如何用麥克斯韋方程組證明光學中的費馬原理?

12-27

就是光的傳播那一套，基本上是波動光學就夠了，Maxwell的東西不會多。

先看看單色波吧，單色波 $exp(-i(k_ix^i-omega t))$ 可以寫作 $exp(ik_mu x^mu)$ ，其中 $k_0=omega/c$ .
Maxwell方程告訴我們，場的波動方程為
$abla^2f-frac{1}{c^2}partial_t^2f=0,$
對於單色波，頻率恆定， $partial^2_tf=-omega^2f$ ，那麼
$abla^2f+frac{omega^2}{c^2}f=0,$
所以對於波數而言，有 $k^i=omega n^i / c$ ，其中 $n^i$ 是傳播方向的單位矢量。這個時候，可以發現
$k_mu k^mu=(omega/c)^2-k_ik^i=(omega/c)^2(1-|n|^2)=0 .$

光的傳播用光線處理，可以看作波長趨向於0的情況。這就是說波數很大，這就是說如果我們把場的形式寫作 $aexp(ipsi)$ ，相位 $psi$ 就很大。
我們在局部用單色波代替 $aexp(ipsi)$ ，因此對足夠小的時空間隔（把一個端點取做零點），把相位展開到一階：
$psi=psi_0+ partial_ipsi ,x^i+partial_tpsi ,t,$
對比單色波的相位 $k_mu x^mu$ ，於是得到 $partial_mu psi =-k_mu$ ，對於電磁波的波數， $0=k^mu k_mu=partial_mupsi partial^mu psi$ ，這就是程函方程。

這些材料就足夠我們類比經典力學了，作用量S和動量的關係 $partial_mu S=-p_mu$ 以及動量之間的聯繫 $partial_mu Spartial^mu S=p_mu p^mu=m^2c^2$ ，如果是零質量的粒子就有 $partial_mu Spartial^mu S=0$ ，這就是說，我們可以做出這樣的類比 $psisim S$ 以及 $ksim p$ 。

回到程函方程，對固定頻率的波，程函寫作 $psi=omega t+psi_0(r)$ ，此時的程函方程為 $| ablapsi_0|^2=omega^2/c^2$
因為光線在每一點都垂直於相應的波面，所以光線的方向由 $ablapsi_0$ 確定，換言之，由k的空間分量完全確定。

對固定頻率的波，由於類比 $ksim p$ ，對應於能量守恆的體系，則我們有Maupertuis原理，
$delta S=delta int mathrm{d}lcdot p=0$
於是對於幾何光學，我們有
$delta psi=delta int mathrm{d}lcdot k=delta int mathrm{d}lcdot n omega/c =frac{omega}{c}delta int mathrm{d}l=0$
這就是Fermat原理。

全都是Landau第二卷的內容，抄過來了。
按照Arnold的說法，Hamilton力學的基本概念來自於波動光學和幾何光學，可以參考參考經典力學的數學方法，此處不談。

正經答一個。
這個題目是「光學理論」課程「光傳播經典理論」部分的一個基本問題。
推導過程可以參考《光學原理》或者任何光學理論教程。

基本思路是由麥氏方程組出發，通過引入幾何光學近似首先導出相位方程，然後將微分方程改寫為路徑積分形式，導出費馬原理。

Prat 1 ====================
麥氏方程：
$abla imesoverrightarrow{H}=overrightarrow{j}+dfrac{partialoverrightarrow{D}}{partial t}$
$abla imesoverrightarrow{E}=-dfrac{partialoverrightarrow{B}}{partial t}$
$abla cdot overrightarrow{B}=0$
$abla cdot overrightarrow{D}= ho$
不考慮磁鐵、鐵電、壓電介質，在光頻段的連續介質，當光強不很強，對於單頻光場：
$overrightarrow{P}=epsilon _{0}widehat{chi }overrightarrow{E}$ , $overrightarrow{D}=widehat{epsilon}overrightarrow{E}$
在各向同性介質中，可以由以上方程得到：
$Delta overrightarrow{E}-dfrac{n^2}{c^2}dfrac{partial ^2}{{partial t} ^2} overrightarrow{E}=0$ …………公式1
其中 n為折射率。同時還要滿足橫波條件 $abla cdot overrightarrow{E}=0$

Part 2 ===================
上述波動方程最簡單解為單色平面波： $overrightarrow {E} left( overrightarrow {r},t ight)=overrightarrow {A} e^{i left(overrightarrow {k} cdot overrightarrow {r}- omega t ight)}$
令 $overrightarrow {E} left( overrightarrow {r},t ight)=overrightarrow {A} e^{-i phi left( overrightarrow {r},t ight)}$
考慮兩個近似

振幅接近常矢量 $left| dfrac{partial A_j}{partial x_i} ight| ll left| A_j ight| left| dfrac{partial phi_j}{partial x_i} ight|$
相位梯度接近常矢量 $left| dfrac{partial^2 phi}{partial x_i partial x_j} ight| ll left| dfrac{partial phi_j}{partial x_i} ight| left| dfrac{partial phi_j}{partial x_j} ight|$

對 $overrightarrow {E} left( overrightarrow {r},t ight)$ 求兩次偏微分可得： $Delta overrightarrow{E} = - {left| abla phi ight|}^2 overrightarrow{E}$ 和 $dfrac{partial ^2}{{partial t} ^2} overrightarrow{E} = -omega^2 overrightarrow{E}$
再代入公式1，就可以得到相位方程：
$left({ abla phi} ight) ^2 = n^2 dfrac{omega^2}{c^2}=n^2k_0^2=k^2$ ……………………公式2

Part 3 ==================
實際光線方嚮應該由能流方向（Poynting矢量）描述
對於時諧單色電磁波，容易得到
$overrightarrow{S} = left< overrightarrow{E} imes left< overrightarrow{E} imes abla phi ight><br /> ight> _T dfrac{1}{mu _0 omega}$
考慮到橫波條件及幾何近似，運用矢量代數可以化簡為
$overrightarrow{S} propto - abla phi$
所謂光線，即處處與 $overrightarrow{S}$ 相切的曲線
上式表明：光沿相位下降最快方向傳播

Part 4 ==================
光場中P，Q兩點間相位差可以由其間沿任意路徑 $C$ 的路徑積分計算
$phi left( Q ight) - phi left( P ight) = -int ^P_Q abla phi { m d} overrightarrow{l}$
由於 $- abla phi { m d} overrightarrow{l} leq left| abla phi ight| { m d} l$ 且等號僅在積分路徑處處與 $- abla phi=overrightarrow{S}$ 相切即沿實際光線 $C_0$ 時成立。
那麼 $phi left( Q ight) - phi left( P ight) = int _{left(C_0 ight)} left| abla phi ight| { m d} l=-int _{left(C ight)} abla phi { m d} overrightarrow{l} leq int _{left(C ight)} left| abla phi ight| { m d} l$
考慮到公式2： $left| abla phi ight|=nk_0$
則有
$int _{left(C_0 ight)} n { m d} l leq int _{left(C ight)} n{ m d} l$
此即為費馬原理：光線沿光程最短的路徑傳播。

P.S. 學長只能幫你們到這了。。。

學弟/學妹你好，物理學的「證明」其實一般而言更重要的是尋找內在聯繫，
費馬原理本質上和路徑積分是緊密相關的，即光學上的莫培督原理，
因此，從麥克斯韋方程組逆推費馬原理，可行的一種思路或許是——
在無源假設下，異種介質邊界使用斯托克斯定理，從積分形式的麥克斯韋方程組得知折射定律（電場切向分量不變，角度關係確定）；
在介質面兩側各設一點（x1，y1）（x2，y2），若介質面通過點為（x，y），則全光程時間可得（v=c/n），求導dt/dx，引入剛得到的折射定律，可知滿足麥克斯韋方程的經行點導致導數為0，且二階導非負，因此時間最短，證畢。

或許有更簡單的證法，希望有幫助，還有，如果是孫老師的光學課，還是要好好聽，對科研能力是個很好的鍛煉。

同學你好，我們的作業題是禁止在網上搜索答案的，你的ID已被鎖定，請於10.8上午到五教219來找我，屆時我會在那裡值班。孫老師留

樓上的那些同學你們好，我的辦公室在213，你和問這個問題的同學和冒充我同學的ID都已經被我鎖定，請以上同學8號上午到213來找我，我也警告各位同學，如果我再發現這種在知乎上問作業題或者冒充我的行為，我以後會布置更多額外的任務。——孫老師

看到大家這麼辛苦為了我這隨口一說的作業題奔波勞碌，我仁慈地決定取消這道題目，大家不用寫了，因為這道題太複雜了，我自己也不會，請看到這條消息的同學們互相轉告。
（我不會告訴你們我就是是孫騫的）

看回答笑尿了！還好我當年跑的快23333

什麼情況？！！！
還想問一下，這是哪所大學裡的熊孩子^ω^

話說我覺得就是證明菲捏爾定律，元芳你怎麼看？

證明折射和反射定律到是挺簡單，利用邊值關係和一兩個假設就可以了，證明費馬原理倒是沒見過，坐等大神

目測樓上有好多被坑過的學長學姐啊還有偉哥是厲害不匿名啊@程博偉

佔個坑，改天回答