怎樣更好的理解，並且記憶泰勒展開式？

12-27

如題，一直都在記憶泰勒展開式，但是不知道本質是什麼，不知道為什麼一個函數可以那樣的去展開，其實可以通過相關資料慢慢理解，但是現在在考研，時間有點緊，請答著見諒..

泰勒展開還是很好理解的，我就我以前學習高數時候根據看課本的理解的在這裡大概講一下吧。
在實際應用中對於具有複雜形式的函數我們常常希望用較為簡單的函數形式表示他，那多項式就是這種簡單的形式。
首先還是先回到函數的局部線性近似這個概念。
舉個栗子，例如函數 $y=x^3$ ，當自變數有變化時，即 $Delta x$ ，自變數y會變化 $Delta y$ ,帶入到函數裡面就有
$Delta y=(x+Delta x)^3-x^3=3x^2Delta x+3x(Delta x)^2+(Delta x)^3$
當 $Delta x ightarrow 0$ 時，上式的後兩項是 $Delta x$ 的高階無窮小捨去的話上式就變成了
$Delta y=3x^2Delta x$
也就是說當自變數x足夠小的時候，也就是在某點的很小的鄰域內， $Delta y$ 是可以表示成 $Delta x$ 的線性函數的。線性函數計算起來，求導起來會很方便。
對於一般函數，當在某點很小領域內我們也可以寫成類似上面的這種自變數和因變數之間線性關係，
$Delta y=f(x_0+Delta x)-f(x_0)approx f$
變化一下形式
$Delta y=f(x)-f(x_{0} )$ , $Delta x = x-x_0$ 在代入上式就有，
$f(x)-f(x_0)=f$ ,移項有，
$f(x)=f(x_0)+f$
這個式子是不是很面熟？這個就是在 $x_0$ 點鄰域內舍掉高階無窮小項以後得到的局部線性近似公式了。為了提高近似的精確度，於是把上面的一次近似多項式修正為二次多項式（利用洛必達法則和二階導數定義，為了理解推導忽略），在進一步，二次修正為三次。。。一直下去就得到了n階泰勒多項式了。
所謂更精確的近似也就是有了更高的密切程度，這種程度是通過導數來體現的。
例如只做了一次近似的話，
$f(x)=f(x_0)+f$
近似的多項式和原始函數是通過同一點 $x_0$ 的。
若進行二次近似，
$f(x)=f(x_0)+f$
近似的多項式和原始函數既過同一點，而且在同一點的導數相同，也就是多項式表達的函數在 $x_0$ 點的切線也相同。
類似進行三次近似的話，不僅經過同一點，切線相同，彎曲程度也相同了。
一直下去。。。。
這樣近似相關程度多大，近似的也就越精確了。

（圖片來自樓上提供的網站Intuition explanation of taylor expansion?）
最後，總結一下好了，泰勒展開就是用形式簡單的多項式來近似在 $x_0$ 鄰域內的函數，展開越多近似程度越高。

本質就是多項式逼近推廣到無窮級數逼近

泰勒展開
$f(x) = sum_{n=0}^{infty}f^{(n)}(x_0) imesfrac{1}{n!}(x-x_0)^n$
通項只有三部分，你到底是怎樣才會記不住？
唯一需要注意的就是係數 $frac{1}{n!}$ ，你試著兩邊求n次導，就會發現它就是為了消去對冪函數的求導產生的 $n!$ ，推過一遍就能記住了。

數學中研究一個複雜的對象，最常用的方式就是線性逼近。線性逼近在數學中隨處可見，此處不表。
下面討論這個函數的泰勒級數的問題。
泰勒級數是幹什麼？
給定一個在a點的光滑函數 $f$ ，並且假設它在a處n階導數全不為0，
，我們怎麼考慮它在某一點a附近的取值情況？？
最簡單的：用在a點切線逼近這個函數，設這個切函數為 $g$ .
於是我們有 $Delta f=f-g$ , $Delta f$ 在a點值為0，導數為0.
不妨設a=0, $f(0)=0$ .
如果 $f$ 不是一個簡單的函數， $g$ 對 $f$ 的逼近顯然太粗略了。
怎麼改進這個逼近？？ $f=a_{1}x +Delta f$ ,
顯然的就是要對 $Delta f$ 進行逼近，而 $Delta f$ 在0的切線是 $x=0$ ，不能用切線對其逼近。於是乎：
定義 $Delta _{1} f=Delta f /x , x>0.Delta _{1} f(0)=lim_{x<br /> ightarrow 0}{Delta f /x }$ ，
我們可得 $Delta _{1}f(0)=0$ ,於是可以利用上方法對 $Delta _{1}f$ 進行逼近。
得 $Delta _{1}f=a_{2}x+Delta _{2}f$
由此即得： $f=a_1 x+x(a_2 x+Delta _2 f)$ ,得到了一個二次逼近
仿此可得函數的泰勒展開式。
由上過程我們可知泰勒展開式就是基於對線性逼近的無限次運用而得到的。。。
什麼樣的函數可以進行泰勒展開？？
這樣問是不妥的。應該是：
函數在一點處滿足什麼樣的性質在該點處有泰勒展開？
必要條件是，一個函數在一點處是光滑的。原因在上文中體現了出來，光滑函數保證無窮階導數的存在從而保證了每一次線性逼近的存在性。

我們學習泰勒展開，本質上就是為了在某個點附近，用多項式函數取近似其他函數。可能有些童鞋就要問了，既然有一個函數了，為什麼還需要用多項式函數取進行近似，理由就是多項式函數具有非常多優良的性質。

比如說，多項式函數既好計算，也好求導，還好積分，等等一系列的優良性質。

好，本質已經說完了，下面給出P(x)在x=0處的泰勒展開表達式，然後再進行仔細分析。

我們下面分析怎麼由右邊的多項式函數在x=0處近似於左邊的函數。

現在假設左邊的函數就是cosx，假設現在只用二次多項式去近似cosx，如何確定前面的係數，也就是說如何在所有的 $c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^2$ ,確定其中 $c_{0},c_{1},c_{2}$ 的值。才能夠更好的近似cosx。

上面的文字表述用下面的slides總結：

既然要讓x=0處，cosx與 $c_{0}+c_{1}x+c_{2}x^2$ 一致，那麼至少x=0代入到兩邊函數，值相同

可以推出 $c_{0}$ =1,在圖上表示就是0處的兩者函數值相同，都為1，如下：

我們將 $c_{0}$ =1定下來之後， $c_{1}$ , $c_{2}$ 不管怎麼變，都會滿足在x=0處，多項式的函數值為1，與cos0=1相等。那麼接下來 $c_{1},c_{2}$ 怎麼處理呢？

既然泰勒展開的目的是在某處，兩者的函數近似相同，那麼我們不應該僅僅滿足於函數值相同，我們讓在x=0處的兩者一階導數相同，豈不更好!

這樣我們得到了一個新的等式條件，如下：

由上圖，我們將x=0代入，得出在x=0處的一階導數，就會得出 $c_{1}$ =0，那麼這個時候，只剩下 $c_{2}$ 未知了，

那麼我們很自然的就會想到是否還能夠找到一個限制條件，構建一個等式，將 $c_{2}$ 也求出來，因為c0,c1就是這麼求出來的。

對的，就是這個思路，我們讓兩者在x=0處的二階導數也相等，相當於再加強一個限制，你既然要近似，就要近似的越多越好~如下圖：

根據上面表達式很容易求出， $c_{2}$ =-1/2

於是我們得出，在x=0處，近似cosx的二次多項式表達式為：

那麼到現在的解釋和一開始給的泰勒展開式子，是否有了一定的感覺呢？

我們其實在某處的泰勒展開，就是讓兩者的函數在該處的函數值相等，一階導相等，二階導相等，...n階導相等（因為你要近似，當然是越接近越好，所有的性質都相等最好）。如下圖：

上圖就是在x=0處的泰勒展開式，分母的階乘僅僅是為了抵消對次冪求導後的連乘。

如果不是在x=0處展開，比如在 a處展開，也是一樣的。如下圖：

那麼有了泰勒展開式這個工具之後，比如P（x）非常難計算，我要計算一個 $P(a+Delta x)$ 的值，我可以直接用右邊的泰勒展開，將 $x=a+Delta x$ 帶入到右邊的式子，就能夠估計得出。

以上內容均參考自3blue中國b站視頻講解，這是一個造福初學者幫助理解知識的好地方。

鏈接【官方雙語】微積分的本質 - 10 - 泰勒級數強烈推薦！

http://math.stackexchange.com/questions/9422/intuition-explanation-of-taylor-expansion

余項好幾種比較難記，主要部分有啥難記的，就一多項式，求導把係數確定一下。

「給定向量空間中一組基，任一個向量有且僅有唯一坐標表示。」

明白這句話後，不那麼嚴謹的話，可以說Taylor series無非就是在級數空間的線性表出。

夏天放高考假的時候閑得無聊瞎想所得，從筆記上Copy過來希望有所幫助，不喜勿噴。

看到一個YouTube視頻（https://www.youtube.com/watch?v=5c_x4C5tc4Y ），雖然內容很功利很應付考試，但是其中一段話給人以遐想：

我們知道一個函數 $f(x)$ 在 $x_0$ 處的取值，也知道 $f(x)$ 是如何變化的，那麼如何用 $f(x_0)$ 來表示 $f(x)$ 呢？

如果你問一個小學生，他會說，我知道一個值，那麼我猜 $f(x)=f(x_0)$ .
如果你問一個初中生，他會說，我知道 $f(x)$ 在 $x_0$ 處的斜率，我不妨假設在這之間函數是以同樣的斜率變化的，那麼 $f(x)=f(x_0)+f$ .
如果你問一個高中生，他會說，如果 $f$ 逐漸增大，即它的二階導是正的，那麼就會有 $f(x)>f(x_0)+f$ ; 反之則會有 $f(x)<f(x_0)+f$ .

雖然這種理解很樸素，視頻里也沒有繼續往下說，但是可以感覺到，這正是對泰勒展開最本質的理解。其實只需要稍稍做一些思想加工我們就可以從這段話中推導出來完整的泰勒展開式。

引理：如果變化率是個常數，那麼變化率在自變數上的累積，即變化量，就等於變化率和自變數的變化的乘積，相當於「斜率乘距離」，即

$egin{split} Delta y = int frac{{ m d} y}{{ m d} x} cdot { m d}x \ = int f$

今有 $f(x)$ 在 $[x_0,x]$ 之間連續可導。

如果 $f(x)$ 本身就是常數（小學生思維），則有

$f(x)=f(x_0)$

如果 $f(x)$ 不是常數而 $f$ 是常數（初中生思維），則有

$egin{split} f(x)-f(x_0) \ = ext{原函數的變化率的累積造成的偏差} \ =f$

如果 $f$ 是常數，則有

$egin{split} f(x)-f(x_0)-f$

如果 $f$ 是常數，則有

$egin{split} f(x)-f(x_0)-f$

將這種思考無限進行下去，並經過適當移項，我們可以得到如下無窮級數求和：

$egin{split} f(x)=f(x_0)+f$

其中 $f^{(i)}(x)$ 表示 $f(x)$ 的 $i$ 階導。

而這就是泰勒展開。上面的這種邏輯過程也間接說明了為什麼泰勒定理只適用於連續 $n$ 階可導的函數區間：因為只有這樣，已知的和未知的函數值之間才能用「變化」的定義建立聯繫。

本質就是對於一個無窮階連續可導的函數，它的各階導數值就給出了這個函數的所有信息，你可以就把這個函數想像為無窮階的多項式函數，係數定了這個函數也就定了。
當然還有一種想法是利用差商來思考，n階差商的極限就是對應的n階導數，而n階差商求的時候是取了該函數n+1個函數值，當階趨於無窮階的時候，取的函數值也趨於無窮，再加上無窮階可導的限制，這些差商的極限差不多就給出了函數的所有點的值的信息了。

能夠證明兩個光滑函數的任意導數相等，再加上函數值相等，必然這兩個函數相等的。積分中值定理就能搞定。所以tayler展開只是該函數的另一種表達形式而已。

3blue1brown的這個視頻可以很好的解釋，非常的形象好理解。【官方雙語】微積分的本質 - 10 - 泰勒級數

用吳文俊的話說就是：把質的困難轉化成量的複雜。

展開前求解函數的值很困難，
展開後是冪函數的線性組合，
雖然有很多很多項，
但是每一項都是冪函數，
因此每一項都容易求解。
於是只要對展開後的求和，
就能得到展開前的函數的值。
就這麼簡單。

註：吳文俊的原話是用在機器證明上面的，
我把它用在這裡，所以這可以說代表我的
解釋而非吳文俊的。

這個很重要啊....在編程的時候就發現，很多都是用這個近似計算的

你就記住其中一項就好了啊

可以理解一個可以N階導的函數f(x)，總會存在一個不超過N次的多項式∑aix^i(其最高次項的次數為n，ai為各項係數)使得函數R(x)=f(x)-f(0)-∑aix^i滿足一下性質:
1.R(x)是比x^n更加高階的小量
2.存在一個函數ξ(x)使得R(x)=f^(n)(ξ(x))x^n/x!
我們可以證明存在且唯一存在一組{ai}使得R(x)滿足上面的性質，第一個其實就是泰勒展開的皮亞諾余項，第二個是拉格朗日余項。
一般來說皮亞諾余項用於求不定式的極限，我們可以把一個函數寫成多項式與一個高階小量之和。
而拉格朗日余項可以考察泰勒級數是否收斂於原函數。

不用記，知道是基函數求和就行

冪級數是函數空間里的一組線性無關的基，所以可以把函數當做一個向量，在這組基上展開，就是泰勒級數展開，同樣也可以在三角函數的線性無關基上展開，就是傅里葉級數

泰勒展式這個東西，本質就是在一類性質足夠好（無窮可微，泰勒展式的余項收斂）的函數空間里，給了一組基底（多項式），然後告訴你這個裡面的函數可以用這個基底的線性組合來表達。比如說exp（x），這個函數其實並不知道是個什麼樣子（e本身是個無理數），但是學過泰勒展式之後，就知道這個函數可以用無窮和來表達，有一個直觀和感性的認識。。。至於怎麼記。。。這玩意兒也不用記啊→_→
其實泰勒展式用處不太大的。。。對於函數要求太高了，有各種各樣別的級數表示的

有規律的呀～～

自己推一遍絕對是最好的記憶方法。我當時也是被折磨的背不下來，自己推一邊就好了。泰勒展開也就是積分和微分的互相推導。