如何理解函數正交的數學或物理含義？

12-27

這些天在量子力學這門課中遇到了「函數的正交」這一概念，及內積（兩函數U,V在某區間中U*與V的積分）為零，但是無法理解函數正交的物理、數學或幾何含義，麻煩各位誰能幫助理解一下。謝謝！

謝邀。我覺得題主的主要的問題應該在於對「內積」是什麼還沒有想得太清楚，所以我決定用很野蠻的方法來解釋。

一個高中生應該知道：

向量 u=(a, b) 和 v=(c, d) 的內積 u·v 可以用 ac+bd 來計算；
如果內積 u·v =0，意味著 u 和 v 兩個向量正交（垂直），例如 (0,1) 和 (1,0) 就是正交的。
兩個向量如果正交，那麼說明其中的任意一個向量都完全沒有另外一個向量的分量。

那麼現在首先來考慮把「內積」的概念推廣，對於實變函數 f(x) 和 g(x)，假如可以有這樣的兩個向量：

對應於函數 f(x) 的 u = (f(0), f(1), f(2), f(3), f(4), f(5), ..., f(N))
對應於函數 g(x) 的 v = (g(0), g(1), g(2), g(3), g(4), g(5), ..., g(N))

現在讓這兩個 N+1 維向量內積一下，於是我們可得：
u·v =f(0)g(0)×1 + f(1)g(1)×1 + f(2)g(2)×1 + ... + f(N)g(N)×1

相信如果對數學還有點微弱感覺的話，應該會發現，這種求和的形式，如果過渡到連續的情況下，就可以變成一個積分，之所以我特地畫蛇添足地每一項都乘以1，是為了過渡到積分的時候方便，這個 1 就像在做數值積分，計算矩形面積的時候的那個矩形的寬度（bin width）。

這樣來看，函數 f 和 g 在區間 [L, R] 上正交，對於無比喜歡高中數學和求和的少年來說，就可以認為是把這個函數在 [L, R] 上均勻撒上很多個點，這很多個點所構成的兩個向量近似彼此垂直。

我知道數學專業的少年見到我這樣解釋肯定已經不能直視了。在這個最土的定義的基礎上，沿著以下幾個方向再擴展一下，應該就能比較好的理解了：

從實變函數過渡到複變函數。此時引入了一個函數的共軛，如果沒有這個「共軛」，內積就不能保證為實數，更實際一點，就沒法定義出一個向量的長度來（|z|^2=z* z）。關於這一點，想像一個行向量與列向量的矩陣乘法，總得有一個要轉置（如果還有複數那就還得取共軛）。「共軛轉置」操作在矩陣裡面叫做埃爾米特伴隨，量子力學裡面常用的可測量量的運算元都是 Hermite 共軛運算元，即共軛轉置後等於自己，因而本徵值為實數。
推廣到高維，例如量子力學裡面見到的電子波函數。
在兩個向量的內積中間，引入一個度規矩陣，即將向量 u 和 v 的內積定義為：&=u* M v。在兩個向量的乘法中間引入一個矩陣，這個矩陣可以理解成空間的彎曲。接著，再考慮在加上了這樣一個彎曲的空間中的內積怎樣過渡到兩個函數的內積。正交條目中的「權函數」就是這個意思。
「內積」的真·定義。請參考內積空間中的有關解釋，並且可以結合「範數」「Cauchy-Schwarz 不等式」等內容，理解抽象內積空間中的「距離」「夾角」等內容。

還有一個需要注意的小細節：

真正意義上，「正交性」跟線性表示的「唯一性」二者之間沒有直接關係。給定一組顯然不正交的基，例如 (1, 0) 和 (1, 1) ，要求用這兩個向量來表示另一個向量，例如 (2, 3)，這種表示依然是唯一的。事實上，這裡我們只需要「不平行」（線性無關）的一組基就可以了。我們熱愛正交組，只是因為按照正交組展開有它獨特的優越性。因為我們熱愛正交性，因此即使是只是一組線性無關的向量，我們也總希望通過某種方案（正交化），讓他們變成兩兩正交的向量組。

所謂函數正交也就是具備這樣一組性質的函數序列g，他們之間兩兩的內積是0。
這樣一來的好處就是，定義在同一域中的函數f總能表達成這一組函數序列g乘以一些係數的和，而且g每一個函數前的係數是唯一確定的。
為了保證唯一性，他們必須正交。為了保證任意函數f都能被如此表達，這一組函數序列g必須是完全的。
這種係數在不同的場合有不同的含義。比如傅立葉變換就是這麼一組函數正交的序列g＝e^ikx，這些係數就是傅立葉係數。

正交就是內積是零
對於量子力學來說內積對應系統同時滿足兩個波函數的幾率幅總和。
兩個波函數正交就是沒有粒子能同時滿足兩個波函數。
比如兩個不同頻率的平面波本徵態。

正交是線性代數的概念，是直觀概念中垂直的推廣。作為一個形容詞，只有在一個確定的內積空間中才有意義。若內積空間中兩向量的內積為0，則稱它們是正交的。如果能夠定義向量間的夾角，則正交可以直觀的理解為垂直。物理中：運動的獨立性，也可以用正交來解釋。

先舉個二維例子：
在XOY坐標系中的兩個向量a=1+0j和b=0+2j，他們分別在x軸和y軸上，顯然是垂直的，對吧。他們的內積等於0. 即a點乘b=1×0 + 0×2 = 0
再舉三維例子：
直角坐標系的xyz軸的單位向量分別為（1,0,0）（0,1,0）（0,0,1），顯然他們互相兩兩正交。

對於n維空間，雖然無法「有形」的想像，但是仍然是這個概念的推廣：
三維空間中，一條直線的正交子空間是一個平面，反之亦然。四維空間中，一條直線的正交子空間則是一個超平面。
多維空間中，若內積空間的子空間A和B滿足一者中的每個向量都與另一者正交，那麼它們互為正交子空間。

看到這類問題我一定要回答。
以前每當我學到任何數學概念的時候，我都會問一下，這個東西的幾何意義是什麼，或者說物理意義是什麼。可是到後來，學到更加抽象的數學的時候，這些問題就難以解答了。原因很簡單，它們沒有直觀的幾何意義或者物理意義。
斯坦福大學的公開課《傅立葉分析》中，教授在講兩個函數的內積的時候，就說了：Don"t ask my how does their inner product look like. Don"t try to visualize it.
所以我認為，學到抽象的數學概念以後，要麼和之前學過的直觀的數學概念進行類比，函數的內積可以用三維歐氏空間里的向量的內積來類比。但是兩個函數的圖像和它們的內積在圖形上基本上是沒有任何可以看得出來的聯繫的。

個人觀點：內積就是投影長度（乘以被投影向量的長度），內積為零就是投影長度為0。

這些天我也遇到了同樣的問題:厄米算符的本徵函數具有正交性.在本徵值非簡併的情況下,我們同樣可以通過施密特正交歸一化得到正交的函數.
事實上,這似乎也表明了一件事:

不同能級的波函數一定正交,但不同能級的波函數之間也可以存在正交關係.
波函數正交說明了什麼物理意義呢?描述粒子兩個狀態的兩個波函數正交,那麼這兩個狀態之間有什麼聯繫呢?反之呢?

很多人都明白,向量 $mbox{oldmath $a cdot b$} eq0$ 意味著在 $mbox{oldmath $a$}$ 的方向上具有 $mbox{oldmath $ b$}$ 的投影分量,如果我們這麼理解:
向量 $mbox{oldmath $a , b$}$ 具有一定的重合度.
這時我們再來理解波函數正交和波函數不正交

兩個波函數正交-----&>兩個波函數描述的狀態重合度為零,也就意味著你無法找到這兩個狀態具有某種相似度.
兩個波函數不正交-----&>兩個波函數描述的狀態重合度為不為零,你會發現對於兩個狀態的實驗數據具有微小的相似度,其本質就是兩個狀態具有一定的重合.

意味著函數可以在這些相互正交的函數集合上展開，而且通過相對簡單的積分可以計算出每個項的係數。