為什麼不能用洛必達法則證明兩個重要極限？

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這個問題是高數老師上課僅僅提了一下，說是犯了邏輯循環的問題，但是她說她也不太清楚。但是我對這有點興趣，去網上搜了搜，在《高等數學研究2015年05期》上有一篇用洛必達法則證明重要極限的邏輯錯誤的文章，但是真心不知道要怎麼查看。就在知乎上問了問，感謝各位答主。

兩個重要極限:
第一個:x趨近於0時,sinx/x的極限為1
第二個：n趨近於無窮大時,（1+1/n）的n次方的極限為e

犯了循環論證的邏輯錯誤。
用洛法則求重要極限一時，用到了sinx的導數。
求sinx的導數時，用到了重要極限一。
重要極限二的情況類似，題主可以自己分析。
說個題外話，同濟高數上冊犯了一個循環論證錯誤：
用定積分求圓面積時，用到了cosx的不定積分
cosx的不定積分來自sinx的導數
sinx的導數的導出用到重要極限一
重要極限一的證明用到了圓的面積。
好大一個環啊！

在你求 $[mathop {lim }limits_{x o 0} frac{{sin x}}{x}]$ 使用洛必達法則的時候，你的 $sin x$ 的導數是哪來的？

證一遍 $[left( {sin x} ight)$ 之後你就什麼都不會再問了。

數學版何不食肉糜...

我心態爆炸了，羨慕ing

畢竟我沒伯努利那麼天才

也沒洛必達那麼有錢

如果你硬要用洛必達...

要麼證明要麼買,不然按照數學結論來歷不明罪論處,分數沒收

如果你的三角函數和指數函數是用冪級數或其它方式定義的，在這個定義下獨立推出了其導數。

就可以。

看你的sin和cos是怎麼定義的，強行換定義也是可以用洛必達的

某世一大無奈 sinx的導數就是通過sinx/x的極限求得的嘛！

我知道你想說啥，我大一也有過這種操作，lim(x→0)sinx/x＝lim(x→0)cosx/1＝cos0/1＝1
2333333333

洛必達法則是正確的，因為假如我們通過了某種特殊的方式去證明了sinx的導數是cosx。最後用洛必達計算lim(x-&>0) sinx /x=cos(0)=1也是正確的。

但是沒有什麼特殊方式，我們的求導這個符號在計算sinx的導數，實際上必須知道sinx/x趨於0的極限值是1。而你已經知道它的極限值是1了，還證個毛。所以"求"導證明不可取，但是你有什麼方法繞過"求"導直接"得"到導數，那是可以的.

我們用幾和方法來定義了sin(x),cos(x),...

接下來可以用幾何方法證明出 "x趨近於0時,sinx/x的極限為1"

(可詳見 https://www.youtube.com/watch?v=Ve99biD1KtA )

然後,以此可以得到 sin(x)的導數為 cos(x)

當這些結果都得到後.

你自然可以用洛必達法則來求本問題1

但是你不能用洛必達法則來證明本題1

哪兩個極限啊，你倒是在說啥啊

好吧，居然有這種操作。

見卓里奇第一卷第四版的P102

有證明

然後洛必達在後面，用洛必達證明難免會落入循環論證的問題

因為sin的導函數就是藉助這個極限給出來的

夾逼準則和單調有界準則