為什麼有些函數可以無限次求導而不歸零，如e^x；而有些函數經有限次求導就會歸零，如x2？

我們認為可以無限求導而不變的函數如y＝e^x為完美 平滑函數，請從數理或幾何方面給出結論。撕逼無視之。並從心裡蔑視他們。

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0就不能求導了嗎？！題主你憑什麼看不起0。！

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首先 是無限次可導，別看不起0，人家很努力的，它可是印度人們的偉大貢獻，你敢辱印嗎？ 第二，無限次可導有時候叫「光滑性」，顧名思義，它的曲線光滑的，反之，那些不光滑有尖角的函數就不可能是無限次可導（甚至未必可導），比如 ，它就不是「光滑」的。 第三，我真是閑得蛋疼回答這種問題。

好吧，我自己提升一下難度，我猜你說的「沒有無限次導數」其實是「在每個點數次導數之後歸零」。那麼，有下面的結果：假設一個光滑函數 滿足：對於任意一個點 ,都存在一個整數 （也就是說此處的整數n可以依賴於 ）使得 ， 那麼可以證明這個函數一定是一個多項式。如果這個整數是一致的（不依賴於 ）, 那麼這個結論是顯然的。但是一般情形就沒那麼簡單了，關鍵的技巧是一個叫做baire綱技巧的東西：

If $f$ is infinitely differentiable then $f$ coincides with a polynomial，

那麼你的問題就有回答了，不是多項式的光滑函數必然不可能在每個點都可以在多次導數後歸零。哦對了，存在一個變態的函數叫Fabius函數，這個函數光滑，而且在一個稠密集合上滿足多次求導後歸零，但是這個函數不是多項式。

What are your favorite instructional counterexamples?

現在我說的這些東西可以算高等數學了。

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你需要的例子是 這種。

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反問題主一句，常數就不可導嗎？f(x)=const, 這個函數違反了可導的定義嗎？

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x的平方也可以無限次求導啊。
到後面導數一直是0而已。

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因為所有函數都可以用e的x方表示 然後用泰勒展開 這樣有限次展開就歸0 無限次就不歸0了

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其實這個問題就很矛盾啊，人為規定的求導方式。你自己所想一個新的求導，那就不一樣啦。

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首先，有無限階導的函數解析，我們只討論解析函數。當然0也是。

其次，解析函數可以展開成有限或無限階的多項式。

對多項式求導，如果還是得到原函數，那麼常數項確定，一次項就確定，二次項確定，三次項就確定……從而原函數確定。如果常數項是c，這個函數收斂，實際上就是c·e^x。當然c＝0，這個函數就等於0。第一個問題解決。

如果有限階導數等於0，那麼這個多項式只能是有限項。那麼這就是普通的有限項多項式。第二個問題解決。

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我是覺得題主有個意思是
一個函數可以無限次求導有定義
另一個函數在有限次求導後不可導
這兩個函數有什麼差別，或者說，這兩個函數本質上有什麼不同。

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題目都有錯，你要我怎麼回答

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題主怕不是和我一樣上高數課一直在睡覺哦。

這是0被黑的最慘的一次。

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可以無限求導啊

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不請自來，我想知道題主知道有種東西叫泰勒公式嗎？

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