線性代數對物理學有什麼幫助？

12-27

物理專業用到的數學，幾乎都和線性代數有關。

求導、積分是函數空間上的線性運算。

特殊函數是某些微分運算元的特徵函數。

解數學物理方程其實就是以特徵函數為基進行展開。

張量——不管張量在數學上的嚴格定義是什麼，物理專業的學生往往是把張量作為矩陣的自然推廣來看的。

群——用的最多的不還是矩陣群嗎?

對物理專業來說，線性代數無所不在。

有什麼幫助?...

真空麥克斯韋方程是線性的: 所以解麥克斯韋方程基本上就是在處理高維的線性代數問題

薛定諤方程是線性的: 有時候我和學弟學妹說, 量子力學簡直就是複數域上的線性代數在近代物理學上的應用

量子場論的典型計算方法, 是先取二次型的部分, 給出線性的解, 然後對於高次的非線性項做微擾展開

對稱性用群論來表達, 群的表示是矩陣: 幾乎所有的現代物理學都要藉助對稱性來描述物理規律, 線性代數是基礎中的基礎了

量子信息的基本問題就是各種矩陣變換, 只不過矩陣的維度隨著量子比特指數增長

幾乎可以說:

沒有什麼問題是線性代數不可以解決的.. 如果有, 那就在線性解上做微擾修正

(什麼? 你說還解決不了? 那基本上都是些解不出來的世界難題了..

看來又是一個被我朝無厘頭的線性代數教材給坑害的少年……

作為一個工科出身的物理學票友，老朽來現身說法一次吧。

先說結論，線性代數是很優美很體系化的一套理論，並且在物理學上意義非常大。

但是為什麼題主感受不到呢？

可能是因為題主和老朽有相同的經歷。

話說老朽當年大一剛開始學線性代數的時候，也有過和題主一樣的疑問。

但後來才知道，這不是我們自己的悟性不好，而是教材的講述方式的問題。

不知道題主學的線性代數是怎麼開講的，所以老朽就說說自己當年學的教材吧。

作為一隻工科狗，我們當年的線性代數教材是圖中這本。

這個教材有個好，就是實誠，一上來不管三七二十一，就教你怎麼計算，只是講來講去那些就計算啊，too complex, sometimes confusing。總之，講了一大堆計算技巧，卻從不告訴你為什麼要算這個，有什麼意義。

而對於基本概念的引入，教材也很不友好。還記得當時引入行列式和矩陣的時候，我們的教材是簡單直接粗暴地從充滿著功利色彩但毫無美感的解線性方程組切入。從中能感覺到編者對工科狗們審美情趣的深深鄙視。

再往後翻，就發現前面幾乎半本書都在討論方程組解的存在性、唯一性、特解、通解之類的……老朽愚鈍，當時就昏睡過去了。等到後來講線性空間、線性變換的時候，內心早已經崩潰。

直到後來開始學理論力學，才第一次驚喜地發現，原來矩陣是可以用來描述坐標變換的。

再後來，學了一點泛函，看了一點相對論、量子力學的東西，才知道線性代數的核心其實應該是物理意義非常明確的線性變換(從一個向量到另一個向量之間的變換)，而不是什麼解線性方程組這些功利主義的東西，而且線性代數還具有很深刻的幾何意義(如果題主今後有機會學Lie理論，會發現線性代數可以在更高級的層面上實現數形結合(別問我細節，我也是裝懂……))。

那剛才說了那麼多，都有些什麼意義呢？

舉幾個直觀的例子：

矩陣的行列式，可以理解為構成矩陣的向量形成的幾何圖形的有向體積(二維時為面積)；

二維平面上的例子：假設平面上有兩個向量 $m{ a }=(a_1,a_2)^{T}, m{b}=(b_1,b_2)^{T}$

它們可以組成一個矩陣 $m{S}=egin{pmatrix} a_1 b_1 \ a_2 b_2 end{pmatrix}$ ，行列式為 $mathrm{det}(m{S})=a_1b_2-a_2b_1$

幾何上，這兩個向量可以圍成一個平行四邊形(下圖)：

圖片來自某匿名知友在另一個問題中的回答，侵刪。

這張圖中，有色部分為平行四邊形面積。通過圖中的關係可知，面積 $S=a_1b_2-a_2b_1$

3維乃至更高維體積同理，所以你看，線性代數不僅能幫我們描述直觀可見的幾何(3維以下)，還能描述直觀不能見的幾何(更高維)，它的魅力就在這裡。

矩陣的秩，不單單為了判斷方程解的唯一性，而是可以理解為構成矩陣的向量張成的空間的維度，也可以理解為向量在線性變換作用下變成的新向量的維度。

比如一個3×2矩陣，可以看成是兩個列向量張成的空間，也就是一個2維平面，所以秩當然是2。

又比如一個3×3矩陣，可以看成是三個列向量張成的空間，但是，如果其中一個列向量可以由另外兩個列向量線性表出，那就說明三個列向量共面，它們只能張成一個2維平面，這時候矩陣的秩就是2。如果三個列向量兩兩之間線性相關，那就說明它們共線，只能張成一條1維直線，矩陣的秩就是1。

再比如一個秩為2的3×3矩陣 $m{A}$ (可以把它看成是一個降維運算元)，乘以另一個滿秩的3×3矩陣 $m{B}$ (可以看成一組線性無關的3維向量，張成3維空間)，得到的新矩陣 $m{B$ 的秩也是2，這意味著，構成 $m{B}$ 的三個線性無關的向量，在「降維運算元」的作用下，變成了 $m{B$ 中3個線性相關的向量，原本張成的3維空間，變成了2維平面，這就可以用來描述二向箔的降維打擊(大霧)；

相似矩陣，不單單是為了相似對角化後去求方程的解，而是可以理解成同一種線性變換在不同坐標系下的「投影」(先挖坑，以後埋)

……

好了，回到題主的問題：

線性代數對物理學有什麼幫助嗎？

我們隨便舉幾個例子：

相對論里，矩陣可以描述兩個參考系之間的洛侖茲變換；而相似矩陣可以用來描述張量變換；

量子力學裡就更多了，向量的線性表示可以用來理解量子態的疊加(包括解釋薛定諤那隻貓)，特徵值理論可以描述量子態和測量值的關係，概率幅又和向量的內積息息相關，你還會發現，類似測不準原理、傅里葉變換這種看似和線性代數八輩子扯不上關係的理論，居然也能在向量理論中找到思想根源。

這個坑，我在另外一個回答為什麼初學量子力學一個矩陣都沒有看到，卻說線性代數是量子力學的數學語言？中正在慢慢填。

這些美妙的體驗，只有在深刻理解了線性代數之後，才可能get到。

所以，請題主一定一定要耐著性子學下去，雖然教材的講法不好，但這個鍋不能是線性代數這門課來背。

那麼，有什麼好的途徑來提高自己線性代數的知識水平呢？

先說教材吧，幾本講法比較「自然」的教材有：

線性代數應該這樣學(Linear Albegra Done Right), Sheldon Axler, 杜現坤馬晶譯

(感謝 @陳明炯推薦，這本書我也看到過，講解的順序的確很好)

代數(Algebra) Michael Artin, 姚海樓平艷茹譯

(感謝 @666 (為啥我@不到你本人) 推薦，這本書還提到了群論和對稱性，思路非常優美，但適合有一定基礎後來學)

線性代數及其應用(Linear Algebra and its Application), 作者待確認

感謝 @RUANXB 推薦

無痛的線性代數

作者是……好吧，這個書名是虛構的，還沒出。

但是教材畢竟更注重嚴謹性，想了解一些更直觀的東西，推薦如下資料：

可以在知乎就地搜索「線性代數+幾何意義」之類的關鍵詞，會有一大波優秀答案會拂面而來。

可以百度孟岩老師的專題系列理解矩陣，絕對比教材上那些老學究面孔親切多了。

可以去B站搜索線性代數的本質，感謝 @機智的熊孩子提醒。

首先題主要明確——「線性代數」就是個筐，高興起來連範疇論都特么可以往裡裝（不信的話，請去看黎景輝的神書——《高等線性代數學》）！

所以當你談及「線性代數」的時候，你最好先大致地圈定一個範圍，因為「線性代數」這個概念的內涵相當不穩定，所以很難作為一個堅實而確定的邏輯前提展開討論。

在我看來，答案是毫無疑問的——不僅僅是「有幫助」這麼簡單，如果要加一個副詞來修飾的話，恐怕得用數學上常見的「幾乎處處」！

Linear algebra is almost everywhere in (theoretical probably, not sure about experimental) physics.

換句話說，你覺得線性代數在物理上能用的部分是一個零測集，我覺得恰恰相反——物理上沒用線性代數的部分才是零測集。

不過我給「線性代數」圈出的範圍是特定的：

在本答中，特指——

柯斯特利金·第二卷

（你沒看錯，這卷的標題確實是「線性代數」……）

啥？你問我矩陣、行列式、多項式理論之類的在哪兒？

哦～天哪！那些玩意兒叫——

基礎代數

好不好！！！

謝邀，線性代數與物理學最大的關聯，我認為還是體現在數學家解微分方程的思路上。

數學家目前為止對於方程的認知還非常有限，怎麼說呢、數學家能解的方程大概就像醫生能治的病那麼少，現代數學中被充分討論的方程全部來源於實際的物理問題，比如經典的波動方程，還有熱導方程，之類。

那麼哪些做偏微分方程工作的數學家是如何研究一個物理方程的性態（包括解的存在性，穩定性，唯一性，還有怎麼找出這個解）以及、如果在條件約束下找不到精確解，那能不能找到做好的近似解（逼近理論）？

以上問題的回答，統統仰仗於數學工作者對廣義函數空間上運算元理論的研究。至於：什麼是廣義函數空間？什麼是運算元？——這非得有點兒基礎知識才能說清楚，也不是一句兩句能說明白的。好在這也不是這個答案的核心。

不嚴格地說，你可以想像你線性代數中學過的「空間」和「映射」這種概念，廣義函數空間中的「向量」就是具有某些特殊性質（往往跟你研究對象的性質有關係）的函數，運算元則類似於映射，只不過《線性代數》中的「映射」是把一個向量映成了另一個向量，而廣義函數空間中的人運算元，可以把一個函數映成另一個函數（也就是說，運算元相當於「函數」的函數）。

在《線性代數》中，一個方程組實際上就是一個映射；在廣義函數空間里，一個微分方程實際上就是一個廣義運算元。

通過這種類比，我只是想向你說明，抽象的函數空間往往被賦予了很多與《線性代數》中相同的結構：線性性、度量（從而你可以談論收斂）、甚至是內積（從而你可以談論角度，正交分解），當然、還有基。

至於你如何在線代中探究映射的性質呢？（具體地，你怎麼解線性方程組呢？）關鍵在於你要找到一組最恰當的基，研究一下你的映射會把這組基映成什麼東西；特別地，如果你能找到一組由特徵向量組成的基，你的映射看上去就會非常直觀，因為特徵向量在線性變換中不會改變方向；

按照這個思路，你可以獲得一種靈感：其實在廣義函數空間中研究運算元（具體地，就是解微分方程）最關鍵的也是找到這個廣義空間某種意義下的基（注意，實際上這是一組函數），然後研究一下這個運算元會把這組函數給變成什麼——從而，你就可以把微分方程給解了。

當然請容我最後再提醒一句，數學家解的微分方程幾乎全是有關物理問題的。

而你會發現，解答物理方程所用到的空間理論和運算元理論，根子在《線性代數》這兒。

當然、事情肯定不止我說的這麼簡單類比，線性代數談論的是有限維空間，而廣義函數空間往往是無窮維的，這一步擴展會導致很多結論失效，但研究微分方程最本質的邏輯，仍然是在一個空間里找到合適的基，然後進行探究。

1.向量

物理學裡面有不用向量的地方嗎？有嗎？有嗎？有嗎？

2.矩陣：

力學：剛體定點轉動

電磁學和光學：各向異性介質、偏振光

相對論：洛倫茲變換

量子力學：泡利矩陣、狄拉克矩陣、簡併微擾論、分波展開、角動量

量子場論：規範對稱群的表示、Higgs機制

3.線性變換：

力學：坐標變換、正則變換

相對論：坐標變換

量子力學：力學量的運算元表示

4.二次型、合同變換：

力學：轉動慣量

相對論：度規

5.特質值與特徵向量、相似變換、矩陣的對角化：

力學：轉動慣量的主軸與主轉動慣量

電磁學與光學：各向異性介質的主光軸

量子力學：定態薛定諤方程

數學物理方法：分離變數法解偏微分方程，其中：

波動方程（雙曲型）：力學、電磁學

熱傳遞方程（拋物型）：熱學、量子力學

位勢方程（橢圓型）：力學、電磁學

6.線性空間、內積、歐氏空間、酉空間（有可能不學）：

量子力學：態矢量、希爾伯特空間、幺正變換

7.外代數、辛空間（更有可能不學）

力學：哈密頓力學的辛幾何表述

相對論：外微分、調和坐標、彎曲空間中的積分

量子場論：格拉斯曼代數

8.行列式（大概是最沒用的）：

叉積的運算、久期方程（常用於判定線性方程是否有解）

題外話：

1.量子力學裡面要用到的更多是泛函分析，不過泛函分析這學科名字也是名不副實，叫「拓撲線性代數」還差不多。

2.相對論當然也看重微分幾何了，但流形畢竟是歐氏空間拼出來的，每個切空間也是線性的吧，不先把歐氏空間搞懂怎麼行呢？

3.後面玩群的表示論，群的表示就是把群元寫成線性變換啰，線性變換寫具體一點就是矩陣啦。李群必須弄成李代數才好研究，李代數又是線性空間。

最後，我研究中微子振蕩的時候，基本上工作每天就是圍著那個3x3的質量矩陣轉！

等你學四大力學的時候就知道了。。

╮(╯_╰)╭

不要怪線性代數，要怪就要怪教材。

神特么第一章開講行列式計算，這學生能聽得懂，就特么又鬼了。

我嚴重懷疑編纂教材的，是不是蘇修派來的特務，來破壞我國科學社會主義建設的嗯。

開玩笑的啦。

線性代數的核心，是向量，而不是什麼其他亂七八糟的玩意兒。

而向量這東西，就是用來表示空間一個矢量上的方向和大小的。

譬如說定義一向量x1=（1，1），這就是一個二維平面上的向量，方向對著xy軸第一象限角平分線，長度是根號2。

這玩意兒是初中生知識，大家都能看得懂吧。

當然我們也可以定義一向量x2=（1，2，3），這是一個三維空間里的向量。這個大家也能想像得到，對吧。

這都是非常簡單的東西了。記住，和空間相關。

那麼我們再引申一點兒，把向量豎著寫，寫成轉置（用T表示）型。

譬如說x1= $left( 1，1 ight)^{T}$ ，放在紙上就是從上到下，豎過來寫的，這個沒問題吧。

那麼我們就有了一個問題：

——假如我們要把一個向量x1，旋轉縮放到向量x2的位置，我們應該怎麼做呢？

這裡面不妨設b1= $left( -1，-1 ight)^{T}$

你想了半天，突然想到了一個解決方法。

就是用線性代數的方法：Ax=b。

其中A是一個2×2的矩陣，x是一個二維向量 $left( 1，1 ight)^{T}$ ，b是一個二維向量 $left( -1，-1 ight)^{T}$ 。

當你把x這個二維向量，和矩陣A相乘之後，我們就能得到b這個二維向量了。

說的再通俗點兒，當你把 $left( 1，1 ight)^{T}$ 扔到A這個矩陣裡面「攪一下」，他出來就變成 $left( -1，-1 ight)^{T}$ 了。

知道向量x和矩陣A就可以推出變換後的向量b，知道向量x和向量b就可以計算出如何變換的矩陣A。他就是一個來回變換空間的玩意兒。

值得一提的是，這種變換是基於坐標軸的整體變換。所有的變換都是按照同比例進行旋轉縮放的。

推廣到三維空間可不可以呢？也是可以的。

Ax=b。其中A是一個3×3的矩陣。

這樣我們就把解方程組，和空間中的向量旋轉縮放，完美的結合到一起了。

更妙的是，這個方法可以推廣到高維空間。

人無法想像高維空間是吧。沒關係，只要我們定義一個四維的向量x3=（1，2，3，4），並且用Ax=b進行變換，就能得到四維空間的向量變換了。

這樣看來，凡是涉及空間內（無論低維還是高維）向量變換的問題，都可以通過簡單的一個Ax=b來解決了。

這就是一種把具體的空間的變換，和抽象的解線性方程組的方法相互聯繫到了一起。

想像不出四維及以上的空間，我們怎麼辦？簡單，列一個方程組就搞定了嗯。

線性代數，乾的漂亮嗯。

先明白這麼一個簡單的問題，接下來我們就可以拓展了。

譬如說第一章就開講的行列式。這東西是什麼呢？是n個n維向量組成的圖形的體積，所以他是個數值。

所以說行列式裡面有句話，叫一行/列元素相同的行列式，值等於0。

為什麼呢？想像一個三維圖形，有長有寬，結果高被壓扁了，不存在高——這個玩意兒的體積當然是0了。

就是這麼簡單的一個玩意兒。

所以你的學習曲線，應該是先掌握向量（線），再學習矩陣（線組成的面/體），最後再學習行列式（面/體的面積/體積）。而絕壁不是像教科書那樣反過來，那樣除了一臉懵逼.jpg之外，並沒有其他的任何益處。

其他的特徵值，特徵向量，相似對角化，施密特正交這些玩意兒，嘴上說起來太麻煩，建議看視頻：

【官方雙語/合集】線性代數的本質 - 系列合集

其他過往回答：JoJo王頎：如何直觀地理解拉格朗日插值法？

如果你學完線性代數後，發現你的所有數學物理知識都是可以轉化成一個本徵值問題的話，就說明沒白學。

如果你覺得就是解方程組，那就等於白學了。。。

先說一個昨天碰上的問題：

請計算上圖中的積分，公式中αi（i=1、2、3、4......）是實數，K是一個實對稱矩陣。

乍一看這個積分跟高斯積分很像，但是不同積分變數之間耦合項的存在，不能簡單套用高斯積分的公式，必須先解耦才可以。

K是一個實對稱矩陣，實對稱矩陣一定酉相似於一個對角矩陣。我們可以把K相似對角化，成功地實現解耦。但這個時候積分變數的值也會發生變化，所以要乘以一個雅克比矩陣。但是酉矩陣的行列式絕對值等於1。所以該雅克比矩陣的行列式值為1，不需要考慮它的影響了。

當然，線性代數的實際應用絕不僅僅是解耦-簡化計算這一項這麼簡單。由於線性運算/變換大量存在於科學界或者工程學界，很多問題都可以轉化為矩陣相乘的形式。比方說無論是洛侖茲變換還是伽利略變換，它們都是線性變換，是線性變換就可以寫成矩陣的形式，用研究矩陣的方法去研究它們。

如果你熟悉了線性空間的預言，你再看一些數學問題，你就會有一些新的認知，比方說傅立葉級數中的sinmx和cosmx，它們不也是一組正交基矢量嗎？包括其它特殊函數，它們也組成了一組組正交函數系（只是權函數不同）。當然完備性問題太過於複雜我們暫時不考慮......

作為一個（特別菜的）物理專業本科生，這學期我一共選了三門專業課，於是聽三個不同的老師複習了三遍線性代數（手動捂臉

逢人就推薦《linear algebra done right》

線性代數是以線性空間及其變換為主線的數學分支。所謂「線性」，就是輸出與輸入成比例變化的關係。通俗地講，就是「整體等於部分之和」。它是真實世界中最簡單的運行方式。線性系統遵循「線性可加性」，即 $f(x_1+x_2)=f(x_1)+f(x_2)$ 。於是，我們可以通過將系統分解為各個組分來逐一研究，最後將各個組分的性質進行加和，就是這個系統的性質。由此可見，線性性也是還原論的數學根基。

線性方程滿足解的線性疊加原理。於是，兩個解的線性疊加依舊是原方程的解。可以說，線性疊加原理大大簡化了對具體問題的分析與求解。只要是線性問題，我們就可以利用線性代數簡化求解或一般化。

相反地，非線性就是指輸入與求出的比值是不斷變化的性質。

嚴格地講，真實世界中幾乎所有的物理現象都有非線性的成分。但是，在定量分析中，我們常常都被視作高階小量而忽略不計。這是因為，對於常見的物理系統，即使是目前世界上最精密的儀器也無法測量。因此，線性通常是對真實世界非線性的理想近似。物理學上，各種著名的基本方程多數是線性的。譬如：牛頓第二定律、歐拉―拉格朗日方程、麥克斯韋方程組、薛定諤方程等。

目前，對線性問題的研究在學術界發展得最快，而對非線性問題的研究剛剛起步。

假如真實世界中，非線性效應十分顯著，那麼系統就不再滿足線性疊加原理，各種現象的獨立性也隨之消失。此時，我們無法將系統分解為各個基本單元來逐一研究進行求解。否則，我們就忽略了各個單元的協同效應。同時，對系統的求解過程就會變得極其複雜！

非線性系統的另一個性質就是初值敏感性。初始條件的微小差異，可以造成完全不同的演化路徑。這也是「混沌」二字的真正含義。一個經典的案例就是天氣的長期變化不可預測。我們只能勉強地預測一兩天後的天氣變化。

「只要一隻巴西的蝴蝶偶然扇一下翅膀，就很可能釀成一場發生在德克薩斯的強烈龍捲風。」這句話出自 20 世紀美國著名氣象學家洛倫茲對天氣的不可預測性的精闢解釋。科學界對非線性效應的關注，大概就是從他開始的。

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最後，我們再用萬門大學校長童哲在他的線性代數課上的一段話，來說明線性代數對於非線性系統也極為重要：

「如果進入科研領域，你就會發現，只要不是線性的東西，我們基本都不會！它是人類少數可以研究得非常透徹的數學基礎性框架。學好線性代數，你就掌握了絕大多數可解問題的鑰匙。有了這把鑰匙，再加上相應的知識補充，你就可以求解相應的問題。不學線性代數，你就漏過了 95% 的人類智慧！非線性的問題極為困難。如果能夠把非線性的問題化為線性的，這是我們一定要走的方向。」

肯定和我一樣上了個假物理系

現代物理學模型，大多數都是線性模型。
當然，線性模型可不只是簡單的y=kx+b.

其他同學已經說得很好了，不過題主會提出這種問題，應該對比較深的物理知識還是缺乏了解的，我就從一個相對比較簡單的角度來說一下線性代數的幫助。

我們知道物理學的一個基本任務是研究自然現象的規律並且對自然現象做出定量預測，所以就必須有制約物體運動的方程，這裡面的「物體」可以指一切物理研究的對象，比如小滑塊、帶電粒子、電磁場、引力度規等等，「運動」其實就是變化。那麼變化是什麼引起的呢？這就必須考慮其他物體的變化產生的影響，這就是物體之間的相互作用。物理學家的一個基本信條（也是目前所有實驗觀測到的結果）是不存在超距作用，簡單來說，每個物體只能和它附近的物體產生相互作用。

舉個例子，考慮地球圍繞太陽轉這件事，牛頓的萬有引力認為地球圍繞太陽轉時遠處的太陽直接給了地球引力的作用，使地球圍繞太陽運動。然而現代物理學發現其實太陽只能影響太陽附近的引力場，而太陽附近的引力場又影響它們附近的引力場，這些引力場又繼續影響它們附近的引力場……就這麼一層一層地傳過來，直到傳到地球附近的引力場才能對地球產生作用。這和牛頓觀點的區別就是，如果某一天太陽突然消失了或者分裂了（暫不考慮這種情況的物理機制），那麼它發生的變化只能影響到附近的變化，然後這個變化得一層一層慢慢傳過來，導致地球要過一段時間才能發現太陽消失或者分裂這件事，而根據牛頓的理論，這個影響是瞬時的。實驗已經證明了局域的引力作用才是正確的（比如引力波）。

既然沒有超距作用，那麼制約物體運動的方程必然是微分方程，因為我們知道微分研究的就是一個函數某一點附近的性質。而我們在微分方程中了解最為透徹的是線性微分方程，非線性的微分方程非常複雜，很多情況下只能靠計算機計算數值解。當然實際的物理模型不可能正好都是線性的，然而我們有非常好的辦法解決這個問題，就是近似，物理問題在很多情況下都可以線性化，其實就是（在一定條件下）強行扔掉非線性的項（當然「一定條件」保證了這樣出來以後的結果是足夠精確的）。得到了線性微分方程以後，如果把全體滿足要求的函數看成線性空間，就可以用線性代數里的各種方法取解決問題。

你應該接受量子力學的懲戒

都是教材的鍋。。。建議去B站搜一下3brown 1blue的視頻，裡面有一集講線性代數本質，看完你就明白了

呵呵等你學了量子力學再來問這個問題吧…… 現在好好學，省的以後一遍遍複習，當然就算現在好好學，以後還是要複習的...

個人理解線性代數大概可以分為兩塊，映射和矩陣（或許還可以加上第三塊：代數結構？）

在映射上聯繫最大的是量子力學，可以參考《Linear Algebra Done Right》，可觀測量本身就是一個厄密算符，其中又有著很多奇妙的數學中的「算符」和物理中「算符」的對應和性質上的聯繫。其次在量子場論里也有不少「映射」「維度」的概念。

矩陣方面應用更廣泛了，物理中有那麼多的耦合方程等著你去化簡，例如固體物理理論力學裡的簡正模；量子場論里把路徑積分寫出來，e指數上能化成是二次型最好解，不是二次型就盡量拆解、近似修正到二次型。如果在理論組或者計算組搬磚的話，paper上線性代數的應用隨處可見，至少我目前寫的幾個代碼里都用到了哈密頓量或運動方程的對角化。

個人覺得代數結構應該也歸入線性代數範疇中，這樣的話群論那套其實本質就是線性代數，群表示論就是在做變基，李群李代數就是在定義了一套封閉的運算體系。有了群論你就可以分析一個體系的對稱性，物理中不是一直把對稱性視作一個很「本質」的基本原理么。

以上只是學到現在的一點個人體會而已，也會有不少說的不準確的地方吧。