理想有什麼幾何意義？

12-27

來一個不太一樣的看法，理想「測量了」奇異性。

首先，我們考慮一個復射影流形 $X$ 跟一個理想層 $mathfrak asubsetmathcal O_X$ 。根據Hironaka的奇點消解定理，存在一個log resolution $f:X$ ，使得 $mathfrak acdotmathcal O_{X$ ，其中 $F=sum r_i F_i$ 是一個SNC（simple normal crossing）。設 $c$ 是一個有理數，我們定義乘子理想層 $mathcal J(mathfrak a^c)$ 如下

$mathcal J(mathfrak a^c)=f_*mathcal O_{X$ $={hinmathcal O_X|ord_{E_i}f^*hgeq [cr_i]-b_i}$
其中， $K_{X$ $=sum b_i E_i$ 是相對典範除子， $[ccdot F]:=sum[ccdot r_i]F_i$ 。

根據定義我們很容易看到，存在一列有理數 $0leq ell_1< ell_2<cdots<ell_n<cdots$ ，使得 $mathcal J(mathfrak a^c)$ 在區間 $[ell_i,ell_j)$ 上是常值，我們稱這一系列有理數為跳躍數（jumping number）。我們將 $ell_1=sup{cinmathbb Q|mathcal J(mathfrak a^c)=mathcal O_X}$ 稱為 $mathfrak a^c$ 的lct（log canonical threshold）。最重要的情形就是當 $mathfrak a$ 是由一個除子 $D$ 所定義。此時，我們很容易看到，除子 $D$ 越「奇異」，那麼對應的 $ell_1$ 就越小。此時可以引出非常多的在MMP（minimal model program）中非常重要的概念，比如：

設 $X$ 是一個復射影流形， $D$ 是 $X$ 上的一個 $mathbb Q$ -cartier Weil除子，那麼

$(X,D)$ 稱為klt (Kawamata log terminal)，如果 $mathcal J(D)=mathcal O_X$ 。

$(X,D)$ 稱為lc（log canonical），如果對於任意的 $0<epsilon<1$ ，我們有 $mathcal J((1-epsilon)D)=mathcal O_{X}$ 。

實際上，我們可以看到 $(X,D)$ 是klt等價於 $D$ 的lct大於1，而 $(X,D)$ 是lc等價於lct大於等於1。
上面的代數幾何的定義比較簡潔漂亮，但是可能第一次看到還不太容易看出來幾何上的意思，現在我們考慮更加解析的對象。現在對於任何除子 $D=sum c_i D_i$ ，設 $D_i$ 的局部方程為 $g_i$ ，我們局部定義一個多重次調和函數(psh function)如下：
$varphi^D=sum c_ilog|g_i|$
我們定義解析乘子理想層如下：

$mathcal J^{an}(D)={fin mathcal O_X||f|^2e^{-2varphi^D}$ 局部可積 $}$

如果我們假設 $sum D_i$ 是SNC的，那麼很容易看出來這個定義跟之前代數幾何的定義是一樣的。實際上，我們可以發現這個定義不需要對由除子定義的多重次調和函數定義，對於任意的函數都可以定義對應的理想層（但是對太一般的函數我們並不能期待有什麼特別好的性質）。所以我們主要考慮由多重次調和函數定義的理想層，即

設 $varphi$ 是 $0in Usubsetmathbb C^n$ 上的多重次調和函數，我們定義 $mathcal J(varphi)_0={finmathcal O_{X,0}| |f|^2e^{-2varphi}$ 局部可積 $}$ 。

相似於代數幾何的情形，我們可以對應的 $varphi$ 的lct，此時，我們也稱之為 $varphi$ 在 $0$ 點處的complex singularity exponent，準確的定義如下：

設 $varphi$ 如上所示，我們定義 $varphi$ 在 $0$ 點處的complex singularity exponent（或者稱為local log canonical threshold）為
$lct_0(varphi)$ = $sup{cinmathbb R|e^{-2cvarphi}$ 在 $0$ 處局部可積 $}$

當 $varphi$ 是由除子定義的多重次調和函數時，我們可以看到這個其實就是之前代數幾何中lct定義的局部版本，特別地：

設 $D$ 是復射影流形 $X$ 上的除子， $varphi^D$ 是對應的局部多重次調和函數，那麼
lct $(D)$ $=inf_{xin X}lct_x(varphi^D)$ 。

注意到，我們這裡沒有提到一個需要的事實，就是局部lct跟局部理想是不隨除子的局部方程改變的，即上面使用多重次調和函數定義除子的乘子理想層跟lct都是良定義的。注意到，之前我們提到代數幾何中定義乘子理想時的跳躍數（jumping number）時，我們知道對應乘子理想層的分段區間是個右開區間。那麼對於一般的多重次調和函數定義的乘子理想我們是否還有這樣的性質呢？這就是著名的Demailly強開猜想（strong openness conjecture）。
設 $varphi$ 是 $0in Usubsetmathbb C^n$ 上的多重次調和函數，定義 $varphi$ 在 $0$ 點的乘子理想如上所示，記為 $mathcal J(varphi)$ 。此外，我們定義另外一個理想如下

$mathcal J_+(varphi)=cup_{epsilon>0}mathcal J((1+epsilon)varphi)$ 。

現在我們可以談到關啟安跟周向宇證明的強開猜想了。

Demailly"s Openness Conjecture（2013 Bo Berndtsson）: 如果 $mathcal J(varphi)=mathcal O_{U,0}$ ，那麼 $mathcal J(varphi)=mathcal J_+(varphi)$ 。

Demailly"s Strong Openness Conjecture (2014 關啟安，周向宇)：對任何的多重次調和函數，我們均有 $mathcal J(varphi)=mathcal J_+(varphi)$ 。

最後，我們談及到另外一個在復幾何中非常重要的測量多重次調和函數奇異性的量，即Lelong數。

設 $varphi$ 是 $0in Usubsetmathbb C^n$ 上的多重次調和函數，設 $z$ 是對應的坐標函數。我們定義 $varphi$ 在 $0$ 點的Lelong數為
$u(varphi,0):=liminf_{z o 0}frac{varphi(z)}{log|z|^2}$ 。

對於Lelong數跟之前定義的復奇異指數（complex singularity exponent or lct），我們有如下的關係。

（Skoda）： $frac{1}{n} u(varphi,0)leq frac{1}{lct_0(varphi)}leq u(varphi,0)$ 。

最後的最後，讓我們提及另外一個定理，它跟強開猜想可以說是關於多重次調和函數奇異性最重要的兩個定理。

Siu"s Semi-continuity Theorem（1973 Siu）：設 $X$ 是一個複流形， $varphi$ 是 $X$ 上的一個多重次調和函數。我們定義Lelong上 $c$ 水平集（Lelong super-level $c$ set）為
$E_c(varphi):={xin X| u(varphi,x)geq c}$ 。
那麼對於任意的 $c>0$ ， $E_c(varphi)$ 是最多可數個解析集的交。

最後的最後的最後，Demailly的強開猜想跟Siu的半連續性定理都可以看成Ohsawa-Takegoshi延拓定理的應用，所以最後我們敘述一個簡單形式的Ohsawa-Takegoshi延拓定理吧。

（Ohsawa-Takegoshi）:設 $Dsubsetmathbb C^n$ 是一個擬凸域， $V=Hcap D$ ，其中 $H$ 是一個余維數為 $k$ 的子空間。設 $varphi$ 是 $D$ 上的多重次調和函數。設 $fin A^2(V)$ 是 $V$ 上的 $varphi$ 加權 $L^2$ 可積全純函數，即 $int_V |f|^2e^{-varphi}$ 有界，那麼存在 $f$ 在 $D$ 上的全純延拓 $F$ ，使得
$int_D |F|^2e^{-varphi}leq sigma_kint_V|f|^2 e^{-varphi}$
其中 $sigma_k$ 是 $mathbb C^k$ 中單位球的體積。

PS.沒有idea的時候瞎寫……

個人的一點愚見，就說說素理想，素理想 $mathfrak{p}$ 在 $X=Spec(R)$ 裡面是相當於點的地位。任意 $fin R$ 相當於在每個 $mathfrak{p}$ 上的一個"函數"，準確地說是映到 $R/mathfrak{p}$ 上，譬如說 $fin R = k[x,y]$ ,映到每個極大理想 $((x-x_0),(y-y_0))$ 就相當於在這點的函數值 $f(x_0,y_0)in k=k[x,y]/((x-x_0),(y-y_0))$
而到一個普通的素理想上，比如說 $(x^2+y^2-4)$ ,就相當於變成了限制在這個圓上的多項式函數 $f^*in k[x,y]/(x^2+y^2-4)$ 。可以看出這些點不都是閉的(在Zariski拓撲下)。
然後就是局部化，由於是素理想，於是 $S=R -mathfrak{p}$ 就是一個mutiplicative subset，於是就來局部化，有趣的是， $Spec(S^{-1}R)$ 的結構剛好同胚於 $X$ 中所有 $mathfrak{p}$ 的鄰域之交(Zariski拓撲下)。於是呢 $S^{-1}R$ 的地位就相當於一個sheaf的stalk，對一般的scheme來說就是 $O_{X,x}$ 的感覺。
初學這些東西，有謬誤敬請指出。

素理想對應仿射概形上的點，極大理想對應其closed point，一般的理想對應其closed subscheme

話說理想這個概念是數論里來的：眾所周知整數有唯一的素數分解，然而進行了代數擴張後分解就不再唯一，例如6在 $mathbb{Q}(sqrt{-5})$ 里有兩種方式分解為代數整數：2*3或 $(1-sqrt{-5})(1+sqrt{-5})$

為了解決這個問題，Kummer引進了理想數(ideal number)的概念，而後演變為如今的理想。今天我們知道在代數整數環(或更一般的Dedekind整環)上雖然沒有唯一素數分解，但是有唯一的素理想分解 (uniqueness of prime ideal factorization)，可看作素數分解的「正確」推廣

從幾何的角度看，代數整數環對應的幾何圖像是一個one-dimensional regular Noetherian scheme, 素理想就是上面的點。在function field的類比就對應光滑代數曲線，基域為複數域時就是黎曼面

很多人學現代數學死在半路的原因就是固執地追求幾何直觀。很多東西不學個三五年是很難有形象的把握的，第一步要做的是把概念弄清，空想無益。
愚見。

學了理想，學了點代數幾何。

思考了下這個問題，有種豁然開朗的感覺。高票說的很好啊。

我只是想感謝題主。

這問題要不是放到數學標籤里，我真得和題主談談人生了。

理想沒有幾何意義，只有陰影面積。

狹義相對論的時空結構跟一套環代數系統對應著，這套環的理想倒是有很明顯的物理跟幾何的含義：物理上，理想跟光速不變對應著，幾何上，理想跟洛倫茲變換的特徵矢量對應著。

參考：知乎專欄