為什麼狄利克雷函數的表達式可以這樣寫,怎樣證明?
12-27
這個蠻有意思的,先看裡面一層極限,
當為整數時,,因此
(那個2j應該是cos整體作為底數),
因此;
當不為整數時,,
因此
也就是說為整數時裡層極限為1,否則為0
再看外層極限,
當x是有理數時,記,其中m與n互質,
則當時,,因此為整數,
因此時,
因此
而當x為無理數時,很容易證明(否則與x可以寫成兩個整數的商,與x為無理數矛盾)
因此
因此
合併起來就有:D(x)在x為有理數時為1,無理數時為0
樓上已經說的很好了,但我還是想來說說我的理解。
先看下面這樣一個數列:
-1,1,-1,1,-1,1,-1,...
初中的時候我們為了描述它,通常使用的是
到了高中,隨著三角函數的深入,我們知道對於餘弦函數可以取到1和-1,於是我們可以用 來描述它,當 為奇數時 等於-1,為偶數時 等於1。
好,回到這個表達式本身:
對於任意有理數 ,我們都可以寫成 且 與 互素。當 時, ,此時 ,則 的值只能是 ,又由於它的指數含有因子2,所以
對於任意無理數 , ,由余弦函數的性質,我們知道 ,又由於指數函數 當 上單調遞減,當 時, ,所以 。
綜上,
附上近似圖像一張
這個很有趣的。首先你要知道有理數是2個整數相除的形式,而無理數不能寫成2個整數相除。k!是k的階乘,就是1×2×...×k。如果k趨於無窮那麼k!就是所有整數的成乘積。所以x如果是有理數那麼xk!就是整數。cos pi k!x的值只能是±1,外面再乘一個2次方變1。然後就一直是1了。反之x是無理數,xk!一定不是整數,cos pik!x就不能等於+-1,根據餘弦函數的值域,cospik!x就只能取絕對值小於1的數了,那麼在外面在來個2j次方,j趨於無窮,最後一定是0啊。
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