為何微積分具有如此的優越性？

12-27

題主在看數學分析時，突然想到：為什麼發明微積分之前眾多問題難以解決，發明微積分之後便迎刃而解？使微積分具有如此殺傷力的原因究竟是什麼？如果找到了這樣的原因，豈不是能按圖索驥，發明更多高效的數學工具或開創新的數學分支？為什麼我從沒看過這樣的文章？(或者我看書少？-_-)

微積分都是幾百年前的古典數學了。。「發明更多高效的數學工具或開創新的數學分支」這種事情一直在發生，在微積分之後仍然有海量的數學應用於實際，造福人類。

微積分要處理的幾個基本問題，無非是變力做功，求解不規則圖形的面積等問題。微積分的出現使人類對各種函數的認識更加深刻，比如微積分出現以前sin,cos都是跟幾何圖形聯繫在一起的，微積分出現以後人類找到了sin,cos的冪級數展開式，從而可以根據需要對sinx做出任意精度的估計。同樣的事情也發生在對圓周率的計算（也是級數展開式），對變分問題的處理等等。

說白了我覺得微積分就是一種運演算法則，一種對函數進行運算而不是對數進行運算的法則，這大概也是他英文為什麼叫calculus的原因？微積分的出現對人類的觀念顯然是一種革命，想像一下你第一次見到複數和複變函數的情景，第一次知道冪次的指數可以為無理數的情景就行了。然而微積分終究也只是一種運演算法則而已。人類早已熟練掌握了這種運演算法則的基本運作方式，所以才會在大一就給非數學專業學生開設微積分／高數課，因為他們有自信能教會這些學生23333～真要領略整個數學的「能量」（或者用題主所謂的「優越性」），把微積分發明以來三四百年的數學學一遍再說。20世紀的數學比20世紀之前的所有數學的總和還多，千萬不要以為微積分就是數學發展的巔峰了，還有更多更具震撼性的數學思想／數學方法在後頭呢。。

謝邀。
極限的思想在歐幾里得的《幾何原本》里就有了，叫做「窮竭法」，一般認為這是歐幾里得之前的偉大數學家歐多克索斯發明的。參見我的《古今數學思想》讀書筆記（11）。
窮竭法的理論基礎是《幾何原本》第10篇的第一個命題：「對於兩個不相等的量，若從較大量減去一個比它的一半還要大的量，再從所餘量減去大於其半的量，並繼續重複執行這一步驟，就能使所余的一個量小於原來那個較小的量。」現在看來，這個命題的實質就是極限定義中的ε—N語言，怪不得是精確的，洞察力令人嘆服。柯西和維爾斯特拉斯尋找極限定義時，也許就曾從中吸取智慧。
莫里斯·克萊因在《古今數學思想》里對窮竭法非常推崇：「這方法是嚴格的，它不含明確的極限步驟。它依賴於間接證法，這樣就避免了用極限。實際上歐幾里得在面積和體積方面的工作比牛頓和萊布尼茨在這方面的工作嚴密可靠，因後者試圖建立代數方法和數系並且想用極限概念。」劉徽和祖沖之也稱得上偉大的數學家了，他們的割圓術也用到了極限的思想，但基本還是一種直覺，嚴密性遠遠不如窮竭法。
《幾何原本》的第12、13篇研究面積和體積，主要方法就是窮竭法。究竟是怎麼用的呢？《幾何原本》第12篇的命題1是：「圓內接相似多邊形之比等於圓直徑平方之比。」很容易證明。命題2是關鍵：「圓與圓之比等於其直徑平方之比。」
歐幾里得證明的主要精神是，先證明圓可被內接正多邊形「窮竭」。從內接正方形開始，它的面積大於圓面積的一半。然後作內接正八邊形，可以證明其面積與圓面積的差別小於圓面積與正方形面積之差的一半。如此重複，內接2^(n+1)邊形的面積與圓面積之差總是小於圓面積與內接2^n邊形面積之差的一半，每一步都把內接多邊形與圓的面積差縮小一半以上。根據第十篇命題1，圓和某一邊數足夠多的正多邊形面積之差可以弄得比任何給定的量還要小。

現設S和S"是兩圓面積，d和dˊ是其直徑。歐幾里得要證S : S" = d^2 : d"^2。假設這等式不成立，而有S : S? = d^2 : d"^2，其中S?是大於或小於S"的某一面積。今設S? &< S"。我們在S"里作邊數愈來愈多的正多邊形，直到一個P"，使它和S"的面積差小於S" - S?。於是有S" &> P" &> S?。在S中作相似於P"的內接多邊形P。據命題1，有P : P" = d^2 : d"^2。但根據前設S : S? = d^2 : d"^2，所以P : P" = S : S?，或P : S = :P" : S?。但因P &< S，於是P" &< S?，這與S" &> P" &> S?矛盾。同樣可證S? &> S"也不能成立，因此S? = S"，證畢。

然後歐幾里得用窮竭法證明下面這些重要而難證的定理：
「命題5、底為三角形而高相等的稜錐之比等於其底之比。」
「命題10、任一[正]圓錐是與其同底等高圓柱的三分之一。」
「命題11、同高的圓錐[與圓錐]以及同高的圓柱[與圓柱]之比等於其底之比。」
「命題12、相似的圓錐之間以及圓柱之間的比，等於其底直徑的三次比[立方之比]。」
「命題18、球之比等於其直徑的三次比。」
後來阿基米德把窮竭法用得更加出神入化，解出了拋物線弓形的面積、螺線第一圈與初始線所圍的面積等困難的問題。參見我的《古今數學思想》讀書筆記（15）。這些更是中國古代數學家們想像不到的了，因為中國古代研究過的曲線基本只有圓，完全沒考慮過圓錐曲線、螺線。

但是窮竭法到阿基米德這裡就看出問題來了。求螺線下面積時，他選取的是越來越小的扇形，而不是用越來越多的直邊形來窮竭。可見窮竭法是一種非常需要技巧的方法，阿基米德的神奇之處就在於針對每個問題設計巧妙的窮竭途徑。那麼遇到更複雜的問題怎麼辦？
微積分的強大，就在於把這些令人絞盡腦汁的技巧抹平了。你一下子獲得了通用的辦法，因為你發現，真正重要的是窮竭的思想，而窮竭的途徑呢，隨便用什麼圖形都可以，結果都一樣。從此以後，天才的設計讓位於傻瓜的演算法，人們可以節約大量的腦力、時間來處理更深入的問題了。
這給我們的啟示是，如果你發現有一類問題可以解，但需要非常繁瑣的技巧，那麼很可能你已經觸及了這類問題的本質，但尚未明確地理解本質。一旦你把本質提煉出來，結果就是思維和工具的極大簡化。
正如希爾伯特所說：「數學中每一步真正的進展都與更有力的工具和更簡單的方法的發現密切聯繫著，這些工具和方法同時會有助於已有的理論並把陳舊的、複雜的東西拋到一邊。數學科學發展的這種特點是根深蒂固的。」

世界分成兩半，連續的和離散的，也就是說只有兩種最基本的結構：連續結構和離散結構。微積分是處理有連續結構背景的一大類科學問題迄今為止最為強大工具（沒有之一），因此在數學本身和物理、工程、經濟金融上大有作為。求斜率/加速度是求局部效應（作用在點上），求面積體積是求全局效應（作用在區間或區域上）。積分上限的函數是被積函數的原函數這條微積分基本定理（有的書認為是牛頓-萊布尼茨公式，兩者本質是一樣的），講的就是互逆。它打通任督二脈，使原本兩類孤立的問題成為像加減乘除冪對那樣基本的互逆運算。建立逆運算相當重要，不然方程建立起來沒法解，實際意義就不大。微積分還蘊含了「化曲為直」(線性逼近）的深刻思想。微積分基本定理建立了局部的導數與全局的積分之間的深刻聯繫，這種深刻聯繫根植於數與空間的本質——連續統和廣延性。通過引進極限這一刻畫無窮小的新工具，微積分的發明人為中國古人早有的化圓為方奠定了較為堅實的數學基礎。當然，這個基礎的最終牢固化還要靠後來19世紀數學家的努力。

微積分之所以這麼powerful，還跟e這個數有很大關係。我們知道，造汽車要有個平台，有了一個平台（platform），同一系列的車型就可以一撥撥造出來。數學也一樣，數學中也有平台。比如多項式、三角函數就是平台，e的冪也是個平台。有了平台上面可以玩很多花樣。能不能成為平台跟性質有很大關係，性質越豐富、越優良、越獨特奇異，就越有可能成為平台。e就滿足這一點。e主要出現在四個地方，1 一大類有周期（如相位）或迭代現象的地方，如Gamma函數（階乘的推廣）、複利、複數的表示、波動以及和三角函數有關的地方，往往和虛數單位i共現。周期現象和迭代現象相關，迭代算是周期性反饋。原因可能是e^x的各階導函數是它自身，它是唯一具有這種周期性和穩定性的函數，導致在一些特殊的地方，如零處它會變成1。0和1都是特殊的數。這樣式子就會變得簡單而有規律，而變簡單是做數學的不二法門。Everything should be made as simple as possible, but not simpler.–Albert Einstein （一切要做到最簡單，而不是簡單一點）另外著名的歐拉公式，即那個利用複數模和幅角對複數的兩種等價表示，左邊是e的複數冪，右邊是三角函數。而三角函數sin和cos其實是一回事，體現的是單位圓上的周期性。這個公式說的就是e的複數冪具有某種和sin,cos等價的周期性，是很多應用的理論背景。2 概率分布函數，原因鄙人不詳。3 求解微分方程的過程中會出現e。4 數論，常以ln出現。我們知道化學有機分子有所謂碳骨架，數學式子也有類似的骨架，類似化學反應，式子在變形整理的過程中骨架往往不會丟掉，e的冪往往就承擔著骨架的作用。

翻開絕大多數分析書和物理書（特別是理論物理）都能見到這個∫∮，可以說沒有這個符號，就難說是分析和物理書，為什麼積分這麼普遍呢？

分析中積分就我所知主要有五個用處：1 求面積、體積、轉動慣量等可以用乘法表示的廣延效應（時空是廣延的）。2 構造新的函數，如各種特殊函數和變換。它們有豐富複雜的性質，用處廣泛。3 求解微分方程。 4 積分方程。5 變分法。當然積分的用處不止於此。

關於微積分的深刻性和優越性，摘抄鄙人在另一個相關問題中的回答：

微積分這麼偉大這麼厲害，是因為它抓住了世界的本質。愛因斯坦說，宇宙最不可思議的事就是它是可以被理解的。可以理解是因為它是可以被分析的，分析的意思是可以分成小塊來研究。感謝造物主，它創造的世界是連續的，時間、空間、數（實數）都是連續的。為什麼非要是連續的，難道不能是離散的嗎？連續是說基本單元是無窮小，而無窮小是一個一個挨個黏連在一起的，而事物（函數、曲線、軌道等）的整體（宏觀）性態依賴於局部（微觀）層面窗口內無窮小packaging的密度或者說步速。也就是說局部對整體有貢獻。因此可以分而析之（析，析出，是提取信息的意思），而且這個窗口是可以在軸（維度）上移動的，空間的廣延性保證了這一點，這樣就溝通了局部和整體。而空間是連續而廣延的（廣延這個詞更直觀），這一般是默認的，無需證明，甚至也很難證明。因而這種分析是處處可以進行的（除了若干間斷點）。因為日常世界是連續的，所以保證了我們所處的世界是一個決定論的世界（deterministic），決定論是指有一雙看不見的手主宰這個世界，事物的變化、運動最終可以落實到若干條基本規律上。物理學告訴我們，要描述刻畫一個決定論或帶有決定論色彩的世界，你不得不用牛頓-萊布尼茨創立的微積分及其衍生物（如微分/積分方程）。如果世界是離散分立的，那基本單元之間就無法溝通接觸，因為不存在移動的窗口，所以局部的信息也就無法呈現到宏觀層面，那圖像（也叫繪景，the big picture）只能是概率性的。還好我們身處的世界不是個隨機的世界，不然還怎麼會有文明？決定論世界是說可以溯源的（回溯、上溯），就像一條大江，可以從上海溯源到重慶，你可以沿著軸一直溯源，比如曲線、曲面、軌道都是可以溯源的。而概率性的世界則做不到這點，你只能指出某個區間區域內它的頻度，無法溯源到上個時刻上個位置。這是兩者根本的差別。

除了微分與積分，人類至今還未發明類似的高級基礎性運算（在分析中有基礎性地位，類似建築業的水泥和混凝土）。從此，很多宏觀物理、工程問題、經濟金融問題，以及一部分生物、化學、管理規劃問題等都可用微積分、微分方程、積分方程等分析工具刻畫，而分析中的另一工具即無窮級數和微積分有著深刻的聯繫。甚至連與宏觀世界差異很大的微觀世界的運動也可以應用微積分工具（微觀世界有波動即連續性的一面）。幾何對象也是連續的，因此也可以應用微積分。隨機現象也可以用微積分工具刻畫。日常使用的函數大多數也是連續的，所以微積分用處就很大，本身也發展成一門門博大精深的學問，衍生出實分析、複分析、流形上的微積分、微分流形、運算元理論、泛函分析、變分法、微分方程、積分方程、特殊函數、級數論、位勢論、動力系統、幾何分析、凸分析、傅里葉分析、調和分析、非線性分析、小波分析、隨機分析、數值分析、漸近分析、矢量分析、張量分析、有限元分析等。微積分應用到其他對象或和其他學科分支交叉融合，又衍生出或促進了微分幾何、積分幾何、復幾何、微分拓撲、李群、微分動力系統、解析數論、概率論、數理統計、隨機過程、控制理論(control theory)/控制論（cybernetics）、遍歷理論（ergodic theory）、博弈論、最優化、數學物理、信號處理、圖像處理、數理經濟學、金融數學等。在以上44門科目或分支中，或多或少都可以見到微分和積分符號。汗，我把一半數學系的科目列出來了。純粹數學有分析、代數、幾何、數論、拓撲、組合/離散六大分支，微積分為基礎的分析能解決世界上一半的問題。每個分支都有自己一套處理問題的方法，但從基本的數學工具上說，只有代數的和分析的這兩個龐大無比的工具箱。打個比方，數學工具就像筷子和刀叉，用筷子夾黃豆和大排所用的力是不同的，肌肉的作用有所不同，所以這是兩種方法，但工具是一個。又譬如國畫和書法都是用毛筆，工具相同但方法不同。工具是最基本的。分析是數學王國皇帝的權杖，代數是皇后的皇冠。就我個人體會，分析講究技巧，代數講究「蠻力」。牛頓、萊布尼茨、伽羅華三位祖師爺無疑是改變世界的偉人。沒有這三位，人類科技文明必定要推遲相當長時間。1684年是科技史上開天闢地——「混沌初開，乾坤始奠」的一年，這一年萊布尼茨公開發表了第一篇微積分文獻，完整題名的英譯是"New method for maxima and minima, and for tangents, that is not hindered by fractional or irrational quantities, and a singular（奇異而非凡的） kind of calculus for the above mentioned."，微積分的英文名calculus即取自於此。距今整整333年。

正如《數學辭海》中所指出的，微積分的創立和發展對世界的影響「難以估量」（意思是無窮大？？，大概就是這個意思）。

我覺得矩陣更厲害。。。

微積分的優越性不是它本身而是它的思想——極限（這也是微積分殺傷力所在）。早在古希臘時期，Eudoxus就提出了窮竭法。這就是極限理論的先驅。而微積分的核心思想就是極限。而關於極限的理論有一大堆數學家科學家先於牛頓研究，比如阿基米德、開普勒、費馬還有牛頓的老師巴羅，所以牛頓站在巨人的肩膀上是沒錯的。在早期的時候微積分就是解決天文、力學、幾何中的計算問題，所以它英文名是Calculs，後來極限理論逐臻完善引出來一系列分析（無窮小分析、無窮大的分析極限過程）所以後來把微積分歸到分析學，如果沒有極限理論（也就是微積分的思想）的發展，那麼微積分也只能算是一種計算工具而已它的優越性並不是很大。是它的革命性的思想解決了很多著名難題，比如在此思想上開創了微分方程、無窮級數、變分學、實分析、複分析等等。特別是泛函分析使得分析學躍上新的高度：希爾伯特空間、巴拿赫空間等經常掛於物理學家數學家的口上（這不是bigger）。
我第一次接觸微積分時讓我感受到了它的強大，它就像一個數學工作者隨身必備的武器。每一次大難題解決的背後一般都會出現曾經沒有出現過的思想或是完善了過去的思想，正如 @Yuhang Liu 所說還有更多更具震撼性的數學思想/方法在後頭呢。學會歸納總結肯定可以有新的發現。

現代數學自微積分起——沃.茲基索德

…有沒有聽說過「牛頓創收」的故事？

…也不知道是真是假，附圖.

…微積分的優越性可能就體現在這吧…

因為當我的大腦面對微積分時，它一貫自擁的優越感蕩然無存……

因為微積分就是以直代曲，然後把彎曲的問題用線性方法強行解出。現代數學本質上也是這樣的。譬如各種各樣的變形理論，其中線性工具可以是同調代數，也可以是線性微分方程。

因為之前的很多運算都是建立在規則變化之上才能運用的。然而，很多時候我們遇到的問題是不規則，就像我們開汽車，汽車的速度不可能一直維持一個速度，會不規則的變化。而微積分正是擁有解決不規則變化的能力。因此微積分能解決很多之前未能解決的不規則問題。或者說能快速解決這些問題。

因為世界是間斷的。

只想說，它的優越建立在千千萬萬學子的眼淚之上。

占坑，本人非數學專業，數學也不好，但是大學裡剛接觸微積分那會兒，對數學數學裡蘊藏的優雅性深深折服。想用自己的大白話表述自己的見解，藉此和大家討論。

待續

私以為，有些實質涉及到極限的問題，如果不藉助微積分，往往會得出悖論。

比如高數書里有一個例子是：龜兔賽跑，龜先爬一段距離，兔勻速跑向龜此刻所在地，到達後，龜已經又向前爬了一段距離，然後兔以相同均勻的速度重複以上過程。這樣兔永遠追不上龜。這能忍？

解決這些問題，才能正確理解客觀世界，所以有人發明微積分也不足為奇。要按圖索驥的話，這個圖就是解決問題的衝動。

學微積分之前你肯定學過各種函數,三角函數或者二次函數,但是老師有沒有教你計算這種曲線所包圍的面積?以前學過的面積計算就是矩形,梯形,三角形,多邊形,圓,這些個很一般的圖形(圓是特殊圖形).這之後,你就會算了,是個函數都能算,是不是很厲害啊!!!
然並卵,這之後基本上不會再用到這些圖形的面積計算了,書到用時方恨少,可手拿屠龍刀卻無龍可屠也是有夠無奈啊...

在實數系理解和應用極限概念大大推進了數學的發展，個人覺得這是數學上劃時代的一步。

主要需要高中數學的時代已經過去了，以微積分為主要手段的數學成為了主流。不是微積分有優越性，而是大部分問題高中數學的知識無法解決，需要微積分手段。當然也有微積分處理不了的，有些需要泛函分析，一些工科專業現在也開泛函。那麼題主在50年後會不會問泛函分析有什麼優越性呢？

感覺這種問題好蛋疼。

你提出的這種方法只是你的認識水平下的正確方法，但是究竟要什麼認識水平下得出的結論才能解出現實中的難題呢？

你是想總結數學發展的方法概論吧，究竟要多少資料才足以支撐這種終極科學。人類的歷史畢竟還太短。至今數學危機也才有三次而已。

而且我個人是不希望有生之年看到什麼東西技術上凌駕於數學之上的。畢竟這些優美的算符承擔了太多人的信仰。

個人感覺矩陣比微積分更強大。
另，掛科比例貌似更高。