一個具有介值性的函數是否一定存在原函數？

達布中值定理的逆定理是否成立？如何證明？

謝邀。

我給其他人解釋一下什麼是達布中值定理：一個函數 可導，那麼對於任意 ,可以找到 使得 ，這個性質可以說明任何一個函數的導數（如果存在）是「幾乎」是連續的。 這個性質叫達布性質。我們把具有達布性質的函數稱為達布函數。設 當 而 當 ，這個函數不滿足達布性質，他不可能有原函數，但是它黎曼可積。換句話說，我們給出了一個最簡單的黎曼可積但是原函數不存在的函數。

題主的問題就是一個函數如果有達布性質，那麼它一定具有原函數嗎？一個很自然的問題。

這個問題有兩個解法，一個優美的間接方法，一個暴力的直接方法。：第一個優美的方法：任何函數都可以寫成兩個達布函數的和，如果每個達布函數都有原函數，那麼任何函數都有原函數，這是顯然不可能。下面的鏈接包含了完整的證明，裡面需要你學過一點實分析。我也附上了完整的證明。其實挺難的。

https://mathproblems123.files.wordpress.com/2010/07/strange-functions.pdf

第二個「暴力」的方法： 有人構造出了一個函數具有達布性質，但是原函數不存在，這個例子由conway構造出來，學過泛函分析的人知道這位大師。

Conway base 13 function

對了，這個例子我還得解釋一下，這個函數特點是無處連續的，但是用Baire綱定理可以證明，一個函數的導數必須在某個地方是連續的(可以證明連續點全體必須是一個稠密的集)，自然不可能無處連續。這個結果的完整論述需要學過泛函分析，我不清楚題主學過沒有。

謝邀。首先給樓上點贊。

從題主寫那麼多來看應該是沒學過泛函分析的，遑論什麼第一類第二類Baire函數了。但是哪怕沒學過更進一步的知識，有感覺還是很重要的。比如這個問題，我們可以很簡單的構造一個反例：

究其原因，就是一個函數點點可導是一件很強的事情，這種函數應該很少才對，所以反過來，一個函數能成為另一個函數的導數也是一件很強的事情；但Daroboux性質很弱。而且另一方面導函數給定的話，原函數basically就是導函數的積分，這基本上是唯一確定的東西。所以單看題主這個問題就很沒意思真的……所以比較好的過程應該是先問出這個問題，然後自己隨隨便便就解決了，然後進一步問是否存在Darboux函數不是導函數模掉零測集(這個也是平凡的)或者點點不連續或者不可測。那麼樓上的答案就能回答這個問題了。