物理中對微積分的使用到底是什麼原理？

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本人愚笨，還望各位指點。。
事實上，本人一直對物理上對微積分的使用，有一種不大和諧的感覺，請各位幫我解解惑。

在學習高等數學中，本人的數學老師，想必很多高數老師都是說：求導，dy/dx是一個整體的記號，積分， $int_{a}^{b} dx$ ，也是一個整體性的記號。求導有嚴格的取極限定義，積分作為它的逆運算同時被定義完成。。本人當時愚笨的認為，求導和積分等價於一個運算元，一個映射，以至於其實怎麼寫這個算符是沒關係的。。

但到了物理中，本人就抓了瞎。。無數物理老師，完美的把這組算符拆解開，把dy理解為一個無窮小增量，dx也是一個無窮小的增量，這樣物理上理解確實是沒問題，但，這讓本人陷入了再也不明白 dx 到底是個什麼東西？？？它是一個無窮小量嗎？對於數學中微分dx的定義，應該沒有這層含義吧（這點請大牛指教。）

類似的事情在物理里演繹的很好，事實上，本人也學得不錯，F是力，dx是很小的位移，積分Fdx就是功，dQ是微小電荷源，積分EdQ就是電場力。。。我們把一個本來在數學裡整體性的符號，拆成不同部分，並且賦予相應的物理含義，這樣固然很好，但卻不能不讓像本人這樣一根筋又有點愚笨的人抓狂。。這其中有沒有什麼問題啊？？ dx到底是個什麼東西，它真的像物理說的是一個微元嗎？拆開書寫一個積分表達式的理論依據又是什麼呢？？？

請各位大神一定幫幫小弟，小弟不想到大四還是不明白這個最基本的問題。。謝謝了

P.s.看到的這麼多人關注，本人也是熱淚盈眶，感謝各位大牛的解惑。真的很感謝，事實上，本人核心的問題，在於是從數學上，可以很好很嚴格定義dx--》餘切空間單位矢，從物理上，可以很好理解dx--》微元。。。但本人當物理老師飄逸得把這種理解付出於各式各樣的物理積分時，卻從來沒有帶我們審視過背後，為什麼可以這麼做？ 。於是內心總有種不知所以然的迷茫，就很想知道為什麼可以如此嫁接一個微元的理解到嚴格的數學定義中去。 但各位的回答確實非常有啟發意義，非常感謝

物理學對現實世界的觀察和描述，都建立在分析(Divide and Conquer)基礎上，而分析就必須先確定最小抽象，也就是基本分析單元：標量、矢量、張量、乃至Clifford量，然後再考察這些分析單元經位移、旋轉、梯度、散度、扭結、塑性形變等變換後，發生的連續/非連續、線性/非線性、時變/非時變、可逆/非可逆等複雜變化，以及從個體到多體產生的新系統特徵。

描述物體質量、體積、密度、溫度、壓強等的標量，描述速度、做功、動量、角速度等的矢量，描述非均勻場和各種複雜變化的張量。。。。。。，一切物理量，歸根結底要表達成基本分析單元的數量關係，並用它們對現實對象的某些特徵作近似度量和數學抽象，以便建立純數學模型，應用數學抽象規則。

顯而易見，標量是對現實世界基本單元最粗線條的度量和抽象，用來分析伽利略時代的物理問題夠用，但如果要拿來描述星體運動規律，就必須用到更精確的抽象——矢量，而若涉及到空間形變等相對論問題，矢量也不夠用了，必須用到張量和相應的黎曼幾何，目前物理學主流還沒發展到以更精細完整的Clifford量為基本單元，用它重寫相對論和量子場論帶來的精度提升抵不過它本身複雜性的增加，但未來新理論必定不會止步於對現實世界僅僅以張量進行基本抽象，內涵更多維度的基本分析量必定會被發掘使用。

基本上，物理學對分析單元的選擇，是在滿足精度需要的前提下，選擇計算最簡便的方式，也就是內涵維度較低的基本分析單元。了解物理學的這個特點，就知道一個物理對象，是被看作標量質點，還是矢量力源，或張量場匯，抑或Clifford旋量結垛，取決於分析要達成的目標和計算簡潔度，建立數量模型是從物理近似出發，數學抽象規則是在數量模型建立以後，才發揮主要作用，模型建立時的物理分析，研究的是如何用基本分析單元及其數量關係逼近現實，而不是純粹數學抽象規則的應用。

而在數學中，微積分的微元本身雖然是從物理直觀抽象出來的，但沒有度量精度限制，屬於純粹理性概念，用極限加以嚴格定義後，只要滿足可微可積的條件，就能進行微積分運算，跟其起源時的物理直觀已經沒有半點聯繫，物理學數量模型建立後，在具體應用微積分運算規則時，微元對應的是標量微、矢量微、張量微、或Clifford微，乃至標/矢/張/CL函數微，都是可以的，就看所選的基本分析單元哪個用起來方便。

用此分析單元數量化描述分析對象時，描述函數是否滿足數學上的可微條件，決定是否可用微分方程形式表示分析對象，同時，數量描述本身又依賴於所用的測度，選擇的測度不同，聯繫基本分析單元和分析對象之間的數量關係就不同，微元(標/矢/張/CL/函數微)本身對應的現實意義也隨之不同，而且測度的選擇，也決定了微元表示的函數是否滿足數學上的可積條件。

勒貝格測度下，標量、矢量、張量、Clifford量，可與人類日常感知的時空概念一一對應，現實中的多數對象，也可用基本單元加以分析化後，在此測度下得到數學上比較簡潔的數量關係表達式，而且很多情況下這些數量關係是可微可積或者數值上近似可微可積的(能找到某種確定的線性映射關係)。

從微分形式的角度說，dx是個1形式，也就是餘切叢的截面。
從測度和積分的角度來說，可以把dx理解成標準的Lebesgue測度，把f(x)dx理解成密度為f的測度。

因為微分形式可以被積分，自然也就誘導了一個測度，所以在光滑的情形兩種描述沒什麼區別。

當然直觀上還是來自於無窮小量的直覺，數學上也有如上所述的嚴格的formalism。

我的點在於：數學上對dx這種東西有嚴格的定義，而不在於讓答主完全理解這個定義。至少答主以後用dx什麼的就更放心了，不是么？

另外有人推薦Arnold的經典力學的數學方法講微分形式的那一章，說是對非數學理工科背景的人有幫助。那我就順便也推薦一下。不過我自己大二的時候看From Calculus to Cohomology的時候就是從微分形式的直接數學定義出發的，理解上有些難度但並非不可逾越。Arnold的那種看起來很直觀很「物理」的語言，我反而不喜歡，太啰嗦。

我寫答案也不可能讓每個人都看懂。就算我用Arnold那一套比較物理的語言寫答案，文科生們應該也看不懂吧。而且我覺得微分形式也不是多難理解的事情。題主作為一個大四的本科生，我覺得他花點時間看看資料（比如我提到的From Calculus to Cohomology或者經典力學的數學方法）就知道得差不多了。反正我大二的時候以一個轉專業到數學的學生的知識水平看這本書照樣能看下去，沒必要說得那麼難。

再說句題外話：樓主學物理就不要太糾結數學的嚴格性，在我們學數學的看來學物理的思維都是比較飄逸發散的。在學比如量子場論的時候非要糾結重整化之類的在數學上到底是怎麼一回事那就完蛋了。這是數學家和物理學家們都沒有解決的問題呢。。

這個問題我之前也疑惑了很久。學過物理競賽的同學好像都沒有這種問題，至於我一開始就沒太學過這一類東西，最開始是不很能想明白的。

最後得出結論是：物理老師口中的數學就是形式的計算。求導是形式的計算，積分是形式的計算，變分是形式的計算，群表示什麼的全都是形式的計算。只要記住一些運算規則，然後看到什麼東西就往上面套就完了。（舉個例子，狄拉克的bra和ket，老實說既不方便書寫又有歧義，唯一的好處是讓人忽略結合性與分配性而加快計算）
可能說得太絕對了，不過據我的經驗，我所見過的學生老師們寫下來的大部分式子是不過腦子直接寫的，並不會思考諸如「這個式子能不能寫」「這麼寫是什麼意思」「這一步推過來可有什麼道理」等問題。
而且，大部分人的數學水平就停留在偏導數重積分和半吊子線性代數上了。（雖然，再更多的數學也沒什麼特別的用處）

還是說兩句正題。微分和積分確實是運算元。求導，我個人是反對dy/dx這種記號的（雖然每天計算用得飛起），因為常常讓人產生一種用dy除以dx的感覺。從定義上來可以說「兩個無窮小量之比為導數」之類的，不過有意義的應當為d/dx才是。要問dx或者dy是什麼，我們說是切映射，或者樓上一位所說餘切空間的向量。積分，同樣考慮為微分形式的積分。這種被稱為「微分形式」的東西以及對微分和導數的「深刻」理解，基礎的內容可以在卓里奇教授的《數學分析》中找到，亦可參見嘉當的《微分學》。更進一步的可以在微分幾何中了解到，但沒有本質的區別。

但話說回來，一個具體問題的計算，採用物理老師們教的辦法沒有問題，而且具有計算上的優勢。（舉個例子，我有數學系的同學不會算重積分）如果你堅持想一想這些看似不合法的運算有什麼道理，可以發現，是可以用已有的知識給一個解釋的。基本上大部分看似不合法的運算都可以向微分形式、換元法、鏈式法則上面靠，大部分不知所謂的「無窮小」都可以向切空間以及微分或切映射上面靠。想要嚴格，一定是可以的。

最後，以上大多是廢話，我的回答就下面一段。物理上的直觀是有用的，直觀的概念可以幫助計算，不清晰的概念往往是快速計算的要點。嚴格的數學概念致力於消除這些問題，雖然大部分物理學家並不願意接受。如果想要嚴格化，那麼大部分人會覺得你在干一些沒用的事，而且一定會越學越多。至於哪個好，不同的人有不同的見解。

謝邀

我來答一下我自己的理解

給個大家都知道的例子：

熵的增量可以表示成

$Delta S=frac{Delta Q}{T}$

結果你老師告訴你，把右邊的 $Delta Q$ 除到左邊去，就可以寫成

$frac{partial S}{partial Q}=frac{1}{T}$

這時你的內心是崩潰的，這是什麼驚奇的邏輯，符號都變了好么！物理狗的數學還有沒有王法了？

來來來，仔細看下到底發生了什麼事

這張圖就代表了第一個式子的含義， $Delta S$ 與 $Delta Q$ 呈正比，斜率是 $frac{1}{T}$ 。如果放在一個很大的背景下，這張圖是什麼樣子的呢？

可以看到實際上上圖是下面這個函數關係中很小的一部分。

所以大概知道為什麼 $frac{partial S}{partial Q} = frac{1}{T}$ 了么？

造成困惑的主要原因我認為是你可能認為 $Delta S$ 與 $Delta Q$ 明明是獨立的兩個小變數，怎麼比值莫名其妙就變成函數關係了呢？

實際上，在一個方程中， $Delta S$ 與 $Delta Q$ 這樣的微分小量在量上是嚴格互相制約的。方程 $Delta S=frac{Delta Q}{T}$ 的意義就是：當在這個系統下，內能變化時，熵增對應的變化一定多少。而這正是偏導數想要描述的內容不是么。

所以，實際上帶有這樣的小量的方程的背後是隱藏了S與Q在局域的導函數關係的，兩個小量相比就能夠表示函數在局域的一階偏導數也就不奇怪了。

我知道這個寫的非常的不嚴謹啊。。。

希望數學系的童鞋能夠容忍物理狗的強行理解，哈哈哈。

總體來說，看的還是近似表達的直覺。從嚴格的數學構造上看，dx是餘切空間中的向量。但這種數學構造其實還是來自於「無窮小」量的直覺。

$dy dx$ 到底是個什麼東西，能提這個問題的，應該是會一堆求導運算，但沒理解微分到底是個什麼東西，我按自己的理解說一下，可以沒數學系的講得那麼嚴密，不提什麼運算元

增量 $Delta y=f(x+Delta x)-f(x)=ADelta x+o(x)$
而 $A=f^{$
而微分 $dy=f^{$

所以 $Delta y ,dy$ 在 $Delta x$ 趨於0 時，他們是等價無窮小，那麼 $Delta x,dx$ 也是等價無窮小，他們之間關係很容易從這張圖裡看到

當自變數有了一個增量 $Delta x$ 之後，其實如果按照Taylor 展開，能展開到n階導數

但是實際問題中，一來是要把問題線性化，二來是展開後你也會發現，後面已經是 $Delta x$ 的二次以上的項， $Delta x$ 趨於0，他的二次以上就更小，可以略去，簡化方程，這種在專業課中經常會遇到，比如彈性力學裡，簡化後，方程都是線性的偏微分方程（工和程實際中，線性的偏微分方程都沒一般的解析解，只能用數值法，再展開一階，太恐怖）

物理中，經常用到這個增量 $Delta y$ ,我們要知道他到底變了多少，而且對這個增量的表達要盡量精確，誤差不要太大
可以看出，一般情況下，他跟 $Delta x$ 不是線性關係，但是線性主部 $dy=f^{$ 跟 $Delta x$ 是線性關係，而且 $Delta y ,dy$ 在 $Delta x$ 趨於0 時，他們是等價無窮小
所以我們就想著用 $dy=f^{$ ，也就是增量的線性主部代替這個增量，在 $Delta x$ 趨於0 時，我們發現精度還是很好的

所以，你明白什麼是微分了嗎

從圖裡面你也能看到，在那一小部分，我們用切線替代了曲線，在 $Delta x$ 趨於0 時，誤差是非常小的，用Taylor展開後那麼複雜的東西（非線性），在那一小段里，我們表達得很簡潔（線性化），
所以微分就是局部線性化，或者局部均勻化

定積分是分割，求和，取極限

在每一個小區間 $[x_{i-1}^{} ,x_{i}^{} ]$ 上，用微分，我們認為 $y=f(x)$ 是線性的，那麼這個曲邊梯形就變成直邊，而在區間劃分時，我們是讓最長的一個區間的長度趨於0，所以梯形很窄，直接當成矩形

面積 $f(x)dx$ ,然後一段一段加起來， $sum_{}^{}{f(x)dx}$ ，萊布尼茨發明了 $int_{}^{}$ 這個東西，那我們就寫成
$int_{a}^{b} f(x)dx$ 這就是定積分

這是最簡單的一元積分，其實後面的多重積分，都是如此，舉個求曲面面積的例子

這是一張曲面，求他的面積

曲線的時候，在那一小段 $Delta x$ 上，我們畫了一個切線，來代替 $f(x)$ ,那一張曲面咋辦呢，畫一個切面唄，然後在 $dsigma$ 所在的那一坨，用這個切面來代替曲面，用切面面積代替曲面面積，同理，當 $dsigma$ 趨於0時，誤差很小，精度比較好，至於這個切面的面積咋算，高數或者數學分析上都有

大學物理，力學的各類課裡面用到積分，都能這麼理解

有錯誤，各位指正

對於我這種智商的人嗎，無法想像連續只能理解離散
物理和數學最大的區別就是近似。
如果你要線性，你展開到一階。做微擾。
如果你要非線性，你可以展開看高階。
如果你想得到看到所有，看到數學在物理中的完美應用，你會失望，因為你會丟掉物理圖像。
有選擇的捨棄，才是物理迷人的所在。
大致圖像是對的，你就是對的。
數學很強大，但是不要掉進去。

不管數學有多美，多完備，做物理的人要記住，數學永遠是工具。你可以為了美，為了完備，在數學上將物理理論完善，統一。

你也可以有很強的算功，手推公式百頁紙，但是要記得把圖像描述給別人，清楚，簡潔。漂亮的描述。如果你解釋不清楚，很可能說明你還沒有懂。

作為一個物理學者，哪有比把一個堅深的理論解釋清楚更具有成就感呢？

你只要記得，數學不是事物的本質就可以了，數學只是對人類常識的一套指針式的語言，它很好地描述了經驗結論，整體上可以看做一種對現實的對應的模型，對應了現實的變化。數學的基礎當然不符合原子的物理世界。但是對於當時的人來說，世界就是連續的。所以一切都是實用第一，從來不存在什麼唯一的絕對的真理，不要把數學當成上帝的聖經。上帝不是按照數學設計的宇宙，不要被那些有情懷的數學家語錄給忽悠了。數學就是工具，是最接近人的直覺經驗的工具。
順便說一句，數學的dydx只有在數學裡才有意義，在物理裡面沒有真實的意義，只是近似，真實世界裡從來就沒有過精確的東西，只有數學裡有。
數學來源於現實經驗，但是又「超越」了現實經驗。
數學的脫離現實性從來都不說，人們只是滿足於數學在一定範圍內的實用性。我個人認為完全不要搞懂數學和物理的關係，數學來源於人的感官經驗，僅此而已，數學是模型、是語言，是現實的一種最精簡的記號和描述——甚至找不到更好的描述方式（一切描述語言最終都必須在人類的感官能力之內——畫圖、公式、符號、語言、文字）。所以不同尺度的感官經驗導致不同的物理數學體系。裸眼屬於牛頓，微觀屬於薛定諤狄拉克，超級宏觀屬於愛因斯坦。他們的體系都不一樣。
凡事都是有度的，不可求窮盡——反過來說，也真的沒那個本事高清一切。現實的科學發展都是抓住一線希望就走下去了（能找到這種希望就可以燒香了），沒有人真的有時間回過頭來看到底嚴不嚴格。
搞科研的，應該求盡，但是又不能求盡。
求盡指的是要「提高效率」。
不求盡指的是一切科學都是一種感覺經驗，人類的感官是有限的，人類永遠無法判定自己的感官是否已經涵蓋一切世界的信息，這屬於形而上學問題。

微元應該是dx更本質的概念，而餘切空間單位矢是一個引申的用法，你不要在單位矢這個概念上想它的本質，這個絕對想不出來的。
至於為什麼有這樣的用法，這其實是數學家開腦洞的一種等價用法。在歐式空間中，向量是一個表示方向的概念，但當空間推廣到高維，向量的數學形式還在，畢竟加個維度就行了，幾何意義卻消失了。那我們怎麼定義高維向量呢？冰雪聰明的數學家腦洞大開，假設三維空間中存在一個標量場f，而某點的向量標識了該點的一個方向，那麼我們就可以把標量場在這個方向上作求導操作了！而這個求導的操作可以無障礙地直接推廣到高維，於是在微分流形中用求導符號 $frac{partial}{partial x^{mu } }$ 表示向量。而每個空間的每個向量都有對偶向量，根據定義，對偶向量與向量作用應該得到實數，那麼使用微分符號 $df$ 表示對偶向量也就水到渠成了。

回答微分形式定義的那些，確實說明了微分dx是啥，但是，我猜題主的本意不是問這個。

數學的微積分是個嚴密的體系。高等數學已經用線性主部定義過導數和微分，沒有任何矛盾。

然而，在一些物理問題和數學問題中，微分並不是總按照定義那樣使用，而是未經證明地使用了微元法（即取出用無窮小元素，分析它的性質）來處理問題（比如構造積分）。

所以我認為這個問題應該改為：如何證明「微元法」的合法性？

（跑下題：其實只有普物力學喜歡微元法，以後基本都不會用。）

（微元法其實很容易錯，因為在處理微元時常常要忽略高階小量，有時會把需要保留的忽略掉。某屆cpho複賽標準答案就出現過這樣的問題）

辦法是不證明合法性，因為微元法內涵太豐富，沒法定義。我們要做的是：
取出有限大的小元Δx
把小元相關量（Δx的函數）嚴格求出來，或者嚴格地估計範圍

一個技巧是，可以證明Δx足夠小的時候，相關量對Δx的高階小量部分，加到一起也可以任意小，所以高階小量不起作用。這就是微元法的本質
高階小量部分因此可以捨去，得到微元法的結果。

順便題主似乎不理解為什麼有的量可以用積分表示。提示：對每個分劃，達布下和小於等於積分小於等於達布上和，而同樣，物理意義一般要求達布下和小於等於待求量小於等於達布上和。

引用同學的高數老師的一句話：「數學更多在於過程與推理的嚴謹，而物理最美妙的卻正是那些不可言明的地方。」
就個人的理解，物理上的積分是對於連續變數的某種「作用」的求和。其實就是把sigma寫成積分號。
至於數學定義
牛頓和萊布尼茲兩位搞出來的積分，用的爽極了，肯定是有道理的。
數學家們肯定也給出來嚴格的定義和解釋。
所以靠直覺用就行啦～

當你把積分號理解為運算元的時候，指的應該是不定積分，即求導的逆運算，此時積分號不帶上下限ab。
而當積分號帶有上下限時實際上是定積分，即：把求積區域分成無數個小區域Δx，然後分別乘以函數值（可以是該區域內隨便一個點的值）得f*Δx，再求和得S（Δx）=Σf*Δx；當Δx趨於0時（嚴格地說，是劃分中最大的區域長度Δx趨於0），S存在一個極限（非常神奇），就是定積分。
嚴格來說，求定積分就是要重複上面的切分-求和-取極限的過程的。但實際上這麼做會非常累難。所以然後Newton和Leibniz證明了：上面這個極限等於求不定積分再作差，然後數學家/物理學家/...就解放了。
所以定積分最後還是要靠求和的意義來理解的，不定積分只是求值的時候的工具。這樣微元dx就是一個微小的移動Δx，dy就是該情況下對應的y移動Δy，等等。積分號（長S，手機不會打）就是求和號Σ。

只有高階導數的符號才是一個整體吧。。。dy/dx本來就可以拆開。。。

dx，dy並不是整體的，本來就可以拆開挪過來挪過去。
只是，在數學裡，單獨的dx，dy沒有意義。所以一般不拆開。
在物理里單獨的dx，dy可以表示微小變化量，拆開用很方便，所以經常分開，而且不止dx，dy，還有dt，dv等，各種變數的微元都可以單獨用。
這是我的理解，可能不準確，歡迎討論。

翻了下答案簡直服了，雖然現在更高的角度諸如測度論是可以給更深刻的答案，但是人題主根本看不懂啊。

這個問題的根源是你數學老師太不負責了，什麼整體符號都來了，dx當然有實際意義啊，就是一個小量的線性主部，其他高階無窮小被捨去了，就這麼簡單。微商里的除法就是普通除法，一點神秘之處都沒有。

不要懷疑自己的智商，純粹你們老師太誤人子弟。

手機隨手答一下。
在物理中：
稠密一定完備嗎？是。
勒貝格判據有用嗎？沒有。
連續逼近一定收斂嗎？是。
微分等於零嗎？是。
微分不等於零嗎？是。
零能除以零嗎？可以。
…
…
…
所以，dy和dx能拆開嗎？
你說呢？

物理中運用最普遍的是定積分，其數學依據是積分的幾何意義，但物理卻忽略了積分的幾何意義在上下限處是無效的。

我先來說一下dy/dx的意義。dy/dx是連續函數上某處切線的斜率。這些切線是函數上某處的映射，而不是函數本身。斜率是切線的屬性，不是比值，是不能拆的。積分就是這些斜率再求和。從這個角度講，題主數學老師的話是對的。

從幾何角度看，斜率和余玄是相通的，於是就有dy/dx在幾何上看作微分比值的想法，於是就可以拆了。但微分畢竟不是線段，不能用余玄計算等直接同於求導，期間必須經過極限運算。極限的計算基礎是微元，微元的定義是相鄰微元之間的距離無限小，但不等於零。於是dx和dy就可以看作微元之間的距離，也就是所謂的「很小的位移「。以上這些都有嚴謹的數學推導，其實都沒有問題的。

問題在於物理中積分的定積分的上下限是離散的點，無法構成有效的微元定義。畢竟交點和切點是兩個不同的概念，在這裡是不能互換通用。這個矛盾是物理學家怎麼洗地都洗不掉的問題。

以下是我個人對dy/dx的理解：用離散形態的映射來表述連續的一種方法。

謝邀。數學細節我就不班門弄斧了。不過我覺得物理中很重要的就是，任何一個式子要成立，量綱必須要正確，那麼dx就提供了一個「配平」量綱的很自然的方式。微積分畢竟是物理學家為了解決實際問題而創造出來的。原則上你完全可以不用dx，而且實際上也常見（比如加點表示對時間的導數，各種微分算符也經常不顯含dx，狄拉克符號中連積分符號都省略了），但是考察量綱的時候就得專門約定，不熟練的時候可能容易因此搞錯。那麼顯式地寫出dx這種直觀的方式在面向初學者的教材中比較流行也是可以理解的了。

看了題主的描述我來答一個！
首先我想說，物理的dx和數學的dx是統一的，只是數學更抽象，而物理更具體。
其次，可能」定積分」和」不定積分」的區別可能《高等數學》描述的不那麼清楚。
最後，微積分是一種思想，而並不是一種演算法。
展開簡單的說下。
1 對於物理的dx和數學的dx來說，請看這個圖

（《高等數學》人大版，第五章，定積分，p217）
從圖上我們可以看出，所謂的dx其實就是一條一條豎向的」矩形條」所對應的x的坐標，我們也可以理解為它的「量」我們認為在x的坐標上這段距離是多少，這個x就是多少，因為數學概念當中其無量綱。
而物理當中，這一dx卻恰恰相反，它有著明確的物理意義，微量的位移ds，微量的時間dt，微量的電荷dq等等。
所以題主說的物理上的dx和數學上的dx不同，只是因為數學更抽象，它把其中的具體的物理意義提取出來了。
2可能各位看的還有點雲里霧裡的，別急往下看。
問：什麼是不定積分？答：不定積分就是求原函數的一種演算法
問：什麼是定積分？答：定積分就是「分割」，「求和」，「取極限」
問：這兩者有什麼關係？答：風馬牛
問：真的沒有一點關係？答：世界的進步其實就是一部分偉人推動的，在十七世紀出現了一位巨人和一位全才。
上帝說：降生牛頓，於是世界就充滿光明！而另一位則是萊布尼茨，偉大的數學家，偉大的外交家，偉大的哲學家，偉大的歷史，生物，地質，機械等等各種家（此處省略一萬字）。
而就是因為他們兩位天才，我們才知道了定積分和不定積分之間是有「姦情」（隱秘）的，因為他倆各自獨立的發現了這兩個不想乾的定義之間的內在聯繫——牛頓-萊布尼茨公式！
沒有瓦特之前，人們的勞動是需要手工的（儘管我知道瓦特緊緊做了改良），沒有電之前人們照明是需要蠟燭和煤油的，沒有麥克斯韋之前，人們的通信是需要電線的，沒有牛頓和萊布尼茨之前求積分是需要按照定義來求的！但是有了他們，有了它（牛頓-萊布尼茨公式），我們就巧妙的開闢了新的途徑。
跑題了，說回來！
什麼是定積分，所謂的定積分就是如上圖，把一個函數圖形畫在坐標系裡面，其與坐標系所圍成的面積就是響應定積分的值！」即每段的dx乘以相應的y坐標，f（x）對應的值，而中物理當中f（x）多為常函數」而作為定積分涉及到的思想就是分割，求和，取極限！
其實物理當中的dx與數學上的dx都是求解的第一階段的「分割」，即無限分割成無數的細小的」微元」。誠如前面所言，數學更抽象，沒有物理意義，而物理則更加具體！
至於為什麼定積分和不定積分有那個符號，（手機打字，打不出來），其實我想說，那只是人們的習慣而已，比如我喜歡吃面放辣椒，而他喜歡吃米飯放辣椒而已。關於」積分符號」（它是通過把拉丁文summa的字頭通過拉長得到的），我還想多廢話下，它是萊布尼茲發明的我一直沿用至今，因為這個符號，德國和英國還產生了很多政治摩擦…這裡不展開講！
3偉大的共產主義導師恩格斯說：「初等數學，即常熟的數學，是在形式邏輯範圍內活動的，之前用的來說是這樣的，而變數的數學——其中主要的部分是微積分——本質上不外乎是辯證法在數學方面的應用。」
好吧其實老恩這句話讓數學附庸於辯證法，我很鄙視的，但是哲學就設計到人的思想，我想微積分的思想給我們了一種認識，一種關於世界的認識，難道我們不是一步一步解決了一個個小問題才最終解決了大問題嗎？所謂」量變引起質變」在微積分和期限這裡，尤為突出！
最後，道生一，一生二，二生三，三生萬物！其實一切都是一樣的…

其實吧，物理老師只是圖省事。

微小增量應該記為delta（三角形） t，所引起的其他量的微小變化同樣應該記為delta（三角形） y，等於前者乘以導數，但是得再加一個更高階小量。

書寫時省略更高階小量，形式上直接寫dt, dy，在增量無限小的時候，數值結果是對的。

至於把dx, dy理解成餘切空間的基矢量，或是外代數的微分形式，這不是本質問題，角度不同而已。