利用泰勒公式求極限時，如何確定泰勒公式展開到第幾階？

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利用泰勒公式求極限時，如何確定展開到第幾階？有時候展開的不夠，有時候展開的過多？那麼有沒有什麼通用的技巧？

利用泰勒公式求極限上，我們不是隨隨便便展開泰勒公式的，所有的一切操作手法，都是有相應的規律作為指導！

什麼規律？

先別急，先看看童鞋們在後台求助我問題，你也可以試著判斷下做得對不對哦~

1 兩個求助的問題

求助1的問題：

求助2的問題：

兩道題，為什麼都錯誤了呢？

泰勒泰勒，你是怎麼了？我用了你，你咋還沒給我解決出問題呢？

不要怪人家泰勒，凡事出了問題，先從自己身上找原因，別輕易就找被人茬.

你為什麼錯了呢？

因為你泰勒公式展開的項數有問題，或者說，你泰勒公式展開的精確度不夠！

在考研這場應試教育路線上，我們需要掌握的泰勒公式有如下5組，寶刀君做了簡單的分類，如下：

上面的公式，大部分同學都會背，尤其是隨著業內「狗-sin狗=1/6乘以狗的立方」理論的盛行，同學們背的更是不亦樂乎。

但問題是，會背不頂用，做題時怎麼用才是關鍵啊！

針對這個泰勒公式，一個很現實的問題是：當我拿到一道題目時，我怎麼確定要將這個式子展開到第幾階呢？？？

所有的極限題目，要麼是乘除，要麼是加減，無外乎這兩種，因此，這裡介紹兩種展開規則：「分式上下同階」原則和「加減冪次最低」原則。

2 分式上下同階原則

「分式上下同階」原則是說，如果分母（或分子）是x的k次方，則應該把分子（或分母）展開到x的k次方。

簡單說就是，假如你分子是4階的，x的4次方，那麼我就要把分母中的那個式子展開到第4階。

舉個例子，比如下面這道題（務必仔細、認真的看分析）：

「分式上下同階」原則適用於分式「A/B 型」，也就是在分式求極限中用的比較多。

3 "加減冪次最低"原則

「加減冪次最低」原則是說：將A、B分別展開到它們的係數不相等的x的最低次冪為止。

簡單說，兩個泰勒式子相減呢，你就展開到它倆具有相同的冪次數就可以啦，而且這個冪次數是第一次出現的。

舉個例子吧，比如下面這個例題：

「加減冪次最低」原則適用於「A-B型」，也就是求加減的時候用的比較多。

至此，介紹了上面的兩個利用泰勒公式求極限時階的展開規則後，上面這兩道求助的題目是不是就可以順利的迎刃而解呢？？？

求助1問題的正確解答如下：

當然，你這裡也可以這樣來理解，因為分母中有（x-2）這一項，2是個常數，那麼你e的x次方函數在展開時，就應該展開到x的立方項，這樣人家和2乘起來，才算是分子中完整的x立方項大家族大集合。

求助2的正確解答如下：

寶刀君，寶刀君，我不服，你這個例2為啥不將e^x展開到3階，不是說好了和分母同階，一起攜手闖蕩江湖嗎？？？你怎麼退縮到2階了？？？

咳咳咳，觀察的還挺仔細，我來告訴你為啥第二個不展開到3階吧。

回復：仔細對比求助1和求助2，求助1中，e^x後邊乘的是（x-2），這裡有個常數2，所以常數2和e^x展開式中的x^3的相乘不能忽略，而求助2中，e^x後邊乘的是sinx，而sinx展開式中可沒有常數項，sinx是從x開始的，任何一項和e^x的3階項相乘都會擴大階數，擴大的比分母都還大，這就多餘嘍，因此求助2中，只需要把e^x展開到2階即可。

綜上，面對不同的對象，我採取不同的展開措施，這就叫活學活用~

4 總結

利用泰勒公式求極限時，階的展開規則應該遵循兩種展開規則：「分式上下同階」原則和「加減冪次最低」原則。

如果想看這篇文章的趣味性解讀版本的，可以點擊這個鏈接：韓信點兵，多多益善！泰勒公式求極限究竟要展開到第幾階？

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如果是解極限問題，那麼一般與不需要展開的那個項的最高次冪比較，比如分母為x^5，那麼分子就展開到5次。
如果是通用展開，那麼問題提示展開到哪一項k，展開到k-1項比較保險。
如果是物理的小量近似，一般一階或者二階足以。
如果是n階導數問題，那麼如果該初等函數就是由這個展開式表示，那麼展開到第n項，比如y=ln(1+x)。
如果不是，那麼展開到n-k項。比如y=x^kln(1+x)。

展開少了得不到結果，比如0/0的還是0/0。展開多了只是過程不優美，但並不影響結果。