋磚引玉。

函數是認識世界的重要手段，而極限是認識函數的一個新的視角

我們認識到我們所處世界無非是各式各樣的存在，和這些存在之間的關係。函數是刻畫這些存在關係的手段。數學中，我們注重的是數量關係。初等數學我們關注的是這個關係是什麼，例如是平方關係，還是等比關係等，簡而言之，就是如果x是某數，那麼f(x)是什麼，如何通過x表達。高級一點，我們感興趣的是函數作為刻畫關係的手段其本身的性質。我們自然而然想到，如果x變化一點,很小很小，那麼f(x)如何變化。如果關於f(x)的變化存在一個比較好的估計，那麼這個估計是什麼？如果這兩個變化存在一定的關係，那麼這個關係是什麼。數學家將前者定義為極限（後者其實是導數的定義）。因此極限是一個定義，定義無對錯，但可以評價其效用，到目前來看這是一個很不錯的定義。

一個極限表達式，是一個自問自答的完整對話。

由此可以看出，lim=L（不能很好的編輯，請見諒）這個式子的左邊提出一個問題：問當自變數趨近某數時，函數的性態如何？式子的右邊給出一個答案，當自變數趨近某數時，函數也會趨近一個固定的數。

極限是一個過程，不是一個數字

準確的講是一個「一體兩面」的過程。即，當自變數趨近某數時，函數也會趨近一個固定的數。這個過程只和x在x0的去心鄰域及在該鄰域上的函數有關，而與函數在該點有無定義，或該點的函數值無關。函數通過用自變數和自變數的運算告訴你，在某一自變數點的函數值，其實也告訴你在函數在處處的函數值，當然也告訴你臨近的某一處的函數值。這就如同我告訴你北京是被一片沙漠包圍，如果你坐火車經過北京，同時把北京看作是一個點的話，我問你：在坐火車臨近北京的時候，你從窗外望去，你會看到什麼？或許會看到大山、綠數、河流，但你一定會看到沙漠，如果你沒看到，那是因為你離北京不夠近。極限就是定義了這個過程，只要你離北京足夠近，你就能看到沙漠。

直觀的講，極限是回答：變數隨著自變數往某個數接近的時候「往哪裡去了」的問題，導數則回答了」如何去到那裡」。

一開始就試圖從極限定義的四句話來理解極限的真正內涵，都是錯誤的做法，因為這四句話本身就是不精確的，對極限內涵的描述是缺乏的。我們必須從感性出發，用眼睛直接看出極限的內涵，把4句話定義拋在腦後。
再次學習了一遍極限章節，將高數前後章的內容串聯起來後，突然發現，書本上所謂的極限的定義是有漏洞的！它對極限的2個方面沒有進行描述，遺漏了！所以導致人們在學極限概念時是始終感覺突兀的! 我來給你講講書本里的定義是怎麼來的，有哪些缺陷，你一看就能從心底徹底懂極限的過程了！
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你只要：
從三個方面：趨向起點，趨向過程，趨向終點
從兩個角度：x、f（x）
講清楚每個過程，你就真正的懂了極限數學定義的意思！以及批判它的不足！我來示範一下：
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首先，按照書里前後章節的內容銜接知識的暗示，我自己將極限的通俗定義為如下表達：

1. limf(x)=A / ∞的含義
表達出: f(x)函數值正在【從某個起點出發（待會說）】【以單調or震蕩方式】【逼近A / ∞】.
解釋：趨向是有趨向起點、趨向方式和趨向目標三種屬性的，這個式子只表達出目標，而沒有表達出趨向的方式，也沒有表達趨向起點，這是你要提前知道的知識。
另外f(x)【以單調or震蕩方式逼近】是我從書和題中總結出來的隱藏信息，這一點非常重要！只有這兩種趨向方式，沒別的了！

2. X-&>x0 / ∞的含義
表達出：x正在【從無限靠近x0/∞的位置出發】，【以單調的方式】，【逼近x0/∞】
解釋：x有明確的"隱藏"起點位置：即一開始x本身處在非常靠近趨向目標x0的位置！！這一點非常重要！這一點也是從各種題目中推出來的。（當然老師不會講）
x的趨向過程是單調趨向的，顯然的。

3.limf(x)=A/∞ X-&>x0 / ∞的含義

表達出：
當x【從無限靠近x0/∞的位置出發】、【以單調的方式】、【逼近x0/∞】時；
f(x)函數值會隨著x【從無限靠近A/∞的地方出發】【以單調或者震蕩的方式】【逼近A/∞】。
解釋：將1、2合併後就是極限過程的完整表達，這裡f（x）的起點位置是由x的起點位置確定的，因為x一開始就是處於非常接近目標的位置，因此f（x）亦然。 ---------------取到取不到的問題 x只是逼近x0,不會取到x0,此過程中，顯然f(x)是不可能真實的取到該點函數值f(x0)的，因此，極限值通常只是一個目標值，不是真實取到的函數值。 但有一種特例，常數函數，極限值是目標值也是可以取到的函數值，只有這一個特例。 這也是在下文數學定義中，不強調|f(x)-A|是否大於0的緣故，它可以等於0，即f(x)=A也行 見下文
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至此，人們對極限的宏觀過程的描述已經完成，接下來創造出了充滿著漏洞的數學式定義：
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數學式大概的意思是：
你任給我一個誤差尺度
e&>0
我都能給你找到一個區間尺度
δ&>0
當x按照我給的區間尺度δ在x0附近取值時
當 0&<|x-x0|&<δ時
f(x)與極限值A的誤差一定能小於你給的任意誤差尺度。
必有 |f(x)-A|&

換句話說：你想讓f（x）與極限值的誤差有多小，我就能找個x區間讓f(x)誤差有多小，甚至極端的情況（真正的極限過程）我都能滿足！

從本質上講：這種數學描述，只表達出 x、f(x)【可以】無限接近目標值的概念。
似乎很隨意，區間很大，但是真實的極限的自變數x，是僅僅在趨向點x0附近活動的哦！沒有數學定義的那麼豪放，這種定義只不過是把真實情況包含進去了罷了！

這種表達，只說明了函數的趨向目標，而另外的兩個隱含信息都沒說：趨向的起點，趨向過程這兩方面，隻字未提！即：

1）x、fx趨向的起點是哪？（一開始就是非常接近目標的位置）

2）x、fx趨向的過程是怎樣的？（fx可能是單調逼近or震蕩逼近，x只會單調逼近）

這兩點是你必須提前知道的！這是理解函數極限的關鍵，同樣沒人告訴你。

顯然，單從這個充滿漏洞的極限數學定義當然是無法弄懂極限過程的。

你自己按照我給的三個方面，兩個角度再講一講極限過程，你就真的懂了

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自己的感悟，希望能幫到你。

以下是我做的極限定義的思維導圖

PS:教材裡面的東西大多是公理化的東西。用極度的抽象來屏蔽現實的感性認識的，為的是統一一切理論。所以他揭示的最本質的數學問題。因此，不同的人從課本中會得到不同的理解。理解的程度，在於他對現實的直觀把控(即思考:為什麼，直覺上是這樣的)。

無限趨近的過程，但絕不相等
e.g. "x→0": x無限趨向於0，但是不取到0的過程

其實極限的定義是不怎麼好理解的，這個定義本身也不是很好，而數學家又找不到其他更好的定義。
我們知道要描述極限就得用到「趨於」這個詞，這個詞是一個現象，過程，其數學意義是不明確的，趨於怎麼用數學描述？而數學定義又是不容許有意義不明確的東西的。
一般我們說的極限的定義是指有一個無窮數列，當我們一個接一個排下來後，如果在排到某個位置後，其後面所有的數都可以距離某個數（聚點或極限點）任意的近，我們就把那個數叫做聚集中心或稱為這列數的極限。直觀點就是某個位置之後的所有數（密密麻麻）看起來就是一個點似的（因為它們相互間的距離可以無限小）
對於以上的幾段話，我個人還是不很滿意，主要是還有含糊的地方！

我們來對趨於這個詞進行更多的思考！

趨於是接近、靠近的意思，設想現實生活中的事例：請接近、靠近那個物體。
首先這蘊含了從什麼方向靠近物體，是從左方？右方？還是方向可變的（比如弧線方向）？如果沒有限制的話，應該是任何方向都行，只要你能靠近物體的話。
其次還隱藏了一個容易忽視的事情，那就是你在靠近物體的過程中的速度問題。比如一開始慢，接著快，再接著恆速，最後又快速；或者一開始恆速，接著慢速，最後快速；還有其他的情形。同樣如果沒有限制的話，應該是你想怎樣都行，只要你能靠近物體的話。
可能還有其他的我沒想到的（主要是上面兩點好對應收斂方向與收斂快慢），但總而言之就是不管你用什麼方式（手段、途徑），只要你能靠近物體就都行。
因而我們的極限定義中的趨於也應該要符合我們上面所述的內容（因為我個人信仰的是數學中的一些東西是現實生活中一些現象的抽象，也就是說你的那些數學概念應該要兼容生活中的事物），即趨於的方式不論！
以上是個人對於極限的一些思考。

記得剛剛翻開同濟上冊的高數書的時候，接觸的第一個概念便是極限。不得不承認當時是很難理解書上給出的極限的定義以及證明，第一個想法便是符號太多：這是高中數學和大學數學第一個顯著的不同：嚴謹的邏輯性，以及代數符號，相比高中中畫個圖，證明寫個顯然可得，它顯示的抽象性，是大多數人無法理解的關鍵。而極限恰巧從側面印證這一點，也不能說自己已經精通極限了，就是來從我自己理解的角度來解釋下極限。
極限：可以從字面上理解，就是在能力範圍內，你具有的最大能力值。最大說明啥，用一句話來說，就是你明明可以馬上觸碰的到，然而卻無法達到，對就是無法達到，這是我認為極限的最大特性（在函數極限解釋這一點）。所以你可以想像一幅畫面，你攀爬一座山，隨著時間的推移（自變數），你開始無限的接近山頂，但是你永遠無法到達山頂（因為這是超出你的能力範圍的），無論如何，你和山頂的高度永遠差一點，無限接近，卻永不相交。
首先是數列極限設 {Xn} 為實數列，a 為定數．若對任給的正數 ε，總存在正整數N，使得當 n&>N 時有∣Xn-a∣&<ε 則稱數列{Xn} 收斂於a，定數 a 稱為數列 {Xn} 的極限，並記作
數列極限表達式
，或Xn→a（n→∞）
在定義證明中往往會將N和ε聯繫起來，假設y=1/x 如果我取ε等於1/5000 那麼N=5000那麼當n&>5000時|Xn-a|&<ε，那麼這裡就出現兩個問題，第一個如果y是一個一般數列呢？第二個就例子來說a在不等於0時同樣有可能小於ε？第一個問題：既然數列有極限，那一定是一個趨近的過程所以當n&>N時兩者之差的絕對值是會減小的。這也就是我認為極限第二個特性，趨近，對於極限來說總會有個固定的目標，也就是你爬山時那個山頂。第二個問題：這裡的ε是任意的，所以我們所要找到的a是最終的一個目標，也就是你要無限趨近的那個值。
然後是函數的極限設函數
在點
的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數A，對於任意給定的正數
（無論它多麼小），總存在正數
，使得當x滿足不等式
時，對應的函數值
都滿足不等式：
那麼常數A就叫做函數
當
時的極限，記作
不知道敲出來格式就變成了這樣·······
回正題，首先要強調一點，極限值只是在數值上等於該點的函數值，但其實極限值是永遠取不到這個值的，定義中的x的取值便明確的將x0這點挖去，所以極限壓根就取不到f(x0),而在證明中將ε和
聯繫起來的原因類似於數列極限，無論對於那個ε值我總有一個我可以任取的值和它對應。

就類似這個圖求一個函數極限是兩邊趨近的過程，這也是為什麼要左右極限相等的原因，同時也可以解釋在連續函數中函數值等於極限值。同時這個點是被挖去的，也就是無法到達。

極限的精確定義實際上是用數學語言描述了我們所謂「無限接近」的過程。
精確定義當中的：
$forallvarepsilon>0, left| f(x)-A<br /> ight|<varepsilon$ 是對函數值無限接近於極限值的描述。
$existsdelta>0, 0<left| x-a ight|<delta$ 是對自變數在一定程度上接近於某一數值的描述。

首先，我認為現代教材，包括西方教材，對於極限的解釋，流於形式。而形式主義，本來是數學三大主義之一。以前的數學牛人都過世了，牛人的思考也就停止了，而後人只有膜拜和享受膜拜的樂趣。ε-N 方法一直在被人膜拜，我不認為是個很好理解的方式，也不認為這是極限的內涵，最多是個外部關係定義而已。那麼，我說下我的理解，其實這本是集合論中一個簡單的對應關係，奈何，我們的微積分教材（包括西方教材）都是直接從極限開始。我的理解：?x-&>0 &<=&> 分割份數N-&>∞，?x的變化區間是 [?x，0)，分割份數的變化區間是[1,∞)，這兩個區間是一一對應關係。因為兩個變化都是連續的，所以N=∞ 和?x=0 也是雙射關係。因此?x=0時，f(x0)對應?x無窮分割的逼近點。

難理解就難在，書寫順序和思考邏輯順序不一致。
絕對值表示距離。
任意代表全集。
f（x）到L的距離任意小，這已經是極限的意思了。
即無限接近，而不得。
但這個極限成不成立，或者說「是」或者「不是」，尚未確定。
從x來推斷，即x到c的某一距離內，注意是某一，可以推出f（x）到L距離任意小。
那麼這個L就可以斷定「是」f（x）的極限了
你可以發現利用定義證明的過程就是上述，難點就在兩個距離不等式聯繫起來的不等式推演。

極限是高等數學中最核心的概念之一，後續許多概念都建立在它的基礎上進行定義的，比如連續的概念。
數學中不管是何種極限，都是通過距離來定義的，而距離在數學中是用絕對值進行刻畫的。極限也就是能夠和這個極限值的距離無限的小。

函數極限是函數的值無限趨近某個數的過程，當然你要函數取值，前提是要有定義域的存在，所以課本意義在於，埃普西隆無論多麼小，總有定義域去支持這個不等式的成立
一：這個E（埃普西隆）是任意取的，換句話說包含了所有誤差的可能的取值，當然包含了很小很小的可能也包含了很大很大的可能，例如你可以取1000000萬，也可以取0.000000000000001，等於說是所有你能想到的想不到的誤差條件下，總是有去心領域可以求得
二：書上說的是無論這個E埃普西隆多麼小，總有x的去心領域使得其滿足不等式，但是證明卻是反過來的，先以不等式為基礎，反推出x的去心領域，而這個去心領域也可以推出這個不等式成立（我估計很多人不懂這個點的point）

極限的理解，推薦你看下國立清華大學的，高淑蓉老師的微積分公開課。第二節課對極限的理解講得很透徹。這個公開課你在網上能搜到

極限首先是一個實數（有理數或者無理數）
極限和上確界有千絲萬縷的聯繫（有時就是上下確界，有時候不是），但嚴格的極限定義只能用維爾斯特拉斯的那句話定義
設 {Xn} 為實數數列，a 為定數．若對任給的正數 ε，總存在正整數N，
使得當 n&>N 時有∣Xn-a∣&<ε

看n遍高等數學數列極限定義，由其是"任意″的意思。

為什麼？
因為如果極限不為零，有一個很小的確定的正數ε，在n非常非常大時，1/2?就會比ε還要小，故ε並不為式子左邊的極限。
顯然，由實數的稠密性可知，找不到一個統一的且大於零的ε。而1/2?又不為負值，姑當n→∞時，極限只能為0.
明白了這個，應該就很容易理解極限了吧，無論是函數，還是映射。輕噴(?????)

幾何理解並不難。難得是代數型理解。我覺得得看微積分的歷史書。對這個概念的解釋的好的書是哈代的書。記得台大有一個女教授的微積分課講過。

比如，
函數5+1/x
函數5+1/(x+1)
函數5+2/x
明顯有共通的地方，就是實數5。
極限之所以那樣定義，就是為了把5從函數中提取出來。實現這個目的，只能那樣定義了。

即使你給我我整個世界，我也只想在你身邊。

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