最近很火的一張圖，求正確答案？

12-27

我提示下吧
$frac{1-cos(x)}{x^2}=frac{2sin^2(frac{x}{2})}{x^2}=frac{sin^2(frac{x}{2})}{2(frac{x}{2})^2}$
然後學過信號與系統or復變的就應該知道咋算了

白大神加了燃料，我來發射吧！！！如圖：

ln[1]=Integrate[(1 - Cos[x])/x^2, {x, -Infinity, Infinity}]
Out[1]= $pi$

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Pi: Integral representations

白大神加了燃料，我把火箭拆了放煙花

其實這題可以算留數, 但要用Fractional Residue.
Contour就叫 $gamma$ , 如圖所示，兩個半圓, 半徑為 $varepsilon$ 和 $r$ , 加上兩條線.
令
$f(z)=frac{1-e^{iz}}{z^2}.$
那麼在原點附近有:
$f(z)=frac{1-(1+iz+mathcal{O}(z^2))}{z^2}=-frac{i}{z}+mathcal{O}(1).$
在 $C_{varepsilon}$ 上有:
$int_{C_{varepsilon}} f(z)dz= -int_{C_{varepsilon}}frac{i}{z}dz+int_{C_{varepsilon}}mathcal{O}(1)dz=- int_{pi}^{0}frac{i}{varepsilon e^{i heta}}dvarepsilon e^{i heta}+mathcal{O}(varepsilon)=-pi+mathcal{O}(varepsilon),$
在 $C_{r}$ 上有:
$int_{C_{r}}f(z)dz=mathcal{O}(frac{1}{r}).$
有Cauchy定理, 對於整個contour的積分為零.
令 $varepsilon o0$ , $r o +infty$ ,
立馬可得
$int_{-infty}^{+infty}frac{1-cos(x)}{x^2}dx=pi.$

恰好遇到過這題。。然後被人秒了。。是的，被群里的大神秒了。。

這個嗎

我記得這不是某個閑的蛋疼的程序員做的一個網頁智力闖關遊戲嗎……

這題好像還只是初級的來著……

回頭找找地址

……………………………………

嗯找到了

http://cafebabe.cc/nazo/

其實也就medium之前的題比較靠譜……後面都是各種腦洞了

感興趣可以玩玩

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對了，手機是玩不下去的。

必須是電腦，而且確保安裝了支持rar的解壓縮軟體 =。=以及能夠查看網頁元素的瀏覽器 =。=

對@Shuboss 後半部分給出另一個數學分析上的證明：
下證 $int_{-infty}^{+infty }frac{sin^{2}x}{x^{2}} ext{d}x=pi$
利用等式 $sin(2n-1)x-sin(2n-3)x=2sin xcos 2(n-1)x$ ,易得
$int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin(2n-1)x}{sin x} ext{d}x=frac{pi}{2},forall ngeq 1.$
再利用等式 $sin ^{2}nx-sin^{2}(n-1)x=sin(2n-1)xsin x,$ 可得
$int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin^{2}nx}{sin^{2} x} ext{d}x=sum_{k=1}^{n}int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin(2k-1)x}{sin x} ext{d}x=frac{pi}{2}n,forall ngeq 1.$
在區間 $[0,frac{pi}{2}]$ 上，利用不等式 $x-frac{x^{3}}{3!}leqsin xleq x,$ 可得
$frac{1}{n}int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin^{2}nx}{x^{2}} ext{d}xleqfrac{pi}{2}=frac{1}{n}int_{0}^{frac{pi}{2}} frac{sin^{2}nx}{sin^{2}x} ext{d}xleqfrac{1}{n}int_{0}^{delta} frac{sin^{2}nx}{x^{2}}(1-frac{delta^{2}}{6})^{-1} ext{d}x+frac{1}{n}int_{delta}^{frac{pi}{2}} frac{1}{x^{2}}(1-frac{pi^{2}}{24})^{-1} ext{d}x$
作變數替換 $x=frac{t}{n}$ ，並令 $t ightarrow+infty$ ，得
$int_{0}^{+infty }frac{sin^{2}x}{x^{2}} ext{d}xleqfrac{pi}{2}leq(1-frac{delta^{2}}{6})^{-1}int_{0}^{+infty }frac{sin^{2}x}{x^{2}} ext{d}x$
再令 $delta ightarrow 0^{+}$ ，即得
$int_{0}^{+infty }frac{sin^{2}x}{x^{2}} ext{d}x=frac{pi}{2}$
即得 $int_{-infty}^{+infty }frac{sin^{2}x}{x^{2}} ext{d}x=pi$
註：利用分部積分和簡單的變數替換，由此例不難得出
$int_{0}^{+infty }frac{sin x}{x} ext{d}x=frac{pi}{2}$
參考文獻：
梅加強，《數學分析》，高等教育出版社2011年7月第1版，P271~P272

向白大神致敬，加了幾步給沒有傅立葉基礎的人
交代公式：
$(1)f(t) xrightarrow { mathcal{F} } F(omega)$
$(2)af_1(t)+bf_2(t) xrightarrow { mathcal{F} } aF_1(omega)+bF_2(omega)$
$(3)f(at) xrightarrow { mathcal{F} } frac{1}{|a|} F(frac{omega}{a})$
$(4) int_{-infty} ^{+infty} |f(t)|^2 dx = frac{1}{2 pi} int_{-infty} ^{+infty} |F(omega) |^2 domega$
$(5)Sa(t) xrightarrow { mathcal{F} } pi g_2(omega)$
$(6)Sa(t)=frac{sin(t)}{t}$
$(7)g_ au(t)=u(t+ frac{ au}{2})-u(t- frac{ au}{2})$
$egin{equation} (8)u(t) = egin{cases} 0 t<0 \ 1 t > 0<br /> end{cases}<br /> end{equation}$
開工計算：
$int_{-infty} ^{+infty} frac{1-cosx}{x^2} dx$
$=int_{-infty} ^{+infty} (frac{sin frac{x}{2}}{sqrt{2} imes frac{x}{2}})^2 dx$
$=int_{-infty} ^{+infty} | frac{ Sa( frac{x}{2} ) }{sqrt{2} } |^2 dx$
$=frac{1}{2 pi} int_{-infty} ^{+infty} | frac{ 2 pi g_1(omega) }{ sqrt{2} } |^2 domega$
$=frac{1}{2 pi} int_{-0.5} ^{+0.5} 2 pi^2 domega$
$=pi$
其實我就是想練練語法。

樓上已經有大神算出了答案。。。我也在某群里驗證過了