如何評價國科大非數專業使用卓里奇和代數學引論？
你說的數學我都懂，但我真的不是學數學的！
許多理工科專業深入學習和研究都需要學生有良好的數學基礎，但是按照數學專業的要求來學習數學基礎課最大的問題是時間不夠。
以電子工程專業為例，有的方向需要學生有一定的泛函基礎，有的方向需要學生有一定的抽象代數基礎，但是對非數學專業的學生來說，這些課程真的很難學的非常明白。不過過去的幾十年里，這些方向已經形成了自己獨特的範式，足以讓學生在把這些數學基礎課學得不是很明白的前提下依然可以快速上手。但是這種方式還能挖出多少新東西，我想大佬們應該是很清楚的，這可能也是很多高校開始嘗試以數學專業的要求來強化數學基礎的原因。
這個願景很美好，但是執行效果我並不樂觀，主要問題在於時間根本就不夠。數學分析雖然深度遠遠大於非數學專業的微積分課程，但是廣度卻要遜色。對數學專業來說，數學分析只是分析的開始，而對非數學專業來說，微積分卻涵蓋了許多後續專業課程要用到的，可以歸結為用「微積分」手段解決的問題。大部分非數學理工科專業在一年半到兩年就學完了需要的數學基礎課，開始學習專業基礎課。但是數學專業的大部分普通人的進度，數學分析一年半，高等代數一學年，抽象代數一學年，複分析一學期，兩年就這些東西，涵蓋的廣度遠遠不能和非數學專業相比，完全跟不上後續課程的要求。
這種培養模式要在大多數人身上起到良好的效果，本科起碼要五年不能再少。我以前也多次提過，對於有志於科研的學生來說，當前教育體制的最大問題就是基礎教育階段因為重複訓練耽誤了太多時間，高等教育階段又完全是走馬觀花。所以要解決這個問題最根本的方式是，基礎教育要壓縮，擠出來兩到三年時間，劃給大學本科階段。
一、關於教材
卓里奇給非數學系學生使用也並不是不行。與一般人認為的卓里奇太過抽象不同，事實上卓里奇是兼顧了證明的嚴格性與一般性與充實的物理、工程例子的（例如可以參考amazon上英文版的review）。我個人倒覺得比起大家在這裡熱議卓里奇，倒是代數使用代數學引論讓我感到更驚訝一些，因為就我個人的理解類似於Galois理論之類的工具似乎離工程應用還是挺遠的。希望有了解的高手來科普一下。
二、關於課程
我個人認為使用偏難的數學教材最大的問題是能否有配套的講解、習題課和考試。比如卓里奇這本書，在第二冊進入點集拓撲和流形等部分，老師究竟願不願意花費大力氣按照篇章來講解這些內容，布置習題？面對非數學專業的學生，老師願不願意把比較抽象的微分形式代數詳細講解？這都對國科大的老師是不小的挑戰。我個人認為，在目前國內也只有國科大這樣有著中科院數學所如此的教師資源才有可能追求這點，至於能否做到還要看學校和老師是否能堅持和努力。
三、關於數學基本功
我個人完全認同數學基本功對於非數學系學生來說也是很重要的。但我發現，至少這個問題里其他非數學背景的同學提到自己之後意識到數學如何如何重要的時候，他們並不是覺得自己是最基本的數學分析不好呀。卓里奇學得再溜，也不意味著就會多維線性回歸和譜定理吧。
其實他們覺得自己的數學功底有待加強，並不是說最基礎的東西沒學好，而是自己見到的數學少了。畢竟數學對於非數學系的人來說都是工具。一個神槍手未必需要知道他手中的槍是如何一個零件一個零件鑄造出來的，他需要的是知道如何使用這把槍。
從這一點來說，我覺得使用卓里奇這樣的教材反而更糟糕了，因為擠佔了大家了解比較新的數學工具的時間。卓里奇基本上沒涉及複分析概率統計微分方程這樣的分析內容，那這些課程只能往後鋪開。那弄到最後可能人人都變成數學系的學生，沒時間學習自己本行的知識了。許多同學轉繫到數學系物理系固然說明了數學物理的魅力，但是不是也有可能是一些同學學無餘力，除開要求的數學物理基礎課外沒有精力學習其他的學科？我覺得這是要仔細思考的。
非數學系對於數學的態度和數學系是不同的。即使是物理系，對待數學的要求也遠不如數學系那麼嚴格。比起在最基礎的部分狠下工夫，我在想開拓大家的在數學中的視野會不會是一個更好的選擇。例如將微分幾何、泛函分析等引入非數學院系。當然我自己是數學系出身，所以以上僅為我自己的猜測而已。作為一個數學系本科後轉到CS上的人而言，很多人把「做（非數學）科研需要數學基礎紮實」理解錯了。這裡我以CS舉例， 很多人對數學基礎紮實的理解就是數學分析、線性代數學得越難越好，越抽象越好。而在CS圈，我碰到的更多人表現出來的數學基礎不紮實，不是積分極限可不可交換之類技巧不熟練，也不是stokes 積分你不能從更高的層次來看，因為這個絕大多數時候也用不上。大多數時候「數學基礎不紮實」是表現在相比數學分析，其他課程學的極其淺或者根本沒學過。比如矩陣分析、概率統計、資訊理論、組合、圖論等等。 因此與其在數學分析上鑽研，還不如多開些高級課程讓學生選修。
瀉藥
這還不算真正酸爽的，酸爽的是用俄語在俄羅斯的數學系學習數學專業!! 正好當時我的教材裡面就包括了這兩本書，所以我就簡單就這兩本書發表一下對代數和數學分析的看法，以及對採用這兩本書做教材的這一行為的看法。
簡短的評論一下這兩本書，柯老這三本代數學教程，曾經作為我們大一到大二的三個學期代數學的推薦閱讀資料。我們每一門課是沒有專門教材，只有推薦閱讀的教材。老師上課講自己的，完全不按照教材來，我們在下面聽了記筆記，期末按照筆記考試，一般第一節課會告訴我們這一學期要用到的教程，學生去圖書館借來自己在家看，也可以不看，只看筆記也夠了。
我們代數學就用了法捷耶夫(Фадеев)的《代數學習題冊》，柯老的《代數學教程1,2,3》，還有一本莫大著名教授甘特馬赫爾寫的《矩陣論》，第三學期的還有庫洛什(Курош)的《代數》，范德瓦爾登(Ван Дер Варден)的《代數學》，柯老代數學教程的第三冊等。上面這幾本書我仔細研讀了兩本，矩陣論覺得沒必要就沒讀。 柯老這本其實說實在的難度不如我們老師上課講的，作為教科書看看的話呢，本身部頭又太大，看起來很枯燥，打擊學習興趣，但是對於系統的了解代數學會有很大的幫助，畢竟書上所有證明都很詳細，比較容易看懂。 二我們老師海涅(Гейн А.Г)對學生的要求極嚴而且作為前蘇聯數學大師的弟子，對學生期望很高，講的東西都是各種超綱，比如我們在大一下學期就講了選擇公理，左恩引理，全序定理的循環互證，講了不變子空間和根子空間分解，酋空間，辛空間，講了譜定理，劉維爾定理...基本上面教材中有的我們都講了。 其中最記憶深刻的是左恩引理證選擇公理我是在最早的一本抽象代數教程 荷蘭數學家范德瓦爾登的《代數學》上找到的，但是沒背，結果好死不死五十幾題，在考試給我抽中了這題。
多扯幾句吧，其實現在我都懷疑我當時怎麼能熬過來的，老師對外國學生完全沒優待，課程難度大，課時緊張。好在當時只有數學分析，代數和演算法分析三門主課，所以時間也還比較充裕，花大量時間理解，然後看了藍以中，丘維聲等北大清華教材5本，莫大教材上面提到的其中兩本(真心吐槽漢語翻譯渣，老版本翻譯者都是留蘇前輩，這些人基礎紮實，而90年代後出版的所謂數學教材翻譯都是年青一代人了，翻譯完全渣，最後發現看俄語還比漢語好理解)，利用這些知識熬過了考試，當年我們班開除了三個因為代數沒過(到現在大三下學期，我們班32個人還剩下22個，到畢業前至少開一半)。
難點其實是,所有的課和筆記全部用俄語講的。要知道當時俄語才學了十個月....從零學起的。 上課聽課尤其吃力，下課就借同學筆記謄寫好，期末全部背下來。因為我們考試分為習題和理論，習題就是做題，做題過了才有資格參加理論考試，理論考試囊括了一學期所有的上課證明了的理論，學生要全記下來，考試的時候抽條子複述。沒辦法作弊，你就算抄好了，老師問你相關的知識你不知道，一樣沒辦法過考試。傳張圖大家看看，一共四十多道題，大二上學期代數三的理論考試:
上面每一個知識點少的都能寫1張A4紙，多的2-3張也有，要回答大量內容。
我就因為沒記左恩證選擇公里最後抽到沒做出來，換題後要減一分，最後只能三分及格通過。當然這種負(keng)責(die)的老師並不是年年都能遇到。我到目前也就遇到倆，一個是這和，一個是大二常微分方程老師。 遇到一個是你的幸運，你會學習到很多知識和方法，也會學習到遇到困難要努力克服的精神，但是遇到三個以上就是你的悲哀！
再吐槽一下翻譯爛的水平。 中國自從60年代後，基本沒出幾個像樣的俄語翻譯家！ 和50年代末留蘇那一批前輩翻譯的質量水平差遠了！
總的來說，柯老這本書，是本好教材，但是我覺得不適合作為唯一教科書，平時看看就好了。真要選教科書一定要看藍以中和丘維聲這四本線性代數教材!我認為這兩本是目前為止我讀的最好的高代教材。
至於數學分析和卓里奇。卓里奇這本書我仔細看了中文版和俄文版，最後還是看的俄文版，因為中文版翻譯絕對是渣渣!
書講的很詳細，大體框架還是沿襲菲赫金哥爾茨的《教程》，但是其中許多方法用了現代的方法，比如線性估值法。 這本書課後習題極其難，尤其記得第一章還沒有完就要求證明某某平面對於映射存在一個不動點，滿足x=f(x)，一開始死活不能理解思路，直到後面學到不動點定理的時候才知道原來要我們證的是什麼。
但是好在我們這個教授還是很給力的（這個老師上課基本只帶一隻粉筆進來，講90分鐘就走，課都不需要背，全部在腦子裡面），所以基本上靠筆記就過了數學分析， 卓里奇真的只是當參考書看了， 遇到看不懂的定理就上面翻一番人家的證明方法。 對比一下華東師範大學藍本和張築生的《數學分析新講》找到最簡潔的證明。 當然看華東師範藍本的時候更多一些，卓里奇排版實在是渣！ 有知友說復旦陳紀修的書很好，我沒看過，但是我看過陳教授的公開課視頻，許多不懂的陳教授一講就明白了，但是有一點不足的就是，由於陳教授過於考慮到大家的水平，所以講的慢，也沒有難點，一節公開課並沒有很多」乾貨「，但是總之從陳教授視頻中還是受益頗多的。
（這是我們數學分析課的時候：）
我覺得這兩本書，甚至所有的學者專家研究者所推薦的蘇聯教材，全部都不適合作為教材，特別是初學者教材。甚至菲赫金哥爾茨的《教程》也不適合，儘管眾多從蘇聯留學過的前輩，數學系學生，國內的數學研究者都大力推薦這本作為入門。 我依然認為最好的數學分析教材是華東師範大學的藍本數學分析。其原因如下：
一，蘇聯的這些， 度大的教材一方面難度大大高於初學者能承受的範圍，學下來是極其痛苦的。
二，教材的先進性方面，蘇聯那些老書真的比不過新出版的書。 因為蘇聯時代的教育理念和現代教育理念是不一樣的，而這些書正是那個時候教育理念的展現：在有限的課時內，把所有能塞的一股腦塞給學生。 這樣的教育理念在現在看來是不合適的，應該構建一個只是構架，循序漸進，「大躍進」式的教育模式已經落後了。
三，排版，內容安排的合理性，知識點的透徹程度並不如現在國內絕大多數教程。比如，在現代觀點看來，線性代數，應該只教以下內容：行列式，矩陣（矩陣的定義，運算，各種性質，對角化，若當標準型，特徵值等主要內容)，線性方程和二次型。 而高等代數應該在線性代數的基礎上講多項式環，線性空間和映射相關，講點辛酋空間，什麼共軛映射就夠了。 但是反觀我們的代數老師呢，講糾錯碼，講選擇公理，講完備空間（這裡講了希爾伯特，索伯列夫和泛函空間），講代數同構三大定理（由此衍生出群，環同構三大定理），這些東西已經超綱到哪裡去了！ 索伯列夫空間我們在這學期泛函空間部分才開始涉獵，這已經大三了！ 而且內容安排上面也有問題，比如這個代數第一學期竟然反人類的從多項式環開始講，而不是從線性代數開始，一般會認為線性代數更容易。 而且老師直接跳過了矩陣部分，只說自己看書，第二學期開始從線性空間開始，後面又亂入了一些群，環，域，代數基本定理，劉維爾證代數基本定理，然後線性映射...第三學期的格，模，全序集，自動機，糾錯碼(不是很深入，最多講了bch碼和卷積碼)就更是無語了。 好好上個學還不行嗎！！
四，渣渣渣渣渣翻譯！我八十歲的外婆都比他們翻譯的好。（開玩笑）
綜上按我的觀點我想說，這些書當參考書看看就行了，要強加給學生，只是給學生和教師雙方增加痛苦。把這種痛苦強加給學生真是揠苗助長，對學生的興趣培養一點好處都沒有。很多東西不是圖難就行了， 需要合理的安排內容，因材施教。 一味的求難真的不可取。蘇聯式的教學法才能適應蘇聯的教科書。 我們大多數老師都意識到了這些書其實在21世紀還作為規定的教科書其實是很不合適的， 所以很多老師都會讓學生自己去閱讀就行了，不做強制規定，考題也不會在這些書上出，除非是書上真的很有幫助的內容，會告訴大家看哪一頁。 上課呢，則是講的都是按照輕鬆的來，循序漸進，不會是那種大部頭填鴨教學了，大家做好筆記，然後期末理解好筆記，輔以推薦閱讀材料，然後就可以過考試。 另外，抄筆記真心累，這是我大一完事的時候這一年寫的筆記，一共20本，每本都寫滿了！（看那筆記破破爛爛的邊就知道了）
另外關於蘇聯數學可以看看這篇文章，是一篇以親歷者角度寫的很好的介紹莫大數學系的文章，大家可以讀一讀。
https://www.zhihu.com/question/22601998/answer/89143141
其中所列舉的幾乎所有蘇聯時期的優秀教材，到現在大部分大學數學系非數學系都在用，也包括我們數學系，這上面所有教材我們都作為推薦教科書用過，但是這些東西寫的多，習題難度大，大家現在都已經很厭惡了，學校也沒有什麼高質量的新的教科書，這些老古董一直都在用著，只能說老的太好，新的又不夠，到現在都沒辦法推陳出新。
以上。祝大家學業進步！
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問：俄羅斯大學如何組織考試
答：不同大學組織考試的方式不同，以我校（不是莫斯科大學，但是數學系也是差不多的）考試為例子，其他理工科系差不多，文科系則不是這樣。 考試分為期中測評(контрольная работа) -&> 期末習題測試（зачет) --&>考試（экзамен). 期中測評類似於隨堂測驗，一般一學期2次，只有過了才能參加習題測試，沒過可以找老師要題目回家補好。 習題測試就是抽題目，習題涵蓋這一學期所有做過的題目，做出來就過了。 理論考試最難，上面那裡面四十多到題目，裡面隨便抽兩個。要求寫出來所有在這一節老師講的內容，包括所有定理，定義，飲理，然後老師基於這些定理給你補一個補充習題，一般不會太難，目的是測試你確實會了，不是作弊抄來的，當著老師面是不可能作弊的，這個補充題你不會一樣過不了考試。 但是可以換一次理論題目，換完之後就要減1分，比如你本來答得好能拿五分的但是由於換題了所以只能四分。 當你寫完所有證明和定義，給老師講你寫了什麼，老師依據內容完整度給分。三分及格，五分滿分。
現在已經差不多要教完第二輪數分了, 可以跟大家聊聊現在的狀況.
首先需要正確的跟大家解釋一下具體的情況
微積分有ABC三個等級. A面向數學, 物理專業, 講卓里奇. B, C面向大部分非數學物理專業(但是自己想挑戰難度的可以選A班), 講華東師大的破書.
線性代數所有難度都講柯斯特利金(當然只是線性代數的部分, 第三冊是給數學專業講抽象代數用的), 只是面向非數的不講仿射空間和射影空間. 也就是說, 要講Jordan標準型, 對偶空間, 辛空間這些東西.
所以首先題目的話是有問題的, 對大部分非數學學生, 數分沒那麼難過(自己選A班的這就沒辦法了). 而對物理專業, 我覺得學下卓里奇也沒啥吧, 況且物理班的課是我老闆講, 他向來注重數學和物理的聯繫, 而且重理論的實踐. 比如上一輪第三學期講了調和振子和Hermite多項式, 然後還講過zeta(-1)=-1/12這種跟重整化有關的東西(他明確提到了物理上的用處). 也補充了樓上一些人講到的卓里奇的缺失, 比如用微分形式講一些最簡單的單復變, 也講了基本的常微分方程(比如存在性, 常係數方程的半群性質). 而且練習上, 除了卓里奇的題也布置林源渠的題, 基本的練習起碼是到位的, 不會出現只知道抽象的微分形式但是連曲面積分不會算的情況(沒學會是另一碼事, 就圍觀同學改試卷的情況看大部分人還是會了的).
我覺得比較坑的是線性代數啊. 雖然大部分大學非數學專業都只講同濟難度, 但就清北的話也沒見過拿對偶空間辛空間這些東西嚇唬同學的啊, 我覺得講講Jordan標準型就好啦, 這個東西還是蠻有用的. 前段時間有同學問我辛變換的行列式等於1有什麼簡單的證法, 我問他問這個幹啥, 他說他覺得考試可能會考, 習題課給同學們講一下...我說你們tm都要考這種東西了么, 這種東西放數學專業能當普通大學的考研題了吧. 但是本著幫忙的角度我問了下, 講了外代數. 額, 那這樣子確實有很簡單的辦法做. 可是給非數學專業講這些玩意是想幹啥...
就當局者來講, 這些個問題實際上體現了一個問題就是中科院數學所自己的結構問題. 如果苛責的說也許這是席老師個人意志的體現.因為這邊做代數的人太多了, 所以大家向來重視代數教學, 把代數教學提高到一個很放大的角度. 以致於有時候數學專業的教學也有這種趨勢.
就我的觀察, 國科大數學專業高年級課也很蛋疼, 除了數學系的最低要求外, 沒有給本科生開什麼更好的課, 尤其是幾何課, 可以說沒有開課(除了我老闆兩年一次的流形選修). 取而代之的是大三的研討班模式, 每學期每人一個研討班, 涉及的方向倒是蠻多. 但是每個研討班最多十個人. 這樣的結果就是, 大部分人在不知道的自己到底喜歡啥的情況下, 只能選有空位的. 而聽了又覺得不喜歡, 最後導致一學期過去跟本沒學到什麼. 我因為特殊原因跟了一學期我老闆開的研討班, 我發現結果是每個研討班的受益者除了本來對這個方向感興趣的同學幾乎就沒有人了, 這進一步降低了這些研討班的教學效率. 而且由於本身代數和數論方面的實力強大導致國科大的學生更傾向於以後做代數. 就目前這屆大三除了我知道的 @森林 被老闆和我逼著看了很多幾何, 然後自己也想做幾何外, 就沒人想做幾何了. 分析更是完全沒聽說有. 相比之下, 有好幾個人對數論產生了巨大的熱情(這是田野老師的功勞). 還值得提到的一點是, 實際上開的應用數學的課太少了, 研討班更是可以說沒有. 這對有意從事應用方面的學生打擊太大. 以致於數學院其它所的老師強烈抗議, 在大四加了兩門應用數學選修課.
你說這個不好么, 也不能說不好, 但是我覺得現在這樣極大的限制了學生的發展空間.
總體的情況大概是如此.
為了刷簡歷下學期要去當助教了, 希望不要被同學們罵水比研究生.
(你問我怎麼讓一個碩士生講習題課了, 不是說好的研究員么? 你吃過速食麵么, 圖片僅供參考..)
不是很同意。沒有必要。
按照虎撲的標準，亮了就多說幾句：
現在科研對數學功底的要求的確是越來越高，但是這裡說到的「數學功底」和數學系的數學基礎並不能一概而論。我並不是說卓里奇好或者不好，因為說實話我自己並沒有看過卓里奇和代數學引論。
但是這兩套書是為數學系準備的教材，我不確定對於非數學系的人而言，其中的內容是否適用，這個有待探討。也許我是錯的。
而且就增強數學訓練這一點而言，不一定只有提高基礎課難度一條路。增設中等課程和為非數學系學生準備的研究生難度的課程，以至於為交叉學科設計數學課程，在我看來都是更好的解決辦法。
當然，這需要更多的精力，換成我的話，已經習慣現有體系的課程之後，也不願意另外為了不同的要求去開發不同的課程。私心揣測（沒有證據），一向以科研而不是教學為主要導向的中科院，大概各位研究員們也不願意這麼干吧，畢竟費力不討好。這種行為相當於把導師應該承擔的責任從研究生和高年級本科生階段轉移到本科生早期階段，總覺得有點不負責任。
此外，對國科大沒有不敬的意思，但是我不覺得國科大的學生水平高過北清復，卓里奇的書剛出來的時候我正是大一大二的時候，無論是北大數院還是清華基科班，普遍的反應是卓里奇還是比較難的。而且有傳言說翻譯得也不算很好。代數學引論出來得比較晚，據說翻譯得更差。如果老師和助教不是特別認真負責，我覺得很難用這兩本書教好學生。
對數學專業或者有志於學好偏向數學系方向的同學而言，以上內容基本上是廢話。肯下工夫的話，書是一定能讀好的。
補充：下面 @那美克化石寫的答案不知道為什麼那麼多人表示反對，其實他說的蠻有道理的。
剛剛問了系裡做postdoc的俄國姑娘，她表示她們那時候是做卓里奇+菲赫金戈爾茨+柯斯特利金+吉米多維奇的。我們在一點上達成了共識：這些書即使對數學系的學生而言都很難，非數學專業的在並不投入很多精力的情況下很難學好。
為什麼被踩到這麼底下了……
國科大這樣做對培養未來的理工科人才嚴密的思維素質和紮實的數學功底和學習能力當然是有好處的, 我也不懷疑將來國科大會出現和很多優秀的科學工作者。
但是國科大恐怕沒法實現自己給中科院輸送人才的建校目標。國科大自己培養的人，恐怕很少會願意留在科研這條路上，到頭來發現自己辛辛苦苦讀書，讀這麼難的數學，掙得錢還不夠別的學校別的行業的同齡人多。晚上和周末別人和白富美談笑風生，自己只能屌絲一樣地在辦公室里搬磚。我覺得鼓勵學生做科研是好事，但坑蒙拐騙不了解科研的學生走科研這條路就是很壞的。
長期強調理工科功底紮實的學校培養的學生走出學校後都會有對學校逆反心理，感覺自己是被學校坑了，就是這個道理。
謝邀。
國科大是所很特殊的學校，最近才開始建校招生，好像一屆招生也才300多人。相比之下我旦數院一個院就有130-170人（人數多少取決於年份），所以國科大全校按數學專業標準上數學課，也不算太讓人吃驚的事情。
而且國科大據說轉專業也是隨便轉，所以數學專業和非數學專業的界限大概也不是很清晰。
當然用卓里奇還是超過了我旦數分課的難度的。不過國科大定位也是培養科研人才，那麼用難一點的教材，打好基本功，也是自然而然的。
其實我對建這學校的目的還是有點好奇。據說他是為了給中科院輸送優質研究生生源。然而在這個資訊如此發達、出國如此便利的年代，我很懷疑國科大能出國讀PhD的本科生有幾個願意留在中科院。那麼大概是希望這些人學成以後能回歸中科院做研究增強中科院的科研實力？然而一個科學家的培養周期怎麼也得十幾年，中科院系統真這麼有耐心慢慢等人才迴流么。。國科大本科生。
大一上完之後，我校大部分同學轉到了數學/物理系.......
這說明了以下幾點：
1.題主你要是真的好好學了卓里奇，你就會發現數學真的太好玩了哈哈哈哈哈哈哈哈哈
2.室友生物轉物理，理由：卧槽，生物太不嚴謹了，這都是些什麼啊，竟然不能推出來
本人物理轉數學，理由和室友差不多
3.國科大老師水平真心高，完全能駕馭這兩本書
4.國科大想培養科研人才，至少現在看來，是相當成功的
雖然沒讀過卓里奇的書，但是就現在數學界，生物界這種找教職的難度而言。本科學什麼已經不是很重要了，因為很多人遲早都是要轉行的。至於去做什麼那就不清楚了。用難的教材也有好處，讓很多人一開始就覺得數學很難懂，久而久之就放棄了，轉行去做其他事情。剩下來的一批人學得懂這些東西，才有繼續走數學這條路的必要。即使學得懂卓里奇，距離搞科研還是有很長一段路的。
讓學生去讀很難的書可能是科研的必經之路，不過我還是覺得讀本科的時候讓學生經歷一下什麼叫做真正的科研還是非常有必要的。去讀一篇論文，去寫一篇論文，去做一個小課題。而不是那種隨隨便便讀本書，搞一下討論班，總結總結就是一篇論文那種形式，需要的是去做一個未知問題的那個探索過程。這個探索的過程，面對未知領域的能力，恰恰是科研人士需要具備的心理素質。無論學了多少的知識，一個科研課題很可能就會摧毀這個人長期建立的對學術的信心。
除了科研之外，想走好科研這條路也非常不容易，需要天時地利人和，並不是一個人蠻幹就做得好的。既然是科研，那就需要有科研的圈子，這個圈子好比一個又一個的俱樂部，想加入這個俱樂部，那就需要有領路人。這個時候，導師就充當了領路人的角色。一個博士生找教職的時候，光靠自己是沒有多少用的（當然能自己發Annals of Mathematics的人不在考慮範圍內）。博士生的第一份工作，基本是都是需要導師推薦的。學生做的好不好有的時候不好評價，最重要的是有大牛站出來說該學生做得好，這個時候就需要學生到處宣傳自己，不管是靠自己的能力還是導師的力量。由於學生和導師關係不好，就算學生能力突出，導致毀掉學生學術之路的例子比比皆是。不光是導師設置重重關卡阻礙學生畢業，有的導師甚至會拒絕給博士生寫推薦信。這類例子參見張益唐（當然他後來靠自己成功了），黃渝等。
自己也算讀過PHD，也做過科研，分享一篇文章給要讀PHD的人，希望有所幫助。科研這條路
黃渝的故事：懷念黃渝另外再轉一篇文章：教學論文
個人覺得不是學的多了，而是還不太夠。
（喂喂調侃的語氣看不出來嗎。。。本回復帶有強烈個人色彩，讀者請見仁見智！讀者讀後感到的任何不適本人概不負責。但是對於有志於深入學習的同學，此話並非虛言）
本人十分喜歡另一套蘇聯的高等數學：
斯米爾諾夫《高等數學教程》，五卷11冊，包括了大部分物理系需要的數學。這才是足夠量的。目前也常常參考。
（對於有志深造的同學這套書還是推薦的，但是翻譯得不太好就是了。一般學校的圖書館裡都會有的吧！去圖書館一般比自己在電腦上看能專註一些。）
另外推薦一套Reed Simon的《現代數學物理方法》四卷，寫得十分透徹。
（本人做的方向跟散射相關所以讀了這套書里一些內容，略有了解。）
以下為個人對非數學專業的數學教學的一點淺見：
1.課時變少，有的知識已經不需要掌握太熟練，可以降低要求，給其他有用的知識留出時間。例如定積分、矩陣本徵值、矩陣求逆、行列式求值等可以用Mathematica求，不如抽出時間給約當標準型、主值積分、複變函數的應用--漸進分析等。給學生以概念，有需要的學生自己就去學了。
2.不是所有的學生都需要深入學習，這個問題分主觀不想學和客觀不需要學那麼多兩種情況。
3.互聯網發達，可以把課堂上來不及講授的細碎內容放到網上。
佛一母音說妙法，眾生隨類得理解。個人淺見，隨緣，不強求。
按照他們培養科研人員的目標來說，這種教學方法在長期來看應該是最合理的吧。
我之前在網上了解到一些國科大的信息，結合之前的一些閱讀印象，得出一個粗淺的結論——國科大是瞄著蘇俄的數理教育體制辦學的，基本上就是要建一個莫斯科國立大學的中國版。不得不說這個路子曾經是效率最高、效果最好的培養方式，但缺點就和蘇聯本身的問題一樣——反人性……
我曾經寫過兩個相關的回答，但限於沒有相關經歷，故非常希望有業內人士能夠指點一二：
如何看待國科大的本科教育模式？ - 張樂陶的回答
蘇聯教育體制是怎樣的？ - 張樂陶的回答
作為非數學系的學生，我基本學完了卓里奇和柯斯特利金，個人認為這兩部教材確實很深刻，很豐富，很有用，但是實際使用效果並不好。
比如我選到的數學分析課，授課教師是數學所的大牛，上課基本跟教材一致，但是布置作業、考試出題依據北大的數學分析習題集，或者吉米多維奇，和卓里奇書的難度、範圍都差距不小，如果按照原書習題來，那麼很多問題直接就是證明某某定理，一節的作業用一整天時間做，對於大一大二學生來說也不現實。所以卓里奇從實數公理系統、歐式空間出發的全套證明在習題中基本上都遇不到；老師花費最多精力講，學生聽起來最難懂的定理、例題，在課下沒有機會練習。其他班級基本上也存在這樣的情況。既然如此，又為什麼要選卓里奇作教材呢？選一本更詳細的教材不好嗎？
卓里奇和柯斯特利金可能都比較適合要學純數學的人，它確實可以給人提供很高級的認識，但是應用性的東西太少，積分法、拉格朗日定理和泰勒公式幾頁就說完了，高斯積分就在一個例題裡面才提到，雖然不知道將來它們還有沒有用，但至少我學物理課的時候是感到數學知識不夠的。另外數學分析240學時，代數學引論160學時，佔用的時間太多，兩門課從大一學到大二，專業基礎課大一一年都沒上過，概率論這樣的課不知道要什麼時候才能開了。另外選修數學課很受限制，想在數學分析基礎上學複分析泛函分析微分幾何還學不了。我十分懷疑，單單兩部數學分析和代數學引論的數學知識，在外專業的科研中能否起到想要的作用。
另外柯斯特利金還好一些，卓里奇實在不適合自學...如果選錯老師，習題課再碰上某些助教，那這一年就好玩了。二十一世紀又會是生物的世紀了。
國科大本科生的定位就是面向科研，而且帶有為中科院培養研究生的性質，就會要求自己的學生數學基礎打得足夠紮實，包括非數學專業。國科大能夠接觸的學術資源高於其他高校，而其他方面相對不會那麼重視，所以報考國科大之前要想清楚，一旦進來就要做好高強度學習的準備。
能夠被國科大錄取的學生，我相信只要足夠努力，而且能靜下心，學好這兩本書應該問題不大。對大部分學生來說，學卓里奇的天分應該是足夠的，只是肯不肯花這麼多精力在數學上的問題，而對於志在科研的人來說，這種程度的苦是一定要吃的。科研之路是不斷篩選的過程，某種程度上說，中科院是國家隊，而國科大的學生是國家預備隊，你們享受了國手的光環，國家對你們寄予厚望，希望你們未來能夠在國際賽場上披荊斬棘，那麼平時的訓練強度就不能和普通體校一樣。
PS：附上文爺爺關於學習卓里奇的建議——
與國科大的同學們共勉之
嘗試從物理系的角度來打一下這個問題吧。
卓里奇和柯斯特利金的書我都買了，但囿於時間關係，只是簡單翻看了下目錄並看了其中幾節的內容，大部分的內容沒怎麼看。所以主要還是談一下物理系的數學要求這塊兒。
對物理系絕大多數專業來說，除了本科的那些數學課程之外，至少還需要掌握一些張量和群論的知識。張量還好辦一些，但是群論......那就是一個無底洞啊。比方說，既然要學群論，那學一點群代數就是理所當然的對吧？同樣的，既然要學群論，李群怎麼能繞過去呢？ 可是要學李群，你就需要懂一點微分流形和拓撲學的知識。直到這個時候，我才意識到國科大為什麼要用卓里奇的教材：人家第二卷中就包含了流形和拓撲學的一些基本知識點。雖然不多，但已經足夠用了。
當然你可以選擇一些只講矩陣李群的教材，但微分流形這個東西在廣義相對論中也是必要的，如果要學廣相，這東西還是繞不開。
強化代數學方面的知識更是必要的，別的不說，光《量子力學》這一門課要用到多少代數方面的知識？對偶空間、自伴運算元、本徵值、本徵矢.....等等等等。除此之外，狄拉克方程運用了了克利福德代數的知識，而費米子的路徑積分量子化則運用了格拉斯曼代數的知識..........
不過，對國科大的做法，我持保留態度。物理和力學等專業也許對數學有著更高的要求，但是別的專業呢？對那些數學要求較低的專業來說，卓里奇和柯斯特利金書中的內容恐怕很多都本用不到吧？就算為了他們轉專業方便，至少也應該開設一個普通一點的數學課程允許一部分學生選修才對。
作為數學系渣渣來回答下....數分基本是看完了上冊的內容，下冊大概瀏覽了下部分章節，都沒做題。思想上來說，這套書是比較深的，極限的定義都是從拓撲角度來寫的，而下冊更是直接接觸流形等概念。而代數學引論也把線性空間放在很重要的位置。沒有感覺到這套書把技巧玩的很厲害，所以我讀起來比較愉快.....可能從理論學習的角度，能從一開始就接觸比較近代的數學，從而學一些後續的課程時就不用太擔心數學的問題。想起以前我問化學系同學一個量子力學Dirac形式的問題時就沒有然後了...
因為丁校長說了，我們國科大的培養目標是，「對標牛（頓）愛（因斯坦）。」
挺好的，真的，我非常羨慕他們。
我畢業於某個老牌工科院校的應用物理系，我不知道是否其它學校的應用物理系是什麼情況，反正我們系裡開設的課程，尤其是那些數理方面的、難度較大的課程，課時大幅度縮水。這導致了一個嚴重的後果：我的數學基礎並不好，除了微積分以外，包括線代、概率論與數理統計、複變函數以及數理方程這些課程我學得非常不紮實，很多時候要用到這些書上的內容時我都不得不去翻書，嚴重影響了學習效率不說，還讓我對推公式有一種恐懼感。
而且，數學類的課程，如果不看書只靠自學，那是非常困難的。現在就為學生做好準備，幫他們打下堅實的數學基礎，是最好的選擇。反過來，如果學生們在校期間一些重要的數學知識沒有講，那麼等到他們畢業了、參加實際工作後，他們可能會遇上某些難題，這時他們才發現：很多需要學的東西沒學，這就已經晚了嗎。離開了學校離開了同學，這時候只能靠自學了，周邊沒有同學就沒有那個學習氛圍，也沒有老師指導和答疑，效率肯定要低不少。
我之前還很好奇，國科大開設的微積分長達三個學期累計二百四十課時，這麼長的課時到底使用什麼教材？原來是卓里奇的分析學啊。我還以為他們會用菲赫金哥爾茨的那本呢....
當然，我也要對他們表示一下同情。國科大的線性代數長達兩個學期累計一百六十課時，線性代數能講上一百六十課時我可是聞所未聞..........金泰年才知道他們使用的竟然是《代數學引論》。翻了一下目錄後我發現這本書第一卷已經涵蓋了大量《抽象代數》的內容，在我過去的經歷中，《抽象代數》以及《群論》對我來說是一個噩夢般的存在，自學《抽象代數》真的是.......苦不堪言。沒想到學校領導竟然做出這樣的決定...............他們才大一啊，他們才剛邁入大學啊，這個難度，真的有點太大了。
不過，如果讓我當校領導的話，我做得肯定還會更嚴格一些，國科大的生源是一流的，國科大還有著第一流的老師，我相信那些本科生的水平一定遠超我這種學渣，他們可以克服這些困難。說不定我還會給國科大再添加一門課：長達一個學年的《概率論與隨機過程》，用的教材就是帕普利斯的那本《概率、隨機變數與隨機過程》，最近挺迷這本書的，心中總是想如果我當初用的就是這本教材該多好啊........
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美國求學執教的見聞和感受（上）-changshou
我在兩年前看過的文章，從文章中我真切地感受到了中美在高等教育上的差距。
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忍不住還想多說兩句，主要是想具體談談物理系的學生到底是多麼需要數學。
我學物理學到現在為止最大的感覺就是：數學不夠用，基本上從大一上課開始物理類課程就一直在和數學類課程賽跑，而且一直是物理類課程領先，就從來不會出現數學類課程知識有盈餘的情況。
物理系的教材普遍的特點是有數學附錄，比較偏理論的課程尤其如此，從大一的普物到研一的高量、量子場論與粒子物理，都有這個特點。下面簡單列一下這些數學附錄都講了什麼：
普物：我們普物用的是趙凱華的教材，每一本後都有較大篇幅的數學附錄，這些數學附錄的主要內容是微積分和線性代數，因為普物是大一開始的嗎，和微積分、線性代數是同時學的，可能有些數學知識學普物的時候還沒講到，所以只能以附錄的形式列在書後。不過附錄中有一個非常重要的積分：高斯積分，這個積分高數課程上根本就沒有介紹，我是從數學附錄中學會的。
當普物課程完結時，高數、線性代數、概率論與數理統計也都完結了，按說應該可以鬆一口氣了吧？沒有，因為普物完結後立刻又進入四大力學的時代。
四大力學書中附錄加得最猛的是量子力學與電動力學，量子力學的數學附錄以特殊函數為主：勒讓德方程與勒讓德多項式、球諧函數、厄米多項式、合流超幾何方程等，這些內容中的一部分可以在數理方法中學到，當若想全部都學會，恐怕最好的方式是去翻《特殊函數》。
電動力學的數學附錄就純粹的多，它的所有數學附錄都圍繞著一件事展開：矢量分析。其實我覺得矢量分析的內容完全可以放到高數中，這樣學電動力學時就沒必要單獨學了。
理論力學倒不需要什麼數學附錄，但也分情況，戈德斯坦的《經典力學》里就直接加入了關於群論的附錄，通過引入群論來介紹各種概念。
四大力學這關過了之後就是場論、粒子物理與高量了。喀興林的高量書中沒有數學附錄，因為人家直接拿出第一章介紹各種數學基礎了.......這裡面最關鍵的是希爾伯特空間，它是非常重要的概念。此外，書中的第四、第五兩章介紹的是量子力學中的對稱性與角動量，需要用到群論的知識。可憐我那時還沒學群論，學得是一塌糊塗...
粒子物理中的數學附錄的主要內容如下：D函數、CG係數、群論....
量子場論中的數學準備呢？場論里的習慣是第一章先介紹協變和逆變張量，再介紹洛侖茲變換和洛侖茲群，有時連龐加萊群都講了。可憐的我連搞清楚逆變和協變張量都做不到，更遑論洛侖茲變換群了，只能退課。
我什麼時候把逆變張量和協變張量搞懂的？是在學了張量分析以後。自學了群論之後才搞懂洛侖茲變換群，但這還沒完，場論中在計算重整化時有兩個非常重要的函數：Γ函數與B函數，也叫第二類歐拉積分和第一類歐拉積分，數理方法中會介紹Γ函數，但這是我第一次在教材中正式看到B函數，之前只是在自學特殊函數時見過它。有的學校在高數教材中就介紹了這兩個函數，但很遺憾的是我們學校不是.....
場論就像是個數學無底洞，你有多少數學知識似乎都不夠用，當講到規範場論時，教材中就會用一些拓撲學的術語，看得我稀里糊塗的...好在這部分內容不很多。所以我規範場論勉強能學懂，但如果想真正學明白的話，我估計得去學一點拓撲學才行。
基本上，我的經歷就是：物理學中用的哪些數學知識才會去學習那塊兒的知識，然後就被這些坑爹的數學課程虐哭了....尤其是群論，那簡直就是噩夢啊。國科大能在大一就開始接觸群論的知識，這對以後的學習幫助其實挺大的。當然如果能開一門課專門講述特殊函數與偏微分方程就更好了...
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