在學習數學的過程中，如何避免只是習慣了知識而不是理解了知識？

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大一新生，剛剛接觸高數，發現自己在學習的時候不是理解了知識，而是在與它相處久了後熟悉了。在學習的過程中既沒有理所應當的接受它，也沒有久經思考後的恍然大悟。我們在學習的過程中該如何避免和克服這種現象？

謝邀。
我個人的經驗是，對一些比較難比較抽象的數學定義，你先要習慣他們，才能慢慢理解他們。
比如你學黎曼幾何的時候，會學到截面曲率這個概念，我可以給你一個由曲率張量表達的公式，告訴你這就是截面曲率的定義，你可能覺得丈二和尚摸不著頭腦，覺得「這個公式跟曲率有什麼關係」。然後我可能給你一個直觀的解釋，說截面曲率就是那個2平面在指數映射下的像（這是一個曲面）在那個點處的高斯曲率，你可能哦一聲，稍微理解為什麼它叫曲率了，但是還是會感覺很不適應這個概念。

然後我可能就會給你幾個例子讓你具體計算一些黎曼流形的截面曲率，然後告訴你一些與這個概念有關的重要定理（Synge, Rauch Comparison, etc），讓你知道這個東西到底有什麼用，讓你去找找感覺，先在大量的計算中習慣這個概念，以至於你一聽到「截面曲率」這個詞腦子裡面就自動開始編程，自動去想這個東西應該怎麼算、能起到什麼作用。然後你算得越來越多，對這個東西的理解也就越來越深入。但是完全理解截面曲率是做不到的，當代最偉大的微分幾何學家們也做不到，在我看來完全理解一個數學概念等價於徹底解決與這個數學概念有關的所有問題，而對於截面曲率有關的問題，我們有太多太多不知道的地方。

但是如果你不習慣截面曲率這個數學概念，你在黎曼幾何方面後續的學習根本就進行不下去，它在黎曼幾何中出現的頻率可以說和定積分在微積分當中出現的頻率差不多。。而且假設你要學更一般一點的幾何，比如Finsler geometry的話，那裡面還有個東西叫flag curvature，差不多是截面曲率在Finsler setting下的直接推廣。你如果對截面曲率都不熟悉，當然更不可能理解flag curvature。

曲率這個概念么，正常人的學習軌跡差不多是：平面曲線的曲率、空間曲線的曲率，在這兩個相對簡單的概念中建立起「曲率是對彎曲程度的衡量」的直觀概念，然後再過渡到空間曲面的曲率（法曲率、測地曲率、主曲率、平均曲率、高斯曲率），再過渡到一般黎曼流形的曲率（曲率張量、截面曲率——差不多就是曲面高斯曲率、Ricci曲率、數量曲率），再過渡到任何一個比如說Hermitian vector bundle上的曲率、或者說是我上面提到的Finsler geometry裡面的曲率。就是這樣一步一步循序漸進、一層一層往上走，建立起整個「數學概念的金字塔」。而對這個金字塔的任何一層，你如果不夠習慣、不夠熟練的話，更上層的概念都會像是空中樓閣。

謝邀。
習慣也好，怕的是沒有正確的習慣。最可怕的是對定義「不習慣」，讓直覺先入為主，憑藉感覺學習。我最近看到很多大一學生對我說「我覺得函數極限如何如何」，這很要命。在大學數學的學習中，不一定能夠像高中那樣得到太多的練習來鞏固你的認識，此時讓定義先支配你做題的步驟、約束你書寫的規範性是非常重要的。

秘訣就是：不要忘記。

我想這也跟對現實中的很多人和事一樣，不要忘記他們，是對他們最好的尊重。數學是我的事業，我對她也是一樣。

首先的首先，你可以放心這並不是你學習能力或者知識水平的任何問題。這反而說明你更在乎，你走心了。許多人學數學是不走心的，因為數學是存在有作為純工具的可能。作為一個當前數學專業從業者，我依然必須做到每日三省吾身，以確保自己究竟是理解了內容，還是習慣了內容；有沒有一些被誤認為是顯然的東西仔細看起來並不是顯然的。所以，如果我沒有理解錯的話，那麼我覺得和題主有非常強烈的同感。當然，每個人要選擇並堅持適合自己的方式。

如果樓主才大一，學的是高數不是數分，說明你不是數學系的。能夠提出這樣的問題，我首先很欣賞你對數學的尊重。既然你想要從數學的角度去理解每一處你所學的數學，首先，這個過程具體操作起來並不容易，持之以恆更加難能可貴。其次，具體操作方式卻十分顯然，把沒有理解的數理邏輯去看去推去思考，總之去理解了就是了。從這個角度來講，你能意識到你尚未理解透徹你想要去理解的東西，就已經成功了一半了。

如果你知道一件東西自己尚未想透徹它的原理，就一定要記住，有這麼一個它依然等著你去仔細琢磨。不論是眼下立刻解決，還是決定先學會應用再去解決都可以。不要忘記。就是這麼簡單。

——————————跑題
就我的理解，大多數答題者並沒有體會到題主的本意，於是將回答集中在如何看待數學，如何理解數學，甚至，如何習慣數學思維等等。以及一些答案談到了如何避免因習慣產生僵化，真是一千個讀者給了一千個理解。

那麼我就來說說我的理解。
——————————結束

我在很長一段時間都一直問自己，什麼是數學。也看到了各式各樣的答案。數學是工具，數學是語言。他們都對。當你在應用數學的時候，數學就是工具。當你用數學進行思考的時候，數學就是語言。

數學從自然現象中開始提取，提取出來的規律可以應用在任何符合該規律的其他現象中。數學之所以難以講解是因為它關注的只是邏輯結構。當你在用一個具體例子去教學數學的時候，那就不是數學本身，而是它的一個應用。這樣的做法又失去了數學的普遍性，學生難以再次應用在其他現象中。但只講邏輯規律本身又會使其抽象難懂，會造成學生強行記憶這些邏輯規律，認為數學的定理很「人為」。如田展帆所說，很多概念還是高階抽象。學習起來會更加困難。所以更要打好基礎，一點點構建的「大廈」。我大學是計算機出身的，碩士搞語音識別的時候不得不更加深入數學。我個人對這種高階抽象的學習方法就是計算機變成的「封裝」。用一些方框代表上一層的概念，再用圖去理清這基礎上的關係。

我的建議是：從【實例】中體會該數學規律是【為何】被歸納出來的。
具體三個步驟：

第一步：熟悉情景：初學數學概念的時候，依然從具體實例入手，熟悉整個流程。因為我們人腦不是電腦，不能執行代碼。大腦有它自己的學習方式。
第二步：分析原因：結合該實例仔細思考這些被歸納推導出來的數學規律的背後原因。思考當時面臨的問題是什麼，是用什麼思路去解決該問題的，這樣歸納數學規律的好處是什麼。同時學習第二個實例，進行參照和對比。實例並不需要多，但一定要透徹。
第三步：再次應用：尋找相同規律的現象，並用已學的數學規律去解決該現象。

比如說，我當初學線性無關的例子。
先是熟悉了定義，然後思考定義線性無關的原因是為了幫助我們選擇描述某個狀態的因素。然後我就遇到了實際問題，我不記得我的郵箱密碼鎖了。一個三位數字密碼鎖。需要先右轉，再左轉一個數字，再右轉。乍看起來是三維，需要嘗試1000次，然而前兩位數字是成比例的，也就是線性有關。實際的只是二維，只需要嘗試100次。但由於是轉盤式。實際上最糟情況也僅需要轉10次就能破解。

Young man, in mathematics you don"t understand things. You just get used to them. ---John von Neumann
不過馮諾依曼這麼說很讓人困惑,因為他顯然理解數學的。

回答是很顯然的，無法避免和克服，你唯一可以做的，就是把你在根本不習慣和無法理解時的那種感受刻意記錄下來，等你覺得那些東西都「自然而然」了之後再回過去看，看看他們是不是被真正解決了。

但是這對於絕大多數學習者是毫無必要的——這將嚴重拖慢你的學習效率。我是說絕大多數——包括我認識的很多在做數學的人，我覺得他們的思維很僵化，他們覺得這個東西很自然了，就是這樣了天經地義，你跟他們說這個東西不直觀，不是那麼好，其實還是沒法解決那個問題，他們就會覺得你沒學好（沒像他們那樣習慣它）。

舉一個大多數人都知道的例子，歐氏幾何的第五公設，大家其實都覺得不直觀，但學這個的人看多了，其實都覺得這個挺直觀的啊（過直線外一點只能做一條直線與已知直線平行），最最可怕的是，如果你不刻意記錄過你之前那種「不直觀」「不能理解」的感受，等你後來習慣了，「理解了」「自然而然」了，你反倒很難理解那些說它「不那麼自然」的人，你會自然地覺得——他們學得太差了，這個都不能理解。也根本不會去想是不是能摒棄掉第五公設發展新的體系——這個顯然只有覺得第五公設很不自然的人才會去做。

還有一個很典型的例子，我看過知乎上很多回答數學問題的人，別人問有什麼通俗的理解，很多人都說，比如通信專業的，他們就開始舉例子——他們通過很多的例子終於「自然而然」地理解了某一個變換，或者其他什麼公式定理。但其實根本就沒有理解，他們只是習慣了，發現可以用而已。不只是工科是這樣，理學也是這樣，大家其實也是用多了而已。有人云，你不懂你就多做題，自然就懂了——誠然多做題對數學來說，是極其必要的。但是如果你做題做多了產生的理解，並不能解答你最初的疑惑，那麼，如果你能記住你最初的疑惑的話，說不定是可以開創出新領域的。

我記得在學極限語言的時候，我覺得柯西搞出的這個東西的確非常一顆賽艇，我很快就理解了極限的表述以及從中推導出的各種東西，但我仍然覺得它沒有解決我最初接觸微積分時的一個核心問題——無窮小。事實上大家都很清楚極限語言很巧妙地避開了無窮小，後來我們接觸的用極限處理過的無窮小，總之跟最開始想像的無窮小就是不一樣——我刻意記過我最開始對無窮小的想像是什麼樣子——我為此付出了極大的時間和精力，想統一「無窮小」和實數系的運算，真正解決掉那個貝萊克悖論。我記得我整個大一大二幾乎全部花在這上面，以至於我成績不是很好，總是會把題目按照我對無窮小的理解看能不能直觀地做出來，如果解不出來，我就會想很久這個說明我的這套體系的不完善之處在哪裡——直到我最近接觸了個叫「非標準分析」的東西，我還沒有深入地學習，但裡面有很多對無窮小的處理和我當年寫下來的都一樣，而且顯然更加嚴謹而系統，真的興奮了很久，當然也有點失落——前人到底還是很牛逼，我還是落後了一步。但這件事給我最大的體驗就是——你如果覺得一個東西天經地義了，你就永遠覺得那個銅錢本來就是粘在油葫蘆上的，沒想過可以拿下來，因為你已經「熟能生巧」了，而大家都誇你技藝高超，也紛紛苦練往銅錢眼裡倒油的技藝。

但我就會一直很納悶兒——為什麼這個上面要放個銅錢。

看了評論區的建議後我真的就開始寫專欄了，大家一定要多關注啊！知乎專欄·「稀有天才」- https://zhuanlan.zhihu.com/genius

題主你是在玩梗么？馮諾依曼的名句：
In mathematics you don"t understand things. You just get used to them.
所以，題主你只需努力成為馮諾依曼，那麼就不用擔心防止習慣的問題了。

習慣不一定就比理解更簡單吧，看你怎麼定義習慣了。

人可以理解魚游水、鳥飛翔，但哪個人能在游水和飛翔上習慣到了魚和鳥的地步？

我覺得某些東西，即使你已經理解了它，但還未必能習慣它。

看一本稍微高一點的書，比如 tao 的數分或者任何一本構造數域的書

講點負能量，將主題中的知識縮小到概念範疇。

習慣了是常態，理解了是偏態，理解需要代價。也許高數還行，但越學越深，理解概念越困難，但很多時候不影響你解決問題，除非你是該方向的博士生。

1.理解需要時間積澱。
根據個人觀察，IQ高的人在理解技巧方面效率優勢明顯，但相比之下，在理解概念方面效率優勢就少了。這也是很多人認為大學數學不同於高中數學的原因之一，部分解釋了少數人高中競賽成績好，但不適應大學數學學習。高IQ人在理解概念方面尚且如此，一般人花費大量時間理解概念則是必然的事情了。

2.深刻理解概念需要了解動機與演化的歷史行程。
如果只為了考個高分，一般沒必要對概念理解太深。通常，深刻理解概念要考慮動機，意義和例子三大因素。動機這裡定義成本初和底層的想法，就個人經驗，大部分概念的動機最初都針對某個具體問題而生，在鑽研問題過程中提煉出來。但是，如果一個概念只針對很少的問題，或是人為定義太明顯，則意義性就低了。圈一下概念涉及的問題範圍，追蹤演化的歷史行程，通過對比能更深入理解。例子是記憶概念的最好方法，通過體會概念在眾多例子中的如何起作用，有助於加深理解。

不過，根據top2的情況，大部分學科，特別是專業課，沒人給你整理2，再送到你面前，不論他是老師還是大牛。所以你應該心中有個評估，你對「理解」如何定義，準備到何種程度，是否決定花時間思考？代價可承受否？

所謂的書讀百遍其意自現是一種低效率的讀書方式。。當你讀了很多遍，自以為理解了很多時，其實有很大被洗腦的成分在裡面。讀一遍，就被洗一遍。我覺著依賴於比較機械地重複，很難獲得高質量的理解。你讀到某一段感覺對自己的理解不滿意時，比較好的方法是逐字逐詞來理解，盡量舉更多的例子，盡量多和其它東西建立聯繫。

我來提供一個簡單的檢查方法好了

給定一個陳述句A，如果題主能自己找到另一個陳述句B，並證明2者等價：就說明你完全理解了

如果只能證明一半或者只能找到強化/弱化後的A的等價B"：說明你理解了一部分

如果只能證明A IFF A 本身，說明你只是習慣（會背）了

PS：說真的我很討厭intuition這個詞因此也很討厭一些答案里對直覺啊現實的強調————一個好的(約等於well-defined)命題及其證明本身就intuitive。相反，反證法往往就不是intuitive。因為它經常省略很多原命題里透漏的信息。

為此，來，給大家出一個基本題來自我檢查：證明反證法總是有效的

試著去理解，你就能理解了

看了這問題描述，不知怎麼我就特別困惑一件事——

題主，請問你知道「習題」這個東西是用來幹啥的不？

對於新接觸的東西（尤其是抽象晦澀的），一般很難一下子就做到理解的，唯一可取的是先去適應，做到習慣。

當習慣成自然時就會加深你的理解！

比如微積分，一開始不可能大家都理解，但一開始適應習慣後，久而久之就可以做到較深的理解。

想當初初次接觸極限的嚴格定義，不少人都難以接受，只能是去慢慢適應習慣，到最後也就慢慢地理解了。

檢驗（對知識）消化的最好的方法就是「用」。
將書由薄讀到厚，再由厚讀到薄，也是檢驗消化的好方法。

[概述]讀書求消化，而不是囫圇吞棗，這是看似慢，實則快的方法。因為，日後再讀同類書，可以跳過懂的地方，只看不懂的地方，讀書就快很多了。否則，每次都要重新讀，重新學。

讀書得法了，然後看文獻，實際上看文獻和看書沒有什麼不同，也是要消化。
有了吸取文獻的基礎，就可以搞研究工作。

[概述]獨立思考是搞科學研究的根本，歷史上的重大發明都是通過獨立思考搞出來的。不是說不讀書、不看文獻、不聽老師講述，而是說不能拘泥於這些，失去創造力。獨立思考還可以彌補文獻不足、導師經驗差的外部條件。有了獨立思考，沒有導師或文獻不全，就都不會成為我們的阻力。

搞研究工作的幾種境界
1，照葫蘆畫瓢的模仿。實際上等於做一個習題。
2，利用成法解決幾個新問題。
3，創造方法，解決問題。
4，開闢方向。可以讓後人做上幾十年，成百年。

「漫」就是在你搞熟弄通的分支附近，擴大眼界，在這個過程中逐漸轉到另一個分支，這樣，原來的知識在新的領域就能有用，選擇的範圍就會越來越大。

我要求你們年青人有兩條：
1，有對科學鑽深鑽懂一行兩行的鍛煉。
2，能有搞科學實驗運動，組織群眾，發動群眾，把科學知識普及給群眾的本領。
二者不可兼得時，擇其一也可。

單憑天才的科學家也是沒有的，只有勤奮，才能勤能補拙，才能把天才真正發揮出來。
古人說，人一能之己十之，人十能之己百之。

懂就說懂，不懂就說不懂，會就說會，不會就說不會，這是科學的態度。

【概述】
數起源於數數（如一二三四，一個兩個三個四個）。量起源於度量，先取一個標準，然後測量。天下有各種不同的量，數是各種不同量的共性，通過它才能比較量的多寡，才能說明量的變化。數學不僅研究量、量的變化、量的關係的變化、量的變化的關係，而且還研究量的變化的變化、關係的關係、共性的共性，循環往複。數學是從物理模型抽象出來的，它包括數和形兩方面的內容。

數學是一門富有概括性的學問。抽象是它的特色。同是一個方程，彈性力學上是描寫振動的，流體力學上卻是描寫了流體動態，聲學家不妨稱它是聲學方程，電學家不妨稱它為電報方程，而數學家所研究的對象正是這些現象的共性的一面——雙曲型偏微分方程。
不但如此，這樣的共性，一方面可以促成不同分支產生統一理論的可能性，另一方面也可以促成不同現象間的相互模擬性。例如聲學家可以用模擬的電路來研究聲學現象。

客觀事物的出現一般講來有兩大類現象。一類是必然現象——或稱因果律，一類是大數現象——或稱機遇律。表示必然現象的數學工具一般是方程式，它可以從已知數據推出未知數據來，從已知現象的性質推出未知現象的性質來。通常出現的有代數方程、微分方程、積分方程、差分方程等（特別是微分方程）。處理大數現象的數學工具是概率論與數理統計。

敦：社會科學更偏重於大數現象。但高度抽象的社會科學理論則也用到很多因果律。

【概】數學的分支可以直接與實際問題相聯繫。如，數理邏輯和數論與計算機自動化設計，複變函數與流體力學，泛函分析和群表示論與量子力學，黎曼幾何與相對論等。

高速度大存儲量的計算機的發展改變了科學研究的面貌，但是近代的電子計算機的出現絲毫沒有減弱數學的重要性，相反地更發揮數學的威力，對數學的要求提得更高。繁重的計算勞動減輕了或解除了，而創造性的勞動更多了。

蘇步青

學數學，我一向提倡學生多演算一些習題，這有利於弄清基本概念、定義，以至於達到熟練運算的程度。這就是非常重要的基本功。
我青年時代學數學，就養成多解題的習慣。我首先把教科書上的規定的習題，通過自己獨立思考把它解出來，從中領會其所依據的是什麼基本概念，什麼定理，然後思考是否還能用別的方法解題，把這道習題真正搞懂。

初等數學的基礎就是算術、代數、幾何、三角，學好這些學科才有可能學高等數學，高等數學的基礎應該說是解析幾何和微積分，由此可見：算術、代數、幾何、三角是數學的基礎的基礎。

所謂「學好」，是指把各學科的內容即教科書內容包括其中所有習題學得深透，演算得爛熟，真正做到沒有一個定理不會證，沒有一個習題不會做的程度。

以下不再單列作者名字

學數學最怕的是吃夾生飯。如果一些東西學的糊裡糊塗，再繼續向前學，則一定越學越糊塗。結果將是一無所獲。所以不要爬學的慢，一定要學得踏實。
華老常說：要正確估計自己，如果不行，就要退，一直退到懂的地方再繼續前進。

首先，在開頭要狠下功夫，要盡量放慢一些。我在念一本新書時，開頭我特別下功夫，因為開頭都是基礎的東西，基礎的東西往往是容易接受卻較難理解，特別是高等數學是這樣。

寫讀書筆記是幫助我們深入思考、鞏固學習收穫的重要方法。有些同學寫筆記是抄書。我寫筆記的方法是：看完了把書擱在一邊，拿張白紙，用自己的話寫下自己所體會的內容和心得。這樣可能寫不了多少，但那是自己真正拿到手的東西。如果一點寫不出來，那就說明自己沒有收穫，或者這本書根本就不值得看。

基礎是個無底洞。雖然一定的基礎是必要的，但不能等到把一切都準備好了再開始工作。只能在工作中通過邊干邊學，擴大和加深自己的基礎知識。

數學書刊，浩如煙海，一個人的精力有限，只能精讀其中幾本有代表性的高水平的著作；讀懂了這幾本書，其它的就比較好辦。如何選擇精讀書？首先要確定主攻方向，然後圍繞主攻方向，爭取老師或先行者的幫助。高水平的著作雖然難讀，但讀懂了卻終身受益。所以，花高代價也是值得的。一般地說，要打好基礎，讀幾本這樣的書實是必不可少的。

如何攻讀數學專著？先閱讀序言、目錄以及有關介紹，以便了解本書概況及做好必要的準備。讀第一遍時要慢和細，一步一步地循序漸進，這樣才能讀得深和走得遠。
預防冒進的好方法是做筆記，既動腦又動手。把一些重要的概念、定理及證明仔細地整理一遍，必要時做補充證明，寫讀書體會；還要做一定數量的習題。
【概】第一遍時局部地讀，第二遍主要是整體地讀，第三遍可以順讀、反讀、專題讀。學習應以自己為主，爭取外援，參考有關書刊。反覆幾遍，全書的體系就瞭然於胸了。

一些具體的數學攻堅方法，似乎是摘錄自其他數學方法論的書籍，比如波利亞的書。

所謂「由博返約」照我的理解便是：首先，博覽，然後選擇一些（或三兩個）科目精研下去。

第一，反覆學習、反覆思考是非常必要的，這是「精讀」的一個非常重要的內容。如果看一篇新文章，或者沒有老師在旁指教的時候，只有反覆學習才能把所學的內容學懂，只看一遍便懂的情況是非常少的。只有反覆學習反覆琢磨才能有所收穫。
當我們作科研、遇到什麼難題時，只有經過我們深鑽、理解得透徹的部分（那些定理）才能供我們使用，幫助我們的忙，那些只見過一兩面的定理或方法，是很難給我們驅使的。
第二，必須打有準備的仗，不打無準備的仗。除去學習、理解意外，我們又必須動動手。在別的自然科學中，這是指實驗或調查，在數學則指做習題或搞新題目。不管哪一種，在動手前，必須做好充分準備，切忌盲目動手。
試就做習題來說，在動手做習題之前，必須先把正課溫習一遍，把有關的知識重新理解一遍，然後才做習題。即時做不出來，一般也能知道問題所在，可以檢查自己在哪一個「關口」通不過，然後就在這個關口再重新複習一遍，這樣逐步克服困難，逐步前進，不管最後這個習題是否做了出來，都對自己大有益處，都使自己對正課有進一步的深一層的理解。反之，如果不做準備，不先複習，為了做習題而習題，動手邊做，盲目亂撞，東拼西湊，即時偶然把題目做了出來，那只是碰巧，自己並未曾把所學到的知識拿來應用。如果做不出來，也不知道問題出在什麼地方，應該在什麼地方想點子。

敦註：在學習，尤其是自學新知識時，可以先從例題著手，自己做做例題，看能不能做出來，然後回頭看理論部分，盡量結合例題來學習理論。做習題時，可以採用上面所引的方法，便於複習。目的不同，故方法不同。

初學的人每每走極端，把很好的主張或辦法推行到極端，結果反而誤事。例如，但人們提到注重基礎理論時，便整天泡在基本教科書中，整天做教科書上的習題，十多年下去，人也老了，一事無成了。當人們提到注重科研，應早日從事科研時，又不顧條件，不做準備，馬上去讀論文，第一篇勉強讀完，還沒有消化，又讀第二篇，不到幾年功夫，論文讀了不少，但沒有一篇是讀透了的，所謂「人人面善，無一知交」，當自己從事一個題目的探討時，竟然束手無策。

所謂基礎訓練，絕不限於無休止地做教科書里（或習題集中）的習題，這只是一方面的。更重要的是，對主要定理的證明（這一般是較為艱深的）反覆鑽研（以便加深理解），並設法加以改動或改進。這是提高自己做題能力的一個良好辦法。

數學中有不少內容，前後間的聯繫是十分緊密的。後者是前者的發展，只要善於思考，通過分析找出問題所在就可以利用已有的知識予以解決。學習這類內容，就不妨暫且不閱讀書本中的材料，而自己先探索一下解決問題的辦法。

敦注，此法很利於自學。而且此法在實際解題時也相當有用，因為實際接觸一個問題時，的確類似這種探索過程。

摘自數學家談怎樣學數學華羅庚等著

思而不學則殆，學而不思則罔。

歪個樓……
我從來都不覺得自己理解了數學，但是似乎它在逐漸變成我的一部分，或者我在變成它的一部分，即使我不能理解自己，也不妨礙我調用數學。

就像我逐漸習慣了在這世上生活，但從未曾理解這個世界一樣。

覺得是一個值得思考的問題，忍不住談談個人看法。
從哲學的角度來看，意識是對客觀世界的主觀映像，任何智能或者你所謂的理解都是大腦中對你所見過的客觀世界的復現。

如果一個人喪失了一切視覺觸覺等感覺，卻只能看見相關數學公式定理，那麼他一定連十進位數都理解不了。雖然他理解不了，但如果他接受所有的數學公理和運演算法則，那麼他也可能會創造出如微積分一樣嚴密的理論，雖然他並不知道這有什麼用。

在數學體系中，根本沒有要求你理解什麼，從一個公理推演到一個定理，都是基於現有的其他公理和規定的運演算法則，證明也同樣如此。說到微積分的老祖宗極限的四則運算，也不過是規定。數學推演到高階後，一定是人類直覺所不能感知的，只能接受。

數學是獨立於物理世界的，但是他的一部分基礎來源於物理世界，這就是為什麼實數加法乘法不經任何思考就能理解，而複數卻難以理解。

能將數學和現實聯繫起來，必然會加強對於相關數學知識的理解，對於工科學生這很重要，但這並不是數學本身所在。在數學中沒有理解這個詞，要理解它，直接證明它就可以了，我們所謂的理解，只不過是在一些數學定理上尋求現實直覺，但很多地方這樣的直覺是根本不存在的，在更多的地方，我們只能選擇習慣。我想數學這門學科本身的魅力就在於，能在有限的信息中推演出大量未知的信息。

數學就是科學的皇后。

good question! 以做助教的經歷來看，很少有學生能想到這一層級，事實上，也有教授講過，數學的難很大一部分是因為搞數學的人自己創了一套很難懂的語言體系，天然把很多人排斥在外，必須要承認不少數學家在寫一些東西的時候並沒有認真考慮過讀者的感受，他們只是考慮如何讓自己在語言邏輯上無懈可擊。要想度過這一階段，有這麼兩個方法：一是形象化，翻看歷史，去想想最初的定義是如何產生的，是純粹為了數學中一個問題還是現實世界中的物理模型激發產生的，然後慢慢去想這樣做的合理性，或者自己可以用粗略的形象去輔助理解，比如在學極限的定義時，我當時就總在想像兩個人在操場上逼迫對方奔跑。二是嘗試自己去修改定義，想像下他的那個定義中添一個字或去一個字行不行，每個字的必要性在哪裡？這樣思考多了，雖然不能說真正理解了知識，但至少會減少很多數學學習中陌生感帶來的茫然。

學了微積分和線性代數，自己就能把泛函分析搞出來，說明你「習慣」了。

學了泛函分析，才發現微積分和線性代數到底是怎麼一回事，說明你「理解」了。