請問數學上有哪些令人讚歎的，簡潔的名言或者結論？

12-27

比如說，泰勒，函數都是冪函數疊加出來的等等。
請問還有其他令人讚歎的，簡潔的名言或者結論呢？

$int_{partial D}omega=int_D domega$ 寫多少遍都不厭的公式

感謝邀請 ~~
題目中既然提到了簡介的名言，那麼我就先列出一些讀了之後我自己有感覺的。

"What we know is not much. What we do not know is immense.」 —— Pierre-Simon Laplace

「Mathematics compares the most diverse phenomena and discovers the secret analogies that unite them.」 —— Joseph Fourier

「The shortest path between two truths in the real domain passes through the complex domain.」 —— Jacques Hadamard

「In most sciences one generation tears down what another has built, and what one has established, another undoes. In mathematics alone each generation adds a new storey to the old structure.」 —— Hermann Hankel

以上的話選自《Integral Transforms and Their Applications》。在這本書里，每一章的開頭都會列出一些數學家的話。

說到令人讚歎的結論，最近正好接觸到一個新東西。在這裡推廣一下，希望有興趣的人可以研究一下，應該是很有前途的方向。2014年，Springer出版了一本有關名為《Bernoulli Numbers and Zeta Functions》書的最後有一份Don Zagier寫的題為 Curious and Exotic Identities for Bernoulli Numbers 附錄。在這份附錄中，Zagier列出了一個（實際上是一組）Bernoulli numbers生成函數的連分式展開：
$sum_{n=1}^{infty}B_{2n}(4x)^n=cfrac{x}{1+frac{1}{2}+cfrac{x}{frac{1}{2}+frac{1}{3}+cfrac{x}{frac{1}{3}+frac{1}{4}+cfrac{x}{ddots}}}}$
怎麼樣？是不是很簡潔，很有規律，而且有很深奧的樣子？它背後應該隱藏著很多值得挖掘的課題。對於這個公式的研究已經有了一些新的非常好的成果，主要在q-analogue方面。

Wir müssen wissen, Wir werden wissen！

再來說一個我特別喜歡的定理：費馬二平方和定理，即對於模四餘一的素數都能寫出兩個整數的平方和的形式。然後這個定理只是類域論的一個極其簡單的情況，而類域論也是極其漂亮的一個理論，它是描述整體域和局部域的Abel擴張的理論，譬如對局部域而言，它的Abel擴張被它的乘法群完全反映出來了，這是非常神奇的一個地方。不過整體域的情況就麻煩一些了，懶得碼字了。。。

……Seeing is not a direct apprehension of reality, as we often like to pretend. Quite the contrary : seeing is inference from incomplete information……

From "Probability Theory: The Logic of Science", E. T. Jaynes

The purpose of computing is insight, not numbers.

From Richard Hamming

"A mathematician is a person who can find analogies between theorems;
a better mathematician is one who can see analogies between proofs
and the best mathematician can notice analogies between theories.
One can imagine that the ultimate mathematician is one who can see analogies between analogies."

----------Stefan Banach

196884=196883+1

我打賭一定有人回答了stokes公式和歐拉公式（理由還是：這個公式聯繫了數學中最重要的四個數 $1,i,e,pi$ ）。
數學中令人讚歎的結論太多了，我來說點別的吧。

高斯絕妙定理（Theorema Egregium）：高斯曲率是內蘊幾何量。
黎曼映射定理（Riemann mapping theorem）：不是整個複平面的，非空的，單連通開集全純等價於單位圓盤。（相關的：單值化定理Uniformization theorem）
Weierstrass逼近定理：閉區間上連續函數可用多項式一致逼近。

名言：

我們是孩子，但我們精力充沛，勇往直前......... （伽羅瓦）

容我說一句，即便對於光滑函數，泰勒展開也可能是無效的。
Bump function

這個東西在物理上叫non-perturbative effect，很蛋疼的一個東西。
傅里葉展開只要 $L^p, (p>1)$ 就可以了(almost everywhere pointwise converge)，這個真的很奇蹟。

第一個想到的是Cantor的對角論證法。
假設T是所有由0和1構成的無限數列的集合，T可以被列舉，s1, s2, … , sn, …是T中的元素的列舉。

s1 =(0,0,0,0,0,0,0,...)

s2 =(1,1,1,1,1,1,1,...)

s3 =(0,1,0,1,0,1,0,...)

s4 =(1,0,1,0,1,0,1,...)

s5 =(1,1,0,1,0,1,1,...)

s6 =(0,0,1,1,0,1,1,...)

s7 =(1,0,0,0,1,0,0,...)

...

我們可以構造一個s，使得對所有的n而言，s的第n位數和的sn第n位數是相反的。比如根據上面，我們有
s = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 1, ...)

根據我們對s的定義，s不同於每一個sn，因為他們的第n位數不同，所以s不存在於T的列舉中。可是s顯然屬於集合T，由此得出了一個矛盾。所以我們可以得到結論，集合T中的元素是不可數的。

第一次在課堂上看到這個證明的時候，完全被它的簡潔明了震撼了。這個幾乎完全不需要數學背景，如此符合感性認識的方法可以用來證明實數不可數和Cantor set不可數，得到(0,1)的cardinality和R一樣，簡直是美的無法用言語來形容。這是我對於數學的嚴謹之美最難以忘懷的一次體驗。

數學家能找到定理之間的相似之處，
優秀的數學家能看到證明之間的相似之處，
卓越的數學家能察覺到數學分支之間的相似之處。
最後，究級的數學家能俯瞰這些相似之處之間的相似之處。
-斯蒂芬·巴拿赫

------------------------------------------------以下為原文--------------------

A mathematician is a person who can find analogies between theorems,
a better mathematician is one who can see analogies between proofs,
and the best mathematician can notice analogies between theories.
One can imagine that the ultimate mathematician is one who can see analogies between analogies.
-Stefan Banach

比較有名的公式好像都被說過了，我說一個不那麼出名的吧：
Sophomore"s Dream：
$int_{0}^{1}x^{-x}dx=sum_{n=1}^{infty }{n^{-n}}$

我想到了一個絕妙的證明，可惜這裡書頁太小，我寫不開了。

We must know--We will know.

我們必須知道，我們終將知道。

--Hilbert

"Because no one else was doing anything about it and I could have it to myself."
——Alan Mathison Turing

這是二戰時，「計算機之父」，數學家，邏輯學家，密碼學家艾倫·麥席森·圖靈下定決心要破解德國的著名密碼系統Enigma時說的話。在破譯Enigma的過程中，圖靈參與了世界上第一台電子計算機的設計和研製工作。
不誇張的說，不論是對於當時的二戰戰局，還是對於此時此刻我們所沉浸於其中的信息化、智能化時代，圖靈絕對可以稱得上一個史詩級的英雄。

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說到令人讚歎的結論，我只服英國數理邏輯學家伯特蘭·羅素(Bertrand Russell)。

（「我不是在針對誰，我只是在說......」）

沒錯，我想說的是羅素悖論。

「羅素悖論：設集合S是由一切不屬於自身的集合所組成，即『S={x|x?x}』。那麼問題是：S屬於S是否成立？首先，若S屬於S，則不符合x?x，則S不屬於S；其次，若S不屬於S，則符合x?x，S屬於S。」 ——百度百科

通俗地理解的話，也可以翻譯成理髮師悖論。

「理髮師悖論：在某個城市中有一位理髮師，他的廣告詞是這樣寫的：『本人的理髮技藝十分高超，譽滿全城。我將為本城所有不給自己刮臉的人刮臉，我也只給這些人刮臉。我對各位表示熱誠歡迎！』來找他刮臉的人絡繹不絕，自然都是那些不給自己刮臉的人。可是，有一天，這位理髮師從鏡子里看見自己的鬍子長了，他本能地抓起了剃刀，你們看他能不能給他自己刮臉呢？如果他不給自己刮臉，他就屬於『不給自己刮臉的人』，他就要給自己刮臉，而如果他給自己刮臉呢？他又屬於『給自己刮臉的人』，他就不該給自己刮臉。」

羅素悖論看似簡單，但是它的出現一舉撼動了有「現代數學的基礎」之稱的集合論。這意味著幾乎直到當時所取得的所有數學成果都可能灰飛煙滅，直接引發了第三次數學危機。
當然，它也促進了公理化集合論的建立。
公理化集合論排除了原有的集合論中的悖論，世界才成了今天我們眼前的這個模樣。

用一，從無，可生萬物---------萊布尼茲

我高中老師說定義域是你媽千萬不要忘記她

I couldn"t find a counterexample
——Gauss

你的數學是體育老師交的！！！！

哥德爾的不完備定理