現代數學的目的是什麼？

12-27

在大學這些年裡，我潛意識裡一直有一個觀念，現代數學存在的意義就是為了證明很困難的初等數學問題。在中學及以前，我了解到很多初等數學命題，比如「1+2」等等，它們本身容易理解而且非常優美，但是我完全不可能看懂證明，我知道要看懂它們必須學高等數學。我很小就聽說過懷爾斯證明費馬大定理的故事，更無數次見過人們鄙夷民科「騎著自行車上月球」的行為。
這些就是我從小夢想搞數學研究的原始目的。
但隨著時間的推移，我越來越懷疑，大多數人搞數學研究，目的並不是為了證明漂亮而困難的問題的。我同意發展數學理論並不直接解決數學問題，但可以為解決數學問題提供工具。但是我覺得大多數人並不以此為目的發展數學理論。
當然我現在遠沒有資格談人們發展數學理論時是怎麼想的。但是我覺得，哪怕介紹數學理論時，教科書的作者也隱隱約約給人們感覺他們不怎麼關注這些理論有什麼用（我指的在數學上有什麼用，不是指在現實中），只關注理論本身。
雖然我聽過無數人表達自己認為現代數學很漂亮，但我真的覺得不漂亮。我現在還在堅持學是因為我一直覺得把這些基本的東西學過去以後就能見到漂亮的東西了。所有課本似乎都是這樣：定義了一堆概念，證明了一堆與這些概念有關的定理，列了一堆與這些概念有關的習題，但是基本沒有命題本身不涉及這些概念但證明過程需要這些概念。這讓我在學它們時感到味同嚼蠟。
我同意有些理論（比如拓撲學）基本沒法給出直接的應用，而是用它們建立別的理論再由那些理論給出應用。但我仍然堅持，如果各種教科書的作者認同數學理論存在的最終目的就是證明與它們無關的有趣問題，他們可以把教科書寫得讓我這樣的人閱讀時體驗好百倍。
現在我覺得，發展這些數學理論一定有其他目的（為了現實應用的不算）。或許這些目的可能很複雜需要一些網頁和書來介紹，甚至理解它們本身也需要足夠的數學水平。我想問，這些目的是什麼呢？

首先我得解釋一些誤解，這些誤解基本是由教材造成的，我會推薦一些自己覺得好的書。
首先，你的話裡面下面兩句話是問題很大的：

......但可以為解決數學問題提供工具,但是我覺得大多數人並不以此為目的發展數學理論。

.....但是基本沒有命題本身不涉及這些概念但證明過程需要這些概念.....

我不知道你學到什麼水平，但是上面兩句話是錯的，暴露了你看的書太少，或者看的書太爛。
大部分數學理論的發展是為了解決數學問題或者實際問題，但是很多寫得一般的教科書不會介紹你根本性的來源是什麼？原因在於下面兩個：
1，交代這些東西會造成篇幅過長，
2，交代這些東西會涉及到很多其他學科的知識，給教學帶了麻煩。
3. 作者本身的表達能力不好。
這些東西讓你覺得這個理論無中生有。同時，很多差的教科書也不交代這個「理論」和其他數學之間的關係，這是你老師上課選擇教材和你自己選擇教材的問題，不是「現代數學」本身的問題。在我看來，好的一本教材需要下面幾個條件：一，交代理論的發源和應用，二，交代概念的motivation，三，交代這個理論和其他理論的聯繫。很可惜，大部分教材都由於篇幅，編者的水平是不帶可能寫成這樣子，寫成這樣子的反而沒人讀了。
我舉例自己的研究領域：泛函分析和偏微分方程。一般一類方程都涉及到很大一類的物理過程，一個泛函分析的工具也能解決一類的數學／物理問題，如果你想了解這些，你不得不學一些物理，工程乃至經濟。結果就是，一個教材要麼寫得簡練，但是你學完後腦子空空的，要麼就是過長，導致壓根不是教材。比如E.Zeidler的"nonlinear functional analysis with applications"，這套書總共5本，平均每本都800以上，如果濃縮一下，可以減到一本，但是這有就會落到我說的那種情況。
在偏微分方程方面更是如此了，我覺得「數學物理方程講義」這本書還是不錯的，可以交代方程的推演。
到了這裡，估計很多人想看的是我推薦的書了吧。我推薦下面這幾套書：
1. 伍鴻熙的《黎曼幾何初步》和《緊黎曼曲面引論》
2. John Minor的《從微分觀點看拓撲》和《莫爾斯理論》
3. E. Zeilder 的《Applied functional analysis》
4. Lions的《Mathematical analysis and numerical methods for science and technology》

總結起來，你的困惑不能說是「現代數學」本身的問題，而是你自己教材選擇的問題。如果讓我來說一下現代數學的目的的話，自然有很多回答，比較正統而且實際上也沒錯的回答是：為了解決數學內的各種問題，為了解決工程物理等其他領域提出來的數學問題（包括演算法問題）。濃縮起來就是

"Wir müssen wissen — wir werden wissen."
we must know we wil know

大衛希爾伯特的話聽起來有點天真，但是這真是數學發展的本性動力，下面是這句話的語境。

「We must not believe those, who today, with philosophical bearing and deliberative tone, prophesy the fall of culture and accept the ignorabimus. For us there is no ignorabimus, and in my opinion none whatever in natural science. In opposition to the foolish ignorabimus our slogan shall be: Wir müssen wissen — wir werden wissen. ("We must know - we will know.")

同時，希爾伯特也是數學社會中最提倡和諧主義數學社會的人：

謝邀。
這個問題很大。凡是問一個東西有什麼用、有什麼目的的問題，其實都算是哲學問題。哲學問題的作用在於啟發人的思考（開放性思維，沒有固定答案），而不是給出一個唯一的明確的答案（封閉性思維，限制思路）。數學研究的目的是什麼，你在100年前問這個問題，500年前問這個問題，問不同的人這個問題，答案肯定都是不一樣的。下面結合我自己學習的領域談談我自己的理解。

我是學微分幾何的。先回顧下微分幾何的歷史。楊振寧寫過一首詩，最後一句叫做「千古寸心事，歐高黎嘉陳」，講的是幾何學發展史上的幾位代表性人物——歐幾里得、高斯、黎曼、嘉當（Cartan）、陳省身。歐幾里得建立了歐氏平直幾何的基本框架，嘗試建立了人類歷史上第一套數學公理系統，這些大家在中學數學課本上都學過，就不多說了。高斯在微分幾何上的主要貢獻，我認為是所謂的「高斯絕妙定理」——他發現曲面的高斯曲率：兩個主曲率的乘積，是個內蘊幾何量，也就是只依賴第一基本形式。這個發現代表了內蘊幾何學的誕生——從此以後，幾何學家開始有可能考慮一個抽象的幾何對象（現代數學術語來說就是一個「流形」），而不必把任何幾何對象都看成某個大的歐氏空間的子集。僅僅通過給出這個抽象的幾何對象的內蘊數據，就可以研究它上面的幾何學。於是，黎曼實現了這個構想。他在著名的幾何學基本綱領的研究中，提出可以在一個抽象的空間上考慮一個局部變化的二次型（用現代數學術語來說，在一個流形上給出了一個黎曼度量），然後可以研究這個二次型相關的不變數，比如曲率等等——黎曼的原始論文和現在教科書上的表述不太一樣，有興趣的人可以自己搜著看看。

嘉當和陳省身的成就先不總結了，進入20世紀，各種數學術語都開始變得technical起來，解釋起來更費勁。

好了，說了這麼一大堆，那麼幾何學家搞出這麼一堆複雜抽象的東西，有什麼用呢？他們到底想幹什麼呢？首先，從數學本身來說，黎曼（微分）幾何的框架，給出了歷史上所謂的「絕對幾何」的一個模型，也就是完全去掉第五公設，把歷史上三套非歐／歐氏幾何統一在了一個統一的框架內，並且加入了更一般的、曲率可隨意變化的、維數可以任意高的幾何對象（黎曼流形）。數學家一直都有推廣的情節，他們老想看看「更一般的情形會怎麼樣」。當然你如果對數學不感興趣可能覺得上面那些東西沒啥意思。好，下面這件事情你就不能忽略了。黎曼幾何的框架，為廣義相對論提供了一個近乎完美的模型。幾何上的曲率，可以對應到廣相中的引力。學數學的同學們，你們知道為什麼度量用g來表示嗎？這是老愛的發明，g stands for gravity! 廣相中的基本方程：愛因斯坦場方程，從幾何上來說，就是Ricci曲率減掉1/2*數量曲率＊度量，等於能量動量張量（這個東西反映了空間中質能的分布，屬於物理上的輸入）——這個方程也是為什麼「常Ricci曲率流形」被稱為「愛因斯坦流形」的原因。於是，高斯黎曼等等這些人搞出來的抽象的微分幾何，意想不到地被應用到物理學中，成為了刻畫引力的合適語言；而反過來，廣義相對論的發展，也促進了幾何學的發展——我舉個例子，丘先生和他的學生 Schoen證明的正質量定理，這個名字一看就知道來源於相對論。物理為幾何學提供了一個叫「質量」的不變數，而通過對這個質量的研究，幾何學家能夠解決幾何學裡的一些問題（具體什麼問題不太記得了）。

在這裡還是要說一下，我其實是沒怎麼學過廣相的。廣相考慮的是洛侖茲度量，是不定的度量。我主要學的是正定的黎曼度量。考慮不定的度量，很多事情都會更麻煩一些，分析味道也重很多。

然後我非常簡單地說一下微分幾何在20世紀的發展。首先微分幾何自己有很多新問題新領域，比如comparison geometry（以及由此衍生出來的Alexander geometry, metric geometry），比如幾何分析，復幾何（Calabi-Yau流形作為弦論的模型又是數學和物理相聯繫的一個佳話，但是這個故事就更複雜了）；然後微分幾何學和數學其它領域也有聯繫，典型的比如幾何和拓撲的聯繫（Atiyah-Singer index等等），微分幾何和代數幾何的聯繫，等等。最後再說說大家可能更感興趣的。微分幾何在現代社會的實際應用。首先，微分幾何一直在地理學上有應用，學GIS的或多或少要學一點點曲面論。然後，微分幾何在人臉識別、網格問題、機器學習等等上也有應用。這方面我一直在看顧險峰老師的科普文章，裡面用到的一些幾何學知識還是不算淺的，至少不是高斯那個時代就有的知識（比如我記得他有時候會用到黎曼曲面的Teichmuller space，還有很多共形幾何的知識）。有興趣的人可以關注「老顧談幾何」這個微信公眾號。然後，mean curvature flow等等一些幾何流，還有minimal surface等等，在工程上、在物理上也有應用，這個我不太懂，希望相關人士能予以補充。

最後總結一下，現代數學研究的目的，有哪些方面呢？首先，數學發展有其內源性的動力。黎曼應該沒見過愛因斯坦，那個時代的幾何學家絕對沒想到他們的理論可以和物理學發生這麼深刻的聯繫。他們發展微分幾何學的初衷應該是為了純粹數學的追求——建立一套更一般的幾何學理論，把古典的曲面上的幾何學研究推廣到更高維的流形上去。其次，物理以及其它自然科學、或者社會科學等等，也會刺激數學的發展。因為他們為數學提供了很多新問題和新想法。而數學，對於新想法，永遠是歡迎的，無論這些想法來自數學內部還是外部。因為數學研究的本質，就是開拓創新。

為了人類頭腦的光榮。

謝邀。看到這個問法，腦子裡的第一反應不是什麼哲學的道理而是一個定理。所以就以這個開頭，先來看一下這個例子，Lichnerowicz theorem，是關於什麼時候一個manifold上面有正的數量曲率。看起來是一個完全幾何的問題，或者說把幾何的東西抽掉的話就是一個拓撲的問題，但是這個定理的證明卻是分析的。定理是說，如果M是偶維數的spin的緊流形，並且M上有正的數量曲率，那麼 $hat A(M)=0$ . 大致證明是，M上有dirac operator $D$ ，並且根據Lichnerowicz formula $D^2=-Delta+frac k 4$ ，如果 $k>0$ ，那麼 $D^2>0$ ，所以這是個可逆運算元，index=0，而根據Atiyah-Singer， $ind(D)=hat A(M)=0$ . 本來是一個幾何的問題，但是處理的方法卻是分析的，包括還能看到泛函分析裡面熟悉的Fredholm index. 而且還有泛函分析裡面還有很多這種類似的事情發生，看起來完全是在抽象的空間里證明的東西，卻能夠在不經意的時候出現在一些具體的問題上，比如pde不舉例子了pde是泛函的一個子學科括弧笑，再比如複分析裡面調和測度的構造。這也就是為什麼我最喜歡這個學科的原因。再比如說，Serre-Swan，這個可能現在看來是很trivial的結果，但第一次讀的時候還是很震撼的，因為代數裡面非常非常抽象的投射模這個東西，居然能夠具體的跟向量叢是對應的。等等吧，不一而足。

但是真的學的時候感覺確實是不一樣的，就拿泛函分析為例，現在泛函已經是一個獨立的學科所以真的去戳這個東西的時候，看到的事情跟原始的問題是看起來完全沒有關係的。但是我覺得之所以這個學科會發展，除了與其他學科的互動以外，自己內部也會出現很多好玩的問題，比如C*代數的分類。當然好玩這個詞不是良定義的，這就需要自己的感覺。

我只能跟題主說如果還想繼續下去的話那麼不要著急，這世界上好玩的東西很多，但是平心而論好玩的東西都會藏得很深並且也許會很難，這就要求至少原本的基礎的東西要牢靠。回答題主，是不是數學家的目的是為了證明漂亮而困難的問題，我覺得是的。但是這個目的不會體現在教材裡面，這不是教材好不好的問題，因為教材的目的不是用來解決問題的。我覺得你可以找一些近一點並且跟學的方向有關的文章，先看看主定理是不是好玩，然後去嘗試看懂證明主定理的過程中都用到什麼東西（貌似好多教材上的習題就是這麼來的），這樣或許就能夠找到一點感覺。

p.s.吐個槽，前段時間找到一篇不長的文章，證明了一個非常簡單非常漂亮並且小學生都能懂的結論，覺得好奇就讀了一下，結果發現裡面完全沒有用到什麼本科二年級以上的內容，就用最初等的分析工具在做一些很臟很長的事情……好吧也許有人能夠欣賞這種美對吧

什麼？你覺得不漂亮嗎？（吃驚臉

就拿你提到的拓撲來說，雖然我還在初學階段，但是每學一點都讓我有醍醐灌頂的感慨啊。

大概是因為我比較笨…

我盡量從題主的角度回答，盡量從一個非數學的角度對此進行（自以為是的）解釋。

首先我的論點是，數學能夠發展到今天如此蔚為壯觀的地步，恰恰是因為它太「應用」、太「接地氣」了。

從古至今，由西到東，能稱為學問（不是學科，而這樣更偏東方思維）的研究領域數不勝數，比如偏門如金石學。並非這些學問缺乏趣味，並非這些學問不能自圓其說，並非這些學問沒有大V的支持（趙明誠之於金石學），那為什麼有些學問就逐漸沒落了呢？

假設題主看過死亡筆記——或者換一個沒有那麼血腥的背景——假設題主有一本心想事成的筆記本，即題主你在筆記本上寫下任何心中所想，那麼在現實生活中就能得到筆記本中所寫的東西。前提是，要以一定地規則進行記錄。換句話說，只要題主能在筆記本上按照某些簡單規則寫上一些塗鴉，就能極大地豐富物質生活，那麼題主你會怎樣做？當然如果是我，我會花大量時間研究這個筆記本，尋找這些語法規則的線索——就像鍊金術士孜孜探索其配方一般。

題主肯定會說，這種筆記本怎麼會存在。當然，這種筆記本確實不存在，但是，數學和物理卻是以如上這種匪夷所思地方式曖昧著，當然這是一種十分粗淺且不甚合適的比喻。假設題主認可物理這種「格物致知」、「實踐是檢驗真理的唯一標準」對世界探索的模式的話，那麼題主的感覺沒錯，數學確實就是一種從定義到推理再到定理結論的邏輯過程，味同嚼蠟。但偏偏奇怪就在於，數學從某種程度上，就相當於那個心想事成筆記本，筆記本里的一些看似不食人間煙火的理論，說不定就和現實生活中的物理對象結合在了一起。

現在試試回答題主的核心問題：

對於純粹數學來說，目的就是研究心想事成筆記本里的語法規則的本身；

對於應用或者交叉學科來說，目的就是研究怎麼把心想事成筆記本里豐富的成果嘗試與我們生活的物質世界進行聯繫，把黎曼幾何變成你手機中的GPS，把概率論變成同花順里的股票漲跌，把凸優化變成Uber里價格隨時變化的演算法；

而對於這些游刃於數學也好應用科學也罷的研究人員來說，目的就是滿足自己的好奇心——畢竟真理面前，人人都是射手座…

摘自百度百科：（看加粗的就行，沒那麼多字）

現代數學時期是指由20世紀40年代至今，這一時期數學主要研究的是最一般的數量關係和空間形式，數和量僅僅是它的極特殊的情形，通常的一維、二維、三維空間的幾何形象也僅僅是特殊情形。

20世紀40～50年代，世界科學史上發生了三件驚天動地的大事，即原子能的利用、電子計算機的發明和空間技術的興起。此外還出現了許多新的情況，促使數學發生急劇的變化。這些情況是：現代科學技術研究的對象，日益超出人類的感官範圍以外，向高溫、高壓、高速、高強度、遠距離、自動化發展。以長度單位為例、小到1塵(毫微微米，即10^-15米)，大到100萬秒差距(325.8萬光年)。這些測量和研究都不能依賴於感官的直接經驗，越來越多地要依靠理論計算的指導。其次是科學實驗的規模空前擴大，一個大型的實驗，要耗費大量的人力和物力。為了減少浪費和避免盲目性，迫切需要精確的理論分機和設計。再次是現代科學技術日益趨向定量化，各個科學技術領域，都需要使用數學工具。數學幾乎滲透到所有的科學部門中去，從而形成了許多邊緣數學學科，例如生物數學、生物統計學、數理生物學、數理語言學等等。

上述情況使得數學發展呈現出一些比較明顯的特點，可以簡單地歸納為三個方面：計算機科學的形成，應用數學出現眾多的新分支、純粹數學有若干重大的突破。

1945年，第一台電子計算機誕生以後，由於電子計算機應用廣泛、影響巨大，圍繞它很自然要形成一門龐大的科學。粗略地說，計算機科學是對計算機體系、軟體和某些特殊應用進行探索和理論研究的一門科學。計算數學可以歸入計算機科學之中，但它也可以算是一門應用數學。

計算機的設計與製造的大部分工作，通常是計算機工程或電子工程的事。軟體是指解題的程序、程序語言、編製程序的方法等。研究軟體需要使用數理邏輯、代數、數理語言學、組合理論、圖論、計算方法等很多的數學工具。目前電子計算機的應用已達數千種，還有不斷增加的趨勢。但只有某些特殊應用才歸入計算機科學之中，例如機器翻譯、人工智慧、機器證明、圖形識別、圖象處理等。

應用數學和純粹數學(或基礎理論)從來就沒有嚴格的界限。大體上說，純粹數學是數學的這一部分，它暫時不考慮對其它知識領域或生產實踐上的直接應用，它間接地推動有關學科的發展或者在若干年後才發現其直接應用；而應用數學，可以說是純粹數學與科學技術之間的橋樑。

20世紀40年代以後，湧現出了大量新的應用數學科目，內容的豐富、應用的廣泛、名目的繁多都是史無前例的。例如對策論、規劃論、排隊論、最優化方法、運籌學、資訊理論、控制論、系統分析、可靠性理論等。這些分支所研究的範圍和互相間的關係很難劃清，也有的因為用了很多概率統計的工具，又可以看作概率統計的新應用或新分支，還有的可以歸入計算機科學之中等等。

20世紀40年代以後，基礎理論也有了飛速的發展，出現許多突破性的工作，解決了一些帶根本性質的問題。在這過程中引入了新的概念、新的方法，推動了整個數學前進。例如，希爾伯特1990年在國際教學家大會上提出的尚待解決的23個問題中，有些問題得到了解決。60年代以來，還出現了如非標準分析、模糊數學、突變理論等新興的數學分支。此外，近幾十年來經典數學也獲得了巨大進展，如概率論、數理統計、解析數論、微分幾何、代數幾何、微分方程、因數論、泛函分析、數理邏輯等等。

當代數學的研究成果，有了幾乎爆炸性的增長。刊載數學論文的雜誌，在17世紀末以前，只有17種(最初的出於1665年)；18世紀有210種；19世紀有950種。20世紀的統計數字更為增長。在本世紀初，每年發表的數學論文不過1000篇；到1960年，美國《數學評論》發表的論文摘要是7824篇，到1973年為20410篇，1979年已達52812篇，文獻呈指數式增長之勢。數學的三大特點—高度抽象性、應用廣泛性、體系嚴謹性，更加明顯地表露出來。

------------------------------------------------------------------

所以呢，答主百度一下看看百度百科就有答案了。總的來說，從我一個外行來看，這些東西就是為了實際應用的，如果現實應用不算的話，那麼為什麼現代數學會存活下來？數學家不過日子么