不用洛必達法則和泰勒公式，如何求：當 x→0 時，x/ln(1+x)的極限？

12-27

同濟大學版高等數學第七版65頁，例6，有一道題。
求 $lim_{x ightarrow 0}{frac{a^{x} -1}{x} }$
解:令 $a^{x}-1=t$
則 $x=log_a (1+t)$ ，當x趨向於0時，t也趨向於0.
所以就變成了 $lim_{t ightarrow 0}{frac{t}{log_a(1+t) } } =ln a$ 。

書上就這樣直接得出了這個結果，我看不懂。
我的問題在最後一步上，裡面有很重要的一步是證明:
$lim_{t ightarrow 0}{frac{t}{ln(1+t)} } =1$
這道題出現在高數上冊65頁，也就是說還沒有學習洛必達法則和泰勒公式。
我的問題是:
有什麼方式可以證明上面這個公式的極限等於1且不需要洛必達法則和泰勒公式。（78頁用這道例6的結論推出了指數函數的導數公式。如果需要洛必達法則和泰勒公式，我感覺像是循環論證一樣，最後我只能靠死記公式來做題。
最後我還是不能理解這個是如何推來的）可以用夾逼準則來求這個公式的極限嗎？如何求？

謝邀。

$lim_{x o 0}frac{ln(1+x)}{x}=lim_{x o 0}ln(1+x)^{1/x}=lne=1.$ 很多人學數分的時候可能沒想過e的定義為什麼要定義成那樣吧？現在明白了吧。

Good Question! 不知道大家有沒有想過一個問題:

如果在定義 $e$ 之前, 指數是怎麼求導的?

那就根據定義唄:

${frac {mathrm{d}}{mathrm{d}x}}a^{x}=lim _{h o 0}{frac {a^{x+h}-a^{x}}{h}}=lim _{h o 0}{frac {a^{x}a^{h}-a^{x}}{h}}=a^{x}left(lim _{h o 0}{frac {a^{h}-1}{h}} ight)$

所以就有了這道題:

$lim_{x ightarrow 0}{frac{a^{x} -1}{x} } = ext{?}$

令 $t=a^{x}-1$

$lim_{x ightarrow 0}{frac{a^{x} -1}{x} } =lim_{t ightarrow 0}{frac{t}{log_a(1+t) } } =log_ba lim_{t ightarrow 0} frac{t}{log_b (1+t)}$

考慮:

$lim_{t ightarrow 0}{frac{log_b(1+t) }{t} } =lim_{t ightarrow 0} frac{1}{t}log_b (1+t) =log_b lim_{t ightarrow 0}(1+t)^frac{1}{t}$

這裡 $b$ 是任意的, 只要是除1以外的正數都行

那自然越簡潔越好,最好直接把這項設為1弄沒...

選誰最簡潔呢?

欽定: $log_b lim_{t ightarrow 0}(1+t)^frac{1}{t}=1$

數學家: 我們已經研究決定了, 就由你來當自然底數.

$b=lim_{t ightarrow 0} {(1+t)}^frac{1}{t}approx 2.71828$

跑個題

上面的答主已經把證明寫出來了

來個高考中的做法

$lim_{x ightarrow 0}{frac{a^{x} -1}{x} }$

$=lim_{x ightarrow 0}{frac{a^{x} -a^0}{x-0} }$

設 $f(x)=a^x$

原式 $=f^prime(0)=ln acdot a^0=ln a$

去找高數中，講「對數函數的導數」的章節。會有lnx的導數為1/x的證明，而上式就是lnx在x=1處導數的倒數。證明不難但是手機還是不好打…

這是利用了兩個重要極限之一的 $[mathop {lim }limits_{x o 0} {left( {1 + x} ight)^{frac{1}{x}}} = { ext{e}}]$ ，這在例6之前就證明過。而且例6隻是例5的輕微變形，

例5.求 $[mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{{{log }_a}left( {1 + x} ight)}}{x}]$

$[mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{{{log }_a}left( {1 + x} ight)}}{x} = mathop {lim }limits_{x o 0} {log _a}{left( {1 + x} ight)^{frac{1}{x}}} = {log _a}{ ext{e = }}frac{1}{{ln a}}]$

樓主你提了一個非常好的問題。高中教材裡面導數部分直接給求導公式的。極限的觀點嚴格地從公理化系統來論述推演了微積分的內容。所以當你追根刨底時，會發現要研究倆個重要極限。而這倆個重要極限,一個和e相關,一個和pi相關。可以說這是整個微積分的倆大基石。我一直比較反感高中這種硬塞式的教授方式。我覺得理解一個東西的來龍去脈比多會使用它更加的重要。

答主為大一新生，這個問題也曾經思考過，但是我覺得洛必達法則和泰勒公式在這裡是用不上的，或者說使用極限的定義，已經完全可以證明。
但說這道數學題，我的證明思路與題主不同，不需要證明題中的極限

再說題主的疑問

前一個例題中不是已經給出了嗎？

希望題主好好看書，這種問題還是問問同學吧

我也跑個題。
題主是怎麼打出那些數字元號的。
我因為打不出那些符號而無法與題主交流。

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還是正經一點吧，那個重要的一步（符號打不出了），其實就是e的由來啊。
可能題主沒有認真看書吧。

我更好奇的是沒有證明這個極限，題主如何知道ln(x+1)的導數？又是談何使用洛必達法則和泰勒公式？？

先後順序難道不應該是先證明這兩個經典極限 $lim_{n ightarrow infty}{（1+frac{1}{n})^{n}}$ 和 $sum_{n=0}^{infty}{frac{1}{n!}}$ 存在且相等，欽定這個極限值為e，然後再推廣到連續形式，然後才能計算 $ln(x)$ 的導數，然後才有洛必達法則和泰勒公式嗎？用什麼導數定義，無窮小代換，泰勒公式和洛必達法則豈不是在用這個極限自己證明自己？？？？建議題主看看數分吧。