大學數學如何入門？

12-27

我現在高中剛畢業，江蘇高考生。沒有學過數學競賽。如果我想趁這個暑假先入門一下大學數學，應該做哪些準備？同時能否推薦一下數學專業各個分支的入門和深入學習教材？

跟我當年感覺好像，我也是這麼想的，然後就浪了一個暑假…………

話說回來，假如題主沒有學過高等數學也沒有搞過數學競賽。建議可以先學點初等數論和空間解析幾何。假如這些對你來說不難，就直接上數學分析和高等代數好了

作為力學專業大二升大三的學生，來回答一下題主的問題。我想不僅回答怎麼預習大學科目的問題，也簡單一下大學前兩年的數學學習和我自己的體會。先佔坑。
用期末複習的碎片時間編輯答案，可能會多次修改=_=而且目測最後會很長。

因為專業和知識所限，我的眼界沒有樓上 @zero 大神那樣高，只能談談自己粗淺的理解：

先說結論：去大學圖書館，條件不允許的話書店沒準也行，找多本相同科目比如高等數學的書比對著看，選你覺得講得最直觀最簡潔的書。

我比較喜歡的是這本，可惜噹噹沒貨了，所以你參考樓上樓下的建議買也行。

大學數學，基本是每個工科學生必修的內容，無論你是學數學的還是學土木，建築，計算機，能源的，都要學這樣一個數學體系。答主大學兩年學習的數學科目按順序有：
數學分析（高等數學，微積分，都是一個東西），線性代數，數值分析（計算方法），概率論與統計，數學物理方法（複變函數，數學物理方程，積分變換）。相同的知識不同專業不同學校有不同的課程名，括弧里的就是。
我們大一上開設的科目有數學分析和線性代數。線性代數是我個人覺得大學裡最簡單的數學課，有的學校講的淺半個學期就講完了。而數學分析，就是高等數學，在大一是讓好多學渣頭痛的科目。空間里流傳著各種段子形容高數。
答主也是廣大學渣中的一員，自然不能免俗。很多高數教材（比如我校的=_=）推導過程寫得很詳細，公式定義字體卻沒有加粗，排版比較一般，所有的知識和證明過程混雜在一起像一鍋粥，閱讀起來很容易覺得無聊失去興趣。而且前一章節提到的知識，後面全都默認你已經掌握，這對於學渣來說實在是太不友好了=_=
我大一時候就深受其害。自己拿本書坐在圖書館一上午，一本教材一摞草紙一支筆，邊看邊算奮筆疾書，結果一上午過去了，我發現在一個無關緊要的定理證明上面浪費了大量時間，真正的內容其實沒看多少。
對於老師和書的編者，甚至是高年級的學長而言，這些知識都是很簡單的基礎。但對於一個大一的學生，高數的內容已經比高中學的那點導數難多了。數學對於工科生來說又屬於工具類學科，簡單來說就是，如果問題是個螺釘，那數學就是你手上握著的螺絲刀。
這帶來一個問題：我們平常解決問題的順序是，先看到這有個螺絲要擰開，再去找螺絲刀。數學的發展史上也有很多時候是先有實際的物理問題，再基於問題去尋找解決的數學工具。而學習的過程大多時候與之相反，我們是沒看到螺絲的時候，老師先給我們詳細的介紹螺絲刀，六角扳手，榔頭鎚子都講給你。可是沒看到螺絲的時候我知道螺絲刀是用來捅人的還是拿來擰的啊，有什麼用啊。比如數學分析學到下冊的時候，如果沒有同時學到大學物理電磁場那一章，看到二重積分、曲面積分的時候好多人都不知道這玩意能幹什麼。
引用一段來自隨記：我們需要怎樣的數學教育？中的話：

高數課本同樣荒唐。主流的高數課本都是先講導數，再講不定積分，再講定積分，完全把順序弄顛倒了。好多人學完微積分，雖然已經用得得心應手，但仍然沒懂這是怎麼回事。究其原因，還是數學教學的問題。
我理想中的微積分課本則應該是先講定積分，再講導數，再講不定積分。先講定積分，不過千萬不能用現在的定積分符號，避免學生誤認為定積分是由不定積分發展而來的。講自古就有的積分思想，講分割求和取極限的方法，自創一套定積分的符號。然後另起爐灶，開始講微分，講無窮小，講變化量。最後才講到，隨著 x 一點一點的增加，曲線下方面積的變化量就是那一條條豎線的高度——不就是這個曲線本身的函數值嗎？因此，反過來，為了求出一個函數對應的曲線下方的面積，只需要找到一個新函數，使得它的微分正好就是原來那個函數。啪，微積分誕生了。
光講形式化的推導沒有用。這才是真正把微積分講懂的方式。嚴格定義和嚴格證明應該放到直觀理解之後。只可惜，我還沒看到哪本課本是這樣寫的。

說了這麼多，其實總結起來只有一句話：我們學習數學的過程，應該和人類認識數學的過程一樣。我們應該按照數學發展歷史的順序學習數學。我們應該從古人計數開始學起，學到算術和幾何，學到坐標系和微積分，了解每個數學分支創立的動機，以及這個分支曲折的發展歷程。我們應該體會數學發展的每個瓶頸，體會每個全新理論的偉大之處，體會每一次數學危機讓數學家們手忙腳亂的感覺，體會先有直觀思維再給出形式化描述的艱難。

以上的現象說明了我們學習中的兩個問題：對知識難以高屋建瓴的完整掌握，學習的時候又難以理解數學工具的實際作用。
我對第一個問題的解決方案就像我在開頭說的。去圖書館，一書架的書全是同一科目，比如高等數學。就在書架底下一本書一本書的翻，就翻同一章節，然後比較每本書的語言，排版，選擇自己最喜歡的一本，和老師給的教材對照著看。
有些人可能覺得這種方法矯情，那麼多教材講的都是同樣的內容，而且都是基礎，一樣的東西還能給你講出花來？但我的經驗證明這是一個效率非常高的方法。同樣的知識，也會有橫看成嶺側成峰，遠近高低各不同。優秀的教材在章節安排的順序上都有講究。看兩本不同的教材，就像用兩隻眼看世界一樣，知識的立體感一下子就出來了。
比如線性代數，我真覺得是非常簡單的一門課，也是很多教材講不明白的一門課。我學的時候還沒看到各種關於線性代數實質的文章，我只是在圖書館借了幾本書，然後發現這本書上的公理在另一本書上被作為推論。兩本書的敘述方式有些不同，但知識內核是一樣的。在對照看書的過程中，對知識的理解和印證要比只看一本來得深刻的多。
關於第二個問題，我暫時也想不到太好的解決方法。

作為也正在預習大學數學的高中畢業生（由於特殊原因，本人得以提前幾個月休學，有充分的時間來預習大學的數學）基於經歷寫下個人感受，僅供參考，也請諸位對回答內容給予指正！

總體感受：
如果想預習大學數學，不如預習得寬泛一些，而程度淺一些，這樣對大學數學總體有多角度的了解，有助以後的深入學習。我試著詳細地學習數學分析，以我的水平以及惰性，時間花費太大了。。
還有，除了書籍之外，還有很多其他途徑可以學數學的：文件共享網站上的課件，和一些公開課。

出版出來的書籍，大多是體系地羅列了需要的知識，定理，證明，定理，證明，……。這可能不能使你理解好所學的東西。而課件可以彌補這一點，就像講課老師一樣，因為多半情況之下課件會按」疑問-&>疑問的解決-&>基於已學內容的合理疑問-&>疑問的解決「展開內容，這樣使人容易把思路理清。公開課更是如此（雖然有時難免講錯）

我按照數學的學科分類來展開敘述。

我查了一下數學都學什麼，結果有這些，，，

數學基礎：包括集合論，數理邏輯，模型論等等東西，
集合論，很多為初學者編著的數學書，都會在最開始講述集合論，所以我乾脆決定把集合論系統的學一學（隨後放棄了）
為了集合論，購買了《公理集合論導引》（戴牧民）很抽象，被一些筆誤導了不少，但的確是一本好書。
翻看了一下數理邏輯課件，心想，這個東西這麼枯燥，但又不是很熟悉，，，

代數學：包括線性代數，抽象代數，也包括數論，等等
發現高中課本也有涉及線性代數，抽象代數（群論），和數論，分別在人教版的選修4-2，3-4和4-6，推薦題主買下來（比其他書都便宜）（題主是江蘇的已經有4-2了吧），裡面講的比較大學書而言是基礎的（當然沒有擺脫高中教材的局限，省略了部分定理的證明），雖然我看不懂數論。
萬門大學公開課有抽象代數課程，一共29講，只講群論，講得比較通俗，適於泛泛的預習。（也有線性代數課程，但目前只有2講，很可惜。數學只有這兩個課程）

代數幾何：我不知道這是什麼（希望有人告訴我T_T）

幾何學拓撲學：包括歐氏幾何，非歐幾何，球面幾何，微分幾何，拓撲學等等。
為了拓撲學，購買了《微分幾何與拓撲學簡明教程》（A.C. 米先柯 A.T.福明柯）和配套的習題集。以及《拓撲學基礎》（高等教育出版社），第一本沒看，第二本看了前面但不明白（至少不明白動機，聽有人說拓撲學的例子是：咖啡杯和甜甜圈的形狀在某種意義上是等同的，我的疑問是，那有什麼用？）（還有個問題，拓撲學是不是大四開始學？希望得到回答T_T）
至於幾何學，最先需要學的應該是解析幾何了，向量有那麼多種類的乘法，震驚。
其他的，微分幾何應該很重要，但我沒動手。

分析學（數學分析）：包括實分析，複分析，級數，微積分方程，測度論，泛函分析，數值分析，等等
（有必要解釋一下，上面只是參照中國學科分類與代碼等進行純粹的分類，所以可能與實際開設的課程名有所不同，比如說，實際上叫做「數學分析」課程並不涵蓋上面這麼多東西（我說的對嗎？其實很不自信））
數學分析，唯一預習了兩個章節以上（最多了T_T）的學科。
推薦：百度文庫搜索《清華大學微積分課件》。下載需要登錄而且有財富值，但直接用百度提供的Viewer閱讀是免費的。裡面的例題比較好，
同濟大學編《微積分》和華東師範大學編《數學分析》（都是分上下兩冊和一冊習題講解，都是高等教育出版社）這兩本書的特點，很標準，內容不多不少。提醒只選一本買，內容有重，選哪本決定於專業吧
《陶哲軒實分析》（原書英文，陶哲軒著，王昆揚譯）這本書的特點是，邏輯嚴謹，每個定理都是經過證明的，還有一個特點是，以大白話為主，看著看著就睡著了，是一本好書。
以高中眼光看數學分析課程，引人注意的是，」單調性「的概念在大學改變了，在高中「單調遞增」是指：
$forall x_1,x_2 in D,x_1<x_2 Rightarrow f(x_1)<f(x_2)$
而在大學」單調遞增「的定義，最後的那個小於變成小於等於了：
$forall x_1,x_2 in D,x_1<x_2 Rightarrow f(x_1) leq f(x_2)$
而高中所學那個定義，它在大學叫做「嚴格遞增」
然後就是，」嵌套量詞「要注意，比如說學習極限時會使用如下的」嵌套量詞「：
$lim_{n ightarrow infty}{a_n}=a$ 被定義為：
$forall epsilon >0,exists N>0,forall n>N,left| a_n-a<br /> ight| <epsilon$
雖然都是學過的量詞，但是讓我頭疼了很久。
複分析，我只選擇學習複數的運算（其他內容看不懂），推薦題主提前學習複數的運算（比起其他內容算是簡單的）。
推薦百度文庫搜索：西安電子科技大學《複變函數》，是課件，如上所述，在線瀏覽不需要財富值。

概率論和統計：不清楚，我沒有任何有幫助的信息

其他的學科，離散數學，模糊數學，數學物理，等等，，不知道，，不知道，，不知道。

大學課程順序怎麼安排，如果是要上數學系，請參看
大學數學系從大一到大四學的是什麼? _大學_數學_天涯問答
（其他情況我不知道會不會跟上面差不多，我也不知道上面說的對不對）

作為附錄(?)，我寫一寫大學數學與高中數學不一樣的地方

其中兩個已經寫過，單調性的定義不一樣；嵌套量詞第一次見。
很多時候，數集符號（N,Z,Q,R,C等）的手寫體變成了「黑板大字體」（在視頻課程中可以見到，還有維基百科經常是這樣寫的），在知乎上打不出來，英文維基百科搜索"Blackboard bold"，這大概是因為好區分大寫字母是數還是數集
比重有些不一樣，高中以做題，尤其是計算為主，而大學以概念，以及證明為主。
有人說：「對哲學的思考使本來熟悉的東西變得陌生」，在大學數學，高中以及高中之前所認為是當然的東西（比如說一加一等於二），都會被嚴格的證明，前提是假設一些更加基本的事實作為公理。

以上

可以看柯朗＆約翰的微積分和數學分析引論，或者華羅庚的高等數學引論。

你好我的本科是數學系下的信息與計算科學。
本科專業課程如下與統計以及數學與應用數學基本一樣
大一學年的課程為數學分析，高等代數，解析幾何。
數學分析主要包含極限的定義與求解，不同類型積分求解以及實數系基本定理。
高等代數主要是矩陣求解及其應用。
解析幾何也是基礎的幾何定理。
底下有許多人也談到高數，我來說一下高數多為工科所學，思維重在應用，比如一個公式一條定理，拿來會用就行，無需在證明上多花功夫，這是與專業數學很大的不同所在。
如果想要考試高分，即使你學數分，你看高數也是可以的，因為試卷中運算也是佔一定比例的，然而作為數學系的學生，談不出定理的所以然，那麼多少有些辜負數學系的名字。
上面的基礎課完了之後，就是專業所在，比如實分析，數值分析，矩陣論，復變，離散數學，組合數學，控制工程，概率論與數理統計等。
其中實分析最注重推理嚴密，概率論在於實際運用，復變，離散，組合，數值分析等等是為了日後方便設計理解演算法。然而都是推理分析與運用並重。不過基礎課打好基礎，這些也不會太差。
吉米多維習題集，我表示保留態度，我做過沒有做完，如果要看，注意選擇有謝惠民參與的數分系列書。高代好好做習題就是了。陶哲軒實分析講義非常好，我老老實實看完了，大為佩服，邏輯嚴密清晰，深入淺出，可以感受到作者通透的思維，讓學習過程就是直線上升，毫無阻塞滯礙之感。
如果要參加數學競賽，我們數學系是必須會建模，就是遇到問題可以抽象為數學問題，比如，那個柯尼斯堡七橋問題，就可以理解為找出它的歐拉圈，雖然這個問題是無法構造出歐拉圈的，但是你可以用數學的角度抽象出來。真正建模的過程，與編程密不可分，所以許多時候數學是為了服務生活。
純數學競賽我沒有參加過，不過我的兩個好友也是班裡的數學大神都有過，重在基本功夫，也就是基礎課，當你可以看到那個模型背後的思維也就是那位數學家怎麼想出來的過程時候，基本就可以窺到數學殿堂的一角了，那麼登堂入室指日可待。而基本功夫就是思考，來回思考推理，重複。一本書來會翻幾遍，無它，手熟爾才是王道。
不過真的競賽，需要提前兩個月左右熟悉題型，也就是提升術，真正功夫就是在道上。

教科書有些編纂的不是很好，因為很多定理是翻譯過來的，所以看不懂不全是你的問題，我推薦圖靈數學一系列的，排版精緻，均為大師之作，其水準有目共睹，不再贅述。

祝你大學愉快，手機碼字，所以排版欠佳，湊合看看而已。

來不及了，貪多圖快，只會更加浮躁。不如鍛煉好身體，增強腦力，開學後迎接課本的挑戰。

到時候不必追求整體上的深刻認識，分解為習題和作業，按部就班的完成每堂課的任務就很了不起了。

欲速則不達。

要想自學入門，需要多年的相關準備。假如天賦一般，兩個月做不了幾個題。只會助長傲慢，上課不認真聽，師心自用。
假如天賦異稟，到時候上課時幹什麼？坐立不安，浮想聯翩，幻想一步登天，老師講課，你在下面看博士數學？

一年精通本科數學，三年成為數學家，四年成為哈佛終身教授，五年享譽全球，流芳百世課本，然後隨便學學物理，得幾個諾貝爾獎，登上人生巔峰，迎娶白富美，很多科學少年都是這樣計劃的。

我今年大二，下學期就是大三了，高等數學是我大一的時候學的，自我感覺學的還可以，題主的目標很對，高等數學在大學中十分的重要，它貫穿了你大學的整個學習過程，當然我指的理工累學校，文科的我不知道。

說一下如何學習好高等數學，首先你要有個良好的學習態度，這很重要，上過大學的都知道，在沒人管的情況下人很容易懈怠，只是光憑想學是沒用的，一定要堅持，高等數學前半冊和高中知識有關，是關於微積分的，這部分對以後的學習很重要，建議重點掌握，而且如果你高中學的好這部分不成問題，下冊的難度會增加，需要多做題體會。

再者，你需要交朋友，志同道合的朋友，一個人的戰場是不容易打的，你要和別人合作一起進步，解決困難，高等數學不是想學會就能學會的，你可以把老師當朋友，多交流，肯定會有你想不到的收穫，因為大部分的理科老師都會收一些有天賦的學生參加比賽，很好的

推薦圖書，個人認為同濟六版《高等數學》是很好的書，各大高校都在用。理工類與高數有關需要學習的有大學物理，線性代數，概率論與數理統計，計算方法，工程數學，運籌學，

你可以挑你感興趣的先看，但你要做好準備，這些如果你選擇理科基本都要學，很難的，大學並不是容易通過的，正相反那才是你人生的轉折的起點，我有個江蘇的好朋友他很優秀，希望你也可以很優秀，加油

好好出去玩
大學扎紮實實的學
沒必要高中時就看大學的數學
該浪的時候就應該浪一點

非數學專業大概刷刷吉米多維奇吧

數學專業絕對不要碰吉米多維奇！！警告！上天還我刷吉米多維奇而白白浪費的半年時間+_+
比較推薦
俄羅斯的代數學引論和卓里奇的數學分析
或者也建議看Rudin的數學分析

數學專業建議吉米多維奇刷一刷
非數學專業的話可以看看高等數學

然而最後你可能什麼都沒有看

我覺得如果對數學有些感興趣的話就看《陶哲軒實分析》和《線性代數應該這樣學》這兩本挺適合自己看的。
如果只是為了過高數的話隨便一本高數（好像國內的高校用同濟的比較多）加習題冊就行了。

《數學分析新講》張築生 + 《數學分析解題指南》方企勤林源渠

大學數學（非數學專業）無非就是高等數學，線性代數和概率統計，對於高數的學習我認為最重要的是上課跟上老師的思路，課下多做習題鞏固，大學的學習方法和高中截然不同，老師不會去每個人都關注，只能自己多學習。高數上半學期還可以，挺簡單的。下冊有微積分很多重積分很麻煩的，所以必須要學好，對於線性代數主要就是記住幾種典型的數列和矩陣直接套用就行了，概率統計在高中都有接觸不會太難，所以只要學好高數就可以了。如何學好大學數學免費高速下載 | 天翼雲盤極速安全

盡量聽課，不聽的話也要課下自己看書，多和同學一起上自習，商量。作業一定要做，考試一般也就是作業的水平，不會的一定要搞懂，不要怕，一般比較簡單。考前再做一遍以前的作業及往年試卷即可。能做到這些的話考試成績一般還很不錯。

我畢業這麼多年了都沒覺得入了門。

如果英文湊活的話先看看rudin的principles of mathematical analysis，上大一用國內教材技巧和原理混在一起不容易入門。

大學數學還是要從極限開始，注重對其理解，計算方法，以及計算速度。
非數學專業的學高等數學，這部分知識體系比較雜，很多的基礎都是極限和積分，不要死摳計算過程，更是注重對概念和方法的理解。

不嘿嘿暑假好好玩吧！

不過你如果一心想學的話大一應該是這三門課（我們學校是這樣）數學分析高等代數解析幾何

數學分析推薦看常庚哲、史濟懷出版的數學分析教程

高等代數則推薦丘維生的高代教材（他好像出了兩種厚的那種比較基礎）

解析幾何在學校里學就好啦

說點題外話 Rudin的數分教材時常聽說但沒看過所以沒有推薦不過樓主如果有興趣也可以去看看名副其實的享譽中外哈哈

附一個好玩的段子
常微分學常沒分
數理方程沒天理
實變函數學十遍
泛函分析心犯寒
微分拓撲躲不脫
隨機過程隨機過

流形拓撲流行掛
近世代數儘是輸

哈哈哈哈哈哈哈

Tao的Analysis，告訴你大學數學在幹嘛。

卓里奇教材
吉米多維奇練習冊

同江蘇數學專業選手，當年一腔熱血買了高等數學的書想學渣先飛，然而並沒有什麼卵用翻了幾頁就放那留著落灰。大一直接上手其實並不困難，數學系的話看看數學分析和吉米多維奇習題集先熟悉一下也無妨。題主加油?(???????)?好好把握這個美好的暑假！