數學中我們經常把√(1-x2)中的x換成sint，不用討論x的定義域與sint的值域嗎？

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比如x隨便取個8，但是sint取不到啊？？？複數不用考慮嗎？
高等數學前面通篇講的都是實數域的問題，到了微分方程就出現了好多複數，矛盾到底是在哪裡化解的？一直沒弄懂啊

即便是（實的）不定積分在做變數代換的時候也是需要考慮範圍的。比如下面敘述比較嚴格的定理。

我算是看懂題主在問什麼了。
題主的疑問就是：為什麼高等數學這門課里默認都討論的是實函數，求微分積分的時候都默認是實數，怎麼在講簡單的微分方程的求解的時候，複數說來就來了呢?
這其實是一個非常好的問題。
我的理解是，在高等數學，或者數學分析這個階段，在講解簡單的微分方程的求解的時候，都會引入複數，但是這裡引入複數並不是把研究對象擴大到了複函數，而是用歐拉公式簡化一些計算過程，告訴你如何噼里啪啦算一堆然後再取實部得到一些微分方程的通解。換句話說，在這個階段引入複數只是一個方便你計算的「外掛」，至於真正把函數推廣到複數域之後會發生什麼，微分方程有復特徵根到底如何理解，這是後續的課程的事情。

你講道理，如果考慮複數的話，複數的sint可沒有取值限制。

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其實吧，有些人搞混了幾個概念，什麼叫做用複數的的微分方程不嚴格……你說這個話要負責任的好么
我們寫一個函數
$y = f(x)$
它的自變數和因變數滿足 $x in {old R}, y in {old R}$ ，則是個實函數。實函數使用傳統微積分一套沒有任何問題。
我們遇到的第二種情況是
$x in {old R}, y in {old C}$
自變數是一個實數，因變數是一個複數

這種情況下實際上是 $y = u(x) + iv(x)$ ，它是把兩個實函數合起來寫成了複數的形式，並不是一個複變函數！
它的求導仍然是按照實函數進行的：
$y$

處理這種函數跟實函數是完全一樣的，不存在什麼不嚴格的問題

第三種情況
$x in {old C}, y in {old C}$ ，但是 $x = g(t), t in {old R}$
這種情況下x和y其實是t的隱函數，仍然是兩個實函數合寫成的複數，當然仍然是沒有問題的，使用帶複數的形式進行換元其實是這麼回事，當寫 $frac{dy}{dx}$ 的時候，其實是代表 $frac{dy}{dt}/frac{dx}{dt}$ ，展開之後仍然是兩個實函數合成的複數，仍然沒有超出多元微積分的範圍

第四種情況
$x in {old C}, y in {old C}$
x的取值是複平面上任意一個值，這時候一般不用x而用z。這個時候才用到的是複變函數的知識！
這時候如果要寫 $frac{dy}{dx}$ ，是要求y在複數域上解析的。y實際上是兩個二元函數合成的結果，由於變成了多元函數，就涉及到很多與偏微分有關的事情了，不能簡單用實函數來推導。

我們用複數不代表一定是複變函數，也可能是僅僅將兩個實函數合成了一個複數。雖然其中可能經常會偷偷使用複變函數中間的結論。

複變函數在高數里不予考慮。在解微分方程所用的複數解法直觀卻猜測多，且不太嚴格。

能對複函數求導需要柯西黎曼條件，歐拉公式的成立不顯然，需要對複數級數斂散性的判斷。

特徵根解微分方程法來源於複數域是代數閉域；復指數函數是求導運算元的特徵向量。這樣對f（求導運算元）核空間求解可轉為對f的分解。

能取到啊
$arcsin 8=frac{pi}{2}-mathrm{i},ln(8+3sqrt{7})$

謝邀。
x=8時，t是複數。在複數域，x換成sint總是可以的。

嗯看完問題描述要修改下答案了。
數學分析討論的數域是實數域，在書上第二章有說明，複變函數專門研究複數域。所以由根號內大於等於0→-1≦x≦1，正好是sinx的值域，因此可以直接換元，並不是沒考察定義域。至於你說的高數書上微分方程的部分，我想也沒有研究複數域，只是出現了複數而已，這和高中學了複數之後但我們做題仍然只考慮實數域一樣……給定了數域就在其內討論

在實數域時做的替換sint要考慮定義域，一般取[-π/2,π/2].(這在積分區間的變化中要用到)。而複數域不能用sint替換x.