物理學（從本科到碩士）學生需要系統的學習哪些數學方面的內容？

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請依據學習順序一一介紹。

作為一個完全按照數學系要求學了很多很多數學（二學位）的物理系同學，我完全同意學弟Andrew Shen的看法。也就是：不需要系統學習除了微積分、線性代數和一點點初等的群表示理論之外的內容！看上去很高深的數學，等你把物理實質弄懂了，它絕不是你的障礙！

另外一點就是：很多人學牛逼的數學是為了裝逼的，不見得數學有多好！而且，系統學習數學會佔用你很多本該用來理解物理概念的時間！

只需要系統學習微積分和線性代數, 90%的人天天用的也就是微積分和線性代數. 很多人學熱學的時候被Maxwell關係虐得死去活來, 學電動力學的時候被矢量分析虐得死去活來, 其實就是多元微積分沒學好; 很多人量子力學學不懂, 其實就是線性代數沒學好.

除此之外, 大部分人還需要學習複變函數和群表示論. 了解複變函數有助於學習數理方程. 圍道積分在量子場論里也很有用. 群表示論是研究對稱性的工具, 無論在高能物理還是在凝聚態物理, 無論在理論物理還是在實驗物理中都很重要. 了解一些拓撲學中的概念也是有益的, 比如流形和微分流形. 這對於理解張量以及理解廣義相對論都有幫助. 但這些都沒有固定的學習順序, 可以是用到了再去學或是感興趣了再去學. 在教材的選擇上(至少初學的時候)最好選擇面向物理學家的而不是數學家的教材.

剩下更高深的數學也是一樣的: 用多少學多少, 等遇到了再學. 功利地說, 本科真正能接觸科研的時間就只有兩年, 碩士也只有兩三年, 時間是很短的. 這時候學習對自己最有用的知識才能達到最大的投入/產出比. 沒有物理上的動機就去學數學, 肯定是會被坑的. 很多人會有一種錯覺: 物理不懂是因為數學學得還不夠. 其實大部分情況下, 如果你的微積分和線代都沒問題, 那你的物理不懂就是因為沒有想明白物理, 和數學沒關係. 如果有人告訴你學物理的必經之路是按xxx順序學xxx聽起來很高大上的數學, 那十有八九是在吹牛逼. 做一個"名詞黨"聽起來可能確實很酷, 但對於踏踏實實學物理可能毫無幫助. 我知道有些人三句話不離"引力""對偶"的, 水的沸騰都能扯到弦網凝聚, 結果他去找文小剛, 文小剛表示我也不懂你在說什麼. 你以為大牛們什麼都懂, 其實大牛們只懂自己做的那些東西. 只是他們懂得很深刻, 可以憑藉自己的這一板斧砍遍天下.

但如果你是要做弦論什麼的, 就當我這些話沒說過好了, 可能還是趁早被數學洗腦了好!

1.線性代數和微積分是必須的，數理方程也是基本課程，需要熟稔於心。。
其次，複變函數很重要，它能給你提供很多計算方法以及物理理解，掌握這門課會給學習帶來很多便利。
2.高級一點的課程看你什麼方向了，群論在物理學中應用很多，物理學中有很多對稱性的概念，這些對稱操作形成很多群，這些不同的群決定了模型的特性。所以研究這些群(點群及李群)就能得出很多物理性質。無論工科還是理論物理都應該群的基本思想。
如果你想做實驗，那麼這些課程就足夠了。如果你學的是理論物理，那麼還必須要學習一些更高級的數學課，拓撲學，微分幾何在弦論都必須用到的，學好這些課就很了不起了。
當然物理不是數學，正真的物理在於直覺，直覺的養成需要你要以圖像化的思維思考問題，這不是一招一夕能養成的，你就要在平時多動手，多提傻問題，不恥下問，直到你養成這樣的習慣，別人一個問題出來，你能夠快速在腦海中形成圖像，物理就學的很棒了。

我說說我的經驗吧。我真正系統化學過的東西有常微分方程（現在想起來沒啥用，要用到就自然會，用不到就不記得）、概率論（非常有用）、複變函數（絕對有用）、微分幾何（沒用過，但很有趣），在物理系修過數學物理方法，包涵了傅立葉變換、拉普拉斯變換、變數分離法、變分法、Hilbert空間。

其他數學方法都在學物理的用到，比方說在各大力學就給我打好綫性方程的基礎，修經典力學使我學好泛函微積分，在修量子力學和量子場論就學到路徑積分和泛函積分，修多體理論就學到格林函數和Grassmann數。

1.必須學好的：
微積分，線性代數，複變函數，微分方程，群論和其表示論
原因：這是大多數物理理論的數學基礎和計算工具，其中微積分和線性代數偏基礎，微分方程、群論基礎和工具兼備，複變函數偏工具，但涉及一些繞奇點解析延拓的東西時你繞不開。
經典力學基本上微分方程和微積分可以搞定，但解方程時會遇到一些需要線性代數的東西。
量子力學基本上就是你微分方程和線性代數學得好不好的檢驗。
相對論嘛，靠高數中的解析幾何可以搞定，微分幾何的問題後面說。
統計力學主要都是微積分，概率的東西其實不重要。
2.對你理解一些概念有幫助的：
微分幾何，實變函數和概率論，泛函分析
微分幾何大概就只能幫你理解廣相，至少張量變換率可以不用死記啊，就是個雅可比矩陣嘛，然後理解一些整體的時空性質可能會好一點。
概率論嘛就是幫你知道概率是個什麼東西，有測度的概念理解一些物理量會有幫助，Radon-Nikodym導數可以幫助理解密度的概念，但不知道也不影響計算。
泛函分析就是讓你感覺量子力學裡不嚴密的東西有救了而已，然後其中的廣義函數論倒是很不錯，但實際上我們用不了幾個δ以外的廣函，對了那個場論里積分後就變0的ε也可以做廣函理解，還有就是希爾伯特空間不再是一個口號，有了嚴格定義，就這麼多。
3.我不是針對纖維叢，我是說剩下各位都是玄學！

微積分和線代是必須要學的，最好可以學學嚴肅的數學分析。如果要學到碩士階段，複變函數肯定要好好掌握，除了一般的數理方法教材外，最好讀一本複分析，比如Ahlfors。偏微分方程不用學太多，數理方法里那點就夠了。如果要做理論，幾何和群論是必不可少的，但大可不必讀數學教材，可以讀讀Nakahara或NashSen。我知道一些做弦論的專家，幾何方面主要也是讀了這兩本。

泛函分析除了少數研究方向，基本用不到。實在需要時，物理學家一般會讀ReedSimon的《現代數學物理方法》。

對物理系本科生來說，微積分和線性代數是最低標準，其餘除了應付考試外，都是你自己決定的範圍。

最簡單的，可以用川大這套寫給物理系的高等數學，名為高等數學，但是這四本書里涵蓋了微積分、線性代數、概率統計、複變函數、數理方程等內容，這個數學準備已經足夠你學習本科物理了，至於研究生階段，看方向了，通常就是一些《群論》《物理學中的數學方法》《物理學中的幾何與拓撲》之類的課程——這個取決於方向，但不包括string之類很小很少人做的方向，

看了好多數學，整個人懵了，其實應該用物理的思維理解數學，而非數學的思維理解物理，運用之妙存乎一心啊孩子們