無法理解高等數學怎麼辦？

12-27

匿名不能邀請呢，要不來關注的同學們幫我邀請一些大牛來作答？
說來也好笑，我從國內某top5高校理工科畢業多年，一直苦惱於高等數學學不好【畢業以後從事的事情跟高數尚未發生半點關係。。。我就是單純奇怪一下這個事情】。自我感覺問題在於我對於高數里的東西無法做出直觀的想像。
厚顏無恥地說一句，高中物理我學得非常輕鬆而且成績非常好，基本就是翻一遍書考試就接近滿分【高考物理部分滿分】，我感覺我能把書上的理論公式轉變為動畫片一樣的場景，做題時字面的意思會自動形象化地鑲嵌到那些動畫片裡面出現在我腦子裡，就像放電影似的。
但是高數就不行了，我努力多時也沒法把那些公式定理形象化理解，貌似只能死記硬背。所以直接導致大學物理、電磁場電磁波等科目成績也相當一般。
是不是我的腦子學到高中就是極限了？直說也無妨，因為我發現我現在乾的這活其實學到初中就能做了，賺的貌似也還可以。。。囧。。。
==============我舉個栗子==========
最近知乎上一個很火的文章：傅里葉分析之掐死教程（完整版）更新於2014.06.06 - 與時間無關的故事 - 知乎專欄
我前面都能看懂，但是到了歐拉公式這兒就不懂了。我想不出e的iπ次是怎樣形成的，後面就理解不了了。。。

2016-09-18 補充: 我將於 9.28 9pm 在知乎 Live 中討論如何學好微積分，供諸位參考。

（在知乎數學板塊貢獻過一些內容，但一直想回答這個問題卻不知道從何說起。某些答案否定了眾人對教材的抱怨，然而我認為對教材的抱怨有一定合理性。現實生活中很多真努力學了還學不懂的，教材和教師要承擔一部分責任。特別是有些人我稍微跟他聊聊他就恍然大悟，說原來這個東西竟然這麼簡單，只能說是被不入流的老師坑了）

高數級別的這種數學，是有實際應用而且怎麼說也不能算難的。牛頓和萊布尼茲各自在康熙年間發明的還被後人廣泛接受而且消化了的學問，能難到哪裡去? 即使多元微積分裡面最複雜的斯托克斯公式，也就是十九世紀末的內容。

我認為真正的衝突所在於，高數其實是微積分和數學分析的混合。微積分英文是「Calculus」, 來自拉丁文的「演算」，本來就是像加減乘除一樣的一套演演算法則，記住這些簡單的法則，就能幹很多事情：比如記住鏈式求導法則、乘積法則和商法則（chain rule, product rule，quotient rule）就能給相對複雜的函數求導（類似於 $e^{-x^2}dfrac{sin x}{x}$ 這種），記住一些簡單的技巧（比如分部積分，部分分數）就能給一些函數求積分。然後藉助導數這些概念還能有一些簡單的應用——比如求某些函數的極大值極小值。

這些最簡單的演演算法則，其實是微積分這個概念的強大之處。大家不妨想像一下高中學過的數學，其實很多函數的定義什麼的都知道了，但是面對一個 $e^{-x^2}dfrac{sin x}{x}$ 這樣的函數，很多高中生還是兩眼一抹黑，根本不知道想了解一些性質要從哪裡入手。但是懂微積分的人就不一樣了，上來就可以求導，求導之後就得到了很多有用的信息，然後知道導數的正負，也就是增減性之後，函數圖像也能畫出來了，起碼整個東西不再令人恐懼了。任何工具要得到「強大」的稱號，必須讓傻子也能用。微積分就是這樣一個強大的工具。

用一種畫面感很強烈的語言描述，大概是這樣的。在牛頓和萊布尼茲之前，歐洲的數學水平大概和一個今天能考上好大學的高三學生差不多，物理水平大概和初中生差不多，剛剛掌握了搞科學要靠做實驗不能靠瞎逼逼的思想，另外還掌握了很多天文數據（牛頓出生的時候伽利略剛剛去世，微積分發明之前連牛頓三大定律都沒有）。然後牛頓和萊布尼茲，給科學界一群剛剛掌握科學思想的群眾發了一套像 AK-47 一樣強大的武器。這武器怎麼造的大家一開始也沒仔細想，但是就是好用，爽，拿著這個武器去搞科學，就像開著挖掘機去挖金礦，比原來的小鏟子好用多了。

然後才有數學分析。數學分析怎麼來的呢? 原來的武器（「微積分」）太強大了，強大得令人懷疑，於是大家不禁要問，什麼時候能用什麼時候不能用，挖出來的東西什麼時候是金礦什麼時候是狗屎，能不能有個明確的說法? 之前是靠強大的物理直覺，而且之前到處是黃金，偶爾挖到一坨狗屎也無所謂，後來黃金不好挖了，更怕挖到狗屎，所以才要搞微積分的嚴格化。這個就是數學分析。

所以學問是有個次第的，先有微積分，再有數學分析。很多高數的書，把微積分和數學分析放在一塊講，老師也不顧這個次第，所以讓學生覺得很坑。這有點像把射擊和槍械製造混在一起教學，整個過程都很混亂。有個笑話反應了這種情形

高數題只有兩種，第一種：卧槽，這也用證？第二種：卧槽，這也能證！

很多時候學生還什麼都不會，就被要求嚴格化，這就好像在挖掘機說明書上寫什麼時候會挖到狗屎一樣，——用戶真正需要的其實是挖掘機的操作方法。原問題提到自己從 TOP5 畢業，我覺得學校好，要求高，反倒坑了一部分人。舉個最簡單的例子，極限的 (ε, δ)-定義，這個定義對於微積分的嚴格化，當然很有意義，但是它的作用是，在已經對一個極限的數值有概念的時候，證明一個極限的值確實是最初猜測的那個。如果一上來就給學生講這個定義，基本上要看學生有多少慧根了，因為學生腦子裡連「最初猜測的那個」的答案都沒有。我曾經參與下面這個對話（文字只是大意，參與者是好學校的好學生，不是智障）

「我還是想搞懂 (ε, δ)-定義，
我們能不能用 (ε, δ) 證明一下
$x^2$ 在 $x o 2$ 的時候極限是 3?」
「那個極限不是 3，是 4.」
「……」

在理想的情形，學問的次第應該被尊重。學生在高中先學了微積分裡面簡單的內容，比如求導的法則，極大極小值，用定積分計算面積等等。上了大學再慢慢嚴格化或者細緻化。然而，這方面沒有做得特別好的——即使是美國，也有很多學生跟不上教學的節奏，跟人聊天說到數學經常就是「I never got beyond calculus」...

下面說教材和教師的問題。最好的情形當然是像孔子一樣，因材施教。但那是理想狀況——現狀是要以工業化的形式大規模培養懂微積分的學生。另一方面，學生的時間有限（不是每個人都是數學系的還願意死磕），而且背景又不同，所以會造成一種從四面八方不同的方向涌過來爬一座山的局面。

對於這種情況，中國很多教材和教學的方法是，找一條特定的路線，然後老師帶隊，大家沿著固定的路線往上走。這種方法對於學生和老師的默契程度要求比較高，如果老師選的路線不對，或者老師比較笨（這種情形並不罕見），學生很容易掉隊。特別是有些時候老師已經四五十歲了，選取的路線完全不適應學生的狀況（比如高中教材和基礎已經和老師念高中的時代完全不一樣了），狀況通常更糟糕。經常看見年長的教授抱怨，學生真是「一代不如一代」了——這裡面固然有時代思潮、大學擴招之類的因素，然而假設沒有發生全國規模的慢性食物中毒影響智力水平之類的事情，學生一代不如一代的可能性其實是不太高的，更有可能的反倒是老師越來越不適應現在的學生群體（這並不是中國獨有的問題）。

美國的教學方法（就我所見而言）則略有不同，美國的教材相當於在山腰以下，修了很多樓梯，只要大致的方向對了，不管從哪個方向來爬山，都能找到樓梯或者繩索，然後爬到半山腰集合，剩下的部分再靠老師/助教帶領沖頂。所以美國微積分教材被詬病的「話癆」的缺點，其實是優點，這種很厚的教材本來就不需要一頁一頁看的，只是給不同背景學生的補充而已。美國也有老師抱怨學生一代不如一代，或者說越來越水——這種看法部分是對的，但也是老師越來越不適應現在的學生群體的一種表現。但是美國的坑死研究生的助教制度，相對地彌補了這個問題——助教和學生的年齡更接近，而且由於助教面對的學生數量相對比較少，教學也更容易個性化。

其實我想像中比較理想的教育方式，是在有人指引大方向的前提下，跟高一兩級的人學。比如大一的跟大三的學，大三的跟低年級研究生學，低年級研究生跟高年級研究生學，高年級研究生跟博士後學，這種情況對教學雙方都有幫助，上手溫故知新，下面的人也能比較快地學到實質性內容。一個年級一個年級地大班教學，其實很大一部分要看學生的造化，在中國美國都一樣。（個性化教學其實是個有趣的問題，想聊聊的可以私信。）

說了這麼多，好的教材是什麼樣子呢? 中國的中小學數學教材其實都還不錯，很多內容都經過了千錘百鍊。但是高中教材已經開始有點坑了，反正我覺得中專生哪怕想努力都沒法學下去，這種想努力還沒人能幫上忙的狀況其實是很糟糕的，很有必要給基礎差一點的人編一套更慢的教材（給中專生編的教材其實也能幫助很多高中生的，真的）。另外國產教材，僅限微積分的話，印象中樊映川的《高等數學講義》還不錯。數學分析的話，推薦張築生的《數學分析新講》吧。（不過上面也說了，教材就是爬山的一條路，努力了還爬不動，可以換一本試試，別以此為借口換得太勤就行。）

（偏個題，剛剛為了寫這個答案，查了查樊映川何許人也，似乎也很有趣）

樊映川(1900--1967)，原名樊盛芹，安徽舒城縣桃溪鎮人，現代數學教育家，1940年密歇根大學博士。1941年至1948年任國立河南大學教授，並先後兼任數理系主任、理學院院長等職。1954年由他主編的《高等數學講義》（上、下冊）出版。《講義》內容取捨得當，系統周密，論證嚴謹，內容精鍊，文字流暢，深受歡迎。截至1983年，累計印數上冊達517.5萬冊，下冊達448.4萬冊。該書先後獲得全國優秀科技圖書一等獎、全國高等院校優秀教材獎。他開創了理工科教材「中國化」的先河，堪稱中國科技書籍出版史和中國高等教育史上的一座豐碑。

最後，以上話題僅限於高數。這裡並沒有涉及線性代數或者概率論，「學不懂線性代數怎麼辦」「學不懂概率論怎麼辦」完全是一個可以開貼再講的問題。其實要說教材很坑，國內很多線性代數的教材首當其衝，點到為止了。

EDIT: 有朋友在評論里要求推薦教材，說實話腦子裡比較空白。聽說 Linear Algebra done Right 還不錯。微積分的教材我覺得都差不多，前面已經推薦過《數學分析新講》了。

無論如何，這門學科無王者之道，希望七天速成是不可能的，還請諸君多多努力。

我們學高等數學的時候是這樣的：

這當然學不懂了，跨度太大了。這個鍋，教材（對，說的就是同濟《高等數學》）肯定得背。

1 應該怎麼學習？

學習應該循序漸進，意思就是，應該從已有的知識出發，保持足夠小的步伐前進。

讓我們把已有的知識稱作 $i$ ，足夠小的步伐稱為 $+1$ ，那麼：

才是最有效的學習方法。

比如：

注意：什麼是 $+1$ 是比較主觀的問題。

下面我嘗試用 $i+1$ 的方法，解釋下高等數學的最基礎的概念，「極限」。

2 極限

我們先來看看，《高等數學》同濟版是怎樣用「極限」來歡迎新生的：

設函數 $f(x)$ 在點 $x_0$ 的某一去心鄰域內有定義，如果存在常數 $A$ ，對於任意給定的正數 $epsilon$ （不論它多麼小），總存在正數 $delta$ ，使得當 $x$ 滿足不等式 $0 < |x-x_0| < delta$ 時，對應的函數值 $f(x)$ 都滿足不等式 $|f(x)-A|<epsilon$ ，那麼常數 $A$ 就叫做函數 $f(x)$ 當 $x o x_0$ 時的極限，記作 $displaystyle lim _{x o x_0}f(x)=A$ 或 $f(x) o A$ （當 $x o x_0$ ）。
同濟大學《高等數學》第七版

我就問問你，那個高考結束沒有多久、剛剛過了一個愉快的暑假、背井離鄉、來到一個陌生的地方、開始新的學習生活的你，看到這個定義怕不怕？

我是很怕，因為：

我覺得：

下面的講解就以你有高考數學的平均水平作為 $i$ 。

2.1 積分的歷史背景

17世紀，當時很重要的問題是天文學問題，其中，開普勒三定律中的第二定律：在相等時間內，太陽和運動著的行星的連線所掃過的面積都是相等的：

既然有計算不規則曲線面積的需求，那麼數學家就得去研究，所謂積分就是求曲線下的面積（17世紀，英文中積分「quadrature"的含義就是求面積的意思）：

2.2 積分的思想

為了計算這個面積（此處並不嚴格，必須是任意的分法，而不光是等分）：

你可以自己動手試試：

此處有互動內容，點擊此處前往操作。

2.3 積分的精確定義

好了，積分的思想已經清楚了，為了計算，我們得用數學把積分的精確定義給弄出來。

我們先來看看這個積分是怎麼計算的：

通過上面的描述，我們可以認為，曲線下面積 $displaystyle Sapprox sum S_ n$ 。

那麼下一個問題是如何讓 $approx$ 變為 $=$ ？根據之前的描述，我們發現 $Delta x$ 越小（即 $n$ 越大），那麼所有矩形的面積和與曲線下的面積越接近。

當 $Delta x$ 無限接近於0， $displaystyle S=sum S_ n$ 。

問題就變成了怎麼定義 $Delta x$ 無限接近於0，在這時我們就遇到了真正的困難：

$Delta x$ 無限接近於0，但不能為0，否則以0為底邊長的矩形面積為0，無窮多個0相加仍然為0
$Delta x$ 無限接近於0，又必須最接近0，不可能有什麼數比 $Delta x$ 更接近於0
$Delta x$ 無限接近於0，還不可能為最小的正實數，因為沒有最小的正實數（為什麼？參看這個答案）

$Delta x$ 無限接近於0，換成極限的話就是 $displaystyle lim _{n o infty }Delta x=0$ （嚴格來說，此處按照《同濟大學》的定義，應該使用 $x o infty$ 時的極限定義，不過差別也不是太大），我們通過它來看看極限的精確定義：

至此，數學家們，終於通過這種彆扭的、但又非常精確的語言，定義了什麼是「極限」。

通過極限，我們終於可以完成積分的定義了，即 $displaystyle S=lim _{n o infty }sum S_ n$ 。

3 繼續 $i+1$

微積分的知識還很多，我們可以繼續保持 $i+1$ 地推下去。

我們大概明白了，為什麼要發明極限，以及極限要解決的問題。要進一步了解細節，可以參看下我的另外兩個答案如何能更好的理解（ε-δ）語言極限的定義？，以及請問如何理解極限的精確定義？

通過極限我們也定義了什麼是無窮小量（可以參看無窮小量是什麼？這個答案）。

我好像還沒有提到微分， $Delta x$ 我們稱之為差分，但是積分裡面也可以稱為微分 $dx$ ，可以參看這個答案微分和導數的關係是什麼？現在我們可以說微積分了。

我們看到積分的定義是 $displaystyle S=lim _{delta o 0}sum S_ n$ ，因為 $displaystyle lim _{Delta x o 0}{S_ n}=0$ ，所以積分可以看作無窮小量的級數。

無窮小量不光可以像上面那麼分成矩形，像這麼分也可以：

這樣也可以用積分來處理。只要能夠找出無窮小量，都可以通過積分來進行運算，所以微積分又稱為「無窮小分析」。

物理裡面就是這麼乾的，要是知道汽車的瞬時速度（瞬時速度中的瞬時就是無窮小量），那麼我就可以通過對時間積分，就可以算出汽車在一定時間內走過的里程數（位移）。

要是不攔著我，我還可以繼續說下去，比如連續啊、可積的條件啊、積分中值定理啊、blablabla。

看起來這篇文章像是我在知乎2016年的年終總結，2017繼續努力。

PART 1--------------為什麼看不懂大學數學-------------------------------

因為中國的教材太差。

一個國家的教學水平，整體反應在教材的水平上；一個大學的教學水平，也反應在教材水平上。全國除頂尖985學校之外，其餘學校的數學水平都很不理想，絕大多數學校的數學課程都是直接從蘇聯數學繼承過來的，三十年幾乎沒有任何改變，實在太差了。看了美國的教材，終於明白為什麼國內學生考研數學平均分不及格，不是題目太難，而是教材太差，真的太差。可以說國內985比211好了一點點，但是常青藤系列比國內985好了一個幾何量。同濟版《高數》、浙大《概率統計》、同濟《線代》這三套經典教材其實存在著巨大不足。他們表面聽起來很高大，實際上繼承了蘇聯空洞抽象的模式，以至於內容設置非常不合理，如果是屬於應用型的《微積分》，國內的《高數》明顯偏難，而且聯繫實際的題目太少；但是如果屬於分析型的《微積分》，那內容又略顯得簡單和臃腫。以至於絕大部分學生畢業後基本完全忘記《高數》到底是什麼，我不是說學生不認真學習或者老師差，而是教材，教材，教材，真的太差了。因為《微積分》是學習《概率統計》和《線性代數》的必備條件，因此直接導致整體考研數學成績非常差，而實際上目前考研的數學題目都是非常基礎的，是教材上例題的加強版，合理的學習安排下，應該能考到110分左右。但因為教材的巨大誘導性，讓學生產生了嚴重的恐懼心理和不滿情緒，這又反作用了對數學的害怕和反感，真是一件很悲哀的事情。

PART 2-------------------對《同濟高數》的意見-------------------------------

實際上，《同濟高數》是非常抽象的，而且脫離實際的。從目錄來看，似乎完整的覆蓋了整個《CALCULUS》體系，但是在幾乎所有的關鍵點上，同濟的編者並沒有用心處理，或者說，至少沒有從學生的角度去思考。可以說一切知識都是：「點到為止，泛而不精」。全書語言都過於機械數字化，當然內容都是正確的，也沒有錯誤，但正是這種」中庸精神「，少了一份靈氣，少了一份讓學生加深理解的輔助材料。要複製公式誰不會?我可以用幾頁A4紙把所有公式都寫出來，難道這樣就代表整個《微積分》了嗎？往往是在公式之外的地方，在書本留白的邊緣，在最細節的地方，最難的地方，最抽象的地方，最需要 descriptive statement 的地方才能看出一個作者的功力是否深厚，學問是否到家。「舉重若輕」，是對一個學者的最高的讚譽和評價，可惜國內教材和教授們在這個方面，還有很長的路要走。

《同濟高數》用很準確的語言把極限「D-E」定義擺出來，但是沒有說明這個定義的來龍去脈，因此很多學生都看不懂，甚至相當一部分學生都無法準確發音 delta - epislon，更別說理解到「為什麼要用D-E來代表極限？不能用其他符號嗎？」。而實際上 D-E 在古希臘字母中僅僅表示字母表的第四個和第五個字母，沒有任何特殊的含義，主要是ABC 都被歐幾里得霸佔在幾何學裡，沒辦法用了，被迫無奈採用了 D-E 。而在美國教材中，原作者用了一大段很簡單的語言和幾幅圖片，將極限進行了解釋「Limit is an active approaching process, it is not a still real-valued number nor variable, no matter how close you are, you will never reach that target 」。極限這個概念在牛頓---萊布尼茨的時代還沒有出現，因為極限涉及到的數學原理其實很複雜，僅僅是「連續性」和「光滑性」這兩個看起來很簡單的名詞，就讓整整一個世紀的數學家廢寢忘食，夜以繼日，才得出結論。而至於我們今天看到的D-E定義，更是牛頓死後的一百年才被德國數學家威爾斯特拉斯提出，因此美版教材普遍都不要求「證明」，只要求「了解」極限的意識形態。《同濟高數》對於一元微積分幾乎完全沒有實例，而對於極端重要的sinhx，coshx，更是只有寥寥幾頁紙，並且還帶了一個星號，給人一種「欲練此功，必先自宮」的恐懼，sinhx, coshx 就是由 E^X 跟它的對稱函數E^(-X)進行線性組合得到的，簡單吧？但是同濟直接忽略了 y=e^x 的教學，實際上 y=e^x 是微積分中最簡單，也是最重要的函數族。正因為這個特點，對它們的求導/求積就非常簡單，特別是後期學習無窮級數，泰勒展開式，向量微積分，開普勒三大定理，概率的MGF，都時時刻刻體現出 y=e^x 的巨大威力。

更嚴重的問題是，同濟和浙大的編者，都用了反人類的思維方法來開展教學。比如對y=x^n的求導教學，同濟是直接拿定義出來，先把它證明了，再舉例告訴學生這個定理可以直接使用。台下的學生一臉問號……難道大家不會覺得這是跟正常思維相反嗎？美版教材就是先帶領我們學會y=1的求導，然後y=x的求導，然後y=x^2的求導，然後y=x^3的求導，然後作者Stewart循循善誘地問同學說"now do you see any pattern among these process ? Can you GUESS what maybe the derivative of y=x^5 ? And what about y=x^n?"最後他才會擺出嚴密的定義，並證明。此時，學生也在過程之中學會了「由特殊到一般，再由一般到特殊」這樣一個非常重要的數學思維。相對應的求積也一樣，先計算y=1的積分，然後y=x的積分，然後y=x^2的積分，然後y=x^3的積分，最後再問學生"now do you see any pattern among these process ? Can you GUESS what maybe the antiderivative of y=x^8, and what about y=x^n?" Stewart從來不會直接甩出一堆晦澀的證明，而是先從幾個簡單的例子，引導學生去 GUESS 這樣的結論是否具有一般性，並且證明自己的GUESS 是對的還是錯的。Stewart 所用的例子都很簡單，並沒有太多的技巧和套路，但是這樣的效果卻非常好，由淺入深的幫助學生 "explore the unknown"，這才是一名優秀的老師所應有的態度和水平。多年後，或許你會忘記多元積分的公式，你也會忘記Laplace， Fourier，Taylor的公式，但只要你還記得推理的方法，你就很容易在幾分鐘內完成這一個過程。李開復曾經說到「忘掉你所學的一切公式和定理，如果你還能利用自己的理解去推理出來，那就說明你的學問已經到家了。」對這句話，本人無比贊同。

美版教材同時附帶了大量的一元微積分習題，只列舉簡單的入門習題：

（1）固定的魚塘里放入一定數量的魚苗，在足夠營養下，魚苗不會無限增長，而是指數增長，利用微積分知識，就可以求的相應的增長數量。
（2）博爾特在一次110米欄比賽中，總用時12秒，那麼問你，他在4.5秒的時候，具體的瞬間速度是多少？同樣前提條件下，博爾特在8.5秒的時候，已經總共跑了多少米？最後就會問，有什麼方式把上面兩個不相干的問題聯繫起來？
（3）某降血壓的藥物，給高血壓病人吃了後，檢測得血壓下降的速度與藥物濃度有直接關係，利用微積分就可以求得，吃多少的藥物，才是有效的安全範圍。
（4）化學反應中的速度跟濃度呈正比關係，但是明顯不是普通的線性關係，利用微積分，就可以求得某時間的濃度，或者完全反應所需的時間。
（5）發射地球同步衛星，需要多少做功，某瞬間需要多大的速度，如何確定速度跟做功之間的關係，在簡易條件下如何檢驗相對論的正確性。
（6）水面的波浪從中心點向外擴張，呈 sinhx 的軌跡；而懸鏈線的受力情況，卻是呈coshx的軌跡，試用微積分知識進行簡單說明。
（7）流體通過某管道時，其靠近管壁的流體速度會因為阻力而減慢，中心部分由於阻力較小而速度加快，試用微積分知識來解釋為什麼。

當然還有大量的變速的位移，變力做工，經濟學的邊際效應，價格彈性，資產定價模型（CAPM, WACC），旋轉體的體積，等等都是《同濟高數》所缺少的實際應用。正是因為這些栩栩如生的例子，學生才能深刻理解到微積分對於現代生活的巨大改變和意義。否則，假如僅僅是把純粹的數字翻來翻去，求導/求積，學生都會了，那然後呢？難道學了微積分就是來做一個人工計算器嗎？國內教材總是直接叫學生套用某某公式解題目，而忽略了公式之外的邏輯理解和推到能力，美版教材就基本相反，很強調對基本公式的推到和歸納能力，而降低對公式本身的依耐性。這是兩種截然不同教育理念的衝突。

國內教材就像（授人與魚），給你一堆公式和定理，讓你照著用。美版教材就像（授人與漁）給你一種發現公式和定理的思維，讓你學會自己歸納總結。它首先就會告訴我們：《微分學》研究「instantaneous, incremental and related changes」的問題；而《積分學》研究「output from irregular input 」的問題。《微積分》的本質就是研究"active variable"的問題，教材特別多次強調「the significant difference between calculus and algebra and geometry is that calculus is dealing with ACTIVE/MOVING variable and algebra/geometry is working on INACTIVE/STILL variable」.

PART 3----------------對《線性代數》《概率統計》的意見-----------------

這兩套教材也是被國人視為瑰寶，敬而遠之，但是相當大量的學生反映：「《概率統計》由於比較具體，還勉強看得懂。但是《現代》實在太抽象，所以很多學生反應無法理解」。因為這兩套教材也十分抽象和理論化，缺少很重要的PREFACE，讓學生在學習之前能對本學科有一個 FRAMEWORK 上的把握和掌控，基本上看完了也不知所云。美版教材無論如何都會有這些東西，並且開篇就告訴你《線代》研究的對象是「vector, especially COLUMN vector」，並不是所謂的「matrix」或者「determinant」或者「eigenvalue」，並在一開始就對向量進行了細緻的教學，從加法、減法，二維圖示，三維圖示，到dot product，到cross product，到matrix，到determinant，最後才是水到渠成地引入matrix as linear transformation。非理工科的學生，學到這裡就差不多了，後面vector space 和 orthogonallity ,比較抽象，難度也大，可以有選擇地放棄。至於最重要的rank , nuliity , dimension ,同濟並沒有說清楚。如果是一維的，那就是兩個向量共線；二維的，那就是兩個向量形成一個四邊形；三維的，那就是三個向量形成一個體積；四維以上的，照樣是體積，但是一般不討論。而所有的「行列式」、「矩陣」、「秩」、「通解」、「特解」、「特徵向量」，「特徵值」，等等名詞，都是RREF 後，圍繞COLUMN vector 展開的運算而已。但是由於《同濟線代》根本沒有這些基礎知識做鋪墊，導致學生基本看不懂教材的內容。就相當於：讓學生去建造一棟摩天大樓，但是不讓你打地基，直接就在平地施工建造第一層。實際上非理工類本科階段的《線性代數》是非常簡單的，是最基礎的加減乘而已，但是相當一部分學生甚至說不清楚 column space 和 row space 的區別，這就直接導致後期的學習舉步維艱。

浙大的《概率統計》相對來說比同濟優秀太多了，但還是存在比較嚴重的缺點。首先，是體系太混亂，對於discrete/continuous RV 的最基礎術語(pmf, pdf,cdf)都欠缺完整。其次，是科班痕迹明顯，所有的實例都是一筆帶過，對於大名鼎鼎的Poisson（ $lambda$ ），和 Exponential ( $lambda$ ) 甚至都沒有說明白之間的微妙關係，不如維基百科。美版的《概率與統計》對一維的變數分布進行了非常細緻的教學，五種discrete/continuous RV ，及其相關的mean，variance，median, skewness。每一種分布都配了至少五道簡單的例題，每到例題都有詳細的解答思路和完整的mathmatical induction，幾乎佔據了一半的教材內容，並附帶有非常豐富的（簡單的）課後練習。而對於更加複雜的二維變數，及其mean，cor-variance，co-relation, 教材反而用了較少的版面，因為二維不過是兩個一維變數圍成的一個面積而已，其他並無明顯差異，只要先扎紮實實學好一維的，二維的問題就變得很簡單。美版教材特別說明了幾個問題「Poisson distribution looks very complicated at first, but it is actually the discrete version of Exponential distribution, which is very easy to calculate. But Exponential distribution, together with its brother Erlang distribution, is also a simplified version of Gamma distribution. But the most interesting finding is that the Chi-squared distribution is a special case of Gamma distribution as well as a special case of Norma distribution, which means to some extent, all the important distributions can be related to Normal distribution ! 」其實越是學到後面，越會發現「VECTORS」的重要性，它即出現在《線代》，也出現在《概率》，更出現在《高等微積分》中，可以說「向量」，是連接「可感知世界」與「不可感知世界」的橋樑」。

看完美國教材有一個感受：真正好的教育是將複雜的東西簡化，強化基礎概念和實際應用，弱化具體計算和邏輯證明，最終讓普通學生也可掌握相對深奧的理論知識，並迅速轉入實際應用。國內的教育正好相反：強化具體計算和邏輯證明，卻弱化了基礎概念和實際應用，最終生產了許多解題高手，但他們不具備遊刃有餘的操作能力。

PART 4-----------------------教材推薦------------------------------------------

首先說明，國內目前有網易（連接：中國大學MOOC）提供公開課程，但是內容依然圍繞著傳統教材展開，存在一定難度，其實大學本科階段的數學並不難，起碼不是老師講的那麼難，主要還是老一輩數學家過於古板嚴肅，缺少一個很好的入門通識過程。如果你們有條件，建議上YOUTUBE看看，那裡有很多優秀的入門公開視頻，比國內公開課好了太多，但是需要VPN軟體，請自行解決。

以下教材是全英文的，對英語有較高的要求。當然，優秀的教材有很多，我只列舉自己看過，並且給予好評的三本基礎教材。他們難度適中，編寫合理，循循漸進，很適合基礎較差的經管類、或者理工科的大學生。如果是初學者，請一定按照「微積分---概率論---線性代數」的流程來學習，因為「求導/求積」的運算是後期概率運算的基礎。但是在《概率統計》和《線代》中，後面幾章難度大，並且跟其他學科聯繫較少，所以一般學生看看即可，不需深入。由於《微積分》徹底催化了物理學和化學，因此順帶推薦三套優秀的理科教材。如果把《微積分》學好，再去學物理學或者化學，那幾乎是摧枯拉朽、風捲殘雲一般的容易。我是人大畢業的，看到母校引進並且出版了如此優秀的數學基礎教材，感到非常高興和自豪。可見，不僅僅是我一個人，而是更多專家學者，都深深感到了中美高等教育的巨大差距。感謝母校提供的雙語教材。（京東連接）

《微積分》《概率論與數理統計》《線性代數

《基礎物理學》《大學物理》

《基礎化學》《大學化學》

《基礎生物學》《大學生物學》

同時推薦一套相對來說比較「科普的」書，是因為這些書雖然對考試沒用，但是對於理解本學科，具有巨大的意義。對於特別重要的核心內容有深刻的解釋，從時間軌跡來說明科學家是如何把生活中的「現象」，高度提煉成為具體的「公式」，並用這些公式來改變了整個世界。推薦給有志於深入學習的學生看一看，雖然數字論證比較晦澀，但是可以不看數學證明，僅看發展過程，當作小說讀一遍也會受益匪淺。

《數學史》《化學簡史》《物理學史》《科學史》

《科學發現者：物理原理與問題》《科學發現者：化學概念與應用》

《科學發現者：生物生命的動力》《科學發現者：地理環境與宇宙》

----------------------------------------------結語--------------------------------------------

我這個人其實很懶，不喜歡解釋太多關於自己的東西，更不喜歡開公眾號做運營，現在網路太發達，我還是想做一個平凡人，有自己小小的世界，我害怕稱為網紅。因為知乎風氣很不好，為了保證全文質量，所以關閉評論，有問題或建議請私信。

其實呢，大學數學，在畢業後的工作里，並沒有太多實際的用途。幾乎所有的計算和設計，都交給了計算機處理。但是在學習數學的過程中所得到的「嚴密的推理」和「精確的結構」和「頑強的意志」，這三樣東西將會在你們的職業生涯發揮巨大的無形價值，無論你的職業，專業，性別，年紀，當你以後遇到困難和壓力，靜下來想一想：「遙想當年，數學都可以掌握，難道還會懼怕眼前的苟且嗎？」

由於能力有限，不可能幾句話就總結大學數學，不可能讓你們短期內成為學霸，因為《大學數學》作為一門高度完整嚴謹的學科，終究要靠埋頭苦讀和日夜刷題才能學到真功夫。永遠都不要指望看幾篇文章，看幾個小時的視頻，報一個培訓班，就可以提高數學能力。衷心地希望這篇短文能改變你們對數學的偏見和仇恨，為你們提供一個可以前進的方向，讓高數不再那麼高不可攀，讓所有人都感受到數學之藝術和威力。

倘若將學習比作練武的話，那麼教材就是練功秘籍，老師就是練功師傅。優秀的秘籍和師傅能讓你事半功倍、文武雙全，而劣質的秘籍和師傅則讓你走火入魔、身敗名裂。好了，寫到這也差不多了。秘籍已經給你們提供在上面，但路始終在自己腳下，最終修鍊成為丐幫幫主，亦或星宿老仙，就看各位自己了。

英雄們，再會。

我覺著不管是信號與系統還是資訊理論或者通信原理等等號稱掛人無數的難課程，以及題主表示不解的高數，之所以讓大多數人學的一頭霧水，都是因為大家從小到大的數學老師都比較忽視代數這一塊內容
僅僅以大學階段為例，要是能把線性空間的概念講清楚了，不管是傅里葉變換，餘弦變換，拉普拉斯變換，z變換等等讓人頭大的，讓人畫圖都畫不明白的奇怪東西，就都有了一個簡單的解釋：不過是在線性空間裡面找了一組「好算」的正交基罷了。比如讓題主無比苦惱的歐拉公式等等，如果老師把域的理論講清了，這不過就是個複數域跟實數域的問題罷了。

所以，推薦廣大被信號系統、資訊理論、數字信號處理等等所謂神課折磨的同學，把你的線性代數課本翻出來看一看就解決問題了，推薦本線代書：
《線性代數應該這樣學（第2版）》([美]阿克斯勒（Axler,S.）)【摘要書評試讀】

-----20160122凌晨補充-----
因為自己的能力和眼界的局限，很多東西沒有辦法真正說清道明，下面推薦這位真正的大神寫的答案，請各位童鞋移步去看，定會有所收穫。最後，再次謝過 @胡鞍鋼，受教了。
無法理解高等數學怎麼辦？ - 胡鞍鋼的回答

-----20160121補充-----
感謝童鞋們的點贊和熱情討論，短短几天時間已經有了1.4K+贊，分享的鏈接被保存+下載了千次以上，我覺得這個答案的火爆是可喜的，說明大家都對目前這個現狀有了更清晰地認識，尤其是那些還在為夢想堅持的童鞋、更年輕的孩子們和未來孩子的家長。
看到評論區里有童鞋詢問中文版的情況，抱歉的說這兩本書都是沒有中文版的，不過如果真心要想鑽研的話，英文是一個避不開的話題，其實我自己的經驗就是閱讀數學機器學習相關的英文資料並不困難，首先是專業術語用來用去就那麼幾個，其次是電腦上可以用有道詞典、金山詞霸劃詞翻譯，在pad上推薦用多看閱讀，裡面有內置的劃詞翻譯功能，都很方便，慢慢養成英文閱讀習慣了這一切都不再是阻礙。
另外就是我的一些小心思了，現在正在生啃矩陣論，凸優化，求路過的熟悉機器學習理論的大神可以加我文末的微信，或者私信我也行。還有就是托福、GRE的大神們，求指導，求指導~~
好了，再次謝過大家的熱情點贊和討論，鞠躬下台~~

-----原文-----
開篇 致我們那些不知被誰踐踏了的蔥蘢歲月，和被誰蒙蔽了的數學真知。

讀了《Calculus With Analytic Geometry》GEORGE F. SIMMONS 2nd edition，《introduction to linear algebra》GILBERT STRANG Fourth Edition，我有時會有一種錯覺，我們當年使用的同濟《高等數學》、《線性代數》等國內教材是不是一種惡，而且是罪大惡極？
以下文字僅代表個人不成熟的觀點，我不需要你相信我或者批判我，我只是想告訴你，哦，真的還有人在這樣想，而已。另外，我只是希望能夠讓大家尤其是初入大學的同學們知道原來高等數學在除出課本上的面目可憎之外，還能被另一種語言描繪成夢幻般的星辰大海。

下面我就先用《Calculus With Analytic Geometry》2nd edition（以下簡稱為《CWAG》）與同濟《高等數學》第六版上冊做一個小比較。

自然對數e的發現絕對在數學史上佔有重要的意義，數學中很多重要的函數（高斯概率密度函數等）、美麗的公式（歐拉公式等），甚至是整個數學支脈（複分析等），都和它有著密不可分的聯繫。e的引出與指數函數的求導有著密不可分的關係，因此微積分（求導）部分對e這樣一個重要的超越數的介紹應該是負有不可推卸的責任。

「同濟「版，在54-55頁引出了e，總共花了10來行，大意是："可以證明， $lim_{x ightarrow infty }{left( 1+frac{1}{x} ight) }^{x}$ 的極限存在且等於e,這個e是無理數，它的值為2.718...,第一節提到的指數函數y=e^x與y=In x的底就是這個常數"，over。
對初學者而言，數學教育最忌諱的是「莫名其妙」的給出定義、結論，當然這麼做並不是在數學邏輯上有什麼錯誤，而是對學生缺乏最基本的人性上的關懷。將這個極限強行定義為e並沒有任何在數學邏輯上值得指摘的地方，無中生有般地生硬地說下面我們討論另一個重要極限 $lim_{x ightarrow infty }{left( 1+frac{1}{x} ight) }^{x}$ （同濟53頁）也精準地沒有任何錯誤，但是怎麼不告訴我們，你們是為什麼會有事沒事地去研究 $lim_{x ightarrow infty }{left( 1+frac{1}{x} ight) }^{x}$ 這樣一個極限，即使告訴我，你們是昨天去偷看寡婦洗澡被棗子砸到頓悟也行，你說是不？
況且數學先驅們研究 $lim_{x ightarrow infty }{left( 1+frac{1}{x} ight) }^{x}$ 是真的有上下文的，有非常明確和有意義的原因的，事實上這個公式得到的背景很美，e也很美，它是上帝的傑作，它的發現遠遠不是同濟教材中那樣」正確而無用「地出現，事實上它可以來自對「對指數函數求導的過程」，它也來自一個樸素的想法，有沒有一個（指數）函數，恰好它的值等於它的增長速度（ $f(x)=f$ ）,《CWAG》花了一個大章節（8 exponential and logarithm functions）講了指數函數和對數函數的求導，其中8.3節的標題是「the number e and the function y=e^x」，「以e為名」，不僅是對e這樣一個偉大常數的敬畏之情，也是希望藉此薪火傳承人類如何花費千年體悟這個上帝設計的常數的心路歷程，讓後來者一樣在仰望星空的時候心存感激，此節開篇是這麼寫的：

The number e is often defined by the limit $lim_{n ightarrow infty }{left( 1+frac{1}{n} ight) }^{n}$ .
This definition has the advantage of brevity but the serious disadvantage of shedding no light whatever on the significance of this crucial number. We prefer to define e differently, in a manner that reveals as clearly as possible why this number is so important.
翻譯：
e這個數字可以用極限 $lim_{n ightarrow infty }{left( 1+frac{1}{n} ight) }^{n}$ 來定義。
這樣的定義的好處是簡潔，但是嚴重的壞處（serious disadvantage）在於無論怎麼看也沒有「點亮」（shedding no light）這個如此關鍵的數字的重要性（the significance of this crucial number）【此句對同濟書實力打臉】。我們傾向於用另一種方法定義e，用一種竭儘可能揭示（reveals as clearly as possible）為什麼這個數字如此重要的方法。

reveals as clearly as possible，情懷如斯，感動如斯，我想寫到此處，都不需要我聲嘶力竭的去證明同濟的寫法如何不堪，寫《CWAG》的教授們在「以e為名」的這一節開宗明義地替我們都說了，不經意間地都替我們說了。

同濟的教材（或者說國內大部分類似的教材）和《CWAG》最大的區別在於，前者只追求自己的精確和邏輯的無懈可擊，不顧初學者和學生的觀感和死活；後者，總是讓我透過書頁依稀看到這些文字的背後有一個白髮蒼蒼的老教授用一雙期冀的眼神看著我，指著身後浩渺的星空喃楠「希望我蒼白的語言可以讓年輕的你們窺見了數學世界的一絲璀璨星光」，然後他頓了一頓，「有時我寧願褻瀆數學的嚴謹，用直覺和圖像，恨不得窮盡我的一切表達方式來告訴你，你看到的那些公式和結論的之所以美妙」。

好了情懷完了，繼續回來面對現實，再說說其他同濟等國內書的糟糕情況。同濟書非常喜歡羅列結論，譬如在「導數求導法則」這一節里三角函數、反三角函數、指數函數、對數函數、多項式函數悉數登場。而反觀《CWAG》在討論導數法則時更多地只是存粹的使用多項式函數，把目光聚焦到「導數法則」一個點本身，而不要被各種奇奇怪怪的特殊函數的導數分散精神。直到前七章把導數微分積分的概念解釋透徹、萬事具備之後，才在第8章用一大章的篇幅說清指數對數函數（包括自然對數e），用第9章說清楚三角函數。

也就是說好的書譬如《CWAG》非常忌諱顛倒邏輯去在前面的章節使用後面的符號、公式、結論，寧可使前面的陳述起來顯得那麼不方便、那麼不完整，而一旦涉及一個新的概念，動不動就獨立成章節，務必把它說透道清。
而不好的例子諸如同濟高數，沒有任何自我約束的隨意在前面章節透支後面的符號、結論，而真正需要在此處說事的時候又蜻蜓點水（比如e的故事）。

線性代數方面的感觸就更是深刻了，篇幅原因我不先不多說了，有興趣同學可以看我之前的一個回答，裡面大篇幅的說了一件事情，線性代數的設定真的不是像國內那些垃圾教材裡面描述的好像一隻孫猴子一樣，像直接從石頭縫裡蹦出來的啊！
機器學習應該準備哪些數學預備知識？ - 木柄的回答

以下內容是我作為一個受迫害妄想狂的自述：
我從2009.09開始進入一個國內據說還是「很不錯」的211大學計算機學院，高數教材就是同濟第六版《高等數學》，線性代數也是國內教材的某個版本，第一學期我線性代數得了99分，高等數學得了96分，不是如您想像的我有多麼值得炫耀，多麼春風得意，而是陷入了某種撕裂般的困惑：一方面書本以及老師的課堂，以及自己的努力，讓自己在解題和考試上勢如破竹，覺得自己好像已經很好地掌握了高數和線代，而另一方面我對我使用的結論、公式、計算方法產生了根本性地懷疑，書上的那些結論來自哪裡，又要去往何處，我天天用它們答對題目獲得成績，但是為什麼偏偏我對它們本身又是如此的陌生，我似乎仍然是一個什麼也不懂的人。這種撕裂的感覺伴隨了大一整整一年，我想如果當年有知乎我也會來問「無法理解高等數學怎麼辦」，諷刺的是我還會備註上，哦，今年期末我高數差點滿分了。
之後，因為整個往下走的數學體系是建立在線性代數和微積分之上的，我想我也不用再贅述我的狀況了，只是說我不再想「認真學數學」了，因為我覺得我再努力，無非得到的是高分帶給我的撕裂感，這種撕裂的痛超過了無知的罪惡感，我徹底累了，還不如多寫幾行代碼（我是學計算機的）。我們大學的數學體系把處在精力最充沛的年齡階段的那麼一群充滿好奇心和求知慾的讀書種子，放在這樣一種惡劣的生長環境之下，聽之任之，生死由命，而且這個事情在全國的範圍發生著，並在繼續發生著。
韶華易逝，鏡頭一下子切到5、6年之後的2014、2015，因為工作的原因逐步進入了數據（機器學習）行業，互聯網信息的井噴，以及個人視野的逐步打開，我又逐步重新邂逅了換上英文馬甲的線性代數，高等數學。驚為天人後，終於後知後覺的知道了「無法理解高等數學怎麼辦」的答案，遂辭職回家，潛心學習，希望有朝一日可以去到北美讀上一個phd，了卻年輕時未遂的心愿。這一年就是今年2016，我26了，自黑一句老當益壯，干一斤霧霾下肚，化成三分酒氣，十分傻氣，繼續走19歲那年被耽誤的旅程，7年的流年歲月，換一個遲到的醒悟。

關於希望與未來
前文估計大家也看的很壓抑，那麼我想說說我認為的「路在何方」。
第一，對於個人來說，短期的解決方法就是尋找合適的誠意滿滿的國外數學教材。這個換不來考研多得幾分，但是為你未來的留學、工作和研究打下了堅實的基礎，少走很多年的彎路。
第二，這個時代需要大師或者說數學的佈道者，數學思想的自由和表達不受時局、國事的拘束，這裡的自由是真正的自由，這裡的大師是真正的大師。這些大師當然不是寫《考研通關秘籍》之類的（雖然這個算是當前比較暢銷的數學書了吧，諷刺如是），而是能夠寫出真的充滿誠意的教材的大師，教材的好壞影響到的是成千上萬的年輕學子，真正的大師非常知道這一點，因此就會像《CWAG》的作者文中所寫一樣「reveals as clearly as possible」，因為你的表述上的一點進步，影響到的千千萬萬學子的成長體驗，未來和前途。從這一點上來說，我在文初說「同濟」等國內教材為「惡」，並不為過吧。
第三，我希望所有年輕學子不要重蹈我的覆轍，現在網路已經足夠發達，我希望類似我的觀點可以被那些年輕的孩子看到，我不是希望他們完全認同我，而是不要太去依賴唯一的教材，這些教材並不神聖，就像百度的搜索結果也並不權威一樣，它們有可能都會「作惡」的。

資料推薦
《Calculus With Analytic Geometry》GEORGE F. SIMMONS 2nd edition
鏈接：http://pan.baidu.com/s/1nugQSyt
《introduction to linear algebra》GILBERT STRANG Fourth Edition
鏈接：http://pan.baidu.com/s/1pKzdFU7

關於我
我的微信號mubing_s，我在糾結如何出國讀書的事情，希望有經驗的大神可以指導我。
我平日里如果某一塊知識點（面）想清楚了，一遍會用白紙黑字寫下來記錄備忘，有機器學習數學方面的，希望各位在數學和機器學習方面有研究的大神們可以加我。

最後我有一願吧：
願大庇天下寒士俱歡顏。

題主不必沮喪，因為像題主這種情況，我也有所感受。不僅你我有所感受，很多更優秀的人都有這種感受，不僅「TOP 5」的理工科學生有感受，「TOP 2」的理工科學生也有很多有這種感受，甚至我認識的一些HYP的同學，他們也有這種感受。

——————————

先來講一下我自己的故事吧。

高中數學物理我學得很輕鬆，我高中的數學課本直到高考都沒翻過，物理課本也就隨便翻了一下，因為覺得課本內容實在太簡單。整個高中的數學，可能只要自學幾周就能學會了。

但進入大學後，我突然發現，高等數學的一些內容，我無法完全理解。

這個發現曾經讓我感到很恐慌，因為進大學以前，幾乎沒有能難住我的數學知識點，幾乎每一個知識點，我都可以把它剝開，追溯其根源，然後頓時感到數學的知識框架是非常清晰的。即使是不會做的競賽題，看了解答以後也基本能明白這道題的思路。

但是高等數學並不是這樣。

在高等數學的課本里，經常會出現這樣的字眼：「容易驗證」「易知」「證明略」「有直觀的結論」。
在高中，看到這樣的字眼，往往意味著這個證明真的很簡單；
但是在高等數學的課本里，這樣的字眼卻有另一番含義——證明有時很不簡單，但是證明的過程並不影響後面的結論，所以你可以不知道。

漸漸地，我接受了這樣的結論：

高等數學的一些東西，課本上之所以不告訴你，是因為追根溯源太複雜；
一個非數學專業的理工科學生，要完全系統地理解高等數學，是極為困難的；
有些結論，其實你真的不用知道為什麼，拿來用就可以了；

當然，一開始這麼想的時候，我很不甘心，見到自己無法完全理解的東西，總想追根溯源一下，但是自從學了數理方程，我完全放棄了這個念頭——因為太TM深奧和不直觀了。

——————————

回到題主的問題。

私以為，題主之所以會感到困惑，是因為高等數學和初等數學在學習的模式上有很大的區別，但題主卻沒有完成這種思維上的轉變。（而且，一個可能的情況是，高中數學學得越輕鬆，大學裡就越難完成這樣的轉變。相反，一個高中數學學得有些迷糊的人，可能更早理解了這種新的學習模式，反而能更快地接受它）

學習數學，其實就像建造高樓一樣，初等數學和高等數學，就像一座大樓的地基和上層建築。

初等數學，內容不多，我們也有充足的時間學，因此我們學習的，是它的體系，就像給高樓打地基一樣，地基的每一部分都有一定的重要性，地基牢固了，上層建築才能造得好。
高等數學，內容很多，一般人也沒有精力學完，因此我們學習的，是它的架構，就像高樓的上層建築，很多時候，只要承重牆的位置擺放得不離譜，建築長得稀奇古怪也沒關係。

這麼學習是合理的，因為，幾百年來人類在高等數學上貢獻的智慧結晶，豈能被吾等小輩在幾百課時的時間裡完全理解！我們這些理工狗學習高數的真正目的，是在工作中使用它，用得好，用得溜就行，管它是怎麼來的！

所以啊，我的建議是：

定理不會證明？沒關係！只要知道定理的出處和用處就可以了（所謂的「框架」）。必要的話，死記硬背也無妨。不要有任何愧疚感，很多你眼裡的學霸，他們也是這麼做的。
知識無法理解？沒關係！不要放棄，假設自己已經看懂，把結論抄下來，帶著結論去學接下來的知識，你會發現，其實很多看起來很深奧的東西，其實並沒有那麼深奧，你也只不過在整個體系的一兩處不太理解罷了。也許，當你學得更多時，你會發現，你無法理解的那個地方，根本就無足輕重。

承認自己有不會的東西，會讓自己會得更多呢。（笑）

學不懂國內的高數太正常了，國內的高等數學教育學得再好也就是會做題，至於真正的思想是肯定領悟不到的。這就是國內學習蘇聯教育模式的後果。
可以看下萬門大學童哲的高等數學課，真正從數學的本來思想出發講解高數。
我當年考研時數學成績也還不錯，因為失誤考了120+，後來讀研期間看了童哲的課程，才算是對高數有了真正的理解。現在我表妹在準備考研，我也是向她推薦了萬門，我感覺只要真正學懂了，做題就不是難事了。
他的課現在要收費了，感興趣的話可以搜下種子找他早年錄的視頻看。

@chuo Chan 同意這位老師部分觀點。想想自己大學花在數學上的時間確實太少了。。。上學期概率論考得好挫。。微積分雖然考得看起來還行，但自己學到了多少心知肚明，顯然是沒有融會貫通的。

想起那句話，以大部分人的努力程度，還遠未到比拼智商和天賦的那一步。
而就我個人而言，就我自己的努力程度，的確還沒到怪教材的那一步。。慚愧慚愧。。

看了許多知友的答案後，很有興趣硬著頭皮看看美帝的教材——因為自己平時學習時也是個問題少年，思維比較發散，喜歡多問幾個為什麼= = 而國內有些教材貌似的確對於「為什麼要這樣證明？如何想到這個方法的？」這類問題敘述偏少，而這種思維個人感覺在數學學習中蠻重要的，當然，這也要多自己在練習中揣摩。

另，看到 @chuo Chan 答案評論區這位知友的言論後，感覺有點嗯。。

問題來了：
1.教材是拿來幹嘛的？這個問題最後說。
2.人看不懂書的原因？
感覺主客觀因素都得有吧。如知識儲備，理解能力，花的時間，教材對不對自己的口味，看書的心情等等。。

3.然後是這個非常有趣的觀點：「人閱讀的快感來自於信息量，沒快感的事誰也做不來」，請問這位知友是如何於實踐中得出的這樣的真知灼見的？

嗯。。拋開對於每個人不同快感的定義，以及這個觀點表述的絕對性而言——
就我個人淺薄的閱歷的來說，個人覺得無論哪本數學教材，閱讀單位篇幅所帶來的信息量都比其他一般的讀物都大得多的多的多呀！照這句話的邏輯，那些愛好看YY網文放鬆消遣的朋友，應該都來看高數教材咯~ 這信息量嘖嘖，那還不得爽翻啊！！

好的回到第一個問題：教材幹嘛使得？
個人以為大部分教材不是詳細的面面俱到的工具說明書，也許叫參考書更貼切？就跟大學課堂一樣，尤其凸顯了那句老話：師傅引進門，修行在個人嘛。一本教材不也就是某一位或者某一個團隊的老師編出來的嘛。挺贊同@。。咦好吧人家匿名回答的，某知友的這段話，他評論了下@chuo Chan 的答案，順便自己表達了觀點。

鏈接：無法理解高等數學怎麼辦？ - 匿名用戶的回答
來源：知乎

原回答：「我是覺得，教材作為一種特殊的專業書籍，必然也應該帶有作者自己的風格。不同作者處理同樣內容時有不同的考慮，有些作者喜歡非常簡潔直接地定義、定理、應用，也有的作者喜歡苦口婆心解釋動機。有的作者喜歡從具體的例子計算出發，也有的喜歡從抽象概念出發。不同的人適合不同的風格。可以說不喜歡或者不接受，但是直接說教材寫的都是垃圾，未免過於激進。

1.這句評論「未免過於激進」——個人覺得其實沒啥。。。感覺討論這類問題，簡單地做一個價值判斷，人家說是垃圾意思就是個人覺得很不喜歡唄，就像這位知友自己說的，不同人風格不同嘛。貌似沒必要強求每個人在表達好惡時都時時深諳中庸，擁有一套完美的辯證唯物主義三觀？

好吧。。有點跑題了==

原回答：「對於高等數學的學習，這是一個構建網路狀的知識體系的過程，教材能做的只可能是搭建一條主線，融會貫通必然需要自己反覆理解、體會，不可能讓教材把事情都做完。」

2. 這句觀點，個人很是贊同，一句話：不必強求一本教材面面俱到。還是自己個性化操作靠譜些。
（1）現在網路啥的資源豐富，實在不行多找幾本教材唄，對比著摸索下。
（2）多花些時間——像我吧有時確實莫名自覺比較機智，翻翻書，應付考試問題不大，然後就懶了，然後呢即便考試考得好，也知道自己沒學到啥真本事，陷入一種對自己呵呵的狀態。。。對於@chuo Chan 老師的勤奮真心挺佩服，愈加發覺勤奮也是一種能力啊。

扯完了。上面這些字沒有任何不友善的意思哈，就事論事罷了，嗯其實大都可以說是聊以自慰，。

。。好吧，還是少自慰！要自勉啊！行動啊！年輕人！

感謝大家的留言，我終於意識到我為什麼不滿意自己這個答案了，就是因為失了「中正平和」這四個字。

先不談方法。大家總是在談方法，我自己也總是喜歡談方法。但是其實最殘酷的回答就是：功夫沒下夠。大學數學比中學數學難，所以需要更多時間。如果生活中沒有什麼驅動，很容易就功夫沒下夠，從而感到難以理解。但是那些有足夠需求驅動的朋友，很自然的不斷的下功夫，不斷的學、不斷的想、不斷的用，直到像呼吸一樣簡單，肯定就會覺得概念很自然了。「得一善，則拳拳服膺而弗失之矣。」方法總是能不斷改進，但是手頭有什麼條件就用什麼條件，不能說方法不完美就不往前走了，這才是正派武學的練法。一定要吃苦的。

然後說方法。所謂學習的方法，就是幾個選擇的權衡：
1. 到底學到什麼程度算學會了。前幾天在知乎看到一個答案，說學數學有兩個誤區。一個是已經學會了，然後不繼續往後學，總在現在的思想上，拚命翻新技巧。另一個是學得不紮實，意味著想要往後學。前者常見於中學教育，後者常見於大學之上的教育。
2. 理解還是背誦。定理到底要一路追根究底到可以稱為公理的東西，還是記住就好。如果我討厭死記硬背，到底要不要記憶呢？
3. 看書重要還是做題重要。

那麼到底怎麼選呢？一個基本原則是走極端一定是錯的。像我第一次的回答，就過於強調理解和看書，忽略了做題和背誦，說的不客氣就是嘩眾取寵。所以我越想越不舒服。後來補上的答案，強調另一端，看似平衡了。但沒有把背後的道理說透。

什麼是背後的道理？只有兩條。1、別走極端。2、小馬過河，實事求是。不斷的做，從現實中得到反饋，再改。

如果目標是通過考試，那麼，學到能通過就算學會了。如果不會做題，自己想想是忘了基本的定理，還是不會靈活運用。如果是忘了基礎，按照自己的性格，想理解就理解，想硬記就硬記。理解不管用就硬記，硬記不管用就理解。如果是不會靈活運用，那就說明題目做的少或者做了題沒有總結。如此而已。結合自己的性格、優勢和最終的目標，怎麼能哄著自己把功夫下夠了，才是正理。

稍微展開幾句。
知乎的答案，往往一個人一個角度，就算是最普通的角度還要包裝一堆花里胡哨的東西（比如我的第一次回答）。別說數學了，就說怎麼從知乎學習呢？其實也就是邊思邊學邊做。君子務本，本立而道生。

=============第二次更新分隔線===================
一直想找時間修改這個答案，免得誤導大家。
我下面寫的所有東西，都是說，在學習的過程中，除了抓住細節之外，要多想多看，建立大圖景，把要學的東西和自己的知識體系掛上鉤。這樣才能知道為什麼要學，學習的過程也會有趣一點。

但是請不要覺得能看到大圖景，就可以不用在乎細節了。不要覺得會吹牛，就不用做題了。這是因為我們的目標是學以致用，不是吹牛。同時，真正做夠了題，你才能確保你看到的大圖景是對的，而不是腦補。我說重一點，不做題，那就是民科！

什麼叫做掌握？對於大學生來說，學習一門課，如果不能嚴格遵循公式和定理，寫滿一張A4紙的推導過程，就不算掌握。
怎麼做到這種程度？認真的做題、認真的摳細節，必要的時候死記硬背，投入大量時間。這些該做的苦工，一樣都少不了。

原回答分隔線----------------------------------------------------------------------------------------------

我不是數學專業的，只是一個像matrix67那樣的數學愛好者。意見僅供參考。

[理解的意義]
很多同學談到不用理解，我這裡想介紹一種相反的方法，打樁法（徹底理解法）。

我的記憶力很差，記不住任何不能理解的東西。所以，我一直堅持徹底理解。成果大概是：大學裡面的一門數學課，在我腦子裡差不多就是半頁紙的概念。沒有刻意去背，但是怎麼也忘不掉。帶著這半頁紙，基本上可以把書重新寫出來。同時，對於這些概念，我不是記住，而是有感情。

真的有感情，因為數學從來不無聊。以線性代數為例。我看到了一個蔚為壯觀的模式。

首先，從物理的角度，這個世界上充滿了線性變換、線性關係。微分是線性變換，這就是為什麼線性代數可以用來解微分方程組。幾何操作經常是線性變換，這就是為什麼3d圖形學經常用線性代數。物理中經常有線性關係，如牛頓定理、胡克定理、電阻上電壓與電流的關係。為什麼到處都是線性關係？因為物理中大量的概念都是可以疊加的，如電流、電壓、重量、壓力，兩股電流輸入，一股電流輸出，則輸出為輸入之和。而為什麼物理概念可以疊加？其本質是守恆性。為什麼經常有比例關係？這個我沒有好的答案，我只是虔誠的信仰這個世界是簡單的，因為簡單，所以美。

其次，從使用的角度，只要你發現筆下的公式中包含了向量的線性組合、線性方程組、坐標變換、線性變換，不管它們是怎麼來的，有沒有物理意義你都可以迅速鏈接到線性代數這個強大的工具箱，大量使用矩陣、行列式、秩、特徵向量等概念。

最後，你使用線性代數的理論刷刷刷的往後推，得到一個結果。然後你往往可以享受最美妙的部分：理解結果的幾何意義。這是因為線性代數鏈接上了幾何。

[什麼是理解]

所謂理解一個概念，就是把這個概念和已有概念建立聯繫。你對已有概念越熟悉，這個聯繫越強，你就會覺得自己越理解。

樓主談到中學的每個概念在腦子裡都能畫出來。這是一種最直觀的理解，即把概念和生活體驗建立關係。能在中學時代做到這點的同學，基本上都是好學生了。

高等數學的麻煩在於：已有概念不是生活體驗，而是另外一些數學概念。概念間的聯繫不是視覺聯繫，而是邏輯聯繫。所以，如果不能正確理解基礎數學概念，後續概念也就沒法理解了。同時，如果不牢牢地把握住邏輯，企圖用直觀來把握，就會覺得，書上說什麼就是什麼，我就記住把。反正我不理解。（我不是說直覺不重要，你可以從直覺出發，把這個直覺落實到嚴格證明，或者先看懂了嚴格證明，再反向去感覺直覺是什麼。隨著數學學習的深入，更多的直覺是來自於這後一條路。無論如何，如果忽略證明，只關心直覺，腦子就會亂成一鍋粥）。

我們現在以歐拉公式為例。
首先，我們通過對實數域函數的分析，得到了e^x, cos(x), sin(x)的泰勒級數形式。
然後，我們通過對複數域的分析，得出了i^2 = -1。
然後，我們假設泰勒級數公式在複數域也成立。
e^(iy) =1+iy-y^2/2!-iy^3/3!+y^4/4!+iy^5/5!-y^6/6!-..... =(1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+.....) +i(y-y^3/3!+y^5/5!-....)
由於 cosy = 1-y^2/2!+y^4/4!-y^6/6!+....., siny = y-y^3/3!+y^5/5!-....
所以e^(iy) = (cosy+isiny)

這個證明是不嚴格的，真正嚴格的證明方法需要重新定義複數域上的cosz和sinz函數。但是這個證明充分說明了什麼叫數學意義上的理解，那就是一點直覺+一點證明。
在複數域上最初我們只定義了加法和乘法。我們從直覺上甚至沒法想像e^(iy)是什麼，但是，既然大家都是數，我們直覺上認為（或者從美學的角度認為），如果實數域上的泰勒公式在複數域上也成立，那是很漂亮的。基於這個直覺，加上一點點證明，我們就知道怎麼定義e^(iy)了。
數學家們也是這樣定義出高維空間中的超平面的，他們覺得超平面這樣定義是美的，且與現有的平面性質吻合。不使用邏輯推導，我們根本看不到超平面。

[打樁法]
在介紹歐拉公式的證明的時候，我們其實已經初窺打樁法的門徑了。也就是，想要理解未知概念（歐拉公式），首先找到自己認同的已知概念（實數域中的泰勒級數），然後建立兩者間的聯繫。

現在我系統的介紹一下怎麼用打樁法來學習。

一本書來了，找到你最有感覺的概念，學習之，即打下一棵樁。不一定非要按順序讀書。採取幾個行動：看目錄，找有感覺的樁。或者隨機的翻開一頁，讀完，然後問自己這一大段到底想講什麼。既然作者不是笨蛋，他一定想講些東西。打下幾根樁後，你還可以問自己，我現在讀的東西和現有的幾根樁有什麼關係？

打樁沒有任何約束。一本書上看什麼都行，有圖畫就看看圖畫，有題目就看看題目。這都行。但凡能幫助你打樁產生感情的內容都可以讀。
但是樁打到一定程度，腦子裡攢了一堆亂七八糟的直覺後，基本上整本書到處都是樁，到處都是你的卧底。這時候你就可以追逐嚴密性了。看清楚概念。然後看定理，其實概念的樁打牢了，大部分定理都能夠自己證明出來。慢慢的就把這本書給啃了。

為什麼非要自己搞懂定理的證明？因為有的時候你以為你看懂了定理，但是你根本沒看懂。逼著自己證明，你才會知道這個定理到底在講什麼。還有一個原因是：定理講的是概念之間的聯繫，可以幫你複習概念的定義。同時如果你看不懂一個定理的證明，很可能是你對概念的內涵沒有理清楚。很多時候概念的定義就那麼幾個字，但真是意味深遠，一字不可更易。定理得證明不用背，你真的看懂了，就會發現好幾個定理的證明其實是同一個技巧，而你自己會不知不覺地把技巧上升為一個概念。你根本就忘不掉這個概念。如果一個技巧只在一處用到，那說明它根本就不重要，乾脆忘掉好了。

一定要反覆理清概念、定理之間的聯繫。讀書的時候，很多概念、定理第一眼看過去覺得這不是顯而易見的嗎，然後就跳過去了。下一次又看到的時候，因為對於整本書的理解加深了，再看一遍，真有「於無聲處聽驚雷」的感覺，往往不起眼的一句話，串起好幾個零散的概念。

當然，有些內容如果一直到最後都孤零零的，和別的概念沒什麼關係，那很可能是這本書的重點不在這裡，所以在這邊的討論很薄弱。乾脆放棄也沒關係。

以我自己學習線性代數的過程為例，解釋一下打樁法的心理變化：
一、第一遍學的時候，我問自己「線性代數到底在鬼扯什麼」？我回答不了。但是聽說線性代數和解析幾何有關係。我就去學了一本解析幾何。有一半內容是中學已經學過的，所以還學得下去。學完了之後，發現書上好幾處用到行列式，我就把行列式學了。
二、解析幾何講坐標變換的時候，會講過渡矩陣和矩陣乘法，所以我把線性代數的這兩部分也學了。順便理解了方陣可逆等價於對應的行列式不等於0。因為基於「行列式」和「矩陣」這兩個概念，我能夠理解「可逆」這個概念。矩陣的初等變換、秩什麼的我不理解，所以算了。
三、研究線性方程組。高斯消元法和中學學過的解方程很想，所以學了。然後我突然意識到高斯消元法就是矩陣的初等變換，也還是行列式的初等變換，所以基於「高斯消元法」和「行列式的初等變換」這兩個我有感情的概念，把矩陣初等變換給學了。
四、高斯消元法得出係數矩陣A的秩等於n的時候，線性方程組只有非零解。我對於線性方程組的求解還是有興趣的，因為經常用到。既然有這麼個定理，逼上梁山，把秩給學了吧。真學起來，才發現秩的性質是基於行列式這個我有感情的概念定義的，我自己認為秩其實就是行列式=0這個概念的一個推廣。所以學起來輕鬆愉快。
五、接下來是用向量空間的概念定義線性方程組的解結構。這個我以前覺得是吃飽了撐的，既然已經有了高斯消元法，問題都解決了，你還多此一舉幹什麼。可是我學了解析幾何啊，我現在知道向量空間就是空間、平面、支線這些概念了。所以我就覺得向量空間這個概念很酷阿。
六、說句老實話，我覺得向量空間和向量組沒有什麼區別阿，光看定義根本不覺得封閉性是個多麼了不起的概念。可是讀完了線性方程組的解結構才知道，如果線性方程組的解結構不是一個向量空間，而是一個到處漏風的向量組，那麼解結構就不能表達成向量的線性組合，一點都不漂亮。這就是為什麼讀定理真的可以加深對概念的理解，概念裡面就是「封閉性」這三個字，到定理裡面用起來才知道它其實是屠龍刀。
七、我原來一直覺得「線性空間」和「向量空間」這兩項內容簡直是同義反覆。我就問自己，為什麼作者非要寫兩遍。後來結合解析幾何，才意識到幾何空間就是一個線性空間，幾何空間坐標化了之後才是向量空間。而且學完線性代數後，重新去看解析幾何的定理，簡直煥然一新。當年辛辛苦苦證明的定理，現在就是一句話「我們一般理解的幾何空間就是一個三維線性空間。」感覺爽透了。
八、在學線性空間之前，我一直喜歡做標量運算，喜歡把矩陣拆成元素來玩。因為我對於矩陣的理解還是停留在線性方程組裡面的一個個係數。但是線性運算等於矩陣這個定理一出來，我徹底的被震撼了。矩陣不是一個一個的元素，它就是它自己：線性運算。矩陣的意義，就是我們有了超能力，過去我們只能看一個個標量，現在我們可以把這一堆標量構成的矩陣看成一個整體，作為一個獨立的單元來操作。然後就有了矩陣的相似對角化、正交對角化、SVD分解之類的東西。好吧，這幾個東西就是我書上的最後兩章，我一口氣讀完了。

上面說的是一個極簡版的歷程，真實的心理歷程，是幾百個「為什麼」、「胡扯」、「跳過去」、「這幾個東西有什麼關係」這樣的問題串起來的，可是這樣讀完這本書後，所有的概念都活了，我看世界的眼光徹底變了。

[打樁法的其他用途]
其實打樁法不只可以用於數學，也可以用於任何書籍，包括文科類書籍和小說。讀文科的書籍，經常讀完了，只有一些印象深刻的地方留了下來。什麼地方深刻？聳人聽聞的地方深刻，符合自己原有觀念的地方深刻。這樣讀還不如不讀。因為你只是不斷的在強化自己，或者記住一些聳人聽聞（往往不對）的八卦。你的思想高度還是停留在原地。

如果用打樁法追求徹底理解，讀完之後，你就會知道：這本書的脈絡是什麼。可以怎麼應用於生活中。哪些地方與我的生活體驗一致，哪些地方相違背。哪裡有邏輯，哪裡沒有邏輯。

讀完一本書，你的思想就直接被提升到接近作者的高度，這才是讀書。

此外，打樁法其實也是一個解題方法。我們解數學題的時候，這裡試一下，不行，就換一種方法再試。最後的方法，往往是之前幾個不成功的方法（樁）的組合。人生也是如此。理解人生沒有捷徑。做自己熱愛的事情，認真地去做，有一天，你會發現Dots will be connected。那時候你才恍然大悟：哦，原來這就是我的人生。我的人生不是第一個點，也不是第二個點，而是所有這些連接起來的點。

[擴展閱讀] 學習數學，其實走到概念這一層並沒有到頭。你還可以問，為什麼概念需要這樣定義？其實是為了符合人的直覺和有用。數學家想著，我需要定義一個概念，這個概念需要具有什麼樣的性質（不需要證明，就像物理學家覺得這個世界應該是守恆的一樣），因為只有這些性質會讓我開心而且有用。
你也可以嘗試著自己定義概念，不過一定要有用、直觀、優美，與現有理論能夠有一定聯繫哦。

此外，有的時候，經過一連串邏輯推理得到的結論，暫時沒有直觀的理解。就好像通過邏輯我們可以定義出高維空間中的平面、球，但是我們看不見。你是否敢相信邏輯的力量？

定義概念與相信邏輯的力量，這兩者在牛津通識讀本的《數學》一書中講的非常透徹，大家可以讀讀。看完這本書後，你就會意識到，當讀完一本書後，你心中也就沒有這本書了。因為這本書所講的全部內容，都可以基於你自己的生活體驗和邏輯完全推出來。

數學從來都是一種壯觀的模式，像崇山峻岭一樣巍峨，像大海一樣廣闊，可是只有懂得它的人才能看見。欣賞美的最好方法是實實在在的去讀數學書，但是為了給你鼓點勁，可以讀讀《數學的語言：化無形為可見》。

找個女朋友後你會發現高等數學還好理解一點。

不知樓主還看得到么？本人數學渣，還是厚著臉皮來回答一下。

不知樓主的問題解決了沒有，我覺得樓主遇到這一問題的原因在於：
從根源到應用的過程與從簡單到困難的過程並不一致。

根源就是定義，應用就是運算，而定義要比運算複雜的多。
為什麼會出現這種情況呢，因為到微積分為止，所有的運算表達起來就兩種，加和乘，最多加上逆運算減和除。想一下，我們最初理解無窮小的時候，覺得無非是一個數，除以很大很大的數，導數呢，無非是無窮小引起的變化除以無窮小本身，積分呢，無非是把這個過程倒過來，無論如何逃脫不過加減乘除，我在高中時候在想，大學數學根本沒啥嗎！現在來看，真是too sample了。

因為大學開始接觸到了定義……其實一開始，整數的定義，與四則運算的複雜程度差不多，但是有缺憾，不是任意兩個整數相除都有意義，於是我們定義了分數，把它放進四則運算中，分數嚴格定義巨複雜，但其運算規律很簡單。同樣，為了減少指數運算的缺憾和例外，需要定義無理數和虛數。為了減少不能除以零的缺憾定義了極限和無窮小量。

這樣，作為根源層的定義越來越複雜，複雜到需要一本難度比高中高很多的書才能描述清楚。而應用層的運算卻因為例外的減少而變得簡潔統一。

這樣，高中再怎麼翻花樣無非是以四則運算為基礎，而到大學接觸到定義之後簡直噴出一口老血，這都是什麼什麼啊，為啥看不透了呢，因為我們連整數定義都沒學過你給我直接定義極限能看透才見鬼了捏。

多說一句，所謂定義本身是一個一階邏輯語言，其證明過程是一個一階語言的運算，在此基礎上定義集合論，再定義有關自然數的公理，再擴展數系，直到黎曼積分的建立，才剛剛到達大一數學前兩章的進度，而其中知識對本學渣而言卻是全新的和高難度的，不排除某學神在僅看工科數學教材情況下自行打破所有關結，做到通透，不過對於一般人而言幾乎絕無可能。

解決方法呢，我覺得對工科生來說，將過於嚴格的定義從高數書中去掉，另開縮減版的數學分析和數理邏輯，知道完全嚴格的證明是什麼樣子，但又不被定義束縛手腳，享受運算的靈動。當然這只是我的一點妄想。

關於那個e的iπ，我是這樣理解的i的定義是一個將向量旋轉90°的二階矩陣，將這個矩陣分解為無窮個相等的微小旋轉矩陣之積，就能得出e的iπ次等於-1這一結論。

考次研就好了。。。

個人觀點：

1. 所謂「高等數學」其實只是一個迷惑人的名字而已，它一點也不「高等」，「高等數學」指的只是二元（某些教材也包括多元？）微積分的一個分支而已。

2. 數學一般的分類大體上包括了「代數」（algebra）和「分析」（analysis）兩大部分，每個部分可以有上百個分支。

典型的「代數」例子，線性代數；
「代數」可以大致理解為對數學「實體」的研究，如群、矩陣、環、整數、拓撲空間等；

典型的「分析」例子：微積分；
「分析」可以大致理解為對物理「實體」的抽象化研究，如微分方程、差分方程等。

數學的分支由來一般是：我們發現了一種物理現象，然後用數學語言嘗試描述（建立「分析」），然後在分析的過程中需要定義一些數學「實體」，這些「實體」脫離了物理的範疇以後，在獨立的數學範疇中被研究出神奇的數學性質（建立「代數」）。

3. 針對樓主的問題，高等數學只是微積分的另外一種說法，它屬於「分析」的範圍。建議參考對應的物理現象進行學習：

例如：
微分可以認為是一種將「位移與時間的對應關係」轉換成「速度與時間的對應關係」的一種操作；
對線性函數的積分可以認為是「帶電粒子在磁場中運行了一個軌跡，計算磁場對該粒子做的功」，這個「軌跡」就是那個線性函數；
等等。。。

請與物理系的同學交流，你會發現很多之前理解不能的東西瞬間豁然開朗。

例如：複分析。

「虛數的單位「i」到底TMD是個神馬？」

請在電磁學、電動力學、電子工程中找答案。

4. 以上僅針對「分析」類的數學分支，請勿具象化地想像「代數」類的數學實體！

例如：矩陣。把一堆數字用大框框罩住只是為了簡便而已，這個不是矩陣的重點。

例如：群。那幾條群的定義只是為了限定研究對象的範圍，從而引出一些概念，用來解釋為神馬「1 + 1 = 2」。

5. 學習數學請勿急躁：
大學之前的數學的特點是：概念、定理、定義很容易理解，但是題目可以千變萬化難地想死。

但是！大學數學難點就是概念、定理、定義這些，基本上你把這些融會貫通後考試不是A+也是A-，真真正正的學什麼考什麼，沒有需要小聰明或者刷題的必要。

真正的知識從來都不是看一遍就理解的東西，而是一遍一遍地在思考、揣摩、嘗試中發現。

舉個親身經歷：學「點集拓撲」的時候看一個定義基本就是半個小時到一個小時，等真正理解後發現書中的定理以及書後的習題都是順水推舟的推論；考試的時候根本不用背定義和定理，它們在你千百遍的思考和推敲後已經成為了自然而然的東西。

再舉個聽說的例子：數學的博士生們都是花一兩個星期讀一兩頁某個論文，然後小組討論。為什麼效率「這麼低」？因為數學的本質就是抽象的、難以理解的、需要反覆思考的。

學渣來答一下。我當年看的什麼天書一般的高數，當然也不知道神馬原因就過了。
後來要考研，但是怎麼看都不爽。於是找了一本R.柯朗的微積分和數學分析引論就通了。比較了一下發現一些很嚴謹的證明被我們的神馬同濟5版省略了，所以沒有真正理解（別人從自然數到整數再到分數再到實數的引入都要證明的!）。
再後來買了俄國人的書，尼瑪更變態，從集合就開始玩證明，證明基本概念!只有這樣才能理解那個e的定義是個神馬。。。也理解為神馬要展開，展開也有很多不同方式，原因在哪裡!
再後來看了菲赫的那三大本本數學分析，才知道我們的教材都是抄他的，而且抄的也忒不敬業了。

高數這種東西本來就不可理解。。。因為你一旦想要理解他，你就要學數學分析，線性代數，甚至集合論。而這些，早就不是高數的範圍了。所以你就要麼老老實實的背公式，要麼就踏踏實實地跟著數學系的上課。

高數是個很細緻的東西，開始學的時候囫圇吞棗，弄個模模糊糊，然後考試的時候突擊一下也能混到90分，但是在我學完專業課之後才對一部分有了比較清晰的理解。比如振動方程，來個最基本的的單自由度振動方程：

（二階導數打不出來）當f(t)為0是是自由振動這就是一個齊次方程，當f(t)為其他形式的力的時候就是非齊次方程，這就包括衝擊，周期力等等，解法也就相應的稍有變化，我當時自己解的時候重新翻書才明白它的含義。學流體力學的時候研究理想流體運動時的三個物理方程，截取微斷研究是前後的速度差V(x+dx)-Vx=V對x的偏導乘以dx,其餘的變數也都這麼處理，書上不說，但其實這是泰勒展開後略去二階無窮小的結果，學習薄板震動時更加複雜（振動方程D?^2 ?^2 ω+ρh（?^2 ω)/(?t^2 )=q(x,y,t).）不學之前對這些東西都沒什麼概念，包括如何建立微元關係，如何處理。傅式變換是在做控制實驗是老師要我們分析波譜的時候才知道為什麼要把他們分解為三角基，到這裡才稍有了解，拉式是在分析傳函時系統穩定性裡面再次用到，這些東西在微積分裡面不會教，要在實實在在的具體情境裡面用過之後才能加深體會。
我覺得高等數學沒有理解不理解，這些東西都是在碰到問題已有數學手段無法解決時數學家們弄出來的，要結合適當背景學起來會更快，如果不是理論研究，干看是不會有進步的。

初等數學，就是數形結合。

高等數學，就是邏輯推演。——著相即死。

佛說，無我相，無人相，無眾生相，無涅槃相。
不可以音聲相貌尋如來。
佛說法，即非法，非非法，是名為法。

高數說，無集相，無函相，無微積相，無幾何相。
不可以二維三維尋高數。
高數說數，即非數，非非數，是名為數。

當然，普通級別的高數，還是用數形結合來入門的。

……我佛慈悲……

寫篇貼，為大學生送一波助攻。

方法論：1，要把數學當成形象的學科來學。2，倒著學。

1，要把數學當成形象的學科來學。

學習數學最忌諱的莫過於把數學當成抽象的數字遊戲來學，到頭來，不斷埋怨著自己抽象思維不行，最終放棄數學。

大學有棵樹，叫高數，很多人掛在上面。

你看，我們一代代人栽在微積分上面，學都學不懂，當年牛頓老爺子是怎麼創立微積分的？牛頓是是神嗎？當然不是，數學的開創並沒有我們想像的那麼不可思議。

先思考一下，數學是怎麼產生的。當人們遇到一個問題，最終用了某種方法，把這個問題解決了，很棒。然後，把這種解決問題的方法和思想提取出來，於是就有了數學。為了給更多的人恩惠，就需要把這種方法整理成抽象的，嚴謹的數學理論，傳遞給他人，別人看完，學習到理論，然後去解決新的問題。

簡而言之：

1，祖先遇到具體的實際的問題，解決問題，提取方法，整理成抽象的嚴謹的理論。

2，後人學習抽象的嚴謹的理論，利用這些理論去解決新的具體的實際的問題。

看出差別來了嗎？祖先創立數學的時候，入手點是具體的實際的問題，很形象。後人們學習數學的時候，入手點是抽象的嚴謹的理論。這就是困難所在。

上圖總結一下以上內容：

如果不理解，我再舉兩個例子吧。

1，牛頓小時候，姑媽完全不懂數學，就問牛頓，你有幾個手臂啊？牛頓第一次接觸到這個問題，伸出左邊的，看了看，又伸出了右邊的，看了看，告訴姑媽，我有兩個手臂。姑媽滿意了。

但是牛頓不滿意啊，他想著讓世界上所有的人都得學會這種理論，不然，人類太無知了。於是，他把自己的計算過程展示出來，左邊1個，右邊1個，加起來，等於2個。牛頓興奮的發表了一篇論文： $1+1=2$

人們抱著這篇論文，日夜研究 $1+1=2$ 這個公式，最後懵嗶了，這特么什麼鬼。功夫不負有心人，終於所有人搞明白了 $1+1=2$ 。

明白了這個公式，人們知道了一個猴子加一個猴子等於兩個猴子，一棵樹加另一棵樹等於兩棵樹……

然而，有一批學不會 $1+1=2$ 的人氣勢洶洶的去找牛頓：你特么的裝什麼裝，你直接告訴我一個手臂加一個手臂等於兩個手臂不就得了？幹嘛非得整個 $1+1=2$ ，讓人看不懂。

牛頓抽一口煙，緩緩說道：

抽象，是為了用途更廣。我告訴你一個手臂加一個手臂等於兩個手臂，你也就只知道這個。如果我告訴你 $1+1=2$ ，你學起來很困難，但是你一旦學會了，就立刻明白了一棵樹加一棵樹等於兩棵樹，一個猴子加一個猴子等於兩個猴子。

嚴謹，是為了保證傳播的更準確，免得以訛傳訛。有人看了我的理論，就說：一棵樹加一片森林等於兩棵樹。這顯然是錯的，所以，我必須得說很多話，保證嚴謹。

眾人退去。

2，牛頓當年在解決天體運動，驗證開普勒定律的過程中，創作出了一首《微積分之歌》，非常偉大的一首歌，無奈，沒有錄音機，沒有播放設備，為了傳播這首歌，他把這首歌寫在了紙上，有歌詞，有旋律，有節奏，有休止符，有五線譜，還有一系列的線和點……於是《微積分之歌》的譜子，流傳下來，譜在歌在。

我們進入大學，學習《微積分之歌》，老師上課就開始講基本的樂理知識，整天都是教你打拍子，教你什麼叫G大調，教你什麼是四三拍……你整個人都不好了，根本就不知道老師在跟你說些個啥。

正確的學習微積分的姿勢是：所有的數學都是從實際中抽離出來的抽象的東西，別鑽進去，你要聯想到實際應用，首先理解，再去扣理論。

舉個例子（原諒我喜歡舉例子，因為舉例子能把話說清楚，你高數學不會就是因為你老師不給你舉例子）

來來來，映射和函數的定義：

看看數學書上是怎麼定義的。

映射：設X,Y是兩個非空集合，如果存在一個法則 $f$ ,使得對X中每個元素 $x$ ，按法則 $f$ ，在Y中有唯一確定的元素 $y$ 與之對應，那麼稱 $f$ 為從X到Y的映射，記作 $f:X ightarrow Y$ ,其中 $y$ 稱為元素 $x$ (在映射 $f$ 下)的像，並記作 $f(x)$ 。而元素 $x$ 成為元素（在映射 $f$ 下）的一個原像；集合X成為映射 $f$ 的定義域，X中所有元素的像所組成的集合稱為映射 $f$ 的值域。

函數：設數集 $Dsubset R$ ,則稱映射 $f$ ： $D ightarrow R$ 為定義在D上的函數，其中 $x$ 稱為自變數，y稱為因變數。

就問你，剛開始沒接觸過函數的時候，直接看到這倆定義怕不怕！

拗口，抽象。越把自己陷進去，越看不懂。

怎麼辦？

如果我要這麼跟你說，你肯定就懂了。而且理解的會很深刻。

函數英文名好像叫function，功能。好了，函數的實際的具體的形象的含義就是一個具有某種功能的機器，放入一隻豬，生產出一個火腿腸。映射就是這台機器的內部工作原理。

找到了這個類比，你就明白了：

原材料就是定義域：這台機器裡面你只能塞進去豬，不能塞牛，或者馬。

產出就是值域：這台機器你只能產出火腿腸。

你塞進去一頭豬，產生一個火腿腸，塞進去不同的豬，產生的火腿腸可能一樣大，也可能不一樣大，但是，對於任意一個火腿腸，只可能有來自於某一頭豬，不可能來自好幾頭豬。

何為真正理解，不是能記住概念，而是反推概念。你把函數想像成加工火腿腸的機器，再倒回去看函數與映射的概念，是不是很輕鬆就理解了？

所以，學習微積分的過程中，不要僅僅局限於抽象拗口的定義定理中，要多找一些例子加深自己的理解。

你可能會有疑問：我是初學者，對微積分沒有任何了解，我怎麼才能找具體的例子呢？

問得好！下面我來說說第二點：倒著看。

2倒著學

有個很有意思的現象，大家也都知道，中式思維和西方思維的差別。中式思維的特點是：在表達某一個關鍵詞之前，喜歡不斷的加定語來鋪墊，經過一連串的修飾，最後才講出最關鍵的部分。但是西方思維呢，特點是簡單直接，先說出最關鍵的信息，然後再不斷補充。

中式思維：微積分是有趣的，實用的，有一定難度的，奠定近代工業基礎的，學科。

西方思維：微積分是一門學科，that實用的，that有趣的，that有難度的，that奠定了近代工業基礎。

兩者的區別在於，第一種表達方法中，出現「學科」這倆字之前，一直處於一種迷茫的狀態，根本沒有清晰的整體的邏輯結構，很容易迷茫。第二種表達方法中，一開始就立刻寫明了這句話最核心的內容，最整體的結構，學習起來不容易迷茫。

絕大多數教科書，都是按照中式思維的邏輯編寫，先講一堆基礎的知識，做一些鋪墊，最後才講最關鍵的部分。按理說，降到最後關鍵部分的時候，學生應該恍然大悟才對，但實際情況往往不是這樣，因為學生已經在前面的鋪墊中迷失了自己。按照這種邏輯學習，又趕上老師上課喜歡照本宣科的話，大部分學生半途就學不懂了，真正堅持到最後的人，也僅僅是會做題罷了，鮮有能夠真正領會微積分真諦的。

工程師教一幫小弟蓋一個大樓。有兩種方案。

方案一：工程師命令小弟去搬磚，小弟們日夜刻苦搬磚，按照工程師的引導砌磚，兩個月以後，終於有了地基的模樣。而此時的小弟們，已經有很多人迷茫了，因為他想學蓋樓，結果每日搬磚。另外一半還在堅持的小弟，雖說沒有放棄，但是一直處於無感的狀態。第三個月，繼續命令小弟搬磚……對於這幫小弟來說，他們不是在學蓋樓，只是在按照要求搬磚。他們搬磚搬的很迷茫。

方案二：工程師動員小弟們，我們要蓋一座這樣的大樓，小弟們看到大樓的效果圖，異常興奮。工程師問小弟們，我們要蓋這樣的大樓應該先怎麼做？「先修地基」然後呢？「修一樓，再修二樓……」很好，修地基應該怎麼修呢？「搬磚！」好，那就去搬磚吧。按照這種方案，小弟們腦海了始終有一個清晰的邏輯：想蓋樓，先修地基，再修一層，二層……修地基需要搬磚，修一層也需要搬磚，但是搬磚與搬磚還是有區別。小弟們每天乾的熱火朝天。

啰嗦這麼一大堆無聊的例子，無非就是想表達一個理念：倒著學。

微積分的核心是解決諸如：位移=速度*時間，當速度連續變化的時候，如何準確的求解位移。首先學習這塊知識，學完就會理解微積分是幹什麼的了。當然，學完這塊肯定會有所疑問：如何驗證積分的科學性。那就再去看看極限和微分，因為極限和微分是支撐定積分的依據。學完極限和微分，你可能還有疑問：極限是如何推導來的？答案是函數和數列。再去看看函數和數列。看完這些，就會對微積分有一個清晰的網路結構，逐本溯源，不斷反問，會令你有更深刻的體會。

以上純屬泛泛之談，我正在寫一個史上最強的超級傻瓜的微積分教程，寫完以後會發在我的專欄里知乎專欄
如需轉載請訪問維權騎士_一個為原創者提供版權管理和保護服務的網站獲得合法授權

我大學剛學物理學和數學時也很吃力，直到大四的時候才打通任督二脈：
學無止境是真的，但是不要神化你認為困難的知識。
科學，數學，都是追求簡單清晰的，邏輯鏈條就像一個個台階，讓你完全可以拾級而上。
如果邁不上去，那是也許你的學習途徑（教材，講解，理解方式）台階高度不適合你的思考節奏，
用1cm的台階，100cm的台階，都可以登上這座大樓，問題是如果你的腿適合10cm，就不要用太高或太矮的台階。
還有很大可能，是你的深度練習不夠。
一門數學課是一個邏輯體系，而如果每次你運用書里的知識都要把這座樓登一遍的話，那就要累趴了，現實表現狀態就是遺忘，學了好像懂了，之後又不懂了。邏輯鏈條一旦第一次掌握，就要參照艾賓浩斯遺忘曲線進行及時的回溯。
我不僅僅在說複習，這裡有關鍵的意義。
數學中的深度練習，就是你一遍遍回溯邏輯鏈條（手算推導，或者腦海中推導），來達到你可以用一閃念就遍歷這個鏈條，這時你才可以輕鬆的談論它，運用它。
總結說，就是「理解台階」，和"深度練習"。

title[-3:] 的部分我特別有共鳴，剩下的就沒辦法了……(╥﹏╥)