如下求極限到底是哪一步錯了？

12-27

如下：
$lim_{x ightarrow 0}{left( frac{ln(1+x)-x}{x^2} ight)} = lim_{x ightarrow 0}{ frac{ln(1+x)}{x^2}} - lim_{x ightarrow 0}{frac{x}{x^2}} = lim_{x ightarrow 0}{frac{x}{x^2}} - lim_{x ightarrow 0}{frac{x}{x^2}} = 0$

用極限的運演算法則拆開，再用等價無窮小替換乘除因子？
我認為拆開了就獨立了，不然極限的運演算法則有什麼意義？

極限的運演算法則成立前提是每一項的極限存在，即屬於擴充實數系 ${-infty} cup mathbb{R} cup {+infty}$ ，並且這些項的運算組合自身也在屬於擴充實數系。

你不能把一個收斂的極限拆成兩個不能存在的極限啊……
正確的方法，洛必達法則，泰勒級數，挑一個你喜歡的

$lim(a+b)=lim a+lim b$ 成立的條件是 $lim a$ 和 $lim b$ 都存在，並不是隨便一個 $a+b$ 都能拆開的。

而你等式右邊的兩項 $lim _{x ightarrow0} frac{x}{x^2}$ 是不存在的

你拆出來的兩項極限都不存在。

只有當等號右邊的極限存在並且不為無窮時才成立

又到了午休時刻，今天再來解題。
我們來看題主的題該如何求解：
題目是： $lim_{x ightarrow 0}{frac{ln(1+x)-x }{x^{2} } }$
我們先來看錶達式：
$frac{ln(1+x)-x }{x^{2} }=frac{1}{x^{2} }ln(1+x)-frac{1}{x} =frac{1}{x} ln(1+x) ^{frac{1}{x} } -frac{1}{x}$
注意這裡的：
$lim_{x ightarrow 0}{ln(1+x)^{frac{1}{x} } } =ln[lim_{x ightarrow 0}{(1+x)^{frac{1}{x}} }]=lne=1$
所以原式變為：
原式= $lim_{x ightarrow 0}{(frac{1}{x} ln(1+x) ^{frac{1}{x} } -frac{1}{x} )} =lim_{x ightarrow 0}{(frac{1}{x} -frac{1}{x})} =0$
解數學題很有癮頭。一時間，學校里的老師們，還有同事們，大家都在解題高潮中。有趣！

剛剛幾位老師一起討論了一下，有一個新解法，如下：
$lim_{x ightarrow 0}{(frac{ln(1+x)-x}{x^{2} } )} =lim_{x ightarrow 0}{frac{d(ln(1+x)-x)}{d(x^{2}) }} =lim_{x ightarrow 0}{frac{frac{1}{1+x}-1 }{2x} } =lim_{x ightarrow 0}{frac{-1}{2(1+x)} } =-frac{1}{2}$
也就是許多知友們在評論區的採用洛必達法則，看來更有道理。
果然眾人拾材火焰高，贊！
不過，要核一下洛必達法則成立的條件是否滿足。看來下午不行了，我馬上要上課。晚上再說。

錯在倆 0/0

$ln (1+x) = x -frac{1}{2} x^{2} +o(x^{2})$

$lim_{x ightarrow 0}{frac{ln(1+x)-x}{x^{2}}} =lim_{x ightarrow0}{frac{-frac{1}{2}x^{2}+o(x^{2})}{x^{2}}}= -frac{1}{2}.$

上面這是將對數函數Taylor展開的方法。或者l"Hospital法則求導兩次得
$frac{ln(1+x)-x}{x^{2}}sim frac{frac{1}{x+1}-1}{2x}sim frac{-frac{1}{(x+1)^{2}}}{2}$
也等於 $-frac{1}{2}.$

謝自己邀，注2:

麥克勞林展開，ln(1+x)=x-0.5x*x+o(x*x)
展開到次數和分母相同即可。
然後帶進去就是(x-0.5*x*x+o(x*x)-x)/(x*x)=-0.5

這種極限題很重要的一點是看分母的次數。無窮小等價的條件是高階無窮小量可以忽略。由於分母是高次，有些量就不是高階無窮小，就不可以忽略不計。

洛必達法則。分子分母都趨於0的，滿足條件。分子分母同時求導。分子求導為(1/(1+x)-1)，分母為2x。化簡得-0.5*(1/(1+x))。x趨於0，所以結果為-0.5

極限拆開要看兩個極限是不是存在啊
還有
這個直接用泰勒展開式啊啊啊啊啊啊
卧槽
都要11月了
親
這怎麼去考研啊

補藥自來。
題主的問題出現在對極限四則運算的運用算了。
$lim_{}{f(x)} +lim_{}{g(x)} =lim_{}({f(x)+g(x)} )$ ，前提是 $lim_{}{f(x)}$ 和 $lim_{}{g(x)}$ 同時存在的話。
所以題主的問題在第一步。

無窮小量的階數不一樣，題主好好研究下泰勒展開就明白了

泰勒級數展開吧，，，口算結果啊

不知道題主最後的0是怎麼得出來的……

$lim_{x ightarrow 0}{frac{x}{x^2} } -lim_{x ightarrow 0}{frac{x}{x^2} }$ 並不是等於0.

$lim_{x ightarrow 0}{frac{x}{x^2} }$

一邊趨向於負無窮，一邊趨向於正無窮，很明顯是一個無解的情況

以上內容摘自維基百科（wikipedia.org 的頁面）

那麼這道題應該怎麼解呢？

1.洛必達法則

首先驗證是否符合條件

$0^2=0$ 並且 $ln(1)+0 = 0$
是符合的

分子部分求導可得出 $frac{1}{x+1} -1$
分母部分求導可得出 $2x$
上下乘x+1得 $frac{1-(x+1)}{2x(x+1)} =frac{-x}{2x(x+1)}=frac{-1}{2(x+1)}$
於是直接帶入即可得 $frac{-1}{2(1)} =-frac{1}{2}$

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2.麥克勞林展開

式子就會變成 $frac{x-frac{x^2}{2} +frac{x^3}{3}-frac{x^4}{4}+...+frac{(-1)^{n-1}*x^n}{n}-x}{x^2}$
x消掉，化簡得 $-frac{1}{2} +frac{x}{3}-frac{x^2}{4}+...+frac{(-1)^{n-1}*x^n}{n}$
當x趨近於零時，易得本式等於 $-frac{1}{2}$

極限分子分母加減不能分開只有乘除可以直接用等價無窮小

倒數第三步是無窮減無窮，你敢肯定這倆無窮是同階的嗎？請複習第二節內容。

我覺得直觀的理解就是「精度」對不上。應該把In（1+x）展開到x^2的泰勒級數（因為分母上是x^2，你可以把In（1+x）等效替代成一個冪級數和，因為x^3以後在x^2做分母時-&>0，所以可以略去。不知道我這樣解釋清不清楚（大霧）。

學渣的建議，搞不出來發現有錯就洛必達一下准好使