有哪些讓你相見恨晚的數學學習方法？

12-27

Welcome to the Tricki 解決所有數學問題的方法大全
例如...
證明存在性的常用方法: Existence proofs
代數幾何: Algebraic geometry front page

江蘇考生，2010屆的，高考總分417，數學170，相信那一屆的同學們對葛軍都不陌生吧？

說一下我自己總結的問題論：

我們在做每一道題的時候，都會遇到卡住的地方，這個地方就是所謂的問題。

在弄懂題目之後，要回到這個卡住的地方，先把這個卡住的地方描述出來，接著，針對這個卡住的地方制定一下應對策略，下次做題時，遇到類似的地方，就採用這種策略。

當你所有卡住的地方，你都有應對的策略時，你自然就不會卡住了，題目自然也就做出來了。

就好比你去一個地方，當你能解決路上所有的阻礙時，只要堅持走下去，自然就能走到目的地。

所以，把目光專註於讓你卡住的地方，然後，去研究它，並制定應對的策略。

以前看過的一本書上有一句話是這麼說的：考試永遠只有兩種題，一種你會的問題，一種你不會的問題。因此我們要更多的把眼光著眼於你不會的問題，在考前，在平時，就應當去思考，自己不會的問題會是什麼？因為什麼而不會？自己會在哪裡出現問題？針對於這些問題，去思考解決的方法，這樣才能確保自己做的每一件事情，都是有意義，有價值的。

---------------------------------------------
以上說的是問題論，現在再來說說數學具體的學習方法，學習高中的數學，你得學會抓住每個章節下的本質，這個本質可以是老師教給你的，也可以是你自己看網課學的，也可以是你自己做題之中發現的。

那什麼是「本質」呢？我所理解的本質是一種大的思考方向，比如說高一所學的函數基礎，它的本質無非就是：

1、看函數先看定義域

2、通過畫圖求其值域

3、所有題目都要想辦法去畫圖

這個就是思考方向，我們做每道函數題，大方向上順著這三點去思考就對了。

在掌握了本質的同時，你還要能看穿你遇到的問題的本質，比如說「恆成立問題」、「零點問題」，它的本質都是通過移項，轉化成兩個函數的交點問題，而交點問題，就是確定定義域後通過畫圖來求值域。

還比如說讓很多人都頭大的圓錐曲線大題，百分之九十的問題，說透了就是：

1、聯立直線和圓錐曲線

2、根據題意列方程/不等式

做題的時候只要順著這樣的思考方向去做就可以了。

當然了，圓錐曲線大題最難的其實是計算，很多同學覺得特別的複雜，這個問題嘛，我可以告訴你們，我自己知道幾個技巧，可以很大的簡化計算量，當然這個不是主題，所以先不說了。

這個就是本質的重要性，所以在學習一個章節的過程中，你就得不斷地去尋找這個章節的本質，找到了後，你對於這個章節的題目就有一種從高處俯視的感覺了，那怎麼判斷你是否掌握本質呢？簡單的說，就是你是否能夠用一句話說出這個章節的本質。

本質之後，那就是具體的題型總結和運用了，這個等我時間再來更新。

推算公式，沒有之一。
陝西的，參加了兩次高考，11年和12年的。
11年還是一個理科學渣，高考數學考了48分，也是沒誰了。後來不甘心沒有努力過就失敗，於是選擇了補習。
12年在一所普通高中的普通應屆班做插班生，同時轉文科了，畢竟理化生想在一年內大幅提升還是太難了。數學水平基本就是啥也不懂。高三已經是複習階段了，但我和重新學習沒什麼區別，剛開始還跟不上進度，因為複習比學習新課的節奏快多了。
然後發現推公式這個學習方法還得感謝強迫症。每次用公式解題的時候，如果不知道這個公式是怎麼推出來的，就莫名難受，所以就從必修一開始，一遍遍推算數學課本上的公式，包括各種函數圖象的變化規律，從一開始卡在中間推不出來，到後來熟練推算，數學課本都快被橡皮擦薄了。（沒辦法，就是對鉛筆謎之喜愛）
除了推公式之外，就是上課認真聽，記住老師講的一些典型題，基本上每個知識點都有那麼幾道典型題，這個很重要，也是一定要熟練掌握的，考試能節省不少時間。
做題也不能少，但還是應該有針對性，我一般就是學校發的資料，配合進度做相應練習。個人不喜歡題海戰術，所以沒有額外買資料刷題，學校發的資料也沒做完，所以算下來在推算公式上花費的時間更多一些，再就是吃透老師講的典型題和一些常見題型。
然後第二次高考考了125分，還是在粗心失誤了一道5分填空的情況下，當時成績出來之後簡直高興瘋了，因為自己也沒想到會有這麼大效果。
不過推算公式比較枯燥，之前班裡也有同學問我的學習方法，說了之後沒人信，還被人覺得藏私，T__T。
每個人適合的學習方法都不一樣，還是要結合自身情況，寫出來做個借鑒，希望對大家有用吧。
哦，還忘了一件重要的事，就是畫圖，畫圖，畫圖，很多題用畫圖解決真的是又快又直觀又不容易出錯啊。就醬。

看不懂的時候就抄書。
高中老師逼著給讓養成的習慣，當時因為基礎太薄弱了老師要求整本書都要一個字一個字的讀課後題不論難易都要動手做一遍每天給他檢查。因為記性差所以抄了一遍生物書因為背不下來。。後來接觸一些數學課以後有讀不懂的地方就默默地開始抄，有的時候抄抄就理解了，心情不好的時候也抄抄數分。聽常微老師說你要是不會就抄十遍八遍，再去問老師。因為很多時候都是靜不下心來看書。

選擇一個優勢項目，用心鑽研，建立信心。

在數學學習中，保持動力的重要方式便是做出題的成就感。而如果你可以在數學的各種項目中有一科特彆強，比如幾何很強，便總能覺得學數學很痛苦時拿來一道幾何題為自己增加信心。
這個項目可以不是高（中）考的重點，可以是數學競賽中的內容，不過一定要十分深入，才能成為自己的避風港。有了家才能遠征。

看不懂就先習慣，不要硬想。
看不懂就先習慣，不要硬想。
看不懂就先習慣，不要硬想。

數學本科在讀（假裝是學霸），本文也許有些偏。

經過一年的摸打滾爬積累了一些數學學習經驗，或許稱不上是「相見恨晚的學習方法」，不過對我產生很大的影響：

1.關於數學教材，我們可以在課餘時間讀一讀其他版本的教材。吸收不同數學家的思想會促進你對某知識的理解。

2.當涉及到比較難的定理證明，可以先抄幾遍以記憶，大腦會利用暗時間進行消化理解。學院12級一名已被某常春藤名校錄取的學神建議，在刷課後習題之前，一定要把涉及到的定理吃透，必須要做到能夠獨立證明。

3.關於刷題，個人覺得不同類型和不同目的的人需要不同的刷題方法，如果只是想要考試拿高分的話，把課後習題刷5 6遍就差不多了（僅僅拿我們學校的數分舉例，其他學科拿高分的方法也許有偏差），當然這只是想拿高分。如果是真正對數學有興趣並且要深入鑽研，最好要刷一下經典的習題冊，比如吉米多維奇。周圍的同學學長學姐每個人的做題方法均有不同，因人而異，找到適合自己的最好了。

4.如果可以的話，找幾個夥伴經常進行數學學習上的交流，也就是交換思想，其他人的理解方式也許不是最好的，但肯定能夠給你一定的啟發。還要舉一個例子，學院12級的一個全部考入重點高校研究生的學霸宿舍，她們這幾年基本上每晚睡前都會討論當天學到的新知識，比較難的題目也會互相講解……說真的有個這樣的學習環境也是幸運[流淚]

5.其他建議：數學最好每天花一定的時間集中學習，不宜分散。不要帶異性去上自習。不要帶手機去上自習。

想到其他的再補充吧~

最後，願大家都能發現數學之美！[誠懇的微笑]

恨自己懂得太晚的一件事情，就是本科數學課程，也是要抄筆記和刷題的。

由於不知道提問的同學目前是哪個段位，所以，礙於學歷有限，我從小學說到本科。如果我的段位太低，那麼我們就互相都謙虛一下，保持一個良好的知乎環境！
從小到目前，我最自信的學科是數學，下面將學習數學的歷程和經驗拋出來供各位參考。
（不建議直接跳到最後看總結，因為這個答案，我寫了一個多月。）
——簡單分割下——
小學：建立自信+興趣+【算術方法】
我的家鄉是煤礦，N線城市，我是87年生人，以此為背景展開討論。
我的語文老師不喜歡我，整天罵我，偶爾打我，所以我當時很恐懼並且沒有自信。
我的數學老師，高老師，鼓勵我，所以我最初的自信就是做對每一道數學題，老師會誇獎我。小學一二年級，考試時班裡至少一半的同學都是雙百分（語文和數學均滿分），我不知道為什麼，每次數學競賽，高老師一定讓我參加，我不明白她是怎麼看出我就比別人厲害，而我當然也從來沒有辜負過她的期望，所以從小學開始，參加數學競賽變成常態。
我感謝我的數學老師，是她的鼓勵和誇獎讓我對數學變得自信，從而產生了我為數不多的興趣。
三年級起，同學們的分數開始拉開，不再是雙百時代，而我依然是雙百或者接近雙百，在這樣的基礎上，我參加了年級主任陳老師辦的「奧林匹克數學班」，陳老師給我們講的是「華羅庚學校數學課本」，在他的課上，我第一次感受到數學題真有意思，或者說，第一次體會到還有這麼難的數學題。印象中，陳老師每次講興奮了，就會抖腿。
年代久遠，很多記憶模糊不清，大約是三年級的時候，第一次接觸【算術方法】，這個詞是陳老師教的，所謂的算術方法，就是：數學的抽象思維，是解題時的一種感覺。

算術是數學中最古老、最基礎和最初等的部分，它研究數的性質及其運算。把數和數的性質、數和數之間的四則運算在應用過程中的經驗累積起來，並加以整理，就形成了最古老的一門數學——算術。在古代全部數學就叫做算術，現代的代數學、數論等最初就是由算術發展起來的。後來，算學、數學的概念出現了，它代替了算術的含義，包括了全部數學，算術就變成了其中的一個分支。——來自百度百科

下面我舉例說明。
一般的數學題：

有23隻雞和12隻兔在一個籠子里。問籠中各有多少只腳？

奧賽的數學題：

雞兔同籠：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數，有35個頭，從下面數，有94隻腳。問籠中各有多少只雞和兔？

我描述下最初碰到這種題的情景，諸位同學感受一下！
我：我艹，還有這種題。
陳老師：小樣的傻了吧，我還難不住你們？
陳老師很得意，一邊抖著腿一邊給我們講解題思路，我們一群熊孩子，絞盡腦汁的理解，眼神里寫滿了崇拜。
不誇張的說，我當時見到這種題，和第一次看藝術片的感覺是一樣的，興奮。

解題思路：（不可以用方程，不可以用動物抬腿的方法），百度裡面好多種思路，這裡略，其實是沒有當初的那種感覺了。

PS：學習了方程以後，發現，很多時候算術方法很像方程的逆推過程。算術方法最最關鍵的是，每一部都是有道理的，要明白每一部的邏輯，長期鍛煉下，便養成了最初的數學思考素養。
小學的數學成就：從一年級起，學校的各種數學競賽必定參加並獲獎，5年級（五四制，小學五年初中四年）時，數學基本是滿分狀態，比較驕傲的幾次是幾個初中組織的本礦小學生數學競賽，拿過第一。我們那裡確實小，而且教育水平有限，所以我的這點成就在城市裡的孩子看來可能不值一提，可是依然給我帶來巨大的信心。（那時候我是學霸。）
——簡單分割下——
初中：要保證會做的題都要做對，要有專研精神。
初中時，我的初代數學老師是鮑老師，我是學委，也是數學課代表。不過最初鮑老師罵我罵的是最多的，因為初一時出現大量計算題，計算題嗎，馬虎，然後數學成績一塌糊塗（也是班級前幾名），沒有不會的題，但是有算錯的題。
我印象很深的一件事是，某次數學考試過後，挨罵，因為計算題錯了好多。鮑老師當天罰我做100道同類數學題，那天晚上我大約後半夜睡覺，從課本，各種數學練習冊，抄錄100道題，每道題認真的做對，第二天交給鮑老師。
會的題做錯代價是很高的，也是極為可惜的。所謂的運動員保持正常水平，就和會的題必須做對是一個道理。
初中時，依舊參加各類數學競賽，校內的不必多說。印象較深的一次是初四時參加了黑龍江省數學奧林匹克競賽，遺憾的是沒有進入決賽，我同年級僅1位同學進入決賽，我仔細的對比過我倆的差距。
我的這個同學，具有鑽研精神，比如，我們高中時仍然在一個學校，這貨竟然在家自學微積分，雖說微積分也沒什麼難的。自學微積分這件事，對高中數學及各學科沒有任何幫助，因為高中及以前的各種習題全部是理想水平，例如：勻速直線運動，……。他能自學微積分，和他平時的性格非常匹配，他喜歡鑽研，對學習的興趣遠大於常人，這點是我不具備的。
基於我會的題必定做對的原則（我確實有這個自信），而省級數學競賽在正常數學教學範圍內多出了很多內容，即我不會的。我同學比我強的地方應該是他善於自學，或許在我們不知情的情況下，鑽研了很多數學內容，對於這點，我是服氣的。
說來諷刺，明明最擅長的學科是數學，中考卻以綜合（物理＋化學，那一年受「非典」影響，砍掉政治，物理和化學合併）里化學滿分，語文全校最高的分數畢業，數學我記得只考了105分（滿分120分），英語不說也罷。為什麼數學考這麼低，因為考試時，臨近尾聲檢查出一個大題做錯了，然後慌亂之下，用「魔筆（一種寫出無色液體但是可以綜合掉藍色鋼筆水的筆，是的，我們那時候還用鋼筆考試。）」瘋狂塗改，再用油筆重新寫上正確答案。當時慌了，沒意識到液體可以透過紙張將背面的填空答案也給消失了。當我意識到時，鈴聲響了。就這樣，帶著遺憾，結束了中考。
——簡單分割下——
高中：經歷過迷茫，最終頓悟。
可以說在高中我才真正明白了該怎樣學習數學，我的方法是：將高中課本所有的課後題研究明白，那麼考試時，正常發揮，數學是可以考滿分的。至於方法為什麼這麼簡單，和考試外的數學學習方法，我接下來會慢慢講。
簡單說下我的高中，某市第一中學，是黑龍江省省重點高中，像我這種帶著初中光環來的人，在學校里不計其數，尤其是本市畢業的學生，無論是分數還是聰明程度，好像都比我們這些礦山來的，農場來的學生高級一些，而實際上呢，畢業時，成績特別優異拔尖的同學，往往都是礦山的或者農場的。有一種安慰的說法是，市內小學和初中過早的榨乾了學生的潛力。
我們高中的重要成就是，我校高考成績正態分布曲線和黑龍江省高考成績正態分布曲線相似度極高。簡單來說，特別牛逼的有（省文理狀元啊、直接考出國的啊、什麼北京大學醫學院本碩博連讀啊，都有），特別差的有（不說了吧）。我屬於正態分布裡面人最多的那類人，中上吧。
高一時，我在重點班，我們的數學老師王老師是學校的數學王子，講課非常幽默（段子包袱不斷），講課很有深度（他從來不看什麼黃岡類的習題書，他專門訂閱數學雜誌），我印象很深的是他給我們講【斐波那契數列求和】，我最巔峰的成就也是推演並理解了【斐波那契數列求和】。在這樣一位超級牛逼數學老師的培養下，「王老師的課堂筆記」簡直是「九陰真經」一般的存在。
但是不幸的是，在高一這一年裡，我迷茫了，完全不知道怎麼學習數學了，甚至到了試捲髮下來，沒有一道題會做的程度。那次考試，範圍是高一函數那部分，試卷到手，慣例是大致看一眼做到心中有數。沒有一道題會做，連思路都沒有。當其他同學在奮筆疾書時，我不知所措，我也是好同學好不好，我最自信的是數學好不好，當時真想交卷算了。沒辦法，只能蒙選擇題了，由於函數類數學題的特點，選擇題答案往往是不同的集合，我的方法是：把0帶入，排除1個或2個答案，把1帶入，排除或確定幾個選項，就這樣靠代入法，好不容易做完了全部的選擇題，並且保證了答案的正確性，但是每道題我是真的不會。高中試卷的通例是12道選擇題+4道填空題+8道大題。做完選擇題後，我又蒙了4道填空題，8道大題練基本的公式都沒寫，空。
成績下來後，我68分（12道選擇題60分，蒙對2個填空得8分），但是卻在年級數學排名中前20名。全年級我是唯一的1個做對全部選擇題的人，然後我出名了，靠代入法出名了。然後代入法成了全年級數學選擇題的第一方法。用我的實例告訴大家，不會沒關係，可以做對的。其實這次考試是出卷老師有意提高難度，陷阱也特別多，正統的同學作出的答案往往是錯的或剛好掉進陷阱，而我，靠小聰明風光了一次。
那時候，我心裡的苦，又有誰知道呢？
高二時，我不出所料的分到了普班，唯一欣慰的是，我數學的感覺回來了。高二的數學朱老師，和高一的王老師風格完全相反，上課時，拿著課本，很用心的講例題和課後題，這在我看來比王老師差太遠太遠了。記得剛來時，我做過一件事，故意找一道我會的、難度很高的題來問朱老師，果然把朱老師難住了，朱老師說我不會，我拿回辦公室給其他老師研究研究，下節課再給你講。我當時有一點愧疚，也有一點失望。愧疚是朱老師看出我找茬的意思，但是心胸寬廣，坦白自己不會，失望時覺得朱老師的水平比王老師差遠了。如果王老師講的是九陰真經，那麼朱老師就是講少林長拳。
開始時朱老師上課我是不聽的，因為例題和課後題對我來說是掃一眼就會的事，我追求的可是九陰真經啊，所以還想著法去借同學記錄的王老師的課堂筆記，所以一直處於自學的狀態，朱老師並沒有管我，有時候反而讓我來給同學們講一講有難度的數學題。
可是慢慢我發現幾個很奇怪的事情，

①我們班一直是普班中數學成績最高的班級（僅高三第一次數學考試被複讀班普班衝擊了一次）；
②比如英語課我們班同學不聽課很正常，比如班主任的物理課大家不敢不聽很正常，但是數學課沒有一個不聽的就很不正常了；
③班裡無論成績多差的同學，都有自信給相對更差的同學講數學題（這裡沒有嘲諷的意思）。

在數學學習中，我自信，但是不驕傲。我發現朱老師真正的水平不是講多難會多難的題，而是能從根本上激發出大家的數學學習興趣。而朱老師的訣竅就是給所有人講懂例題和課後題。
慢慢的，我不在追求王老師的九陰真經，反而很喜歡聽朱老師的少林長拳。
例題和課後題，我會，但是我真的懂了么？通過思考，我發現，簡單的題也好，難題也好，都是例題和課後題的不同組合方式。

學習例題和課後題有兩大好處：
①簡單，誰都可以學會。可以快速培養數學學習興趣；
②通過推演，可以自創難題。自己都可以出題，還怕別人出題嗎？

終於，在高二的某一時刻，我頓悟了。我可以把任何一道正常教學範圍的數學題（區別於奧賽類題，後面會講。），無論難易，分解成對應的課本例題和課後題。例題和課後題誰不會呢？從那以後，我做題或給同學講題，不再追求華麗的演算法（比如，有段時間，柯西演算法在王老師的學生里很流行），我把題拆成例題和課後題，簡單的不能再簡單了。朱老師對我是欣慰的，我也算是得到朱老師的真傳了。所以我們作為普班來講，再難的一道題，我們全班同學都可以搞明白。
當然了，會和考高分有時候是兩回事，例如我在課餘時間搞了一套哈三中的數學高考模擬題，哈三中的特點是難，我利用課餘時間來做，斷斷續續，沒什麼心裡壓力，滿分。高考前各種數學模擬試卷，經常是滿分。高考數學我記得應該是125+分，具體分值沒記住，沒能考滿分，有遺憾，但這就是生活不是么？
我高中的主要成就，高二時參加全省高中的數學奧林匹克競賽，高二年級2人進複賽，我是其中1個，高三年級的多一些，20多個吧。之所以進決賽原因是，①考試範圍是高中數學，②我把包括提前自學到的部分，全做對了。這個初賽是在全部高中數學的基礎上進行了拔高，可以完美的檢測出高中數學的掌握程度。複賽讓我大開眼界，比如加試題共150分，只有3道大題，我連題目都看不懂。我和同學分析，複賽才是真奧林匹克數學競賽，給從小學習奧數的同學準備的。
——簡單分割下——
大學，學習數學思想。
我的大學，沒有虛度，也沒有學習，整天搞學生活動和社會活動，也算玩出一些花樣了。由於我上高數課睡覺，下課後和數學老師楊老師一起回學院辦公室辦事，他說我狀態不好。我隨口說我喜歡計算，不喜歡理論，楊老師是老派教授，是那個年代的真碩士教授，現在的教授起點是博士。楊老師教育我要學習理論，舉例說，未來的計算是計算機完成的，但是計算的程序是人來編寫的，所以要學好理論。嗯，從哪以後，我就不寫作業了。上課也沒聽過課，後來黑板上的符號也看不懂了。
我大學唯一沒有作弊的學科是數學，以高數為例，共2次考試，滿分100分，我分別是96和92（記不太清了，都是90多分。）我的做法是考前自學，參考例屆試卷，哪道題不會翻書去看，一道題一道題的過一遍，可以考試了，可惜半個月後全忘了。
楊老師的說法是對的，學數學要學思想。楊老師的經典例子是：微積分就是「洋芋（土豆、馬鈴薯的雲南叫法。）」的無限切片。在數字上，土豆絲的長度之和是土豆片的面積，土豆片的面積之和就是土豆的體積。一個土豆解釋了一維二維三維的數字關係。
——大總結前的分割——

從狹義的學習數學角度講，我最後給出的方法是學會課本里每一道例題和課後題。如果您是直接跳到這裡的或許覺得莫名其妙。

我學習數學的經歷可以概括成，小學建立自信，培養抽象思維，初中追求準確，培養專研精神，高中追求難度，最終卻化繁為簡，大學學習數學思想。

先搞清楚兩個問題：

學習數學為了什麼？
數學是什麼？

學習數學為了解題。廣義的解題概念，比如天宮二號要上天，需要解題。狹義的解題概念，比如考試，需要解題。簡單的解題，拿筆算算；複雜的解題，要建立模型。解題就是把把複雜的問題簡單化的過程。

數學是從簡單到複雜的推理過程。數學的完美體現在通過一定的方式可以得到答案。數學是從簡單到複雜的過程。

學習數學是從簡單到複雜，解題是從複雜到簡單。

複雜是簡單的集合。就狹義的解題而言，當我看到一道題的時候，簡單也好，難題也好，都是例題和課後題的不同組合方式。

回到命題：

怎樣學習數學？

狹義的講（上學），解題是簡單的組合，組合方式不同，難度不同，追求難度的過程即是學會簡單過程，所以，學會課本里每一道例題和課後題，從最簡單入手，組合成難題；把難題拆解成例題和課後題，你會得到想要的答案。

生活中，我們說把複雜的問題簡單化，就是這個道理。

工科學渣飄過！

針對工科數學及相關知識的學習，談一下個人體會：

1、直覺與形象（·）
學數學過程中，直覺和形象非常重要，一般來說，純數學的話，需要有數學本身的直覺；而工科的話，需要對工程背景有更深的理解，如果找不到類似背景，幾何背景也行。一個概念，在不同的背景中反覆出現時，會被我們理解得更深。

2、演繹與歸納（=）
偏理論的書籍，在建構知識樹時，是從幾條假設和模型開始的，所以越學越複雜。而偏重實踐的書，在介紹知識點時，會逐步引入假設，抽絲剝繭，最後反而簡單。

號稱信號處理領域的雙子星座：1、奧本海默的《信號與系統》，2、Smith的《實用數字信號處理-從原理到應用》。就分別屬於這兩類典型。

在學習過程中，可以彼此合參，後者容易建立直覺，前者更系統。

3、理論與計算（O）
在銜接理論和實踐中，有一類過渡知識：比如《統計學》、《數值分析》等。

當前的教學中，理論和實踐脫節原因有很多，其中有一個比較重要的原因，就是對這種過渡知識的不重視。因為理論和實踐的溝通，需要通過數據傳遞來實現。但是如果對《統計學》、《數值分析》等類似知識不熟悉，有時候就會顯得比較困難。

一些工科學校，現在會把matlab作為本科的必修課了，但是其立意不在學一個軟體。而在於學了這個，就可以把模型和數據反覆練習了，這是在缺乏實際背景下，把之前所學串起來的一個有效的方法。

訓練。
你是天才，當我沒說。
你是普通人，這是最好的數學學習方法。田剛院士四年做了四萬道題，數學學習真沒有捷徑啊同學們。唯有不斷的訓練，也真的沒什麼方法，如果強行說一個，那我覺得抄書是個還不錯的辦法，但是只是輔助你記憶而已，要融入到你骨髓當中，還是要訓練訓練再訓練。

看參考答案吧，對接觸新知識，新題型，沒有更高效的訓練方式了

我是數學專業的，平常時間都花在寫代碼上了，一直用這種方式處理習題，邊看答案邊寫習題，效果還不錯，數分考過滿分，高等代數學的也很紮實，有這兩門課的基礎足以應付大部分的工程需求

但要注意及時總結

學習數學呢，我覺得是沒有捷徑的，就是勤奮，嚴謹。。。再說我學曉校訓要出來了，跑題了。
先說證明題，多數人一見到證明題就頭疼，覺得這麼顯然的東西為什麼要讓我證明。一開始我也是一樣，一看證明題就覺得自己不會，直到上個學期學了拓撲學，全是證明，沒有計算。因為要準備考研平時上課也不怎麼聽，所以期末亞歷山大，為了不掛科也只能硬著頭皮向前沖。就是刷題，每個定理的證明，先看一遍，把思路整理出來，一步一步因為所以。可能看一遍看不懂，多看幾遍自然有不同的感覺。定義也是很重要的，有些證明只是利用了一些基本的定義定理一步就能出來。這樣看了一遍我發現自己做書後題也能做個八九不離十，然後就是完善，嚴謹自己的步驟。當然我們拓撲只學了皮毛，最後考試我還是緊張了答得很不好只是勉強過。但是還是證明了這個方法還是挺有用的。
然後是計算，計算屬於數學中比較簡單的了，因為只有幾個固定套路，不複雜，只考驗人的細心程度。所以只有一步一步算，絕對不能手懶。就拿算行列式來說，一開始我算一個錯一個，怎麼算都不對，算一個要好久，但是耐心算下去就發現正確率多了很多。
希望對你有幫助。

看不懂的時候，換一個版本的教材看，多看看英文教材。
不懂的題先記下來，經常翻翻，後面總會有靈光一閃的時候。

研讀教材。
高數上滿分，高數下滿分，線性代數滿分。高考數學99分（滿分150）的學渣，輕噴。

上大學後，接觸了各種新奇的學習資源，覺得以前的學習方法效率簡直弱爆了……

G·波利亞的著作——像福爾摩斯一樣思考

George Pólya作為數學家和教育家，總結了很多系統思考問題的方法。他的著作，教的是怎樣像福爾摩斯一樣有條理地分析問題，不僅適用於解數學題，也適用於其他任何領域。

有興趣，才有源源不斷的學習動力

很多人覺得數學枯燥無趣沒用，多半是因為打開方式不對。知乎上幾個關於「數學美在哪」的討論，有不少精彩回答，我自己也寫過一點體會數學這門學科有多有趣？ - 知乎

如果搞不懂為什麼要學某個概念/理論，就去問別人，或者上網查，百度不行查谷歌，中文不行查英文。一旦理解了理論的重要思想和價值，就不會覺得無用無趣。

如果還想知道數學概念/理論怎麼來的，建議去讀讀數學史。數學史的主人公不再是一堆堆公式，而是一個個鮮活的人，精彩之處不亞於武俠小說（BBC也做過幾部很贊的數學史紀錄片）。

一個概念/問題/話題，書上的解釋看不懂，就去看不同的解釋

很多概念/問題/話題，可以從不同視角看待，也就有了不同的解釋。有些視角更抽象、更難理解，有些視角更直觀、更易理解。書上的解釋也只是一種視角，如果看了幾遍看不懂，不要覺得自己笨，上網找找其他的解釋，說不定就理解了。

教材很重要，糟糕的教材 = 糟糕的打開方式

這點和上面一點緊密關聯。有的教材啃起來味如嚼蠟，有的教材循循善誘，讓人愛不釋手。大學裡上過一門微分方程，教授講課不清晰，用的教材更是晦澀難懂，上了半學期，非常不爽。後來上網搜到另一位數學家編寫的教材，輔以MIT公開課資源，學起來輕鬆加愉快。

學好英文，看到不一樣的數學世界

英文是打開世界的一扇窗。Google上有著豐富而優質的數學學習資源；國外很多經典教材可讀性極強，即使沒有老師自學，也能掌握八九成的內容。如果你能閱讀英文文獻，就有機會看到一個不一樣的數學。

用直觀形象的方式去理解抽象事物

5歲的小朋友問我「什麼是溫度」，我答「溫度是分子平均動能的指標」，小朋友必然怒吼「能說人話么」。但如果我給TA一杯熱水，一杯冷水，他馬上就能明白了什麼是溫度。

由於人腦的認知特點，用直觀的方式去學習抽象事物，理解效率是最高的。如我前面提到的，一個概念可以多種解釋，如果從最抽象的解釋開始學習，那必然學不懂。如果從最直觀的解釋入手，循序漸進，即使是最抽象的解釋也能掌握。

強力推薦 Better Explained 這個網站，作者總是用最直觀的方式展示數學概念和背後的思想，淺顯易懂、妙趣橫生

定理證明先自己證，再看答案（有志朝數學專業發展的同學，這點非常適用）

自己努力嘗試後，再看答案，才可能體會到答案的精妙之處，折服於別人能想到某一種思路，驚喜於自己真正理解了解題過程中的精髓，也才更容易過目不忘。如果自己還沒嘗試就去看答案，真正收穫的東西可能寥寥無幾。

掌握一些計算工具，事半功倍

Wolfram Alpha，數學軟體中的神器，任何機械式的數學計算都能瞬間求解。自從有了它，我解「變態」微積分的效率從半小時降至幾秒。

另一個神器是MATLAB，方程求解、建模、作圖……幾乎無所不能。上手的唯一難度是要學點編程。

對大多數人適用

我數分老師經常說啊≡ω≡數學，不刷題是不行的

偏個題：先別看數學，從其他科目入手，調整心理。
很多人怕數學因為，經常事倍功半。
學外語一般是一分耕耘一分收穫；
數學呢？
一分耕耘0分收穫；
二分耕耘0分收穫；
三分耕耘0分收穫；
四分耕耘0分收穫；
N分耕耘一分收穫。 $Nsim P( lambda ) ,lambda$ 跟智商成反比

即是說學習很久才能有一點收穫，這個時間還是不確定的。更有甚者，學了一個晚上，到了N-1分耕耘了，馬上就融會貫通了，突然就困了。

就像女生那震動棒自慰，刺激一步步增強，下面陣陣收縮，馬上就要爬上高坡....丫沒電了，好不容易積累的快感偃旗息鼓，這感受絕對是反人類的。立刻想把震動棒砸了，這根撕高數的衝動並無二致。

怎麼辦呢？
加前戲啊，英語單詞就是最好的前戲。

即便是學霸在打lol的時候，你跟他說「大神啊，我這個wavlet變換kernal不收斂了？」
學霸會跟你說

剛剛還在玩，現在該學習了，直接上數學，這種心理承受差是極大的，還沒濕呢就最大幅度高低頻共振行么。被外語單詞，是最被動，最容易接受，也不費腦的學習方式。雖然效率不高，但是可以讓你的思想，從娛樂階段迅速調整到學習狀態。

大概背了大半個小時單詞，你可能覺得，哎呀，學習也不是很累么，外語還挺簡單的。就是方法太機械了，哎呀，線性代數都落下好幾章了。我怎麼還能沉浸在單詞里.這樣一來，從學外語過度到線性代數，不耐程度會大大降低。當然這個前戲過程，不一定要外語，其他比較容易或者立竿見影的學科也可以。
具體實現細節，放在這個答案里了學霸們是如何高效率地學習、工作、生活的？

--------前戲結束，下面怎麼干-------------

因為中國數學教育的體制問題，法俄美三大體系都學得不像。尤其是同濟大學版的教材，太多的「顯然」，「證明不在本書範圍」，把數學教學搞得過於工程化。鄭君里的《信號與系統》也沒對複變函數做要求，這就導致很多時候知識體系不完整。

對於同一主題，應該找基本不同的教材。如果一個點卡住了，書上不詳細，立刻找一本別的教材，看看有沒有對這個難點詳細突破。另外多本教材應該存在較大差異，最好是不同國家背景的作者。

如果不是太抽象的基礎數學，例如群表示論。對應用數學部分，可以盡量形象化思維，哪怕證明不嚴謹，但是可以有助理解。尤其是大段的 $Sigma$ 之類的符號，直接在紙上畫圖考慮。

比如根據矩陣定義乘積證明乘法結合律即（AB）C=A（BC），證明過程各種 $Sigma$ 辣眼睛

$(A imes B) imes C = sum_{l}(sum_{k}A_{ik}cdot B_{kl})cdot C_{lj}$
$A imes (B imes C) = sum_{k}A_{ik}cdot (sum_{l}B_{kl}cdot C_{lj})$

$sum_{k}sum_{l}A_{ik}cdot B_{kl}cdot C_{lj}$ $A imes (B imes C) = sum_{k}A_{ik}cdot (sum_{l}B_{kl}cdot C_{lj})$

如果是從線性空間講述，可以之間用線性變換理解，詳述如下linear algebra

如果直接按定義，可以想像成乘積的（i,j）項數字，等於A的第i行豎起來，放在B矩陣的左邊跟B一樣高，沿著B矩陣從左到右刷乘積（先別加和），然後把C的第j列橫過來，放在B矩陣上面，跟B一樣寬，從上往下沿著B矩陣刷乘積（也先別加和）。最後把被AC刷過的B所有項加在一起就是（ABC）的第i行j列元素，先橫著加先豎著加都是一樣的。（我說明白了么？）

費曼學習法，波利亞的怎樣解題，學小平邦彥抄書