如何高效地自學大學數學課本？
題主高中生，坐標美帝。打過數學競賽，對證明涉獵過一些，但更多是計算（美國的數學競賽更多以計算為主）。水平大概在USAMO左右吧，今年擦邊進了集訓隊。大學本科打算major數學。
去年10年級選課為AP微積分和AP統計，都是5分和A＋。今年11年級正在學線代，目前分數是98（網課，所以相當於自學）。明年打算學intro to analysis. 多元微積分還沒學，打算暑假有時間看了。
補充：Latex會用，但可能用的不太熟練…
去年微積分的課本就是thomas calculus, 然後今年線代是linear algebra and its applications, 明年analysis應該是rudin。（註：我記錯了，analysis的課本不是rudin，是An Introduction to Analysis, 2nd Ed, by Bilodeau, Thie, Keough）
以上為背景。
感覺在閱讀基礎的大學數學課本的過程中（線代，微積分，分析），經常感覺對某一個概念理解的不夠透徹，有時候直覺性理解了之後就過去了，然後在閱讀後面的課本里碰到這個概念，就會忘記這個概念是什麼（或者是與這個概念相關的定理和概念是什麼）。大概就是感覺知識鏈沒有串起來或者知識不夠系統吧。
我個人感覺出現這種問題的原因是
1. 讀課本的時候時斷時續，而且突擊性質比較嚴重，沒能靜下心好好思考。
2. 第一遍讀，所以掌握的比較粗糙。接下來肯定還會再讀幾遍的。
3. 記筆記這件事情沒有發揮出應有的效用。所以想問，在非連續性的閱讀大學數學課本的過程中，如何有效的記筆記（或者畫思維導圖？）、學習、理解，能使得讀一遍書的收穫最多？或者說，在短時間內學習完一門課之後，如何在幾個月或者一年之後看能記住最多的知識？
哀家最喜歡這樣喜歡自學的孩子啦！
首先，在價值觀層面：改變從高中數學競賽形成的對數學學科的觀念。
記得我大學時一個數學教授說過：數學競賽看的是what you can accomplish in two hours, 而數學研究看的是 what you can accomplish in two decades.
你慢慢體會。
其次，選一本好的入門教科書並給自己定個學習計劃
我個人非常喜歡的入門課程的教科書有Mattuck的微積分（書名叫Analysis但其實難度更類微積分）CasellaBerger的統計，Halmos的線代，TenenbaumPollard的方程，Munkres的拓撲等等。
個人以為好教科書的標準：
（1）不故弄玄虛，好好說話。（絕大多數鬼子寫的教科書這點都做的不錯。國內出版的某些數學書，讀著比便秘還痛苦的那種，就算了。）
（2） Notation規範。
（3）有舉例，並附詳細解釋。
選擇教科書還有一個好辦法：如果你在美國讀大學的話，可以網上找數學系課程全面的院校的相關課程課程介紹，一般都有教科書信息。 （參考： MIT OpenCourseware)
如果能找到syllabus （MIT OpenCourseware上全部課程都應該有的），根據情況給自己定一個計劃。注意你自學的節奏完全可以比課程快一些，但千萬注意不要揠苗助長。知識的消化需要時間，貪多嚼不爛。而且數學這東西體系性很強 第一、二章地基打得不牢固，到了第五、六章，可能就眼看他起朱樓眼看他宴賓客眼看他樓塌了了。 一般來講美國大學一個學期lecture session有20-25個，如果同時學兩到三門課程的話我個人覺得比較舒適的進度是一個月完成，再快了腦子裡的東西就不太牢靠了。
最後，有一個合適自己的反饋機制
這個特別重要。自學的一個重要缺陷是你明明書讀過了自己覺得都看明白了但其實可能並沒有懂。躬行證明有效的反饋機制有：
以證明為主的課程：看完一節重要的定理合上書自己推一遍。
以計算為主的課程： 看完一節例題或習題隨機挑幾個幾個做一做。
如果完成度不到90%就不要再繼續上新內容了。把本章節好好鞏固一遍。
祝開卷有益，永遠好奇！
如果想學好，最好還是有連續性地讀書。至少要按照一個一個問題來讀完。一般書上每一節，我指的是section而非chapter，含有一個主要問題，包括問題的提出和解決，是完整的。如果在這個地方有所割裂，那下回再讀基本上就會只能重頭再來。
然後，每讀完一節後，暫停下，思考思考這一節是如何提出問題的，也就是motivation是什麽，接著想想這個問題是如何解決的，每條定理都會成為解決問題的線索。如果你能串起整節的思路，那就通了。並不一定要求所有都能自己推，但思路必須清晰。當然啦，能自己推就非常完美。還有，書上例子能幫你加固理解，書上的不夠可以翻些習題集。
另外，何不發揮下自己是中國人的優勢，先讀讀國內數分的教材。比如張築生那套我就很喜歡。不講多餘話，線索清晰。我覺得國外很多教材是蠻啰嗦的，一個簡單的東西要講很長很長。國外好教材肯定是有的，比如Rudin的數分，不過我覺得那要點水平才能讀。現在你還是高中生，現在先把基礎打下，以後有心入讀數學系再刷也不遲。
至於線代，雖然是個不太一樣的數學，但學起來也差不多。主要抓著線性變換和線性空間來理解，不要被裡面的各種計算、分解弄得只覺得線代是計算了。安利一句，覺得計算有趣的話，可以進階讀矩陣分析、數值線代之類。謝邀。
多看例子。如果真想認真學數學，不要看微積分的書，去看數學分析的書，或者先看微積分的書有個基本概念，多接觸一些例子，再看數學分析的書去學習更細緻的分析。我不知道數學分析有什麼靠譜的英文教材，也許Zorich或者baby Rudin的英譯本還不錯。
另外要高效學習的話，千萬不要去看什麼Thomas calculus或者同等厚度的美國微積分教材。我真不能理解美國人就講個相當於國內高數課內容的東西，怎麼能編出這麼厚一本書來，近千頁的 A4 紙，也沒多講什麼東西，就是廢話太多、解釋太詳細了，比如二元函數和三元函數完全相同的定義，他也要區分開來各自講一遍。我每天拎著這麼個大磚頭去教課都嫌手酸。。雖然說確實是圖文並茂，使用的語言也比較淺顯，適合大部分美國學生的理解能力，但是就這個厚度就足以讓很多不明真相的學生對微積分望而生畏啊。。
剛剛刷完Rudin整本過來答一發
一本書反覆讀幾遍是肯定必要的，一遍不能讓人很好地理解書本的邏輯和結構，第二遍可以嘗試著去直接證明書上的Thm，能獨立證明出來才代表至少學到門路了，第三遍應該直接默寫，能默寫出來才至少代表你應該是理解了書本在說些什麼。
Rudin的數學分析原理的測度那一章講的非常漂亮，認真研讀會有很大收穫。基礎課非常重要的就是得做題。不做題很多東西都只是表面的理解。
書籍的選擇也很重要。我個人認為精讀一本書是可以培養世界觀的。很多概念遇到有疑慮時總是會偏向於使用自己最熟悉的那本書的觀點來理解。
題主如果有微積分的基礎，那麼直接看Rudin的Principles of Mathematical Analysis是完全沒問題的。我的分析就是Rudin入的門，當時的基礎僅是高中時粗略看過第一卷菲赫金哥爾茨（實在是不喜歡俄羅斯某些又臭又長觀點又老的書，所以就沒繼續讀下去了）。Rudin的書後習題質量很高，盡量把大部分都做掉，實在不會做的先跳過之後再慢慢想，但一定得花大量時間去思考習題。 我當時Rudin這本書的熟悉程度是隨便問一個定理我能把頁碼和定理編號都說出來。
Rudin熟練掌握前8章就夠了。之後就可以開始看Folland的Real Analysis。難度稍微有點高，但是個人非常喜歡這本書，實分析，點集拓撲，和泛函的核心內容全部有。
線性代數我當年入門看的是張賢科和Linear Algebra Done Right，不過都不怎麼樣。我更推薦直接看Artin的Algebra。雖然這本書重點是講抽象代數，但是線性代數的所有重要內容都涵蓋了。更重要的是這書不但有抽象角度(vector space)，也有矩陣計算的內容（Done Right那本書完全抽象角度，整本書讀完你甚至連矩陣乘法都不會算。。==更正：最新的第三版中似乎加入了計算的內容==）。
另外最好馬上學習使用LaTeX，並且熟練掌握到能直接做當堂筆記的程度。手寫的作業和筆記最後很可能都進垃圾桶，而pdf電子版可以永久地保存。 自己做習題也最好能保持記錄下來的習慣。這裡有個很好的例子：Miscellaneous
當然是找本有習題解答的教材啦
這個問題我覺得我還是比較適合來回答的。
給題主兩本書：Spivak的Calculus，Sergei Treil的Linear Algebra Done Wrong
看下來這兩本書，你就不會出現你說的問題了。題主現在的問題是沒有習慣大量定義和定理的出現，這個需要循序漸進，上面兩本書正好可以培養你慢慢適應大量定義和定理的出現。任何人（可能除了大神）從高中數學到大學數學都有一個適應期，好的教材能夠讓你有一個比較好的轉換。
由於題主的能力擺在這（USAMO），出現題目里所描述的問題我覺得更多是因為書籍選取的問題。Spivak的風格應該很對喜歡數學競賽的人的口味。高中數學更多是具體的，大學數學更多是體系的，好的教材能夠讓讀者在閱讀和做習題中慢慢構建起整個體系，同時掌握基本的技巧。所以我認為選對書對於題主這種能力的自學者來說是最重要的。
我說一下這兩本書的優點。Spivak最大的特點是clear，就是他寫書不會給人一種雲里霧裡的感覺。我一直覺得國內的數分書普遍對初學者不友好，國外的calculus書太簡單，Rudin太抽象，Spivak很好的避免了這些缺點。可以說，它兼具嚴格同時又不失友好。由於習題都有答案，可以說是自學微積分（嚴格）的唯一英文教材。Spivak刷完之後讀Rudin應該不會太困難。LADW更是一本好書，國內的線代教材很多忽略vector space的概念，國外的很多教材忽略矩陣，而這本書兩者兼顧。習題基本掌握概念之後都能做出來，沒有偏題怪題。同時講了很多線性代數有趣的應用（畢竟作者是搞分析的），讓讀者對線性代數的重要性有比較具體的認識。
最重要的是在腦中建立體系，無論是分析還是線性代數，在這個階段都是比較natural的東西。
我覺得其他答案說得夠好了，我也沒必要說雷同的話。鑒於你要做筆記，我希望你先學習latex，這是一個數學編輯軟體，電子筆記雖然慢，但是可以修改，很難丟失。至於做筆記的方法，我在下面的文章中提到過。希望對你有幫助。
如何做數學筆記 - 知乎專欄謝邀。（求贊啦，贊多了，才能擴散，才能被更多人看到！）
自學相比於課程式的學習，最大的不足就是：沒有老師。
站得高，才能看得遠！
一個好的老師往往能在某個領域深耕多年，積累了很多經驗，見到的例子或者反例也通常比較多，能夠清楚哪些知識比較重要，哪些方法比較常用，以及知識與知識之間的關係！因此，如果有老師的話，通常我們學習的效率會更高，而且學了就不太容易忘掉。而自學的話，有時會執著於某一個知識點，看不全整體知識鏈的關係，經常會碰到學得快，忘得也快的情況！
因此，首先推薦一個在線學習網站，學堂在線，上面都有相應的大學數學課程，而且裡面的老師都是清華裡面TOP水平的老師在教授的，同時，清華也有部分本科生在試水網上教學模式！
第二，一兩本參考書或者輔導書，我覺得是挺有必要的。最好是兩本以上的吧，但也不需要特別的多。因為不同的書是由不同的人寫的，他們對同一個知識點都有各自的理解，因此關於知識點的描述自然會不盡相同，而且找的例子，練習題也會不一樣的。你自學的話，就能夠相互比較，想想他們為什麼這樣或者那樣描述，他們為什麼要找這樣例子或者練習題，有什麼道理或者意義等等，然後提煉，或者說形成自己的描述風格，有了這一過程，相當於你對知識點做了一個總結，這樣的話，你對知識點的理解會更透徹，相應的記憶也會比較牢靠的！
第三，適量的練習題是很有必要的！
但是做題多少，具體數量並不是很重要的，對於某個知識點，你不會的話或者不熟練的話，就要自己找題目來練習，如果你已經很熟練的話，就沒有必要再做相應的練習題了。
因此做題目之前一定要有目的，就是你想通過做題，來複習哪些知識點，這個才是重要的！
做題的時候一定要多思考，多總結，要對自己做過的題目有印象。相同或者類似的題目就沒有必要重複地做了。要嘗試記住一些做過的題目的結論。大學裡面的有些例子，不僅僅單單是例子，也是一些常用的結論，對於後面的理解或者解題都是很有幫助的！
平常多去折騰一下相應的練習題，比如改改題目的條件，是不是定理就不能用了，或者應該怎麼改條件，就可以應用其他的定理了，如此之類的！
把用到有相同的知識的題目放在一起比較比較看有什麼共同點和區別的。
最後，多花點時間，多花點心思，相信你的努力一定不會白費的！
首先是要對你學的這門課程有一個整體的認識，然後再去完善細節，了解知識塊的聯繫，形成好的理論框架。
拿高等代數來說，以線性方程組的理論為主線，線性空間和線性變換是最主要的（還要掌握子空間和商空間的有關定理，這是我們研究代數的基本方法），矩陣論只是一種研究工具（會用會算就行），而多項式環的理論稍顯次要（記結論即可）。
我看書先看目錄，然後看每章前言（老師通常也會講這章學什麼，和先前及後續章節的聯繫），這樣先心中有數。接著看看定義，先嘗試直觀理解，不行的話先記住。再看看定理，短證明定理看一遍然後默一遍，長證明定理先看思路，分解成幾個引理慢慢證。然後做做習題，忘記定義回過去看定義，記不得定理回去看定理，這樣多次反覆加深理解。經過應用，就感覺一開始的定義定理是那麼的有道理。
始終保持謙遜的態度，不會的內容多次反覆加深理解，這是我的笨方法。
從向量分析和多元微積分開始入坑的高中生路過(￣Д￣)?
照例先說結論：
先看數分，
再看群論；
線代趁早碰一碰，
但千萬不要半懂不懂去翻微積分。
而微積分正是因其對實用性的過度追求，使得相應的理論體系很容易就會被學生在自學的過程中忽略。一個很直接的缺陷，舉個例子，就是在將其推廣到高維的時候很容易搞出一些我們並不願意看到，或者看不明白的東西。我自己初學時第一次看到曲線積分的時候被它在物理上的應用奪去了注意力，但再回頭看式子的時候，幾乎很難接受對這樣對微元的玩法，實則就是因為背後沒有事先構建出相應理論基石的原因。微分方程更是這樣，有些半個字理論都沒提就直接開始玩解ODE，會是會了，但是如果沒有追根究底找出「為什麼有這種操作」的意識，這會是一個很大的禍患。沒錯，這些都是分析的東西，但是即使是從微積分的層面上推廣開去，這種缺失理論基石的各種毛病會讓學生在學習中變得很難受。
嗯...想到再繼續更
在中國，出考研書的張宇他們都會出基礎的視頻。便於同學們從零開始 循序漸進
看到有人回答說國外的微積分書籍太厚，讓人望而生畏。作為一個只讀過幾本國外教材的人也來說幾句：國內的教材實際繼承了蘇聯時期的做法，就是講求嚴密抽象的邏輯推理，對具體的應用則寫的比較少。這樣做的好處是，邏輯嚴謹，體系完整，書可以寫得比較簡明，薄。但對於初學者可能有難度，初學者往往不知道為什麼要這麼做?這麼做的意義是什麼？
很多初學者，廢了很大的功夫看明白了一套嚴密的理論推導，然後就完了，完全不明白這理論後面代表的實際景象或者物理實質到底是什麼？這樣導致的後果就是，看的很費力，實際不會用，過後容易忘。我記得我當年看經濟學方面的書；說到公司的組織形式，國內書籍的普遍寫法是：公司有兩種：有限責任公司和股份有限公司，然後開始對比這兩種公司的異同。我作為一個初學者，當時的想法是：為什麼要有兩種公司形式？如果只有一種不是挺好的嗎，我們就可以少學很多的東西，而且也不用再記這兩種公司的異同了，多好呀！後來看外國的教材，才知道這兩種公司的稅收的政策是不一樣的，從交稅的角度考慮，立刻就能理解為什麼要有不同的公司形式。
當然了，外國教材的一個明顯的特點就是：「廢話太多」，像上面的那位說的，這樣的話書就很容易寫的很厚，這也是所有外國教材的顯著標志：像磚頭塊一樣，看著就害怕。但是真正讀進去以後，才發現這些教材很親切，而且容易讀懂。我想對於自學的初學者來說，外國教材可能更好些。但是對於已經有一定基礎的人來說，可能外國教材的廢話就真的顯得有點多了！
個人淺見，有不對的地方請批評
聰明就行
馬上就要期末考了，我在圖書館裡複習高數，複習的心力交瘁，拿出手機刷會兒知乎，第一眼看成了
如何高效自大地學習數學課本
我目前在b站看數學分析的課程，感覺還不錯【數學分析】陳紀修 第一章 第一節 集合，平時做題用的是同濟高數的輔導書
拿數學分析來說，多推導 多證明 多思考為什麼，書上有的推理全部都自己推一遍，不會的看了自己再推，反覆推。
另外多做題，每一種題目嘗試用不同的方法去解(很多東西都有共通的地方)。
多回顧。
另外記筆記的話我推薦 先很詳細的根據課本記一遍，再自己整理兩遍。(筆記是拿來看的，有時候忘了或者不想看的話就去整理筆記吧，在保證嚴謹和準確的同時越簡單越好。)
不要只會做題，只會記公式。
雖然以後你可能會忘了你推導的東西，但是那個思維方式是會留下來的。
學數學要有毅力，有時間，一整天只看了一兩面的證明推理很正常。(不是指看懂就行了，而是要去思考哪裡可以用，怎麼用，為什麼，有什麼意義)
以上的東西相當相當花費時間，本來數學也不是一下就能學好的。
pearson的都看了就行。會中文看同濟大學出的。比美國的好。
做題能加深印象，加深理解，走馬觀花的看一遍那不叫自學。。。。
這必須對這本課本有深刻了解的人才能給你解答 去拜訪老師 讓他給你指導
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