求極限什麼情況下可以在加減式中使用等價（無窮小）替換？

12-27

之前在某一本書中看到的結論是不可以在加減法中使用等價替換。
最近在另一個老師的課上老師提出了這樣的方法，若是A-B，A替換後為a（A~a），B~b，若a/b≠1，則可以使用等價代換。若是A+B，若a/b≠-1，則可以使用等價代換。然而在他舉例子的時候，有些式子（分子）前部（被減數）是某一存在等價替換的式子，後部（減數）是一個不確定的式子（f(x)或者ax^2+b這種），他依然使用了這種方法。
然而更讓我懵比的是，在一個前後都是確定的式子（分子），而前部（暫且說為被減數）是一個存在等價替換的式子，減數是一個不存在等價替換的式子，他會把這個分數拆為兩個分數相減，然後第一個用等價替換，第二個正常替換。然而我的另一本書中明確的寫到不可以這樣拆開來算極限。
那麼到底那種說法是對的呢，忘得到解答。

說起等價無窮小，這玩意怎麼說呢，其實並不是那麼規範和嚴格的東西。因為他是泰勒公式的一個簡化。

我們都知道泰勒公式是展開成多項式，而這個等價無窮小就是取泰勒展開的前幾項（一般只取一項），也就是說等價無窮小是一個粗略精度的泰勒展開。

事實上，在我的印象中國外的書籍並沒有提到等價無窮小這樣一個東西，只不過國內解題時能提高解題速度所以才大肆推廣。但是由於等價無窮小這個東西實在是不精確，可能會帶來許多問題，於是國內書規定加減因子不能用等價無窮小，乘除因子可以放心使用。

這個破規定無頭無腦，實際上是因為乘除運算不會導致項的抵消，但是加減運算會導致項的抵消或合併，在等價無窮小這種本來就不精確的情況下，無視加減帶來的項抵消或合併是可能會產生致命的錯誤，比如下面這題

你如果等價無窮小替換髮現做不出來，實際上泰勒展開發現：

等價無窮小隻取了第一項，後面被忽略，兩者泰勒展開相減應該是x^3/2，然而等價無窮小直接忽略了它。

所以想在加減時等價無窮小替換，就泰勒展開看看，展開到與分母最高階次相同，如果展開的項都抵消了，就可以放心使用。總而言之，不放心就泰勒展開，看看後面幾項。

所以答主，我的建議是，平時可以花點時間泰勒展開看看，結合等價無窮小一起理解其本質，你自然就知道何時可以用何時不可以用。

謝邀。
這類問題可以用如下方式思考：
假設f(x) , g(x)是兩個等價無窮大（無窮大是因為考慮加減法一般是無窮大，無窮小加減出來極限就等於0了），那麼f(x) = g(x) + o(g(x)). （為什麼？）注意這裡是小o，小o和大O的區別，自己看書。
那麼f(x)-g(x)=o(g(x))，這個等式的右邊只不過是比g(x)嚴格小的一個「東西」（它可能是比g(x)低階的無窮大，也可能就是個有界或者振蕩的東西），o(g(x))的極限是多少，如果不給出另外的信息，只能是「不確定」。

那麼乘除法呢？我們繼續按這種方式算： f(x)/g(x) = (g(x)+o(g(x)))/g(x) = 1 + o(g(x))/g(x)，這個右邊極限是1，因為o(g(x))/g(x)根據定義極限是0（不明白的請繼續回去翻書看小o和大O的定義）。

我們通常算極限的時候會感覺Taylor展開是個普適的方法，主要因為Taylor定理告訴我們光滑函數可以用多項式去局部近似（我這裡說的是「近似」不是「逼近」，主要為了區分光滑函數和解析函數）。然而你如果真正看明白了的話，Taylor展開只是上述格式的一個特殊例子，不過是把g(x)取成了多項式罷了。一般情況下用其他的g(x)當然也是可以的。

最後說一句：小o和大O真是兩個好東西，他們本質上和epsilon-delta語言等價，但是書寫上和直觀思維上顯然方便很多，比極限符號lim也更方便。嚴格的敘述當然要用epsilon-delta語言，簡化記號就可以用lim符號，在無窮大無窮小的特殊情形下繼續簡化記號就可以用o和O。當然這是標準分析。非標準分析裡面直接就給了無窮小和無窮大嚴格的定義，而不僅僅是作為一個簡化的記號。

$alpha$ ， $alpha 1$ ， $eta$ ， $eta 1$ 是同一變化過程中的無窮小量，且 $alpha sim alpha 1$ ， $eta sim eta 1$
如果 $lim_{}{frac{alpha }{eta } } =l$ （ $l$ 為有限數），那麼：
1，若 $l e -1$ ，則 $alpha +eta sim alpha 1+eta 1$
2，若 $l e 1$ ，則 $alpha -eta sim alpha 1-eta 1$

證明：
1， $lim_{}{frac{alpha 1+eta 1}{alpha +eta } } =lim_{}{frac{frac{alpha 1}{alpha }+frac{eta 1}{alpha } }{1+frac{eta }{alpha } } } =lim_{}{frac{frac{alpha 1}{alpha }+frac{eta 1}{eta }cdot frac{eta }{alpha } }{1+frac{eta }{alpha } } } =frac{1+l}{1+l} =1$ ( $l e -1$ )
由等價無窮小定義得： $alpha +eta sim alpha 1+eta 1$ ( $l e -1$ )

同理可證 2

其實等價無窮小是泰勒公式的一種特殊形式，還可以有這樣的等價關係:sin x~x~x－x3/6，通常用前面的做代換，但如果±時出現0，這時要尋求更高階做代換。

1.之所以能拆開，是因為拆開後，至少一項的極限是存在的。

2.等價無窮小替換，只有在全是乘數因子時才能使用，而等價無窮小替換嚴格來講只是一種近似，所以叫「替換」；只有加上小o之後才嚴格等於，而在取極限時小o的作用微乎其微，故可以省略。

3.在使用泰勒展開式時，加上余項的話，是可以做到嚴格等於的，所以在有加減法時直接泰勒展開妥妥沒問題，需要注意的是小o的運演算法則。當然咯，一般我們做題的時候，題都是算起來很方便的。

定理:某一條件下，a,b為無窮小,a~c*k^m,b~d*k^n。若c≠d或m≠n,則(a+b)~(c*k^m+d*k^n)。
手機符號難打，將就一下。不舉例題。

可以通過某種方式變成因式或者分式的形式。
比如tanx可以換成sinx/cosx
f(x)^2-g(x)^2=(f(x)+g(x))*(f(x)－g(x))
還有一個上圖吧~打不出來
希望對你有用

這個問題我以前也想過
當這種情況成立:
lima+limb=lima+b的時候成立