微積分的哲學基礎是什麼？

12-27

無窮小演算法如何在邏輯上是可以接受的？

微積分的嚴格的數學基礎在20世紀初就已經建立完成了。（實際上，我印象中是19世紀末，不過記不清楚還是保險起見為好。）邏輯上就是普通的邏輯。沒有專門為其搞出什麼特別的邏輯或哲學。我記得羅素對這個成就大為稱讚的時候還說，把微積分嚴格的形式化完成之後，終於可以避免某些哲學家非要借著無窮小之類的概念說一些鬼話了（捂臉）。

這種東西感覺在知乎上講不如直接看書。。在知乎上回答這個問題的話，把整個過程碼出來跟直接看書也沒區別了，而且對知乎來說太長……要是講成科普就要犧牲嚴格性，然而這個問題又關注邏輯…

找一本好的給數學系寫的數學分析教材讀一讀，裡面一上來都會有踏踏實實的一步步的邏輯上嚴格的微積分體系建立過程（因為這個是基礎課程，所以零基礎就可以讀，只要高中數學水平以及【願意動腦】即可）。個人偏愛的是卓里奇的《數學分析》。

除了這本，還可以選的有菲赫今哥爾茨的《微積分學教程》，或者魯丁的《數學分析導論》。原則上來說微積分只要有實數就可以建立起來，但魯丁是從更有普遍性的拓撲觀點開始講起的，開頭也正好可以作為拓撲入門，要是正好對拓撲也有興趣可以選這本。一定要選數學系的優秀的教科書！因為給其他專業讀的微積分一般都不注重嚴格性，只求讓學生會算進行；另外較差學校用的數學系教材也常常為了降低難度而犧牲嚴格性……

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題外話：當年Newton那個時候微積分在數學上還極其不嚴格（老牛好像也不太care這事，不愧是物理學家老祖宗，現在物理學家對數學嚴格性還是這態度），好像Berkeley還嚴肅批判了「無窮小」這種莫名其妙的鬼概念的理論如何能用。現在想想這是一個很好的教訓：主教大人說的當然對，當時的微積分在哲學上很成問題，但是很多時候學科的發展是先不顧嚴格性生長出枝幹，再去完善基礎，將其變得嚴格。若是一上來就畏於嚴格性，縮手縮腳，可能發展就會極為受限。現如今數學界變得要求所有工作的完全的嚴格性，這是不是真的對學科發展最好的做法很值得考慮。當然，當今物理學家又有點太不嚴格了……

也提醒包括我在內的某一類人，不要老想是在哲學上對學科挑刺搞事情，大多數時候還是老老實實做學科內工作要緊，問題隨著發展會自然解決。

隨便找一本數學分析的教材都會講。簡單說就是把日常語言里的「極限」「趨近於」這些模糊不清的辭彙描述清楚了，靠的是ε-δ語言

哲學的數學基礎是什麼...

是Weierstrass的epsilon - delta語言

用模型論的方法，把實數域擴大為「非標準實數域」，從而把無窮大和無窮小包含進去。

這個問題很好，但不是這麼問的。

應該是「人類通過想像力形成微積分一樣的圖式」是如何可能的。

這才是微積分的哲學基礎。

無窮小這種概念是不是先驗的都無所謂，因為他只要在數學邏輯內封閉就好了，因為不封閉的體系都會被強行發明一個新概念繼續保持新的封閉。

所以其實只要證明"數學是存在的"，所有數學理論體系下都是這樣的就行了。

那麼數學到底是怎麼存在的？

人類的邏輯(或者說理性)是怎麼存在的，數學就是怎麼存在的。

人類的邏輯(或者說理性)的邊界，就是數學的邊界。

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換句話說就是康德哲學早就解決了這個問題。

微積分是西方哲學思想的產物。

西方哲學的源頭在古希臘，古希臘的哲學思想中有一個基本問題，即「世界的本原是什麼?」，「本原」一詞可以有多種理解，其中之一是將「本原」理解為動詞，即「無限地分下去，分不到不能再分為止」，那麼「世界的本原是什麼?」即是問：「世界無限地分下去，分到不能再分為止是什麼?」。

泰勒斯認為是水，阿那克西米尼認為是氣，赫拉克利特認為是火，德謨克利特認為是原子，再到萊布尼茲認為是單子，都是遵循這樣一種細分的思想路徑，將世界無限細分、分到不能再分時得出一個東西，然後以此為基材進行排列組合，構建出世間的萬事萬物，從而達成對世界統一性的認識。先分，分完了，然後再合，這是西方學者不斷在重複的一種認知模式。仔細琢磨你會發現，不管怎麼細分，他們得到的東西都不是無，還是有，只是有的越來越少而已。

反映到數學中來，幾何中有卡瓦列里的不可分量，將體分，分到不可再分是面；將面分，分到不可再分是線，將線分，分到不可再分是點；算術中有無窮小，一個數，讓它越來越小，小到不可再小，他們不會認為是0，而只會說它是無窮小。將一個東西分到不可再分，分到0，就是所謂的微分；而對無窮個分到不可再分的無窮小進行求和，就是所謂的積分。合起來就是微積分。

這是個好問題，多數答主真不用強答...

沒有哲學意義。
公理+定義導出結論
結論和直觀相符合了而已
背後只有邏輯，談論數學的哲學是沒有什麼意義的

從極限的角度看，曲和直是一回事兒。這個世界有太多量因為變化而不好把握，如何把變和不變聯繫起來呢。老子和辯證法告訴我們，凡是對立即聯繫又可以轉化。而轉化的觀察點就是極限。---------數學到底是什麼，現在也無定論。據說還分了好幾派。一直覺得數學是理性思維的一種。人類通過建模來反映和認識世界。感性是大腦的自發建模。也許更有利於捕食和生存。但是確不一定更「真實」。理性是對世界更一般的，更本質的特質進行建模。數學更是如此。我覺得數學是對世界的一種描述。描述了某種變化，或者說某種結構。將時空統一起來看，其實就是某種組合。這種組合就像操作。加減乘除是操作，是這個世界量的某種組合方式。微分積分是另一種方式。操作數的一種特殊堆疊方式。它描述了隨「連續」時空的變化。

看了以上某些回答後，我深深地嘆了口氣。

用哲學來搗亂，用數學來建設。微積分和哲學是矛盾的。

化取為直...

一尺之棰,日取其半,萬世不竭 {誒，有人說過啦？}

個人的理解吧

微積分的源頭，

或許可以歸結到古希臘的某個哲學問題。（哲學是各種學科之母。估計是因為，哲學提出了一大堆在哲學領域內無法解釋的問題。）。在芝諾的悖論里，烏龜與阿基里斯賽跑的故事可以算是其中之一。這個悖論里，描述了三個現象。第一，累計原則（直覺上的跑向終點）。第二，烏龜和阿基里斯，各自的走路函數在量級上的差異（直覺上的快慢）。第三，最後的輸贏，烏龜贏了。芝諾悖論，是個邏輯問題，更確切些的說，是個應該如何描述的問題。

Anyway，

累計原則（加法原則）是個普遍現象。因為，任何實體都是由基本單位累計構成的。各種實體，或者觀測對象（目標函數吧），在量級上的差異（各種累計效應的差異），該如何衡量，確實是個大問題。

早在古希臘時代，對此進行深入研究的學者之一，應該是阿基米德，他用「窮竭法」解決了二次曲線的面積問題。這也是，最接近現代微積分概念的部分。與中國古代祖沖之「割圓術」不同的地方在於，阿基米德貌似做到了有規律的迭代（類似MVT的想法，微積分的基石之一。極限的概念也與此有關），確保「無窮小」，小到了一定程度是可以忽略的（如果能夠做到有規律的迭代的話，是可以繞開無窮小的。比如，藉助某個級數去計算。我不了解，那年頭有沒有函數的想法，得讀幾何原本哦）。

中世紀之後吧（不確切），函數在科學觀測的基礎上產生了。至於量級差異，在數學上抽象的產物，就是微分（儘管非常不嚴謹，貌似就是把太小的部分捨棄了。當時，好多科學家都是這麼乾的。但是計算出來的結果，符合實際應用中的觀測結果。所以，大家都這麼用，而且還起了個名字 Infinitesimal）。由此，積分則是各種累計效應的結果。

還有一點，

微分，是數學抽象（放到笛卡爾坐標系下）之後的量級差異，而非真正研究對象上的量級差異（基本單位不一樣啊，烏龜跑一步和阿基里斯跑一步，肯定不只是兩個速率的差異）。在這個問題中，數學只負責抽象地描述跑步（數學視角下，量化了的跑步），不解釋，烏龜跑一步和阿基里斯跑一步，為啥步幅會相差那麼多。

PS:

累計原則，在宏觀層面上，是一種直覺；而在微觀層面，就是連續。

與其他學科的理論類似，都是從直覺（貌似就是「形而上」）到某個學科中的某個理論，從直覺到某種確定性。

這真是一個好問題。

期待很好的回答。

粒子物理所有的進展不就是微分的體現嗎？

答主數學狗，前幾日在圖書館偶爾看到一本恩格斯的《自然辯證法》，裡面有對各種自然科學的辯證唯物主義的描述，題主不妨看看，恩格斯寫得還是蠻淺顯的……

我猜一定有人看見馬克思主義哲學就笑了，不過希望你們先把TG的馬克思主義從馬克思主義大家庭裏踢出來，我們再來討論哲學問題……

不要因為我用繁體字你們就以為我是台灣人或者香港人……（攤手）

去看《西方哲學史》，專門有講到牛頓和萊布尼茨的。

極限和加法吧！

好問題。看到題目手舞足蹈的就跑進來了，然而感覺很多答主都扯遠了，其實這個問題是需要數學大神來答的，提到了康德什麼的哲學專業的大神們還是算了吧。

可能一句話來回答就是「化曲為直」吧。

先佔個坑，學好了後再來給個漂亮答案。

抖個機靈～
合久必分，分久必合——《三國演義》第一回

人類無法認識無限。

任何「嚴謹」的涉及無限的數學概念只是把簡單忽悠轉換成複雜忽悠。

你問這個問題的哲學基礎是什麼？為什麼一定要找哲學基礎？哲學基礎的基礎是什麼？

牛頓和萊布尼茨分別構建了微積分。

牛頓是大量實踐歸納。

萊布尼茨是單子論。一下是百度百科。

單子論_百度百科