無窮小量究竟是否為零？

12-27

原題表意不清，已修改。
PS：原題討論的是「無限趨近於0」，這樣的說法雖不嚴密，但和「無窮小量」的區別還是很明顯的，這就是回答區回答混亂的原因。

上文這個回答：
「簡單說，在經典分析中，0是無窮小量，無窮小量不是0.來自十萬個為什麼，新世紀版。」
是不嚴謹的。
因為，從該截圖可以看出，說的乃是對函數而言。
若是，指的是數列的無窮小量，據《微積分學教程（第一卷）》(第八版）菲赫金哥爾茨著，楊弢亮、葉彥謙譯，高等教育出版社，p32
「極限為零的整序變數Xn，稱為無窮小量」
也就是，無窮小量是一個序列

對數學分析中無窮小量的解釋，請參閱辛欽《數學分析八講》第二講。

繞口令啦：
趨近於零的不是數，是數列，是一列數。數列不能和數比較，不能等於一個數。
但是數列可以趨近於一個數，這個數叫做這個數列的極限。
所以數列的極限是一個數，可以和其他數比較，可以等於一個數。
（經典分析中）無窮小量，拜託各位翻一下書，不是一個數，而是一個趨近於零的數列。

舉例：0.99999... = 1 ?
0.9, 0.99, 0.999, ... 是一個數列，這個數列趨近於 1。
這個數列的極限是一個數，記作 0.99999...，這個數等於 1。

註：本文所有的討論都基於經典微積分，非標準分析不在討論範圍內。

我們都知道，無窮大有特定的數學符號，但無窮小有嗎？

其實無窮小也有個寫法，而且和無窮大有關係：

發現了嗎？其實無窮小是「0」旋轉 $90^circ$ ，而無窮大是0/0(或者說無窮小/無窮小)的簡寫（在作出這個命名的年代，把0/0作為無窮大看也是正常的，那時候的數學沒有現在這麼嚴格）。

既然無窮小和0寫法都這麼像，它們有什麼關係嗎？

1 無窮小的歷史

1.1 無窮小的由來

無窮小最早指的是比零大，但絕對值小於任意正實數的「數」。即：

若 $forall varepsilon >0,0<|alpha | < varepsilon .(varepsilon in R)$ ，則 $alpha$ 為無窮小。

這是很符合我們的直覺的。你看我找到一個絕對值比任意正實數都小的「數」，它就是無窮小。

0在當時是不被當作無窮小看待的。

不過有沒有「數」，它的絕對值小於任意正實數？這個問題一直沒有得到解答（這裡就有一個邏輯上的悖論，如果無窮小是數，那麼它絕對值就不小於任意非零實數--因為它不小於自身，除非它是零）。

因此人們給了它一些直觀形象的解釋，如微不足道，九牛一毛。曾經數學家也用山上的一粒塵埃來解釋什麼是無窮小。

在這個邏輯下，偉大的數學家萊布尼茨和牛頓都獨立發展出了微積分學。

1.2 無窮小的問題

我們知道，「小」是相對於「大」存在的。

當改變參照物時，一些「小」的東西也可以變的很「大」。

如那根毛和牛比，很小，但它和塵埃比也許很大。

而那粒塵埃和山比很小，但在顯微鏡下，卻比許多微生物大。

但我們希望的是絕對的小，這個小不因參照物的改變而改變。因為它要小於任何數。

正是由於無窮小沒有嚴格的定義。所以引發了數學史上的第二次數學危機。

關於第二次數學危機可以參見微分和導數的關係是什麼？兩者的幾何意義有什麼不同？為什麼要定義微分?

1.3 無窮小的精確定義

數學領域容不得沙子，混在這裡是行不通的。經過長時間的努力，終於在極限被定義的情況下（極限定義參看請問如何理解極限的精確定義？），無窮小的精確定義終於出現了（要理解無窮小，一定要先理解極限）。

在經典的微積分或數學分析中，無窮小量通常它以函數、序列等形式出現，例如：

一個序列 $displaystyle a={ a_{n}} _{nin mathbb {N} }$ 若滿足如下性質： $displaystyle lim _{n o infty }a_ n=0$ ，則序列 $a$ 被稱為 $n o infty$ 時的無窮小。

PS：滿足 $displaystyle lim _{x o c}f(x)=0$ 的 $f(x)$ 是 $x o c$ 時的無窮小。

2 無窮小家族

無窮小有了精確定義。那它都包含哪些成員呢？

2.1 0和無窮小

首先進入無窮小這個大家庭的是之前被排除在外的0。

還記得這個可憐的傢伙嗎？一開始萊布尼茨在說大於零小於任意正實數的時候可是沒算上它的。但此時，鹹魚翻身了。

0，你可以看成是常數，也可以是常數函數 $f(x)=0$ 或者常數數列 ${ 0,0,cdots }$ ，都符合無窮小的定義，絕對值小於任意正實數。

如果看作常數函數 $f(x)=0$ 的話，有：

$displaystyle lim _{x o infty }f(x)=0$

不僅如此，甚至可以是：

$displaystyle lim _{x o c}f(x)=0(cin R)$ 。

也就是說，此函數在定義域範圍內處處極限為0，處處都是無窮小。

平反了，平反了，徹底平反了，不止是無窮小！還是處處無窮小！！！

不僅如此，零還是實數內唯一一個無窮小。在實數範圍內再也找不到絕對值小於任意正實數的數了。想一想這不僅是千里挑一，萬里挑一，是無窮里挑一。零能夠作為實數入選無窮小家族，是多麼榮幸啊。

0孤零零的站在無窮小的房子，看看四周。心想難道我沒有其他夥伴了嗎？

2.2 數列和無窮小

實數範圍內是沒有了，不過無窮數列過來了。

無窮數列可是個大家族。其中有兩個重要派系：

一派叫發散派系： $displaystyle |lim _{n o infty }a_ n|=infty$ 。

另一派叫收斂派系， $displaystyle lim _{n o infty }a_ n=L,Lin R$ 。

而能夠入住無窮小的，就是來自收斂派系中， $L=0$ 的這一支。

別看它們已經是某一派系裡的一小支，但成員仍然十分眾多。如（說明一下，為了嚴格，我們用 ${ a_ n}$ 表示通項為 $a_ n$ 的數列）：

${ a_ n} ={ frac{1}{n}}$

還有：

${ a_ n} ={ frac{1}{n^2}} ,{ a_ n} ={ frac{1}{n^3}} ...$

更有：

${ a_ n} ={ frac{1}{2n}} ,{ a_ n} ={ frac{1}{3n}} ...$

它們的數量甚至是無窮多的。

它們在無窮處的極限都為0,即：

$displaystyle lim _{n o infty }a_ n=0$

它們都住進了無窮小的房子里。

特彆強調一下， ${ a_ n}$ 是數列，所以我們可以說 ${ frac{1}{n}}$ 是無窮小，而不能說 $frac{1}{n}$ 是無窮小。

2.3 函數和無窮小

不能只有 $o infty$ 時的無窮小啊，而 $o 0, o 1... o c$ 時的無窮小有沒有啊

"有！！"。函數登場。

形如：

$displaystyle lim _{x o c}f(x)=0$ ，就說， $f(x)$ 在 $x o c$ 時的無窮小。

比如:

$displaystyle lim _{x o 0}sin(x)$

再如:

$displaystyle lim _{x o frac{pi}{2}}cos(x)$

等等..等等..

2.4 無窮小家族

OK，如大家所見，無窮小家族的成員至此全部到齊。

它們有唯一的實數0或 $f(x)=0$ 或 ${ 0,0,cdots }$ 。

收斂到0的無窮數列。

極限值為0的函數。

來張合影吧：

3 無窮小為什麼不是負無窮？

或許有人會覺得為什麼無窮小不是負無窮？我的理解是，比如說物理裡面的摩擦力，一般都把摩擦力看成是負的力，只有0才是表示沒有力作用的意思，這才符合無窮小的直覺。

4 總結

無窮小不是數，雖然裡面有常數0，它是指代一堆「東西」。
無窮小裡面包含有：常數0、函數、數列，我們也將全部統稱為無窮小量，注意，不是數哦。
比如數列無窮小，有無數多個數列都是無窮小，而不是只有一個，函數也是一個道理。
無窮小和0相關，而非負無窮大。

淺見，拋磚：
我認為無窮小的關鍵點是在無窮兩個字上。
無窮有一個隱含的含義，就是任意的意思，而沒有存在的意思。
0是「存在」的意思的一個概念。而無窮小是一個「任意」的一個概念。
因為平時人們說著無窮的時候就容易把它想成是一種趨勢，是一種動態的，是一種運動的，靠近無限接近的一種意思。這種想法就無法脫離「運動」的思維。就容易用物理的那種運動的思想來考慮無窮小的定義。
這種思維還容易出現在一維實數範圍內，有實數軸的時候。或者在三維空間當中，考慮一個物體運動的時候。其實說白了呢，就是這種思維容易出現在度量空間裡面。總是在度量一個點到另外一個點的距離。
要超脫於這種度量空間裡面的無窮，小的概念，就必須用集合的思想來定義無窮小。
這裡定義就不說了（其實是這會兒忘了。），有了完整的定義之後呢，就可以很清楚的看到無窮小，其實不是零。

1. 無窮小。

這個概念無疑常常困擾沒有受過現代數學訓練的閱讀者們，這是很自然的事情，因為它
可以從直覺上意識得到，卻又難於精確地把握：無窮小是什麼？是不是可以精確定義的
數學概念？它是一個數？還是一段長度？能不能對無窮小做計算？諸如此類等等。由於
這個概念幾乎天然的和各種哲學式的思辨聯繫在一起，使得甚至哲學家們也對它頗為關
注，——當然，還有數之不盡的民科們。

關於無窮小的討論者，最著名的大概莫過於萊布尼茨，他花了大把的精力試圖精確闡述
無窮小的概念並且以此作為整個微積分學的基石。在萊布尼茨看來，無窮小是一個比任
何數都小但是不等於零的量，對它可以做四則運算，尤為關鍵的是可以做除法：兩個相
關的無窮小量的比值就是一個函數的導數。以此為基本語言他開始建立微積分學的基本
理論，——他基本上成功了。直至今天，數學家採用的關於微分的記號仍然來自萊布尼
茨，而數學學科內部關於微積分學的專門稱呼——「分析學」——也來自於萊布尼茨自
己對他的理論的叫法：無窮小分析。儘管牛頓和萊布尼茨在微積分的發明權上爭得不可
開交，可是幾個世紀過去，至少在這兩件事情上萊布尼茨大獲全勝。

可是，也許你想不到的一件弔詭的事情是：儘管萊布尼茨在微積分學的建立過程里做出
如此重要的貢獻，他的思想的基石——無窮小量——卻是一個在今天的數學語言里被完
全拋棄了的概念。人們發現這個辭彙除了帶來混亂之外並沒有什麼特別的用處，於是作
為一種語言，它被丟棄了。事實上，即使在萊布尼茨的同時期人看來，無窮小也是一個
有點讓人不舒服的詞：比任何大於零的數都小，卻不是零。我們當然可以把它僅僅作為
一種人為的邏輯概念來使用，可是這樣一個怪東西的存在，既使得數學的基本對象——
實數的結構變得混亂，也在很多場合帶來了麻煩的難於回答的問題（儘管它也確實帶來
了不少方便）。在分析學蓬勃發展的十八世紀，一代又一代數學大師為此爭論不休，大
家混亂而各行其是地使用這個詞，卻沒人能說清楚它的精確含義。終於，從十九世紀初
期開始，以柯西（Cauchy）和魏爾斯特拉斯（Weierstrass）為代表的一大批數學家開始
為分析學的嚴密化做出了大量的工作，他們試圖在完全不採用「無窮小量」這個概念的
前提下重新建立整個分析學，——他們也成功了。

於是這個詞就被拋棄了。時至今日，這個詞儘管在很多數學書里仍然會出現，但是這時
它僅僅作為一個純粹修辭上的辭彙而不是嚴格的數學概念，——人們通常用它來指代「
極限為零的變數」（感謝十九世紀那一大批數學家，極限這個詞已經是有了嚴密清晰的
定義而不再僅僅是某種哲學性的描述），也有的時候它被用來作為對微積分運算中的某
些符號的稱呼，但是無論何時，人們在使用它的時候都明確的知道自己想說什麼，更關
鍵的是，人們知道自己並不需要它，而只是偶爾像藉助一個比喻一樣藉助它罷了。

那麼，回到這個詞最本源的意義：到底有沒有這樣一個量，比一切給定的正實數都小卻
又不是零？或者這個問題還有一系列等價的提法：在直線上存不存在兩個「相鄰」的點
？存不存在「長度」的最小構成單位？等等等等。

在今天我們已經能夠確定無疑的回答這些問題了：不，不存在。

事實上，這個問題的徹底解答甚至比柯西和魏爾斯特拉斯的時代還要晚：它本質上是關
於實數的結構的理解的問題。即使柯西本人——儘管他奠定了現代極限理論的基礎——
也並不真正了解「實數是什麼」這樣一個簡單的問題。關於嚴密的實數理論的最終建立
，一般認為是皮亞諾（peano），康托（Cantor）和戴德金（Dedekind）這幾位十九世紀
下半葉的數學家的成就。所謂的「戴德金分劃」仍然是今天的教科書里對「實數」這一
概念所介紹的標準模型。在這套模型里，人們能夠在邏輯上完全自洽的前提下回答有關
實數結構的一切問題，而正如前面指出過的那樣，它完全擯棄了「無窮小」的存在。

（是不是數學家說無窮小量不存在，這個詞就沒意義了呢？）

這又回到了前面我們屢次面對的那個關於數學斷言的權威性的問題。如果承認無窮小是
一個有關數的概念，那麼，數學家的工作已經告訴我們，在實數理論中沒有無窮小的位
置。事實上，康托本人就曾經證明過承認無窮小是同承認實數中基本的阿基米德原理相
矛盾的。（阿基米德原理是一個關於實數性質的基本原理，如果阿基米德原理是錯的，
整個數學大概都無法得以建立。）但是，如果把問題拉到數學的疆域以外，如果認為人
們有權利不按照數學家的方式討論數本身的性質，那麼我們面對的就已經是全然另一層
次的問題，——也就不可能在這裡得到詳盡的討論了。

數學很忌諱考慮物理性質，因為我們的物理很落後，像負數、無理數、虛數這些本來停留在數學的概念，後來都能在物理界找到對應。

無窮小就是滿足以下性質的數：

X≠0，|X|＞D＞0恆成立。然後我們用這條不等式進行千變萬化的變換，得出一些有意思的結論。

由此可見，之所以要「定義」概念，就是為了「打包」性質，而性質就是變換的規則，變換則是得出新結論的手段。

比方說第五公設，通過反第五公設，就能制定一個新的「性質包」，這個性質包能導出一系列新的結論，然後發現能對應物理性質。

說了這麼多，無非就是說，千萬不要用生活經驗來看待數學，數學往往是超前的。

回到問題，無窮小是不是零，當然要看定義，你把它定義為零，當然要可以，但這會導致「性質包」質量很差，擰兩下就散架了，導不出什麼有意思的結論。

如何理解,描述無窮？

2017-04-19 笑看數學

如何理解,描述無窮？

【輕鬆一刻--令人窒息】

1969年中蘇兩國爆發珍寶島衝突之後，兩國關係急劇惡化，蘇聯甚至多次威脅要使用核武器，對中國實行外科手術式核打擊，一舉消滅中國，形勢異常危急。在一次談判中，蘇聯代表盛氣凌人地說：「我們的核武器，可以將北京毀滅一千次。」而中國代表毫不畏懼地回答：「我們的核武器，可以將莫斯科毀滅一次。」高傲的蘇方代表頓時竟然無言以對。。。

【想想為什麼不能除0，其實就是無窮唄！！！】

如果數學只處理有限的對象，那麼是很容易理解的，很容易被人接受的。但是如果涉及到無窮，就會引發很多問題，畢竟誰都沒見過無窮，憑什麼你說的就是對的？就會引發一些質疑，很是坑爹。

數學一直被無窮所折磨，最常見的一個就是除0問題。0不能作為除數，是小學生都知道的，從初等數學到高等數學，在無數次作業，考試中，忘記討論除0情況導致做錯的教訓想必很多人都有過，真是覺得特別坑。。。可是為什麼不能除0呢，為什麼呢？什麼，沒有意義？那什麼叫沒有意義呢，能說的稍微清楚點嗎？好吧，稍微解釋一下，「除」其實有減掉的意思，「被除數」就是被按在砧板上挨宰的那個可憐蟲。。。

除數就是那把刀，刀砍一次，刀大的一塊肉就下來。正常情況是砍有限次就行了，比如6/2=3，就是把6不停的減2，結果減了三次就空了，ok，結束。

可是要是減的是0，那。。。。

6-0=6-0=6。。。。

一直搞下去永遠都搞不定啊，會導致操作無窮次，其實也毫無作用。猶如清風拂過山崗，揮一揮衣袖，不帶走一片雲彩。。。

這就是無窮引發的問題的一個例子，自從碰到了無窮，數學就悲劇了，不少東西就說不清道不明，引發了一次又一次的爭議，甚至導致了一系列的數學危機。。。

【無窮的那些事兒】

1等式兩邊不能同時加無窮，比如1！=2,但是加了之後，變成等式了。。。

2無窮的很多倍，一小部分（有限的）還是無窮---比如輕鬆一刻裡面1000次毀滅，1次毀滅可以類比無窮大。。。

3偶數和自然數居然一樣多！！！

4自然數和有理數居然一樣多！！！

5無理數比有理數多得多得多得多得多得多

。。。。

【無窮是躲不過去的】

那我們可不可以不要無窮呢，惹不起，還躲不起嗎。我們能不能碰到無窮就躲開了，比如就規定不許除數為0，制定一些規則。但是其實是躲不過的，我們必須承認無窮的存在，我們有無限不循環的根號2啊，我們要算曲面面積要求極限啊，沒有無窮怎麼弄啊，不可能的。所以無窮是不能一味逃避就行的，必須坦然面對。。。

【如何描述無窮】

其實現在書上的ε ，δ剛開始是沒有的，剛開始數學家描述無窮也就是「無限大」「無限小」「無限趨於x0」之類的語言，還因此受到了很多攻擊。畢竟數學是一門嚴謹的學科，用這類語言，就顯得很不嚴謹。無限大是多大，無限小是多小，什麼叫無限趨於。。。？必須得實打實的描述出來啊，不然就給人一種偽科學的感覺，備受攻擊。

在經歷過一段時間的摸索之後，數學家們終於找到了一套語言來描述無窮，也就是現在讓很多人感覺蛋疼的ε-δ語言。但很多人剛開始接觸ε-δ語言感覺很不舒服，覺得羅里吧嗦的，幹嘛非得這樣定義，有毛意義，數學家真會裝逼，把一個個無窮極限的概念包裝得這麼神乎其神的，真是浪費時間浪費精力浪費紙力浪費腦力，毫無意義。真是折磨人啊，有些人死了，卻不讓別人活。。。

但其實到最後你會發現，數學其實才是最說人話的，它的定義大多都是經過千錘百鍊才出的深山，是非常合理，如果不這樣定義，可能會導致更多的問題，得不償失。

【古代神話的啟示】

《山海經·海外北經》記載了一個上古神話--《夸父逐日》。相傳在黃帝王朝的時代，夸父族其中一個首領想要把太陽摘下，放到人們的心裏面，於是就開始逐日。他口渴的時候喝乾了黃河、渭水，準備往北邊的大湖（或大海）去喝水，奔於大澤路途中被渴死。他的手杖化作鄧林，成為桃花園；而他的身軀化作了夸父山。

夸父逐日為何失敗了呢？從無窮的角度來說，因為他走路的距離是有限量，而太陽與他距離是無窮大的。。。

夸父逐日過程：。。。

夸父：我走了10里了，如何？

太陽：對不起，10里&<我們距離，逐日失敗。。。

夸父：我走了100里了，如何？

太陽：對不起，100里&<我們距離，逐日失敗。。。

夸父：我走了1000里了，如何？

太陽：對不起，1000里&<我們距離，逐日失敗。。。

。。。。

夸父：我走了我走了1000000000000000000000000000000里了，如何？

太陽：對不起，1000000000000000000000000000000里&<我們距離，逐日失敗。。。

夸父：我去你大爺！！！（吐血而亡。。。）

。。。。。。。。。。。。。。。。。。

【類比的啟示】

從夸父逐日的過程我們可以得到一個啟示，要描述無窮，可以藉助現有的數據。比如說若描述的是無窮大，那麼它其實就是比我們已有的數據都大，我們不管給出什麼數據，它都比我們手裡的數據要大。把無窮看作是一個動態的過程，而並非一個靜止於某點的東西，也不是一個高高在上遙不可及的玩意，是可以動態逼近的，只不過道高一尺魔高一丈，永遠追不上（感覺這思想真是太有智慧了，裡面蘊含著運動發展的哲學觀點）

想通了這點，無窮大無窮小的描述就呼之欲出了：

無窮大：不管我們手裡拿出來什麼數字M，那個量都能保證x&>M,則稱x是一個無窮大

無窮小類似。。。

更嚴謹一點，對於一個數列｛xn｝，如果對於任意的G&>0，存在N&>0,當n&>N是，都有xn&>G,那麼｛xn｝是一個趨於正無窮大量的數列。

無窮小：對於一個數列｛xn｝，如果對於任意的ε&>0，存在N&>0,當n&>N是，都有|xn|&<ε,那麼｛xn｝是一個趨於0的數列。

看吧，用ε-δ語言來描述無窮才是嚴謹的，什麼「無限大」「無限小」。。。之類含混不清的描述真是太粗糙了。如果有幸接觸到了描述無窮的大智慧，卻不識貨，罵罵咧咧的覺得難用啥的，那買櫝還珠的笑話就得重演了。。。

微積分里無窮小量的命運轉折和非標準分析前導視頻講解了為什麼dx dy不是無窮小量，同時也對非標準分析做了一個簡介。
請多多指教！

我不明白為什麼一篇在實數領域的文章使用十九世紀的研究成果對無窮小量蓋棺定論，全篇引用而毫無評論或指導。

隨手搜索wiki的無窮小量，則可以看到Abraham Robinson在1966年提出的《非標準分析》。我希望有人能夠至少介紹一下20世紀的數學成果，而不是用十九世紀的結論來宣判無窮小的死亡。

無窮小是個函數，0是常數也是函數，所以0是無窮小，但無窮小不一定是0

如果題中「無窮小量」指的是「infinitesimal」的話，這個在超越數(hyperreal)系裡是有定義的。沒記錯的話0應該也是infinitesimal。

我的天，無窮小是一個過程，不是一個數啊，說成量只是為了簡潔點啊。

極限是一個過程

淺見，最近做了一篇關於這方面的研究。
首先放結果：無窮小不是0。
1.1無窮小
現在的關於無窮小的定義，有用的話就是δ-?語言的定義。
?ε&>0,對任意N∈N+,存在n,st∶|x-x1|&<ε。
在這裡，描述的刻度顯然是ε。標準認為，當比ε小時，已經為0。即，這裡的無窮小只是一個刻度。一旦ε確定，那麼實際上是一個確定的數。顯然不是0。
1.2無窮的本質
馬克思的說到：無窮小，在一方面上有零的特徵，一方面又不是0。這種說法顯然有一定的誤導。
無窮是一種事物發展的規律，並且不能停止，一旦停止，這就失去了無窮的性質。可就是說，你在說無窮小的時候，可以無限接近於零，以至於要多麼接近有多麼接近(我不贊成這種說法)。可是，一旦確定這個刻度ε，在這個刻度內，人為的認為是零，刻度外，就不為零。
2.1無窮小研究
一定程度上，無窮的本質還沒有全部被認為的認識，確切的是，沒有被語言精確描述。
但是，無窮小不是零，但是和零之間又沒有間隙(連續性)。
無窮小的一個特性就是無窮，無窮是一個過程，而這個過程又是不能被具體，只能被描述。
2.2極限
極限是無窮的發展，柯西語言用一個刻度解決了極限，但是不能解決無窮。而且，無窮在建立在集合論和戴德金切割體系下是不可解的(猜想，但證實了一部分)。

無窮小量不是一個值，而是一個函數，如果當x趨於x0時，對應的f(x)的極限為0，那麼，就稱該函數為當x趨於x0時的無窮小好好看看關於無窮小量的定義吧

零是一個定點
無窮小是不論你找到一個多小的，你都可以找到一個更小的。
一個是固定的，一個是運動的………
當然這個"運動"的"東西"的一個屬性是零

讓我想起了一個以前看的一條證明公式：

0.99999....（無限）等於1

開始：0.9999...../3=0.33333.......（這個成立吧）
0.33333......可以寫成1/3（好像也是小學數學）
3乘以1/3等於1
所以：0.9999.....=1
證明完畢。（好像書上的證明更長更令人信服，但是忘了）

求批證。

無窮小可以理解為極限為0的函數，在某一趨向過程中。