為什麼說高斯公式是斯托克斯公式的特例？

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斯托克斯公式是旋度的形式，高斯公式是散度形式，怎麼說高斯公式是斯托克斯公式的特例呢，而且斯托克斯公式是等於了曲線積分，而高斯公式是等於了曲面積分啊？

謝邀。

他說的Stokes公式是這個： $int_{Omega} domega=int_{partial Omega} omega$ ，其中 $Omega$ 是一個n維帶邊流形， $partial Omega$ 是其邊界， $omega$ 是 $Omega$ 上的 n-1 形式， $domega$ 是其外微分。Gauss公式對應到n=3的特例；曲面上的Stokes和Green公式對應到n=2;牛頓萊布尼茲公式（微積分基本定理）對應到n=1。

斯托克斯和高斯都表示的是三維立體的情況，它們之間有一個邏輯上從繁到簡的關係：
高斯是將空間閉區域上的三重積分簡化為其邊界曲面上的曲面積分。
斯托克斯又將曲面上的曲面積分簡化到沿著曲面邊界的邊界曲線的曲線積分。

（以下僅作為評論）Yuhang Liu 的回答非常簡潔。要作進一步了解，可以讀陳省身／陳維桓的《微分幾何講義》第三章第四節。四個例子正好對應Liu回答中的四個特例(例3和例4是題主問的「高斯公式」和「斯托克斯公式」)：

龔升教授的《微積分五講》

stokes公式是針對n維曲面（流形？），其中Gauss公式是其三維特例，在一維貌似是牛—萊公式？二維是什麼忘記了啊，green公式？好像是這個。應該沒有錯誤，但是具體的也記不太清了，可以去翻下數學分析3的內容。