∫(1/(1+x2))dx等於arctanx還是arctan((1+x)/(1-x))?

12-27

可以看到後二者求導都等於1/(1+x2)啊

嗯，你說的很對，你知道為什麼嗎
不定積分的結果既不是 $arctan x$ ，也不是 $arctan frac{1+x}{1-x}$ ，而是 $arctan x + C$
因為
$an(u + C) = frac{sin u cos C + cos u sin C}{cos u cos C - sin u sin C} = frac{ an u + an C}{1 - an u an C}$
取 $C = frac{pi}{4}$ ，有
$an (u + frac{pi}{4}) = frac{1 + an u}{1 - an u}$
所以
$arctan frac{1 + x}{ 1- x} = arctan x + frac{pi}{4}$
它們只相差一個常數
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準確來說並不是在所有的定義域上都相差 $frac{pi}{4}$ ，由於arctan函數值域在 $(-frac{pi}{2}, frac{pi}{2})$ 之間，對於x &> 1的部分來說，其實是相差了 $-frac{3pi}{4}$ 。注意 $arctan frac{1+x}{1-x}$ 的形式，它在x = 1的地方是間斷的，所以它不是一個特別好的原函數，如果用作定積分，而定積分的範圍包含了x = 1，這個原函數是不能用的。
但是在複數域上它就有獨特的用處了，在複數域上， $arctan z$ 在無窮遠點是不解析的，而 $arctan frac{1+z}{1-z}$ 在無窮遠點是解析的，但在z = 1處不解析。如果想要處理 $|z| > 1$ 的包含無窮遠點的域，選用這個原函數就有好處。本質上來說 $frac{1}{1 + z^2}$ 在i, -i有奇點，所以導致了這個現象。在複數域上，這兩個原函數同樣在i, -i處都是不解析的。
當然這也不是唯一的辦法，將這個奇點移到任何地方都是可以的，因為 $arctan frac{z + c}{1 - zc}$ 都是原函數。

$u=arctan x,x= an u$
$v=arctan(frac{1+x}{1-x}), an v= frac{1+x}{1-x}=frac{1+ an u}{1 - an u}$
$an u - an v = -1 - an u an v$
$frac{ an u - an v}{1 + an u an v}= an(u-v)= -1$
$u-v=C$

高數期末考試記得帶瓶如圖所示飲料就不會忘記+c了

求不定積分的時候帶上C是個好習慣

心疼題主

不定積分啊都有一個常數項，兩個結果差一個pi/4，都行的

逗比了題主哈哈哈

你們都跟我走一趟！這是不是美帝國主義的間諜密碼！！給我說！！