關於Fourier級數的一點疑問？

12-27

1st.介紹Fourier級數的時候，課本上一般會寫 $f(x)simsum_{n=-infty}^{infty}hat{f}(n)e^{inx},$ 那麼加上什麼條件可以讓其中的 $sim$ 變成 $=$ ？
2nd. $[0,2pi]$ 上的Riemann可積函數的Fourier級數是平方收斂的，若在區間其中一點可導，則在該點處點態收斂，那麼這個「可導」是充分必要的嗎？
3rd.關於Fourier級數的一致收斂，有沒有詳細一點的介紹？

上面的結果可以見於下面的書籍

Stein的Fourier analysis 和functional analysis以及Grafakos的 Modern fourier analysis

建議看一下林琦焜教授的科普文章《從三角求和公式到 Fourier 級數》。

一般高數教材會從「正交性」入手，給你一個「形式上」的「證明」。但嚴格地說，只有先定義好「內積」，然後才能定義出「正交」，換句話說，從「正交性」入手討論fourier級數的收斂性必須要在在HIlbert空間（比如 $L^2$ 空間），研究的是依「 $L^2$ 範數」意義下的「逼近」。

而「數學分析」教材會從「Dirichlet核」入手，先把「部分和式」轉化為一個帶積分核的「卷積積分」式，研究這種帶「核」的「卷積積分」是研究fourier級數的出發點，而且專業人士往往都是這樣做的。這就是所謂的「從和到核」，好像華羅庚先手及其學生在上世紀5、60年代也做過該方面（典型域上的調和分析）的工作。

值得一提的是，如果擴充「fourier級數部分和」的求和定義，轉化為卷積積分會得到不同的「核」，常見的有「Fejer核」，「Poisson核」等。這兩個核是「good kernel」或稱為「恆同逼近核」。在新的求和意義下研究級數收斂性，不少數學家做過這方面工作。

另外，答主dhchen也提到了依不同範數研究fourier級數的收斂性也是重要課題。收斂就是極限，極限的定義就要用到「距離」，而「距離或範數」是一個抽象概念，滿足若干條公理即可成為「範數」。自然，「範數」會有很多類，所以要考慮fourier級數在不同範數意義下的「逼近（收斂）」。特別地，在 $L^2$ 空間下討論，問題會變得異常簡單，大概就是因為 $L^2$ 空間可以賦予「內積」從而誘導出範數。它確實是一個特殊的空間，因為 $L^2$ 範數的物理意義是「能量」。

除了考慮Fourier級數在 $L^p$ 範數下的收斂(整體性質)，還可以研究點態收斂(或者說幾乎處處意義下)(局部性質)，Hardy-Littlewood極大運算元就是一個有利的工具。數學家發現，若能證明Fourier級數對應的卷積積分核運算元是弱 $(1,1)$ 有界的，則可導出Fourier級數會幾乎處處收斂到函數本身。通過計算，可以發現「Fejer核」，「Poisson核」對應的卷積積分被H-L極大運算元控制住。又因為H-L極大運算元本身是弱 $(1,1)$ 型有界，從而導出「Fejer核」，「Poisson核」對應的卷積運算元是弱 $(1,1)$ 有界的。

最後，Fourier級數的收斂性問題最終是在上世紀六十年代由 Carlson等人徹底解決的，在解決這個問題的過程中發展出不少新的數學理論。

參考文獻

王昆揚. 實變函數論講義[M]. 高等教育出版社, 2011.
周民強. 實變函數論[M]. 北京大學出版社, 2008.

1.當傅立葉級數在一點或在一個區間上收斂於函數f時寫成等於號。如果是cesaro意義下收斂，在等式後加（C）即可（Abel意義同理）。

2.可導是充分但不是必要條件。比可導更一般的充分條件是Lipschitz條件，Dini定理也是一個充分條件。

3.詳細一點可以看stein的傅立葉分析，上面講的很詳細。如果是將f和一個好核作卷積，比如Fejer核或Poisson核，只要f連續就一致收斂。而通常意義即與Dirichlet核的卷積，如果在一個區間上滿足Lipschitz條件，比方說有連續導函數或者導函數有界，那麼傅立葉級數就會一致收斂於原函數。實際上由Parseval等式我們也可以得到如果f連續，傅立葉級數一致收斂於一個連續的和函數，那傅立葉級數一定一致收斂於f。

stein上寫的很清楚，而且敘述比較有條理，推薦題主有空去翻一翻。

我不確定一不一樣，不過一般來講，Fourier 級數寫成~(我以為！)是因為不一定收斂，而且如果fourier series converges, 它是 Almost everywhere equal.( 看了其他答案我不確定了, Professor 說這個是abuse of notation.)

不清楚Riemann 可導 fourier series 收斂的條件，但是肯定不是充要。

Function( 在0,2pi上) twice differentiable, then Fourier series converges. 因為Fourier coefficient 小於等於l1 norm, 根據導數和原函數的fourier coefficient 的關係可以推出級數收斂(點態)。

Fourier series 在lp (1&

更廣泛的是Homogenous Banach space fourier series converges iff allow conjugation or projection. 這個是充要的。

然後我看見大神說他會來回答………
希望我沒有寫錯的地方………
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現在在Ubahn上好無聊，我多打點好了………

關於核～
這部分主要是研究Approximation kernel.
用一些性質好的函數來逼近要研究的函數(L1 space 上, 可以是R, 也可以是0到2pi）。
Approximation kernel 是一族函數，和f 卷積之後收斂到f( 在範數意義下).
為了找Approximation kernel, 我們找summation kernel. 這是特殊的Approximation kernel, 這類核滿足：連續，全空間積分為1, 不為零的值集中在零附近…用這族核與f 做卷積，收斂到f, 最著名的是fejer kernel.
Fourier series 是f 與Dini kernel 的卷積，可惜的是Dini kernel 並不是summation kernel 也不是 approximation kernel, 所以Fourier series 在L1函數空間不保證收斂性。
而Fejer kernel 可以看成是Dini kernel 的某種平均，神奇的是Fejer kernel 是approximation kernel, 所以f 和它做卷積後能夠收斂。
好玩的是一類function是某個homogenous Banach space 的approximation kernel, 那麼他是所有homogenous Banach space 的approximation kernel.
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什麼情況下Fourier series 收斂？
當f 性質好的時候當然。如果看空間的話，就是Homogenous Banach space allow conjugation or projection 的時候，(這個是充要條件，通常的Lp 空間，1&

L1, C(R) with sup norm並不allow conjugation nor projection, 所以我們可以在這兩個空間找到fourier series 發散的函數。
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Fourier series and Fourier transformation 一個離散一個連續，但大概都差不多。與此相關的還有Laplace transformation, short time fourier transformation ( professor 說這個量子力學裡用，太高大上了我不用實際應用).
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嗯，我下車了～

Javier Duoandikoetxea的Fourier Analysis的前10頁應該回答你的問題。