為什麼狄利克雷函數的表達式可以這樣寫，怎樣證明？

12-27

這個蠻有意思的，先看裡面一層極限，
當 $k!x$ 為整數時， $cos(k!{pi}x)=pm 1$ ，因此 $cos^{2j}(k!{pi}x)=1$
（那個2j應該是cos整體作為底數），
因此 $lim_{j->infty }cos^{2j}(k!{pi}x)=1$ $lim_{j->infty }cos^{2j}(k!{pi}x)=1$ ；

當 $k!x$ 不為整數時， $|cos(k!{pi}x)| < 1$ ，
因此 $lim_{j->infty }cos^{2j}(k!{pi}x)=0$

也就是說 $k!x$ 為整數時裡層極限為1，否則為0

再看外層極限，
當x是有理數時，記 $x=frac{m}{n}$ ，其中m與n互質，
則當 $kgeq n$ 時， $n|k!$ ，因此 $k!x = frac{k!m}{n}$ 為整數，
因此 $k ge n$ 時， $lim_{j->infty }cos^{2j}(k!{pi}x)=1$
因此 $lim_{k->infty}lim_{j->infty }cos^{2j}(k!{pi}x)=1$
而當x為無理數時，很容易證明 $forall k, k!x otin N$ （否則與x可以寫成兩個整數的商，與x為無理數矛盾）
因此 $lim_{j->infty }cos^{2j}(k!{pi}x)=0$
因此 $lim_{k->infty}lim_{j->infty }cos^{2j}(k!{pi}x)=0$
合併起來就有：D(x)在x為有理數時為1，無理數時為0

樓上已經說的很好了，但我還是想來說說我的理解。

先看下面這樣一個數列：

-1，1，-1，1，-1，1，-1，...

初中的時候我們為了描述它,通常使用的是 ${a}_{n}={left(-1 ight)}^{n}$

到了高中,隨著三角函數的深入,我們知道對於餘弦函數可以取到1和-1，於是我們可以用 ${a}_{n}=cos npi$ 來描述它，當 $n$ 為奇數時 $cosnpi$ 等於-1，為偶數時 $cosnpi$ 等於1。

好，回到這個表達式本身： $Dleft(x ight)=lim_{k ightarrow infty}left(lim_{j ightarrow infty}{cos}^{2j}left(k!pi x ight) ight)$

對於任意有理數 $x$ ，我們都可以寫成 $x=frac{m}{n},n eq 0$ 且 $m$ 與 $n$ 互素。當 $k ightarrow infty$ 時， $x|k!$ ，此時 $k!x in Z$ ,則 $cosleft( k!pi x ight)$ 的值只能是 ${1,-1}$ ，又由於它的指數含有因子2，所以 $lim_{k ightarrow infty}left(lim_{j ightarrow infty}{cos}^{2j}left(k!pi x ight) ight)=1,x in Q$

對於任意無理數 $x$ ， $k!x otin Z$ ，由余弦函數的性質，我們知道 $0<|cosleft(k!pi x ) ight|<1$ ,又由於指數函數 $f(x)={a}^{x}$ 當 $0 時在 <img src=$ 上單調遞減，當 $j ightarrow infty$ 時， ${cos}^{2j} left(k!pi x ight) ightarrow0$ ,所以 $lim_{k ightarrow infty}left(lim_{j ightarrow infty}{cos}^{2j}left(k!pi x ight) ight)=0,x otin Q$ 。

綜上， $Dleft(x ight)=lim_{k ightarrow infty}left(lim_{j ightarrow infty}{cos}^{2j}left(k!pi x ight) ight)Leftrightarrow Dleft(x ight)=egin{cases} ext{1 } xin Q \ ext{0 } x otin Q end{cases}$

附上近似圖像一張

這個很有趣的。首先你要知道有理數是2個整數相除的形式，而無理數不能寫成2個整數相除。k！是k的階乘，就是1×2×...×k。如果k趨於無窮那麼k！就是所有整數的成乘積。所以x如果是有理數那麼xk！就是整數。cos pi k！x的值只能是±1，外面再乘一個2次方變1。然後就一直是1了。反之x是無理數，xk！一定不是整數，cos pik！x就不能等於+-1，根據餘弦函數的值域，cospik！x就只能取絕對值小於1的數了，那麼在外面在來個2j次方，j趨於無窮，最後一定是0啊。