線性微分方程與非線性微分方程的區別是什麼？

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線性與非線性微分方程的區別，以及齊次與非齊次微分方程的區別是什麼？

剛開始學習線性微分方程的時候，我心中有兩個疑問：

線性微分方程為什麼有「線性」這兩個字？
為什麼線性微分方程的通解裡面有 $e^ x$ ？

這篇文章就來回答這兩個問題。讓我們從什麼是線性變換開始。

1 線性變換

先直觀感受一下什麼是線性變換。

1.1 線性變換的幾何意義

直觀來說，線性變換就是把直線上的點（向量），變換到另外一根直線上去。關於這個問題更具體的解釋，請參看文章如何理解相似矩陣的前半部分。

比如下圖，把虛線上的點，變換到實線上去：

或者把整個二維平面上的直線換個位置（下面是一個鏡面翻轉，為了方便觀察，標出一個 $vec{x_{}}$ ，虛線表示翻轉的對稱軸）：

1.2 微分運算元

我們來看一個不一樣的向量，對於多項式函數：

$f(x)=1+2x+3x^2$

我們以 $vec{i_{}}=1,vec{j_{}}=x,vec{k_{}}=x^2$ 為基（關於多項式的基，可以參看《線性代數應該這樣學》這樣的高等代數教材），可以把它寫作向量：

$f(x)=1+2x+3x^2implies vec{f_{}}=egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}$

畫出來圖來就是：

我們定義 $D$ 為微分運算元：

$D=frac{d}{dx}$

那麼有：

$D(f(x))=frac{df(x)}{dx}=2+6x$

還可以把 $D$ 寫成一個矩陣（對於更高次的多項式， $D$ 的矩陣是類似的）：

$D=egin{pmatrix} 0 1 0 \ 0 0 2 end{pmatrix}$

然後通過矩陣來完成求導操作：

$Dvec{f_{}}=egin{pmatrix} 0 1 0 \ 0 0 2 end{pmatrix}egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}=egin{pmatrix} 2 \ 6 end{pmatrix}implies D(f(x))=2+6x$

從圖像上看，就是把通過 $D$ 矩陣把 $vec{f_{}}=egin{pmatrix} 1 \ 2 \ 3 end{pmatrix}$ 投影到 $1-x$ 平面：

這樣看來，微分運算元 $D$ 也是一個線性變換。

1.3 代數定義

在數學中，只要符合下面兩個性質的就是線性變換（ $T$ 代表變換)：

可加性： $T(vec{x_{}}+vec{y_{}})=T(vec{x_{}})+T(vec{y_{}})$
齊次性： $T(avec{x_{}})=aT(vec{x_{}})$

上一節中，通過幾何展示的線性變換都符合上述兩個性質。

比如，我們有兩個多項式函數：

$f(x)=1+2x+3x^2qquad g(x)=2+3x+4x^2$

那麼容易驗證， $D$ 是一個線性變換：

可加性： $D(f(x)+g(x))=D(f(x))+D(g(x))=5+14x$
齊次性： $D(af(x))=aD(f(x))=a(2+6x)$

進一步的， $D$ 的多項式組合：

$mathcal{L}=a_0+a_1D+a_2D^2+cdots +a_ nD^ n,a_0,a_1,cdots ,a_ nin mathbb {C}$

也是線性變換，這一點可以自行去驗證。

2 線性微分方程

既然 $D$ 的多項式組合 $mathcal{L}$ 是線性變換，那麼線性微分方程為什麼是「線性」的，答案呼之欲出。

2.1 線性微分方程的定義

定義下式為常係數（因為 $a_0,a_1,cdots ,a_ n$ 是常數）線性微分方程：

$mathcal L(y)=f(x)$

如果， $f(x)=0$ ，則為常係數齊次線性微分方程：

$mathcal L(y)=0$

如果， $f(x) e 0$ ，則為常係數非齊次線性微分方程：

$mathcal L(y)=f(x),f(x) e 0$

如果 $a_0,a_1,cdots ,a_ n$ 是 $x$ 的函數，那麼就是變係數線性微分方程。本文不討論這種情況。

解釋一下：

$mathcal{L}(y)=0$

可以類比於齊次線性方程：

$Avec{x_{}}=0$

所以我們稱 $mathcal{L}(y)=0$ 為齊次線性微分方程。

不光是可以這麼類比，實際上解法都是一樣的。我們先來看看齊次線性方程是怎麼解的。

2.2 齊次線性方程的解法

對於齊次線性方程：

$Avec{x_{}}=0$

我們怎麼解？

我們知道， $A$ 的特徵值和特徵向量滿足下面這個等式：

$Avec{x_{}}=lambda vec{x_{}},vec{x} e 0$

那麼特徵值 $lambda =0$ 對應的特徵向量 $vec{x_{}}$ 必定是 $A$ 的解。

2.3 $mathcal{L}$ 的特徵值、特徵向量

那麼 $mathcal{L}$ 的特徵值和特徵向量是多少？

根據特徵值和特徵向量的定義，對於 $mathcal{L}=D$ 有：

$mathcal{L}(e^{nx})=D(e^{nx})=ne^{nx}$

所以，其特徵值為 $lambda =n$ ，特徵向量為 $e^{nx}$ 。

啊哈， $e^{nx}$ 出現了，為什麼線性微分方程的通解裡面有 $e^{nx}$ ，是因為 $e^{nx}$ 是 $D$ 的特徵向量啊。

同理，對於 $mathcal{L}=D^2-2D-8$ 有：

$(D^2-2D-8)(e^{nx})=(n^2-2n-8)e^{nx}$

所以，其特徵值為 $lambda =n^2-2n-8$ ，特徵向量為 $e^{nx}$ 。

2.4 解常係數齊次線性微分方程

萬事具備，我們開始解方程吧。

對於：

$D(y)=0$

實在太簡單了， $y=C,Cin mathbb {C}$ 。

對於：

$y$

對於此 $mathcal{L}$ ，求它的0特徵值：

$lambda =n^2-2n-8=0implies n_1=4,n_2=-2$

對應的特徵向量為， $e^{4x},e^{-2x}$ ，這兩個特徵向量線性無關，因此得到解為：

$y=C_1e^{4x}+C_2e^{-2x}$

如果得到的特徵值相同，那麼就需要另外討論一下。

2.5 解常係數非齊次線性微分方程

對於非齊次線性微分方程：

$(D^2-2D-8)(y)=e^{2x}$

可以類比線性方程的解的結構：

先求出齊次方程的解，然後根據初始條件得到一個特解 $y^*$ ，得到：

$y=C_1e^{4x}+C_2e^{-2x}+y^*$

還有一種做法，因為：

$displaystyle (frac{1}{2}D-1)e^{2x}=0$

所以可以得到：

$displaystyle (frac{1}{2}D-1)underbrace{(D^2-2D-8)(y)}_{e^{2x}}=0$

得到一個新的齊次線性微分方程，然後根據剛才介紹的方法進行求解。不過這樣就需要求解三次方程，或許比特解法複雜一些，這裡只是展示一下理解了線性微分方程的含義之後，我們可以更靈活的處理。

3 總結

文章開頭的兩個問題，現在有了答案：

因為 $mathcal{L}$ 是線性的，所以線性微分方程是線性的
因為 $e^{nx}$ 是 $mathcal{L}$ 的特徵向量，所以通解裡面有 $e^{nx}$

簡單來說，就是y與y"或 $y^{n}$ 之間是一次函數關係，其它關係的都稱為非線性.
對於一階微分方程,形如:
y"+p(x)y+q(x)=0
的稱為"線性"
例如:
y"=sin(x)y是線性的
但y"=y^2不是線性的
注意兩點:
(1)y"前的係數不能含y,但可以含x,如:
y*y"=2 不是線性的
x*y"=2 是線性的
(2)y前的係數也不能含y,但可以含x,如:
y"=sin(x)y 是線性的
y"=sin(y)y 是非線性的
(3)整個方程中,只能出現y和y",不能出現sin(y),y^2,y^3等等,如:
y"=y 是線性的
y"=y^2 是非線性的

依照我粗淺的理解，線性的一個最重要的特徵，是疊加原理是否滿足。
也就是說，齊次方程的通解加起來還是不是齊次方程的通解，非齊次方程的解是不是一個齊次方程的解加一個非齊次方程的特解組成。
換言之，疊加原理稍微深一點的理解就是齊次方程的解構成的解空間是不是線性空間。
而線性空間的定義裡面就有線性性的性質和疊加原理是一致的。
下面是說給工科生的…
判斷問題是不是線性一定要用疊加原理！！！
判斷問題是不是線性一定要用疊加原理！！！
判斷問題是不是線性一定要用疊加原理！！！
上回給師弟解釋為什麼第一類邊界條件和第二類邊界條件都是線性的簡直了…
似乎工科生都容易犯一個毛病就是想當然。不是常係數就以為是非線性，然而並不是…
不過你能解的絕大多數問題都是線性的問題。所以複雜的問題你可以拆成子問題解決以後再重新疊加，而對於非線性問題就沒有那麼好了。

算一頁算不下去和算一行算不下去的區別

僅為考試這張圖片已經夠了

以此類推～

線性的問題最重要的是疊加原理，函數f,g 的線性組合(ax+bg )和方程的那堆運算元(求導，線性組合)是可以交換必須得。齊次解a和解b相加還是解(不考慮邊界條件的時候)。反正就是各種方便，找到特解和通解，所有解很快就有了。

非線性的問題最重要的是疊加原理不成立，基本上都得變換成線性問題來解，例如Euler 方程。

非線性的會有一些稀奇古怪的性質。比如分叉/多解，混沌，滯回線，湧現之類的，只能定性分析，定量地搞挺麻煩。

而且非線性還有很多種，有的是幾何的，有的是方程本質上的，有的是子模型上的，還有很多非線性問題是線性問題的特徵值問題演化來的。總之各種麻煩，建議退學。

本質區別是，所有解組成的集合是否是線性空間。

一旦是，所有線性代數的定理都可以一股腦丟上去。

首先這個問題你要搞清楚什麼線性，在數學思維里有一種不斷對比的意識，又要有整體的思想。