我的朋友是初三黨，對於數學很有興趣，怎麼學習高等數學比較好呢？
他是一個初三的學生，但不要用初三的眼光看待他。
這是他昨日的空間，大概學到了微積分的插值定理那裡。
我聲明一句，這個朋友不是我，也和我沒有任何血緣關係。
以下是他的原話
本來想著考前放鬆一下的......結果不小心陷入了做題的深淵（zorich有毒，我討厭分析學和代數學⑨_⑨） 幸好在考前如願做出來了...... 之所以要把第三也拍下來，就是為了記錄一下構造的絕望吧......（自我感覺構造的難度僅次於發現定理，雖然後者的難度比前者還是高到不知道哪裡去了）。正所謂道生一，一生二，二生三，三生萬物。雖然特例有助於快速證明一些奇奇怪怪的東西，但是對於普遍定理的追求還是蓋過了簡潔......所以還是希望能在一開始就找到能適用於所有的證明形式啊。 再說對這個東西的看法吧，畢竟不像其他做的題一樣熟悉......在觀察結果的時候我才發現這個結果就是拉格朗日中值定理的推廣！於是我就順著拉中推導的思路進行了，還真試出來了。再想到這個東西叫拉格朗日插值多項式......難不成拉格朗日獨自把我做都要這麼久的東西自己想出來了？？？數學家好可怕啊！ 另外，插值多項式是對於插值點數目的推廣，而柯西中值定理是關於分母的推廣。是不是可以把兩者歸一成更廣泛的定理呢？其次埃爾米特插值多項式則是關於點多重插值，那又會產生什麼呢？求列表的dalao解答（萌新瑟瑟發抖）。 另，直面中考了......後天上戰場，我還是去被語文和政治吧，不要不務正業了
旁人當然可以不用初三的眼光看他，但在此之前，首先他自己不能再用初三的眼光看他自己。
他這張紙上，大體是把拉格朗日插值多項式在二次的情況下的誤差估計推了一下。
由於數值積分的書上都有普遍情況的誤差估計，所以只是個小練習。
如果他能獨立推出埃爾米特插值多項式的誤差估計（這個大多數書上沒寫），我就認為他有一點前途。
謝邀：首先，把「老子」的道德經（道生一，一生二）和拉格朗日插值放在一起一點都不酷。而是讓人覺得很尷尬，還動不動略去不證。我覺得那個小孩在往邪路上走。數學要真要正，真的意思就是數學歸數學，別和神神鬼鬼扯到一起，正的意思要學會數學的嚴格化，等嚴格化深入骨髓後才能學會「不難得到」、「略去不證」。不是歧視，你一個初中都沒上過的怎麼指導別人，不怕誤人子弟嗎？這樣吧，讓他好好學習，把英語等其他課程學好，最好考上北大數院。期間參加一些奧數，看能不能得到一些加分，進入比較好的數學本科。千萬千萬不要在沒有專業人士指導的情況下搞什麼數學研究。我說的專業人士是起碼博士學位以上，在sci上發過文章，吃過見過的人。還有，沒事別混什麼貼吧吸引流量，而是多看幾本數學類的書籍，很多數學家也寫過簡單的數學科普書。否則，我估計又是一個「民科」的誕生了。
ps：還有，我高度懷疑「你朋友」就是「你」。你真的覺得自己看懂了ode,概率論了嗎？不是應該把數學分析，高等代數寫上嗎？怎麼直接講ode和抽代了？這樣吧，做幾個課後的證明題，找個專業人士看看你的答案。不過，你這麼屌，應該是看不上什麼「數學分析」的：
ps：歷史上的成功的數學神童這個年紀要麼搞奧數，或者已經上了大學（Terrence Tao, Fefferman, Nash）。所以，你，不，你朋友應該去搞一搞奧數或者直接考少年班。看了題主的描述，這個孩子的家境不好，那麼還是放下「科研」的心，把全部的力量放在中高考上吧，這個才是有點靠譜的上升通道。 不要害怕和逃避競爭，很可惜，那才是「唯一」的出路。用「數學科研」當作敲門磚，在當今這個時代，告訴你吧，那是家裡好幾個教授的人才能幹的事情。
ps:個人認為「道德經」這本書本質上是寫給（封建）統治者的一本治國之術，其實表達的是一個政治理想，而非修道之術，或者現代意義上的哲學書。作為現代的平民，看這個時候要小心，不要產生讀者錯位。
我中學時代中二的證據我早已經一把火燒了。
高中生如果對數學感興趣，可以去看一本數學史。例如Men of Mathematics, E. T. Bell。如果覺得數學史太科普，那可以直接去看《數學手冊》。
首先不邀自來，下面開始我的故事：
我想起了當初的我，我當初就是和你的同學差不多，但我沒有成為「民科」。我依然在研究數學，雖然我從事著別的行業。
我認為，你同學初三時應該重視下中考，學習高等數學這些事，應該等到中考後，再搞也不遲。等他上高中學了集合論或概率論等等，相信他的視野會更加的開闊。
數學對有些人來說，未必冰冷枯燥。至少對於我來說，它是熱火滿心的。我依然記得，我在度過在學校里的看似無聊的學習日子，做題和思考成為了我一個特別的喜好和樂趣。我的很多成就感就是建立在我所能做出的「難題」或者我能想到的巧妙絕招（證明定理或解決問題）。這讓我興奮不已。當我做出別人都做不出來的難題（比如壓軸題，挑戰題等等。）雖然這些所做所為一度讓我的數學老師不高興，但數學是尊重我的這些「工作」。它給予了我很多生活中無法體會到的純真和真理。這讓我特別讓我為數學著迷。
我開始看課外書（與數學有關的），我看到高斯、歐拉、黎曼（我比較欣賞的）、康托爾（最讓我佩服的）等等數學家的貢獻和故事。我開始試著學習那些「很難（實際感覺不難）」的知識，比如微積分和概率論、組合論和集合論，甚至知道了數理邏輯的一些常識和部分定理。我開始用自己的思維和思想來看待數學或與數學有關的事物。
這些做法當時覺得非常大膽和冒進，因為我始終都覺得學生不要過於追隨老師。更不要把課本上的知識進行「聰明」的照搬。知識是共有的資源。但這些資源和你的態度則決定了你的水平高度和眼界深廣。
從另外一個角度來看，不希望你說的他有功利之心，數學應當純潔神聖的。它也不能讓你成為人生贏家等的世俗的眼光下的「成功者」。它很大可能不會改善你的生活狀況。除非你的才華得到欣賞，你的成果得到肯定（這個概率性太小）。
說句看似無關緊要的話，很多人都會說那位同學會成為「民科」（他們應該是厭惡這類人），這裡不對他們進行抨擊反駁，我更傾向於用事實和實力來說話。殊不知，費馬大定理的主角費馬放在今天也是一個「民科」，可是300多年的努力證明他看似無心的幾句結論。可見專業性數學家也不怎麼樣，至少懷爾斯也還值得肯定的。我不知道伽羅華和阿貝爾放在今天的中國「環境」下，會不會被埋沒等。
在這裡，我希望那些人（指他們）不要總是潑人冷水，儘管這很容易。更不要好為人師，喜歡以一個過來人的身份的姿態對你進行虛假說教或者強盜行為的洗腦。這是不道德同時也是很虛偽的。在我的人生經歷中，這樣的人我見的太多了。甚至一抓一大把（裝逼一下）。最後為同學的學習數學的態度，我是一個大寫的贊。但同學要堅持到底，愛因斯坦說，有熱情的堅持總是會有回報的。另外，中國現在的「環境」（偏向學術方面）太差了。所以你需要一個好的平台。現在不是韓愈口下的「千里馬需要伯樂賞識」的社會了，也不是孟夫子書中的「人才要在逆境中造就」的時代。互聯網確實比較深刻改變了社會和很多人的命運，也算是一個好的平台。功利主義的中國社會，讓人失去最初有的信仰，拋掉最基本的純真。商業化的瘋狂發展讓很多人慢慢的丟掉了人性。我們似乎成為了一個個行走的賺錢機器。
十分不理解很多人都在說的「不忘初心，方得始終」到底是一個什麼樣的存在和表現。建議同學多思考多看書。不要固步自封，更不要閉門造車。有時間多聽聽鹿晗的《勳章》，希望數學能讓你開心，擁有一個別樣的人生。
"難道拉格朗日獨自把我做了這麼久的東西自己想出來了？數學家好厲害"
希望別玷污我男神了……
另外，話要好好說，數學歸納是數學歸納，道德經是道德經......別瞎掰扯
比我聰明，畢竟我高一才知道啥是導數，估計能進北大數院了，先抱好大腿難不成拉格朗日獨自把我做都要這麼久的東西自己想出來了？？？
這句話意思是他自認為比拉格朗日厲害？？
是不是我理解出現了偏差，一個初中生為什麼能夠自大到這種程度。
字丑拒。
言語不清拒。
看數符表達，估計是學了卓里奇的微積分....
說了這麼多，連他做的題都沒看見....
如果是沒有別的先決提示，只通過解這一道題低頭悶聲構造了插值公式，我是服氣的，我做不到....
怎麼學？找間好學校，找個好老師，比自學，悶聲刷題強多了。多和他人交流，才能走的更遠。
對數學有興趣當然不妨礙在低年級刷刷一些有趣的「數學定理」，不代表這能學會，學懂。反正我不知道你們刷了卓里奇習題到底是不是真的會了。
反正我被「你」和「你的朋友」關係搞糊塗了，你們年齡差距？有何交集？合著你們都自學了高等數學？一個數分一個概論？你那座城市這麼熱愛數學？(突然發現你也學了卓里奇的數分....你們真的不是同一人？)
ps:關於道生一什麼鬼的想法，可以看出一股濃郁的中二氣息....「向高維推廣」就這麼難說？
我記得我小時候，大概幾年級來著，自己看了負數的相關內容，自以為了解了，後來學到負數的時候發現自己理解有問題，然後花了好長時間才掰回來。後來我再也不提前學啥東西了，因為我知道我不是個天才。
就你朋友目前的水平來看，一摸到了數學分析的門檻，二是整個身子都在門外，三智商比我高，數學能力比我強，四不好好引導的話，可能會走偏，五你朋友真不是啥數學天才，雖然你言語中表達了這個意思，要檢驗他到底是不是，得等他學完到研究生為止的所有基礎數學課，然後看他能不能做出什麼成就，天才不是消耗別人已有的成果快就叫天才的，北大清華這種人一抓一大把，真正的數學天才前提是有紮實的基礎加上過人的洞察力，很多人連第一關都過不去，過去的基本也就告別能被稱為天才的年紀了。
最後，你朋友是有很大潛力的，但是要做足夠好的引導，在學習中老師的引導也很重要，不然還要大學幹啥。
本科985應用數學，目前披著機器學習皮在搞data model的博士狗。
首先呢，我上大一的時候聽過的一句話，不知道你聽過沒有，班主任剛開學跟我們說的（那時候他也剛畢業沒多久，中科大數學本碩博十年連讀）：
「我知道你們很多人讀數學是想成為數學家，但是歷史上的大數學家一般在你們這個年紀就已經做出他一輩子最重要的成果了」
當你覺得自己很牛逼的時候，想想這句話，去谷歌學術上隨便扒幾篇今年的論文來看，再看看你能不能感覺出來論文的工作和插值定理之間有多遠，再想想你在讀大學之前能不能走這麼遠。
我不說什麼裝不裝逼的話了，初三正是中二的年紀，裝裝逼很正常。
另外，喜歡學數學，是好事。
一些想法和建議：
1 Get a life。好好生活，好好吃，好好睡，好好學，好好玩。學數學是個漫長的過程，遠長於你在學校的日子，它很難，而且在很多階段都會讓你受挫，越早學會調節你自己和它相處，越能幫助你今後的學習。
2 對高等數學有興趣的話，去弄數學專業大一的教材：數學分析，高等代數和解析幾何。三本弄不到的話弄前兩本也行。好好學，不懂去問人，打牢高數的基礎讓你今後受益無窮。我個人是飽嘗了線代差的苦果的。
3 或者去買一套吉米多維奇習題集，足夠你一路做到高中了。
4 基礎打完了可以接觸深一點的東西，複變函數啊數值分析啊圖論啊運籌學啊這些，還有偏微分。這些比較考驗你的硬功夫和空間思維能力。
5 我個人，以及不少本科同學的感受是：真正能把非數學和數學專業區分開，在數學課程上的第一個難度分水嶺是抽象代數。前面都覺得輕鬆的話，可以從抽象代數開始入門了。
6 之後可以各個方面都看一看，測度論啊實變函數啊泛函分析啊拓撲啊微分流形啊這些，找個感興趣的好好學一學。
7 或者在抽代之前可以轉向，去統計方向，從概率論與數理統計看起，轉學統計也不錯。
8
a 一個計算生物的博士
b 一個應用數學/pure math的博士
c 一個統計學博士
d 一個超大size的披薩
哪個跟其它3個不一樣？
答案是b，因為其它3個都能餵飽一個3口之家。
忘了從哪裡看的了。
9 我個人的觀點是：數學應該是為了解決問題服務的。所以我不支持太過於執著於某一個方面，如果你某一天喪失了對數學的興趣, that"s fine，可以試試別的東西。不要像我老闆一樣，執著於某個領域太多年，已經失去了研究者的初心，成了某個學派的信徒。
Good luck.
先做幾套高考數學卷，然後你就知道自己還是個井底之蛙了…
如果成功答出140分左右的水平，那麼恭喜你，你有自學高等數學資格了。
看到下面這句話，一下沒忍住笑了
「難不成拉格朗日獨自把我做都要這麼久的東西自己想出來了？？？數學家好可怕啊！」
原諒我笑點低。。。。
說句可能會傷你朋友心的話，從目前他的筆記來看，還沒入門。
高等數學的「高等」，不是因為其比中等數學複雜。而是高等數學在研究的是「運動的量」而不是「靜止的量」。學習高等數學，最重要的是培養對「運動的量」這一含義的深刻理解，建立起對微積分研究對象的充分認識。
學習，既要學術，也要學道。先打好初中高中的基礎，理解數學中解決的問題那些美妙的思維（演繹法），再去學習高等數學不遲。
另外，關於你對拉格朗日和自己的對比，希望你過幾年後能認識到自己的無知。
學好數學其實是學好抽象能力
看到一個知識點，並且運用，只是學習能力的體現，還不能代表數學能力的體現。如果真的是對數學很感興趣，可以嘗試去理解難以理解的東西，並且可以解釋給別人聽。
有幾個很簡單的問題可以嘗試一下
什麼是函數？
為什麼數學需要函數？
我敢說，很多高中生都不能很好的回答(不是指數上的概念，試想給沒怎麼讀過書的人該如何解釋)。
對於初中生，應該首先培養思維能力，當大腦對於全部知識點之間的關係都很清楚，才有可能站在全局的角度抽象整體。
再一天之後，選擇匿名。我之前寫的那麼多內容，刪掉怪可惜的，給各位看客笑笑看看，當個參考就罷，不必太過認真對待了，這個問題已經有點失去意義了。
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一天之後回來，發現這個問題已經被套上［民科］的分類了。
真正妥妥的學過數學的人都知道，任何在系統學數學之前所有讓你認為自己很牛逼的數學知識定理都是沒用的。
我不知道別人是什麼樣的，至少我曾經是這樣的，我周圍的同學們曾經也是這樣的。
我們也曾經在連什麼是ODE都沒學清楚的時候在自己的小本本上畫黎曼曲面，覺得自己很牛逼。回頭看看那時候的自己覺得自己當初真的鯊嗶。
你的這位兄弟搞的什麼道生一，一生二是什麼我不知道，插值定理是什麼我也不清楚［高等數學我是用英語學的］。但是我知道在學微積分之前，微積分的定義要搞懂。
要搞懂微積分，你得搞懂極限的定義。
極限的定義我想這位老兄根本講不清楚。這是我們大一第二學期數學分析法的第一課，學了一個月。
至於再高等一些的微積分，ODE得搞清楚，power theory也要搞清楚。想搞清楚這些，得有一定對複數的理解，以及一些起碼的矩陣相關知識。
還柯西中值定理，數學分析法中的函數的概念和連續性的定義還沒搞清楚搞什麼中值定理。
這些東西我想你的這位老兄初三一定沒有學過。
搞圖上那些很fancy看起來很牛逼的東西也就唬唬那些沒學過的人，發發朋友圈發發空間裝裝逼。
想真正學高等數學，別說初中的數學，國內一般的高中數學都不夠打基礎。
另外我不覺得略去不證會顯得自己很厲害，在我眼裡這是不認真對待數學邏輯的表現。我在學習數學分析法的時候導師說過，能夠略去不證的只有之前證明過的東西，或者無法證明的公理。
還有，你要是真的為這位老哥著想，告訴他：
1.要麼去練字，要麼去學LaTeX。
2.端正他的態度，在學會那些基礎的東西之前別發朋友圈曬自己的［見解］
3.如果他真的那麼厲害，找一本高等數學的教材，翻開看第一章，看得懂，往下走，看不懂，回去讀高中數學。
4.好好學習，起碼中考考好，再考慮去個好大學。
如果言語過分尖銳請原諒。
另外我越來越懷疑這位老哥就是題主自己。如果他不是題主，那題主聽我一言，與其在這裡維護他，不如把大家的建議轉給他，點醒他，這才是為他好不是么，這不也是題主的最初初衷么？在大家的回答下一味維護他是什麼道理？看到「微積分的插值公式」就笑了，說說你看了哪本教材。
好好學習其他科目，上重點高中，上重點大學。
如果高中有興趣，可以試試參加全國數學聯賽，如果有天賦就能一路殺進IMO, 到時候走保送這條路也行。
如果發現自己連省隊都進不了，基本上就是沒什麼天賦了，好好高考吧。還能怎麼學
去圖書館 翻開一本書 開始看
看不懂 換一本能懂的
不懂的名詞 自己翻書上網查
別總想著問老師 剛開始學 那個時候提出的問題幾乎問不到想要的答案
可能一開始學的很雜
等看的書多了 自己就知道該怎麼學了
By the way…這樣記筆記就只是抄書而已，他其實什麼都沒懂，建議一次性看完一章或兩章的內容，然後再看第二遍，等第三次看這兩章的內容的時候再動筆記筆記
自學能力才是第一生產力
關於那個道生一、一生二我倒覺得沒什麼，每個人記筆記有自己的方法；但是從你拍的兩張照片（其實是同一頁）實在是看不出來什麼東西，只是把課本抄了一遍而已。
你說你們談論過資訊理論和控制論，對於一個初中生來說概率論學了嗎，拉式變換學了嗎，這些大學才開設的前置知識都沒學過你們怎麼談資訊理論和控制論？別的不說，他可能連對數都沒學過，連信息量的定義可能都很難看懂（如果沒有自學的話）。
真的對數學感興趣，就按部就班的來，如果覺得課堂上的內容吃不飽就去參加對應等級的數學競賽，有的是能虐人的大神。還沒學走就想學爬，這叫做中二病。隨便去一個高中，想搞大統一理論的理科生一抓一大把。本來我最近看書看的心力憔悴，工作的時候根本沒有時間來回答知乎。
但是看見這個問題我真的忍不住（強忍住笑）
湊不要臉得來湊個熱鬧
真是好久沒有見到過這麼清新脫俗的描述了
:-(我真的不行了要笑抽了
我只想說幾句
你想學數學我沒意見，你真的是天才我也沒意見，你想裝逼我沒意見
但是你這個措辭能不能成熟一點，要裝逼也該裝學術逼，你要穩重一點，比如上網抄幾個誰也看不懂的公式什麼的，說話不要帶這麼多的語氣詞，突然就驚嘆一下。也不要突然冒出來一堆閑雜人等，我們根本就不關心什麼.......血緣關係（莫名喜感 ）。我看總覺得你說話經常就開始自言自語，然後開始賣萌，總感覺這套路不對，為什麼讀著讀著，總有一種莫名的........中二的味道
大家都散了吧，題主就是來賣萌的
正經說一句，題主這個年紀，好好考試，好好看看雜誌看看小說，多出去玩玩，談個小女朋友，年紀輕輕的，想啥呢！（不知道怎麼的莫名的東北口音）怎麼這麼多想法呢。
不要被知乎上的這幫人帶壞了，這幫人的下場都是單身26年，好好聽爸爸媽媽的話。
天才總會發光的，你有天賦，到了大學也不遲 ，你這個年紀我也經歷過，你要漸漸的懂得要內斂一點，你想向世界證明你自己我懂，但是你該是什麼樣就是什麼樣，為什麼一定要向別人證明什麼呢？
年紀輕輕的，好好玩吧，這麼好的時光，拿來學大學的東西，太浪費了。你可只有一個青春，青春就該過的像孩子一點。
你的這個朋友就是你自己吧
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