傅里葉變換的意義是什麼？

12-27

除運算簡單之外還有什麼優點？傅里葉變換的本質是什麼？

傅立葉變換，表面上是「時域到頻域」的變換，實際上就相當於一個分解或者換基的操作。簡單解釋成「時域到頻域」至少有兩個問題。首先，儘管時域和頻域的關係很多時候可以比較形象的理解，比如亮度分布和它的空間頻率什麼的（參看下文還要提到的 @Luyao Zou 的第一個精彩回答：單個大口徑射電望遠鏡和陣列射電望遠鏡對比有何優劣？ - 知乎），但有時他們的關係就不那麼直接（比如量子力學的動量波函數和坐標波函數）。其次，這沒解釋為什麼這麼操作一下就可以得到正確結果，往往會讓人覺得「不明覺厲」，彷彿是一種魔法。但是一旦理解了它是一種分解（或者換基）操作，則只要理解了「基函數」的意義，傅立葉變換就很容易理解（為什麼要做、怎麼做、為什麼這樣做）。分解（或者換基）操作的理解可以很容易地推廣到其它積分變換，比如拉普拉斯變換中去。而如果簡單想像成「時域到頻域」的變換，則拉普拉斯變換的「頻域」的物理意義很難解釋清楚。下面我們從積分變換的定義出發，具體闡述一下這種思路。

一般說來，積分變換具有以下的形式（參見維基百科）：

$(Tf)(u) = int limits_{t_1}^{t_2} K(t, u), f(t), dt$

其中 $K(t,u)$ 就是積分變換的核 (kernel)。這個積分變換的「物理含義」就是， $f(t)$ 在核函數的復共軛這一組正交基上的展開係數。為什麼呢？如果大家學過一點線性代數，就可以發現積分變換具有內積的形式。將 $u$ 看作參數，如果 $K(u$ 和 $K(u,t)$ 正交，則積分變換無非是給出了向量 $vec{f}$ 在基函數? $K^*(t,u)$ ?上投影?/?分量的通式。要注意的是，這裡的基函數不是 $K(t,u)$ 而是 $K^*(t,u)$ 。這是因為，內積的結果是一個「數」而不是向量，所以作為向量的兩個被乘函數必須有一個要被取復共軛（相當於轉置）。以上推理從內積的狄拉克括弧表示的角度看很容易理解： $(Tf)(u) = langle K^*|f angle$ ?——左矢括弧 $langle |$ 自帶轉置效果，要符合原定義則 bra?內必須是 $K^*$ 。

在以上的討論中我提到了向量 $vec{f}$ ，那它與函數 $f(t)$ 又是什麼關係呢？不妨想像一下普通空間的三維矢量 $vec{f}equiv(a,b,c)$ ，其中的 $a,b,c$ 也無非是向量 $vec{f}$ 在? $vec{x},vec{y},vec{z}$ 基矢上的展開係數。也就是說，我們可以通過寫出一個矢量在所有基矢量方向的展開係數以及所有基矢量的方式完全確定一個向量。如果把任何一個函數的自變數的任意一個（或者一組，對於多元函數來說）可能的取值看作一個基矢，函數值看作展開係數，那麼，任何函數都可以看作是一個向量的一個具體表示。當然了，如果仔細推導一下，函數 $f(x)$ 的一組正交基實際上是 $delta(x)$ （狄拉克 $delta$ ?函數）。

總結一下，

函數? $f(t)$ ?是向量 $vec{f}$ 在基矢 ${delta(t)}$ 上的展開係數。
其它任何一組正交函數也可以作為基矢量。
向量 $vec{f}$ 在基矢 ${K^*}$ 的展開係數就是積分變換 $(Tf)(u)$ 。也就是說， $(Tf)(u)$ 是 $vec{f}$ 的另一表示。
由於 $f(t)$ 和 $(Tf)(u)$ 只是同一個向量在不同正交基下的「表示」，而且自變數的符號不同，為了方便區分，我們說 $f(t)$ 是 $t$ 表象中的表示， $(Tf)(u)$ 是 $u$ 表象中的表示。具體的例子比如量子力學裡的位置表象和動量表象。

以上的解釋仍然比較抽象。實際上，以上述觀點進行的傅立葉變換在量子力學中似乎特別多見。如果只限定在薛定諤繪景中討論，我覺得主要原因是：

由薛定諤方程的線性導出的態疊加原理以及哈密頓算符的厄米性。這就使得任何一個「奇怪」的量子態總能被分解為一系列本徵態的疊加。
含時薛定諤方程的形式解是復指數函數的形式。而復指數函數正好是複數傅立葉變換的核。
任何其他一階偏微分算符的本徵函數也是復指數函數的形式，而一階偏微分算符在量子力學中很常見（比如動量算符）。

所以，量子力學中的傅立葉變換往往就有非常直接的物理意義：將一個態從非本徵態表示（從而這個算符對應的可觀測物理量一般是隨時間變化的）展開為本徵態（比如含時薛定諤方程的形式解，從而一般也是定態）的表示。以 @Luyao Zou 對能量-時間的不確定關係如何導出光譜自然展寬？的精彩回答為例，對於一個有限壽命的激發態 $|Psi angle$ ，它的波函數 $Psi(t)$ 可以寫成

$Psi(t)=psi(E_0) e^{-frac{iE_0 t}{hbar}-frac{t}{2 au}}$

它的能量隨時間變化，於是這不是「真正」的本徵態（雖然激發態壽命有限在量子場論中是真空能量起伏的鍋，但是在這裡不妨認為是沒到達真正的本徵態）。而能量不變的本徵態的形式，由含時薛定諤方程可知，應為

$Psi=psi(E) e^{-frac{iE t}{hbar}}$

進一步假設 $psi(E)$ 基本不隨 $E$ 變化（相對於指數部分來說， $E gg Delta E$ 時這似乎很合理。這好像就是旋轉波近似），則 $psi(E_0)$ 和 $psi(E)$ 都可以忽略掉——只不過最後有個常係數而已，不影響線型（總歸要歸一化嘛）。於是我們就可以以 $e^{-frac{iE t}{hbar}}$ 為基函數展開 $|Psi angle$ ，這樣我們就得到能量表象中的波函數為?:

$egin{align*} Phi(E) propto int limits_{0}^{+infty} e^{-frac{iE_0 t}{hbar}-frac{t}{2 au}}, e^{+frac{iE t}{hbar}}, dt \ =frac{2 au}{1-i(E-E_0) frac{2 au}{hbar}} end{align*}$

可以看出，上面的展開恰巧就是傅立葉變換的形式。嚴格地說，核函數是 $e^{+i}$ 形式的在數學上是「逆傅立葉變換」。但我們統一從核函數的復共軛作為基函數的角度考慮——並且考慮到數學上的傅立葉變換也是對稱的——那麼正、逆只是一個人為規定的叫法的問題，並沒有本質區別。實際上，的確有很多量子力學書籍把 $e^{+i}$ 形式的變換稱作（正）傅立葉變換，從數學上的「正變換」也是從時域到非時域的角度看，確實也有道理。

最後， $|Psi angle$ 在能量表象中的概率分布也就是光譜線型。同樣不考慮歸一化因子，線型就是：

$egin{align*} g(E) = |Phi(E)|^2 \ = frac{2 au}{1-i(E-E_0) frac{2 au}{hbar}} frac{2 au}{1+i(E-E_0) frac{2 au}{hbar}} \ = frac{hbar^2}{(E-E_0)^2+hbar^2/4 au^2} end{align*}$

也就是洛倫茲線型，有的地方又稱之為?Breit-Wigner?線型。

Bottom Line: 傅立葉變換（不管正、逆）作為積分變換的一個特例，無非就是求一個向量在一組正交基函數中的展開係數，或者說一個向量在一組給定正交基中的表示。不用硬記變換的時候到底是用 $+i$ 還是 $-i$ ，實際運用時只要記住內積的表達式就好了。

看到兩個回答里提到了量子力學，但是好像回答的都不是太靠譜，於是作為物理專業本科生忍不住也來答一個。

首先先來說下另外兩個提到量子力學的答案：波粒二象性和傅立葉變換有什麼關係我真不知道。海森堡繪景和薛定諤繪景的差別在於一個把時間演化算符作用在可觀測量算符上（所以其本徵矢隨時間改變），一個把它作用在態矢上，形象的理解就是一個是坐標軸在轉但態矢量不變，一個是坐標軸不變態矢量在轉。這個和傅立葉變換有什麼關係我也不知道。

量子力學裡面真的和傅立葉變換有關係的應該是位置和動量表象之間的表象變換（在某些回答的評論區也有人提到了），我覺得對於理解傅立葉係數的意義這是個挺不錯的例子所以來分享一下。

(吐槽：知乎的公式編輯功能實在太辣雞了變成下面這種情況不是我的本意……明明分成兩個公式寫的卻被拼到了一行，而且修改起來游標各種蜜汁亂跳，早知道結果會這樣就LaTeX里寫完截圖了……）

在量子力學中有一個非常重要的公式：

$| psi angle = sum_n |n anglelangle n|psi angle.$

根據這個公式，我們可以把態矢分別在坐標空間和動量空間進行投影：

當然由於這裡是連續情況所以求和號應該寫成積分， $psi(x)$ 和 $phi(p)$ 就是所謂的位置表象與動量表象的波函數，物理意義是它的模方等於位置為x或者動量為p的概率密度，再次利用前面的公式我們可以得到兩個波函數之間的關係：

$phi(p) = sum langle p|x anglelangle x|psi angle,$ $psi(x) = sum langle x|p anglelangle p|psi angle.$

所以為了得到表象變換，我們還需要知道動量和位置本徵矢的內積，而為了得到內積，我們首先要選取一個表象，並計算位置和動量算符在這個表象下的本徵矢，這裡選擇的是我們最熟悉的位置表象。

通過一些簡單的求本徵矢的計算我們可以得到：

$psi_{x_0}= A delta(x-x_0),$ $psi_{p_0} = A mathrm{e}^{mathrm{i}p_0 x/hbar}.$

如果計算一下這兩個函數的模長平方從負無窮到正無窮的積分，我們會發現這兩個函數不是平方可積的，也就是說它們不屬於希爾伯特空間，但是如果我們利用delta函數的性質，可以人為構成出一個正交歸一性來：

$int_{-infty}^{infty}psi_{x_1}^*psi_{x_2} mathrm{d}x = delta(x_1-x_2),$ $int_{-infty}^{infty}psi_{p_1}^*psi_{p_2} mathrm{d}x = frac{1}{2pihbar}int_{-infty}^{infty}mathrm{e}^{mathrm{i}(p_1-p_2) x/hbar} mathrm{d}x= delta(p_1-p_2).$

這就是所謂的狄拉克正交歸一性（動量那個式子前面的係數是delta函數指數形式的歸一化因子），有了這個關係之後物理學家就把這兩個矢量強行塞進希爾伯特空間里（就是所謂的rigged Hilbert space，翻譯成「魔改希爾伯特空間」大概比較合適），然後就可以用他們熟悉的線性代數來處理這個問題了。在位置表象中這兩個本徵矢分別是：

$|x_0 angle= delta(x-x_0),$ $|p_0 angle = frac{1}{sqrt{2pihbar}}mathrm{e}^{mathrm{i}p_0 x/hbar}.$

於是我們可以得到動量和位置本徵矢之間的內積（過程省略，只要把上面兩個式子代入算積分就好了）：

$langle x_1|x_2 angle = delta(x_1-x_2),$ $langle p_1|p_2 angle =frac{1}{2pihbar}int_{-infty}^{infty}mathrm{e}^{mathrm{i}(p_1-p_2) x/hbar} mathrm{d}x= delta(p_1-p_2),$ $langle x_0|p_0 angle = frac{1}{sqrt{2pihbar}}mathrm{e}^{mathrm{i}p_0 x_0/hbar}.$

把這些關係代入最開始我們寫出的變換關係，同時將求和改寫為積分，就可以得到動量和位置表象之間的變換公式了：

$psi(x) = frac{1}{sqrt{2pihbar}}int_{-infty}^{infty}phi(p) mathrm{e}^{mathrm{i}p x/hbar} mathrm{d}p,$ $phi(p) = frac{1}{sqrt{2pihbar}}int_{-infty}^{infty}psi(x) mathrm{e}^{-mathrm{i}p x/hbar} mathrm{d}x.$

可以發現這兩個公式恰好具有傅立葉變換的形式，我們得到這兩個公式的過程基本都是出於物理上的考慮，而且變換前後的兩個函數具有非常明確的物理含義。

用另外一組正交基展開

不謝自來, 原本想自己答的，但是我發現下面「齊民友」的「現代偏微分方程引論」的「前言」中已經說得很好了，這個回答是從「純數學」的角度來回答的傅立葉分析：

呃……讓我來歪個樓……強答一波。

題主是認真地問「傅里葉變換的意義」，以下我要說的是「傅里葉變換對我的意義」。

本人是一名文科生。光榮的OIER——

划水黨

作為一個文數的三角函數和導數都折騰不明白的文科生，強行跟著信競各位大佬學了一年多各種牛【裝】x數學知識。

如今大佬們該翹課沖NOI的翹課，該吃餃子的吃餃子，該出國的出國——而我，除了能水出來一些模板題，仍然在文數的三角函數和導數里掙扎。

那時，正好省隊大佬在看一道快速傅里葉變換。

百度到了知友寫的這樣的文章↓↓↓

傅里葉分析之掐死教程（完整版）更新於2014.06.06 - 知乎專欄

看來很久之後，我決定——水一個模板，去他的。

==================今年年初光【慘】榮【淡】退役======================

省選後沒幾天，迎來了普通高中學業水平測試。

眾所周知的，學考就是一考驗基礎的玩意，說難不難，說浪費時間也未必。

作為一個被慘淡的化學趕來文科的某生，學考難度的物理總歸還是能搞定的，模擬也幾乎沒有碰上問題——

在正式考試的時候，物理是前面的科目，前面一帆風順，估摸著差不多是滿分了，心情大好

最後一題：

給了一個正弦函數，給了最值，是一交流電的函數。問其電流之有效值……

這顯然是一個常識題，彎都沒有，對於毫無物理功底的文科生應該也是死記一個有效值和極值的轉換公式就秒了的送分題。

然而……

考場上的我滿頭冷汗——作為文科生的我，在競賽衝刺翹課時期，無疑翹掉的是

理化生。

經常被吐槽是罕見的敢翹掉理化生的競賽生……

沒錯。就是在我翹課的時候講的這個知識點。呵呵。

而且作為不常用不常考的知識點，居然在考前的那麼長時間以及那麼多次模擬題里一次都沒出現。呵呵。

滿滿的絕望啊！！！！老天這是跟我杠上了！！！！我自信滿滿的物理！！！！明明心情大好！！！！真是戲劇性的造化弄人啊！！！！

剩了不少時間，我看著那個坑爹的函數，逐漸浮想聯翩連起來……

……

怎麼這麼眼熟

……

難道說……如果把它疊加起來，就會變成一個以某值正負交替為周期的階梯函數？

這樣的話，不就正好符合了交流電以此為頻率交替正負電流？

所以……電流的有效值就應該是疊出來的像正方形一樣東西的極值？

順手畫了一下圖——得「2」。

雖然這大概是不完全的理解，但比起蒙一個數字總算強多了。

驕傲、自豪、鄭重地寫上了「2」

——我感覺彷彿是在嘲諷我的徒勞和艱辛，諷刺我的翹課競賽之路

但這種在考場親自瞎想（並蒙對答案）的經歷還是讓儘管「2」的我開心得不得了

出考場之後，小心翼翼地對了答案——蒙對了。

想炫耀，想分享有趣的經歷。然而文科班的同學……理科班的同學……都不懂我樂啥。

告訴某信競大佬，得到的回復是：「呵呵……」

這就是對我，一個文科生而言傅里葉變換的意義——一個A率據稱高達90%的物理卷子的兩分。

(沒想到隨手寫的一點東西這麼多人點贊，那就認真寫一下）

傅立葉變換可以理解為一段序列信息的另外一種呈現方式，在變換過程中總信息量保持不變。

舉個例子，這樣好理解一點。

假設某商人打算投資一個商鋪，於是他派手下一個年輕人小王去商鋪門口蹲點，記錄每個小時的客流量，看生意好不好，是否值得投資。

這個商鋪從早上6點開到晚上6點，工作12個小時，因此小王蹲點一天，統記了12個數。

第二天他向回來彙報：「老闆，是這樣的。上午6點，有10個客人，7點有5個客人，8點有9個客人，......"。

這時老闆打斷他：「小王，不需要那麼細緻，我只要你回答我這幾個問題：

問題1. 全天總共有多少客人？

答曰：120個。

問題2. 那麼是上午多，還是下午多，多多少？

答曰：上午多，多20個。

問題3. 把全天分成3個時段6-10，10-14，14-18，假設每段人數分別是a，b，c，那麼a-b+c等於？

回答：。。。。

問題4. 把全天分成4個時段6-9，9-12，12-15，15-18，假設每段人數分別是a，b，c，d。那麼a-b+c-d等於

回答：。。。。

。。。。。

問題12. 12個小時中偶數小時的人數（6，8，10，12，14，16）減去奇數小時的人數（7，9，11，13，15，17）。

回答：

》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》》

不太嚴格的講，這個商人其實就是在對客流量這個時間序列做傅立葉變換：

問題1 總客流量就是所謂的零頻率成分（zero frequency component）

問題2 上午和下午的差就是低頻成分（low frequency component ）。

。。。。

問題12 就是最高頻成分。

他問每一個問題，就能得到多一點細節，當他得到12個問題的答案的時候，他就能得到和原始時間序列的全部信息。

如果傅立葉變換並沒有提供更多的信息，那他有什麼好處呢？

答案是傅立葉變換雖然沒有提供新的信息，但是通過改變信息的呈現方式，提供了一個從全局到細節的分析角度，傅立葉變換的低頻信息，對應於整體面貌，傅立葉變換的高頻信息則對應於具體細節。

有的時候，從商業分析的角度來說，我們只關心整體面貌：

首先，知道總客流量，則可以估算出營業額。

其次，知道上午和下午的流量差，就可以調整營業時間，獲得最大化的收益。

也就是說，老闆只需要前幾個問題的答案，就可以腦補出客流量的分布，這種情況下他是在做一個「低通濾波」（low pass filter）。

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大家注意，上述的這種方法不是嚴格的傅立葉變換，嚴格的傅立葉變換是要用到三角函數的，這是為什麼呢？

因為上述方法有個很大的問題，就是存在時間奇點。

比如，在回答第二個問題的時候，中午12點這個時間節點就是個時間奇點，假設正好在中午12點，來個一個旅行團的20個人，負責記錄的小王立刻就懵逼了，因為他不知道這20個人是算在上午好呢，還是算在下午好呢？

答案是都不好，因為我們的方法本身不好，它不連續。

這種情況下我們最好的應對方式是設計如下圖一樣的一個權重：

這個權重在6點，12點和18為0，9點最大為1，15點最小為-1。

我們的計算方法變成每個時刻的客人數乘以這個時刻的權重再相加。

注意上午的權重為正，下午的權重為負，新方法的結果和老方法（上午減下午）應該差不多。好處在於12點來多少人都無關緊要了，因為那一時刻權重為零

好了，我似乎已經聽到了圍觀群眾的怒吼：「你這個是在搞不平等，憑什麼9點和15點的權重就大，而6點，12點權重為0，這不公平！」

您說的對，我們的新方法確實有這個問題，為了解決它，我們引入一個伴隨權重，

注意，在任意一個時間點上，這兩個權重的平方和都是1, 每個時間點都是平等的，現在大家滿意了吧！！！

第一個權重就是正弦函數，第二個權重就是餘弦函數，這就是傅立葉變換採用三角函數的原因。

唯一的問題在於，對於每個頻率（12個問題中的每個問題），我們現在有兩個數字結果，這兩個數字結果可以認為對應於太極的陰陽兩極，（是不是和中國傳統掛上鉤了）。

或者呢，我們用數學裡的複數來表示它，複數中的實部，就用餘弦函數計算求和的結果，複數中的虛部就用正弦函數求和的結果。

到最後傅立葉說，這方法是好的，就把它叫做傅立葉變換，於是事就成了。

傅里葉的意義就是給出了一個在頻域解決問題的方法，本質就是解釋了任意波都是由簡單的正弦波組成的。
其實知乎有人寫的真的很好，見:
如果看了這篇文章你還不懂傅里葉變換，那就過來掐死我吧 - 與時間無關的故事 - 知乎專欄

但我就是管不住自己，非要再裝一下。因為我總覺的他們講的還是沒有和實際生活掛鉤。
那我就扯點故事。
傅里葉先是在他那個年代有了一個牛逼的想法，所有波都是不同的幅度、頻率、相位的正弦波組成的，這在當時，包括他的老師都是持反對意見的，理由很簡單，你拿線條圓滑的正弦給我組個線條筆直的方波、三角波看看。
然後傅里葉就整了一個傅里葉變換出來，證明方波、三角波至少在數學上就是可以用正弦波組合出來，但是當時沒有什麼物理上的證明。
到了現代，我們知道傅里葉是對的了，首先，複雜一點的波，比如聲波確實是更簡單的多個不同正弦波組成的。利用這點，我們可以有效進行數字降噪，比如一段音頻文件，混入了汽車發動機的聲音，說話聲變的難以聽到。我們對這段音頻文件的聲波波形做傅里葉變換，可以等到一個展開式，然後找出發動機雜訊的頻率，把那個頻率的sin項前的係數改為0；再逆傅立葉變換，還原回聲音，duang的一下雜訊就變小了，但其它聲音得到了保留，說話聲就聽清了。
再來說方波。
就如同古代人們認為輕的的東西落得慢是因為不知道有空氣阻力一樣，傅立葉時代人們認為正弦波不能組成方波，是因為他們錯誤的認為方波是筆直的，但現在我們知道理想的方波是不存在的，實際中的方波（應該是電路總的電信號居多，比如簡單的有線數據通訊都是方波），藉助示波器放大看，邊沿是斜著上去的，拐點其實有過沖、有凹陷，如果示波器的帶寬不夠（顯示不了高頻率的信號，等於是把方波的高頻量都給去掉了）甚至會把方波顯示成梯形波（類似下圖中黑色的波）。
而且傅立葉不但可以處理聲波、電波，這種大家能理解的波，還能處理大家不能理解的波。
比如光波。
不過可惜我也不是太理解。只知道，通過傅立葉變換對圖像數據做處理，增大高頻信號的係數就可以提高圖像的對比度。同樣，相機自動對焦的一種方法原理就是通過找圖像的高頻分量最大的時候，就是對好了。

傅里葉變換來源於傅里葉積分，傅里葉積分則來源於傅里葉級數。

對於性質很「好」的函數（定義在 $- infty$ 到 $+ infty$ ，具有周期性），我們可以用傅里葉級數來表示；而對於性質很「差」的函數（定義在 $- infty$ 到 $+ infty$ ，無周期性），傅里葉級數就變為了傅里葉積分，二者從本質上說其實是殊途同歸的。

傅里葉級數物理意義用複數形式看得很清楚，即一切運動都可以表示為不同半徑、不同角頻率的圓周運動的疊加

在這裡一切運動就是被展開函數，不同半徑就是求出的傅里葉級數的係數（只不過在這裡沒有正弦項和餘弦項，都被歸到一起了稱為一個係數了）

傅里葉積分也一樣，只不過對於級數而言離散化的不同角頻率的圓周運動變成連續化的不同角頻率的圓周運動了

傅里葉變換就是求解對應角頻率的圓周運動的半徑，或者說對應的信號強度

傅里葉分析和應用

學過《信號與系統》和《複變函數》等課程的人往往會被許多問題所困惑，如：

（1）周期信號傅里葉級數中的傅里葉係數物理意義是什麼？

（2）頻譜表示什麼？

（3）通過頻譜我們能知道什麼？

（4）非周期信號的傅里葉變換到底是什麼意思？傅里葉變換的物理意義？

（5）複數形式的傅里葉變換的物理意義？

（6）對信號用頻域分析有什麼好處？

（7）為什麼周期信號的傅里葉變換在相應頻率處出現衝激函數？

上述問題儘管看上去有些零碎，其實它們是有聯繫的，下面，我從頭到尾把這些問題串起來，內容可能比較多，希望大家耐心閱讀，並希望下面的內容能對大家有所幫助，更詳細的內容和應用還請參見我寫的《信號與系統分析和應用》一書，本書在高等教育出版社出版發行。

一、周期信號的傅里葉級數和信號頻譜

1、周期信號的三角函數形式傅里葉級數和信號頻譜

（1）周期信號三角函數形式的傅里葉級數

可以看到，信號頻譜的作用就是用圖形（頻譜圖）或公式（向量形式）來表示組成這個周期信號的所有不同頻率的餘弦信號的「三參數」（幅度、初相和頻率或角頻率）。從頻譜圖上，我們就能看到原周期信號含有的所有頻率的餘弦（或正弦）信號的幅度和相位的大小，也就知道了周期信號含有的所有頻率成分以及這些頻率成分對原信號的貢獻大小。上面圖（c）是將圖（a）和（b）合成一個圖（合成的原則請參見《信號與系統分析和應用》書）。

二、非周期確知信號的傅里葉變換

三、周期信號的傅里葉變換以及衝激函數的作用

五、其它函數的傅里葉變換及應用

《信號與系統》課程中還涉及到：

（1）
「自相關函數」的傅里葉變換；

（2）系統單位衝激響應的傅里葉變換；

（3）離散時間傅里葉變換DTFT；

（4）離散傅里葉變換DFT；

這些傅里葉變換都有其各自的物理意義和作用。

舉個栗子

傅里葉變換在音頻分析中的應用
你聽到的聲音是很多震動的疊加，而經過傅里葉變換就能清楚地得到各個頻率的分量
在很多地方都有廣泛應用

--割一下--

很多答案提到了許多高數書上的公式和推導過程
我覺得題主想要了解的可能不是這些，而是想知道這個數學變換在物理上或者工程上的意義
所以在這裡直觀的解釋一下：

原函數和它的傅里葉變換是等價的，都可以完整地描述出一個信號，並可以互相轉換

在我上面的例子中，人們直接採集到的聲音信號是波形圖，
你可以根據它的疏密來大致判斷它是一個高音還是低音，
但是通過傅里葉變換得到頻譜後，就可以清楚直觀地看到這個聲音包含的高頻分量和低頻分量

我們大概最習慣的就是XY坐標系，然後有一個函數曲線，類似這樣：

不過有些運動，不僅需要考慮物體的運動曲線，還要考慮物體自身的周期運動，類似這樣：

你會發現，右邊的函數曲線用XY坐標系的方式去擬合，非常不優雅。更好的做法是可以同時描述出這多個周期運動，而傅里葉變換就是這樣的，把其中多個周期運動分離出來，每個周期運動單獨一項，最後求和。這才是最貼合這個運動本質的描述方式。

而物理學中，微觀粒子波的特性非常明顯，也就是說，任何微觀粒子本身都有一個近似周期的運動，那研究其運動方式自然最好就是做傅里葉變換，那麼就可以清晰的表達出其本身的周期運動和外部運動的疊加了。

海森堡的矩陣力學和薛定諤的波動力學，
用兩種不同的方式描述同一個波函數，
它們的橋樑就是傅里葉變換。
矩陣可視為波函數的頻域描述，微分方程可視為波函數的時空描述，
是橫看成嶺側成峰的關係。
傅里葉變換為我們觀察自然現象提供了一個不同的視角。

譬如語音領域，頻域提供的信息比時域提供的信息寶貴很多。著名的MFCC參數就是在頻域上提取的。並且，在運算方面，複雜度很高的時域卷積運算，在頻域上就只是相乘而已，即便是低端單片機一般都有硬體乘法器，不知道簡單到哪裡去了。

老師課上講過一個例子。人體實驗，需要測量某組織對不同頻率電信號的反應，但是一個一個頻率地測，對志願者的傷害不小。有人想到一個方法，向組織輸入一個能量單位的脈衝，這個脈衝在頻率域是一條直線，也就是包含所有頻率成分，這樣，只輸入一個信號，就可以測出所有頻率上的響應了。

傅里葉變換，將同一事物變換到不同的描述空間，帶領人類走出「不識廬山真面目」的困境。並且，傅里葉變換的思想方法進一步提示我們，時空並非衡量物質運動的唯一參量，時空是相對的，不是絕對的。

傅里葉雖然姓傅，但他是法國人。
傅里葉變換是他在研究熱傳導的時候提出的。

好些回答，以及絕大多數教材都專註於傅里葉變換的幾何意義或者數學意義。

事實上，任何科學理論都是客觀現實的抽象和整理。

也就是說，傅里葉變換也有其物質基礎和物理意義。

傅里葉變換的物理意義是：它是波粒二象性的抽象。

量子力學表明，任何粒子都具有波粒二象性，微觀粒子表現得更明顯。

也就是說，任何粒子的運動軌跡都有波動的因素在其中，如何呈現這些波動影響？

Duang，傅里葉變換：一切函數【註：滿足一定條件，比如狄利克雷充分條件】都可以展開為正弦函數或餘弦函數之和（或積分）。

也是因為波粒二象性在微觀領域的作用更加明顯，傅里葉變換首先出現在熱擴散領域，後來被廣泛應用到信息領域，通信領域，圖像處理領域等等。

【註：此回答為本人原創（非首創，海森堡有過研究），本人尚末嚴格證明，歡迎探討。】

【註：傅立葉變換與不確定性原理的更多聯繫，科學松鼠會：不確定性原理的前世今生 · 數學篇（三）】

將時域上的函數轉到頻域上，直觀理解就是三稜鏡色散白光，不同顏色對應不同頻率，不同光強對應不同幅值，彩虹實際上可以看作是對太陽光作了一次Fourier變換。
函數在時域上越「分散」，頻域上就越「集中」，因此Heisenberg測不準原理也可以用Fourier變換理解。

傅里葉變換本質就是坐標分解，傅里葉係數就是坐標值，譜頻對應正交基。（函數可以當成向量看待）

在一個空間中，向量（函數）的坐標是X，在另一個空間中該向量的坐標是Y，Y=F（X）這個轉換過程就是傅里葉變換。

對同一個對象（函數），用不同方式去描述它，就得到兩個形態不同的對象空間，這兩個空間是相同的、幾乎一一對應的。

第一種方式：用xy平面上的點來描述函數，一個函數就是一段曲線，只需（x,y）兩個坐標就能確定一個點；但是需要無窮（不可數）對坐標係數來完整描繪這個函數。

第二種方式：經數學家證明，第一種方式所構成的函數空間都可以由三角函數的組合來表達。那【三角函數的組合】所構成的空間就等價於第一種方式描述的函數空間。

傅里葉變換就是把第一種方式描述的函數，轉換成第二種函數空間中的描述形態。

這種轉換的好處是（該好處，與三角函數的特性有關）：

1、只用可數個係數，就描述了原本不可數個點構成的波形；

2、主要特徵集中在前N個係數中，將無窮壓縮到有限，使信號處理成為可能；

3、更容易發現、分析函數的特徵。

——意思大概這樣，發現內容一多就有點詞不達意，但懶得修改了，也不好畫圖表來展示

——學過線性代數里的向量空間和坐標表示等內容、泛函分析（把函數族理解為一個向量空間）、傅里葉變換基礎知識，就能自行領悟以上內容。

人，花，草，小鳥，地球，傅立葉，牛頓每一樣事物都是以波的形式存在，波動是物質存在的唯一形式和表現，生命在於運動，運動是相對靜止事物的內在本質，外表不想干甚至矛盾相反的兩件事物內部構造是一樣的小波動，你中有我，我中有你，物質越是讓人靜止，道德的波動越是讓人遠離這些因素，喪失了波動則人死亡，其微小的波動以營養的方式被其他波動結合體吸收。

你說，一個複雜的世界該如何分析它；你說，一個複雜的物體該如何描述它；你說，一個複雜的形式該如何看待它。

我說：分解！分解！分解！

化整為零，逐個擊破！

比如一段複雜的信號，方波的性質？三角波該如何調整？鋸齒波該如何調製？還有各種信號

你說我一種信號就出一本書？我一種信號就用一種獨特的方法？我一種信號就從零開始研究？

不存在的.jpg

如果方波是A+B，三角波是A+C，鋸齒波是B+C，而ABC又單純的紅綠藍三原色那樣，那我何必要直接分析複雜的模式呢？直接分析ABC，再把他們按照一定的原則加起來不就是我要分析的目標么？想要在一片綠的水粉畫上塗上黑色需要額外找黑色顏料么？不用，只要塗上紅色就行啦（中學學過一點，班門弄斧一下

對於一個樂隊來說，一首曲子是怎麼演奏的呢？你說，t=1s的時候A奏x音，B奏y音，C奏z音？NoNoNo！這樣安排藥丸！這是時域下的視角呢。其實是這麼弄得：一段時間內，A持續奏某和弦，B持續打擊某節奏，C持續演奏某曲調。也就是A、B、C分別安排好獨立的模式，然後疊加就行了。

你說一個粒子的量子態該如何分析它的運動呢？它的波函數是那麼複雜，我們求楊氏雙縫干涉的時候，我們求勢阱中的波函數幾率的時候，難道要把整個一複雜的函數帶進去，用我們高超的數學方式去求解么？當然不是。複雜的位置函數卻有著明確而清晰的動量分布，每種動量下的求解又是那麼的簡單而明了，就像一團糟的房間，當我們按照類別，書歸書，衣服歸衣服的分類擺放好之後，原本複雜而凌亂的體系將會變得那麼清晰。

還記得線性代數裡面的特徵向量么？一個複雜的變換，在特徵向量構成的空間中形式是那麼的簡單——不再是複雜的需要逐行逐列算內積的計算，而是單純的將特徵空間中的向量在那幾個正交的坐標繫上的坐標進行縮放，而縮放的比例恰好就是對應的特徵值！

再複雜的信號？那也是簡單的正弦或餘弦信號疊加而成的哦

再複雜的模式？那也是簡單的模式們組合起來的哦

所以說，本質是什麼？在我看來就是換一個角度看問題，將複雜的問題變換到另一個視角下並進行化整為零，分別考慮的方法。

讓你一輩子記住他的名字，而不知道他的實際用途。

任意函數可以用一組正弦函數表示，並且這組函數是唯一的。用三角或正方等其他波形也可以實現類似的功能，但變換後得到的一組函數不是唯一的。

各正弦函數之間是正交的，也就是經過變換後沒有遺漏信息，各函數之間也互不包含。原函數被完美的分割了。

總結一下其他答主的回答。

從最淺薄的角度來講，傅里葉變換就是用一組不同頻率的正弦函數及其對應的係數來反映原函數的全部信息。通常來講，原本的函數是含時的，而變換後的係數只是對應正弦函數頻率的函數。這就是通常說的時序到頻域。這樣做一個明顯的好處是，我們能更簡便地描述時間周期性很強的函數。

從信號處理的角度來講（如聲光電信號），我們經常需要採集時間上離散的信號。這就和@章威說的很接近了。信號的離散性限制了我們用常用的數學方法去處理他們，因為數學經常處理的是連續函數，且一般是比較光滑的。而經過離散傅里葉變換以後（實際上與連續傅里葉變換並沒有什麼不同，這是很妙的一點。如果再考慮到快速傅里葉變換演算法的存在的話，簡直妙不可言），我們不僅可以使信號顯得光滑一點（低通濾波），而且也能用常用的數學方法對信號進行處理了。

再來看量子力學領域。量子力學的兩塊基石是波函數和算符，波函數描述了體系所處的狀態，而算符提供了求解量子力學問題的數學語言。在使用算符的過程中，我們實際上需要面對的僅僅是狄拉克符號，也就是常見的左矢右矢，用這些算符和符號已經可以解決很多問題，但是需要注意的是，截止到目前我們還沒有選擇表象，無論是算符也好還是用狄拉克符號描述的態矢量也好，都與表象的選取無關。如果用位置算符作用在算符和態矢上，我們會得到位置表象下的波函數，如果用動量算符作用在態矢上，我們會得到動量表象下的波函數。這是最初級的理解，也是大家常見的位置波函數，動量波函數，不確定性原理等一系列概念的源泉。更深一層，其實我們不一定要選用上述表象。如果我們能找到一組態矢量，他們處於Hilbert空間中，彼此正交，自身滿足歸一化條件，且他們所處的那一塊Hilbert空間中的任意一個矢量都可以被這一組態矢量的線性組合表示，那麼我們稱他們是Hilbert空間下的一組完備正交基。需要注意的是，雖然這裡頻繁出現矢量這個詞，然而他們並不一定是真的矢量，一般來說只是一個函數，稱呼他們為矢量是為了讓大家能更容易地與歐幾里得空間聯繫起來。這裡的一個個函數就相當於歐幾里得空間中的坐標軸。回到量子力學中，根據上面的分析，一個態矢量總可以被一系列態矢量的線性組合表示出來，這樣做有什麼好處呢？一般來說，由於本徵函數具有彼此正交的好特性，我們總可以把這一組完備正交基遠程某個算符的本徵矢，這樣一來，當這個算符作用在態矢量上時，我們就可以在很大程度上把算符和態矢之間的複雜運算轉化為一系列本徵值與本徵矢乘積的和，也即，我們把這種複雜運算轉化為了最簡單的代數運算。以上是@貓立刻的回答。

從泛函分析的角度來講，量子力學部分已經闡釋了泛函分析的基礎，具體數學家用它幹了什麼我也不太清楚。至少在解偏微分方程領域用的還是挺多的，解偏微分方程時，通過廣義傅里葉變換，我們能很自然得將某一個自變數以基函數的形式提出來，進而達到分離變數，減少方程變數個數的目的。特別值得注意的是，微分運算元是線性運算元，這保證了進行變換的順暢性。這是@dhchen的回答。