int_0^infty (x^4*e^x)/((e^x-1)^2)dx 這個積分如何計算？

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積分的具體數值已經知道了，想要了解求解的具體過程

非常有意思的問題。首先，讓我們嘗試計算一個比較一般的形式：
$egin{align} int_{0}^{infty}frac{x^{s-1}e^x}{left(e^x-1 ight)^2}mathrm{d}x =int_{0}^{infty}frac{x^{s-1}e^x}{e^{2x}left(1-e^{-x} ight)^2}mathrm{d}x\ =int_{0}^{infty}frac{x^{s-1}e^{-x}}{left(1-e^{-x} ight)^2}mathrm{d}x\ =Gammaleft(s ight)zeta_2left(s,1 ight), end{align}$
其中， $zeta_nleft(s,a ight)$ 是一個多重的 Hurwitiz zeta 函數，其級數表示長成下面的樣子：
$zeta_nleft(s,a ight)=sum_{k_1,cdots, k_n=0}^{infty}left(a+k_1+cdots+k_n ight)^{-s}.$
看上去似乎不是那麼好計算對吧。但是很幸運，我們有
$zeta_2(s,x)=left(1-x ight)zetaleft(s,x ight)+zetaleft(s-1,x ight).$
其中， $zetaleft(s,x ight)$ 是普通的 Hurwitz zeta 函數。代入我們的數值得到：
$egin{align} int_{0}^{infty}frac{x^{5-1}e^x}{left(e^x-1 ight)^2}mathrm{d}x =Gammaleft(5 ight)zeta_2left(5,1 ight)\ =Gammaleft(5 ight)left[(1-1)zetaleft(5,1 ight)+zeta(5-1,1) ight]\ =Gammaleft(5 ight)zeta(4,1) end{align}$
隨後，利用Hurwitz zeta函數和Riemann zeta函數的關係，我們可以的得到：
$egin{align} int_{0}^{infty}frac{x^{4}e^x}{left(e^x-1 ight)^2}mathrm{d}x =Gammaleft(5 ight)zeta(4,1) =Gammaleft(5 ight)zeta(4)=24cdotfrac{pi^4}{90} =frac{4}{15}pi^4. end{align}$
最後，我用Mathematica驗算了下：

這個積分在物理學中，尤其是固體物理中用的還是比較多的，比如聲子體系的熱容的計算，如果想得到具體的表達式需要計算這個積分，不過如果想得到 $T^{3}$ 這種定性關係倒是不用。電子體系中用到的索莫非展開也涉及到類似的東西。
先做一步分部積分
$int _{0}^{infty}x^{4}d(frac{1}{1-e^{x}})=-int_{0}^{infty}x^{4}d(sum_{n=1}e^{-nx})$
對於其中的每一個積分 $int_{0}^{infty}x^{4}de^{-nx}$ 進行幾次分部積分可以得到
$int_{0}^{infty}x^{4}de^{-nx}=-frac{4!}{n^{4}}$
因此這個積分等於 $sum_{n=1}frac{24}{n^{4}}$
關於這個級數的和我沒有什麼太好的辦法，不過查特殊函數 $zeta(s)=sum_{n} n^{-s}$
$zeta(4)=frac{pi^{4}}{90}$
所以原式等於 $frac{4 pi^{4}}{15}$

@安宇森的回答非常漂亮，不過關於無窮級數 $sum_{n = 1}^infty frac{1}{n^4}$ 的求和問題我補充如下：

引理設 $f(z)$ 在 $mathbb{C}$ 上除了有限個孤立奇點外處處解析，若存在常數 $R > 0$ 和 $M > 0$ ，使當 $leftvert z ightvert > R$ 時， $leftvert z f(z) ightvert le M$ 。則
$oint_{C_N} pi cot(pi z) f(z) dz ightarrow 0$ ，當 $N ightarrow infty$ （ $N in mathbb{N}$ ），
其中 $C_N$ 為正方形圍道，四個頂點為 $(N + 1/2)(1 pm i)$ 和 $(N - 1/2)(1 pm i)$ 。

無窮級數 $sum_{n = 1}^infty frac{1}{n^4}$ 的求和
取 $f(z) = 1/z^4$ ，則 $pi cot(pi z) f(z) = frac{pi cot(pi z)}{z^4}$ ，其奇點為 $0, pm 1, pm 2, cdots$ 。除了 $z = 0$ 是五階極點之外，其餘皆為一階極點。取引理所述的圍道 $C_N$ ，由留數定理，有
$oint_{C_N} frac{pi cot(pi z)}{z^4} dz = 2 pi i sum_{n = -N}^N operatorname{Res}left[frac{pi cot(pi z)}{z^4} ight]_{z = n}$
其中
$defarraystretch{1.3} operatorname{Res}left[frac{pi cot(pi z)}{z^4} ight]_{z = n} = left{ egin{array}{rr} - frac{pi^4}{45} extrm{if } n = 0 \ frac{1}{n^4} extrm{if } n e 0end{array} ight.$
所以
$oint_{C_N} frac{pi cot(pi z)}{z^4} dz = 2 pi i left(- frac{pi^4}{45} + 2 sum_{n = 1}^N frac{1}{n^4} ight)$
令 $N ightarrow infty$ ，由引理可知左邊為零，即得
$sum_{n = 1}^infty frac{1}{n^4} = frac{pi^4}{90}$

參考
吳崇試，《數學物理方法》（第二版），北京大學出版社，2003年（引理7.2）

Debye Model？

我們沒文化的人遇到這種積分都是用軟體的（笑）。

做一次分部積分之後化成Bose-Einstein Integrals
$I(p)=int_{0}^{infty}frac{x^{p-1}}{e^{x}-1}dx=zeta(p)Gamma(p)$
問題得到系統解決

要看具體導出的話參考這個
http://www.physik.uni-regensburg.de/forschung/fabian/pages/mainframes/teaching/teaching_files/files%20of%20mf_statistical_physics/BE_integrals.pdf

@安宇森的解答很巧妙，今年丘賽分析初賽Q4第二問的工科解法就是用級數展開逐項積分法求解。

回到原題，關鍵是求zeta(4)，下面給出一個工科大一解法，暴力計算。

這是二次方情形，對於四次方情形，只需要利用帕塞瓦爾等式，然後複製上述計算過程：

排版比較好的截圖是以前寫的，手寫比較爛的是現寫的，a{2n+1}漏掉一個負號，但不影響帕塞瓦爾等式的應用。