求解全微分的意義？最好感性一點的認識

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在我看來，全微分是針對不規則圖形像曲面和曲線上一點對於原點的方向的度量，對嗎？還有什麼其他的意義，好理解一點的

微積分這門學科，從字面上拆開來看，就是「微分」+「積分」。按道理把這個兩個概念作為學科的名字，很顯然是非常重要，但是我覺得很奇怪，《高等數學》同濟版並不怎麼講「微分」這個概念，而是著重在講解「微分」的一個性質「導數」，可能教材的目的是為了做題和考試吧。當然也有可能我下面講的內容是微分幾何的內容，如果要去嚴格化講解的話需要引入更多概念。

在我看來，「微分」這個概念恰恰是理解微積分的關鍵，最好的表達了微積分這門學科的基本思想：「以直代曲，線性逼近」。

1 一元函數中的微分

一元函數中 $y$ 的微分為：

《高等數學》的書上是這麼解釋的：

我們換一個視角：

「以直代曲」從字面上看的意思就是說，「直」可以替代「曲」，那麼微分在什麼時候可以取代曲線呢？

其實例子很多，比如說洛必達法則、泰勒公式、積分基本定理、牛頓迭代法，這些你要仔細去看，都會發現通過「以直代曲」去理解會多麼的簡單、直觀。不過這些我都已經寫過相關的回答了，我下面給出另外一個挺有趣的例子：

當我們無限增加切線的時候，我們就需要用無限的加法，這就是積分（ $int$ 這個符號本身就是源於把英文Sum的首字母拉長）：

$int dy=y+C$

這是最基本的不定積分，我們可以把這個式子解讀為，把所有的 $dy$ 即微分加起來就得到了曲線。這就是「以直代曲」。

為什麼有一個常數 $C$ 呢？

為什麼要「以直代曲」？我覺得答案很顯然，因為直線研究起來更簡單啊。

關於微分，還可以參考下我之前的回答：為什麼要定義微分 ?

2 全微分

之前我回答過一個問題，無法理解高等數學怎麼辦？我在回答裡面就說過學習應該循序漸進，意思就是，應該從已有的知識出發，保持足夠小的步伐前進。

讓我們把已有的知識稱作 $i$ ，足夠小的步伐稱為 +1 ，那麼：

才是最有效的學習方法。

那麼要理解全微分是什麼，就讓我們從一元微分出發。

我們來看看一元微分給了我們什麼啟示：

微分得是「直」的（這樣才能「代曲」），一元是直線，二元只能是平面
微分和切線有關，一元微分就是切線，二元的情況要複雜一些

關於二元的切線，我們先要理解一點，在三維曲面上的點有無數條切線：

有了這些信息之後，我們就能很輕鬆的把一元微分推廣到二元微分上去。

二元微分就是所有的切線都存在，並且都在一個平面。如果這樣一個平面存在的話，它就是二元的微分，我們也叫它為「切平面」。這個微分可以提供對曲面很好的「線性近似」。

所有切線共面我覺得還挺神奇的，蠻難想像的。下面有個互動操作幫助你認識這個「全微分」，有條件最好在pc上觀看，手機好像有點卡：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

至於為什麼所有的切線都會在切平面上，我會另文作答。

明白二元微分之後，我們就可以繼續 $i+1$ 下去，把二元微積分推廣出來。

3 結語

「以直代曲，線性逼近」是整個微積分的精髓，深刻地理解了這八字真言，就會發現微積分一切都很自然了。

@鄒益健@Yuhang Liu 感謝二位大仙的指正，dz可以作為實數。下面這種映射有個專有名詞叫：1-form

是時候上這張圖了：

如圖所示，dz就是個增量，這在維數升高的時候非常好理解。我們對每個方向都求出一個微小的單位元（線性代數里叫基）{dx,dy,du,……}在保證他們都非常小且單位統一的時候，乘以各自的偏導就得到了在各自方向上的變化量，最後組成了一個微小的dz增量。

強答一發，來談談關於微分以及全微分之類的概念的理解。比較naive，大神輕拍。

先說結論：
一個 $mathbb{R}^3 ightarrow mathbb{R}$ 的可微函數 $f$ 在某點 $mathbf{x}=(x_1,x_2,x_3)$ 處的微分 $ext{d}f_{mathbf{x}}$ 應該理解成一個 $mathbb{R}^3$ 上的線性函數。而全微分式 $ext{d}f_{mathbf{x}} = frac{partial f}{partial x_1}(mathbf{x}) ext{d} x_1 + frac{partial f}{partial x_2}(mathbf{x}) ext{d} x_2 + frac{partial f}{partial x_3}(mathbf{x}) ext{d} x_3$ 表示的是這個線性函數在 ${ ext{d}x_1, ext{d}x_2, ext{d}x_3}$ 這組基下的分解。其中 $ext{d}x_i$ 表示的是一個特殊的線性函數，他做的事情是把 $mathbb{R}^3$ 中一個元素的第 $i$ 個分量取出來。

目測非數學專業的同學看完這段話之後已經完全懵逼了，所以我打算從一元函數的情況開始，解釋一下這種說法的意義。

我們都很清楚，一元函數 $f:mathbb{R} ightarrow mathbb{R}$ 在 $x=x_0$ 處的導數定義為 $f$
當然，嚴格地意思是右端極限存在的時候稱函數在這一點可導，導數記作 $f$ ，如果右端極限不存在就稱其在這一點處不可導。我們的課本一般還會提到「可微」的概念，這個概念是這麼定義的：如果存在一個實數 $A$ ，使得式子 $f(x_0+h)-f(x_0)=Ah+o(h)$ 成立（當 $h ightarrow 0$ 時），那麼就說 $f$ 在 $x_0$ 處可微。 $f$ 在這一點的微分記作 $ext{d}f_{x_0}=A ext{d}x$ 。
我們還有可導和可微等價的結論，也就是說，如果 $f$ 在 $x_0$ 處可導，那麼必然可微——取 $A=f$ 即可。反之亦然——容易證明此時導數 $f$ 就是可微定義裡面的 $A$ 。

一般初學者在看到可微的定義的時候都會大呼坑爹（至少我當時是這樣的）：明明有可導這麼清晰明白可以直接寫成一個極限式子的定義，為啥還要定義可微這種既不容易驗證，看上去還古怪的概念呢？最重要的是它還和可導的概念沒有區別，可導和可微是等價的嘛。

事實上，可微這個概念的好處在一元函數的時候是不容易察覺的。但是到了二元函數的時候，我們發現上面導數的定義就失效了——因為這時候自變數的增量 $h$ 在 $mathbb{R}^2$ 中，而我們沒有辦法進行「除以 $h$ 」這個操作。但是可微的定義依舊是可以保留的：
稱 $f:mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}$ 在 $mathbf{x}=(x_1,x_2)$ 處可微，如果存在一個 $mathbb{R}^2 ightarrow mathbb{R}$ 的線性函數 $T$ ，使得式子
$f(mathbf{x}+mathbf{h})-f(mathbf{x})=Tmathbf{h}+o(|mathbf{h}|)$ 成立（當 $mathbf{h}=(h_1,h_2) ightarrow (0,0)$ 時）。此時定義 $f$ 在這一點處的微分為 $ext{d}f_{mathbf{x}} = T$ 。

對比一元函數微分的定義，你會發現這是自然的推廣（需要注意到， $mathbb{R}$ 上的線性函數就是數乘，所以 $A$ 可以看成進行「數乘 $A$ 」這個運算的線性函數）。而且這種定義有十分直觀的含義：
$f(mathbf{x}+mathbf{h})-f(mathbf{x})=Tmathbf{h}+o(|mathbf{h}|)$
這個式子左邊就是因變數在 $mathbf{x}$ 附近的變化量，而右邊 $Tmathbf{h}$ 是自變數的變化量在線性函數作用下的結果。這個式子說明，我們可以用自變數的線性變化來逼近函數的變化，而且相對誤差隨著 $mathbf{h}$ 趨於零是趨於零的。正如 @lailahcxf 所言，此時在三維坐標（記號上的問題，我們現在的三維坐標只能用 $(h_1,h_2,z)=(mathbf{h},z)$ 來表示了，而 $mathbf{x}$ 現在表示的是和一元時候那個定點 $x_0$ 同等地位的東西，希望不要引發誤會）下 $z=f(mathbf{x})+Tmathbf{h}$ 表示的就是和 $f$ 的圖像所表示的曲面 $z=f(mathbf{h})$ 相切的一個平面，而且用這個平面來逼近 $z=f(mathbf{h})$ 的話，在 $mathbf{h}=mathbf{x}$ 附近誤差是足夠小的。（實際上，你會感覺到這才是最符合「以直代曲」思想的做法。一元的時候因為 $mathbb{R}$ 既有自然序，又有域的結構，我們可以自然地定義導數，所以可以「偷懶」不談微分，但是過分依賴一元時候的看法在多元的時候就會付出代價。）

最後我們再來解釋二元的全微分式
$ext{d}f_{mathbf{x}}= frac{partial f }{partial x_1} (mathbf{x}) ext{d}x_1 + frac{partial f }{partial x_2} (mathbf{x}) ext{d}x_2$
的含義。我們知道，n維線性空間上全體線性函數在常規的數乘和加法之下也構成一個n維線性空間，稱為原空間的對偶空間，而且 ${ ext{d}x_1, ext{d}x_2}$ 就是對偶空間的一組基。所以可微函數的全微分式實際上就是說 $ext{d}f_{mathbf{x}}$ 在這組標準的對偶基 ${ ext{d}x_1, ext{d}x_2}$ 下的係數就是對兩個坐標的偏導數。

剛剛複習完這一塊，怒答一發。以同濟版教材為例，我還是複習的第四版，十多年前的教材，但是看了最新版的貌似變化不大。03年學的，因為工作不順想考研了，所以重新拾起來了十幾年前的東西。。。如有不妥請輕拍謝謝，知乎大神太多，這種小case估計沒人願意回答。畢竟是太基礎的東西了。

全微分那一節關於全微分定義，必要條件和充分條件課本blabla講了一大通，唯獨沒提到全微分的幾何意義。
這和一元函數微分那部分不太一樣，一元函數中定義完了，證明完了，最後就給了全微分的幾何意義，還有一個圖。
而二元函數全微分那一節講完了之後就開始講複合函數求導，用的就是全微分定義。
之後又講了隱函數求導，用的是複合函數求導
再往後講了微分在幾何學中的應用，用的是隱函數求導。

這一節分成了兩部分，一個是空間曲線的切線和法平面，另一個是空間曲面的切平面和法線。
關於全微分的定義，就出自這一節空間曲面的切平面這一部分。

可見二元函數微分學的架構就是偏導---偏微---全微---複合函數求導---隱函數求導---微分幾何應用---方嚮導數、梯度---極值最值---二元函數泰勒公式這個路子一路下來的。所以每一個環節都環環相扣，每一節都以上一節為先導，又同時作為下一節的先導。所以一定不要分開來看，要整體化學習。

下面開始正文：
有函數 $z=f(x,y)$ ，則設 $F(x,y,z)=f(x,y)-z=0$ ,這時候函數 $F(x,y,z)=0$ 在空間就能確定一個曲面，這個曲面的法向量可以求得為： $ilde{n} =(f_{x}^{},f_{y},-1 )$ ,那麼可以利用點法式寫出切平面方程： $f_{x}(x-x_{0})+f_{y}(y-y_{0})-(z-z_{0})=0$ ,
移項得： $z-z_{0}=f_{x}(x-x_{0})+f_{y}(y-y_{0})$ ;
這個式子就是全微分幾何意義的關鍵。
等號右邊正好是函數 $z=f(x,y)$ 在點 $(x_{0},y_{0})$ 的全微分 $d{z}$ ；
等號左邊則是曲面 $z=f(x,y)$ 在點 $(x_{0},y_{0},z_{0})$ 處的切平面上點的縱坐標增量。

那麼全微分的幾何意義到此為止就得到了，函數 $z=f(x,y)$ 全微分 $dz$ 表示在該點切平面上縱坐標增量。
結合一元函數微分的幾何意義（用切線縱坐標增量近似代替曲線縱坐標增量），也就是以直（線）代曲（面），
那麼二元函數全微分的幾何意義就是以直（面）代曲（面）

這就是數學分析的思想，用線性化去替代曲線/曲面。
一元函數用直線（切線）代替曲線，二元函數用平面（切平面）代替曲面。

這種極限思想貫穿了整個數學分析的全部，用直線、平面去逼近曲線、曲面；用直的、平的函數去逼近彎的函數（這句話來自 @劉天一總結很不錯，借用啦）

將兩張動態的GIF圖片, 點擊放大播放:

全微分:

一句話感性說全微分其實就在表達曲面在某一點處的切平面

切線是什麼，是曲線的一個小局部與一條直線重合，直線就是切線。
曲面與切平面也是如此。
這就是局部線性化。
以一個平面為例，
z=ax+by
偏導分別是a和b，是x和y的係數。
對應於曲面，dx是一個小局部的x，dx的係數是?z/?x，（偏導符號用~代替)，dy係數是?z/?y
還原成局部平面自然是
dz=?z/?x.dx+?z/?y.dy
即所謂全微分
所以，全微分是
局部線性化→切平面

我也來答一下吧，我答的可能簡單易懂一些。

一元微分很多書都講了我就不廢話了 f(x)" = Δy/Δx

現在來講二元微分：

對於函數 z=f(x,y) 確定一個曲面。

首先我們來弄清楚在M0(x0,y0,z0)處的偏導數的意義：

fx" = Δz/Δx 是指該曲面與y=y0平面的交線(記作Cx) 在該點(x0,y0,z0) 斜率

fy" = Δz/Δy 是指該曲面與y=x0平面的交線(記作Cy) 在該點(x0,y0,z0) 斜率

這個比較容易理解。

OK 進行下一步：

交線Cx的切線Qx 由兩點可以確定:M0 Mx；交線Cy的切線Qy 由兩點確定：M0 My

以下是點的坐標：

M0(x0 , y0 , z0)

Mx(x0+Δx , y0 , z0 + fx"* Δx)

My(x0 , y0 + Δy , z0 + fy"* Δy)

根據微分的一般形式, 如果我們自變數同時改變Δx和Δy，那函數值Δz改變了多少呢？

在一維微分中當Δx趨於0時，曲線可以看成切線；

同理的

在二維微分中當Δx Δy分別趨於0時，曲面可以看成切平面；該切平面可以由M0 Mx My三點確定；

由於Mz(x0+Δx, y0 + Δy , z0+ Δz ) 與M0,Mx,My共面。

既然共面，很容易（Mx+My-M0 ）求得 Δz = fx"* Δx + fy"* Δy 。

這個就是全微分的一般形式dz = fx"* dx + fy"* dy 。

一點的df，一形式。
所有的df，一形式場。

全微分好比長度和高度，他可以同時看見點的多個維度，維度的不同，可以表現不同的特性，所謂橫看成嶺側成峰。

全微分，函數在某點處切平面的全增量

幾何意義有兩種方式
1，以二元函數為例，畫圖，你就造了。dx,dy,dz，偏導各代表啥，想清楚，而後平移下兩段長度，得到長度相等(印象中是這樣)
2，z=f(x,y),移項，得方程z-f(x,y)=0,利用梯度向量，得在(x0,y0,z0)處平面方程，(z-z0)-fx(x-x0)-fy(y-y0)=0得，dz-fxdx-fydy=0,——這有化直為曲的味道吧o&>_&o&>_&

3,另外你也可以把dz，看成矢量。
全微分，就是矢量進行分解。

就醬紫!!

哎呀~~看來都沒人答。。。我來答吧~~如果題主還需要的話。。。現在上課等會再寫。。。