柯西收斂準則和數列極限的區別，感覺很難搞清楚，還望高手指教，謝謝！?

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兩者的區別用一個「夾板」就可以說清楚。

1 數列極限

設 ${ x_ n}$ 為一數列，如果存在常數 $a$ ，對於任意給定的正數 $epsilon$ （不論它多麼小），總存在正整數 $N$ ，使得當 $n > N$ 時，不等式 $|x_ n - a| < epsilon$ 都成立，那麼就稱常數 $a$ 是數列 ${ x_ n}$ 的極限，或者稱數列 ${ x_ n}$ 收斂於 $a$ ，記為 $displaystyle lim _{n o infty }=a$ ，或 $x_ n o a(n o infty )$ 。
《高等數學》同濟版

我把數列 ${ x_ n}$ 畫出來：

假設 $a$ 為數列極限，過 $a$ 作一根平行於橫軸的直線，以 $epsilon$ 為距離，上下各作一根平行於橫軸的線：

2 柯西收斂準則

數列 ${ x_ n}$ 收斂的充分必要條件是：對於任意給定的正數 $epsilon$ ，存在正整數 $N$ ，使得當 $m>N$ ， $n>N$ 時，有 $|x_ n-x_ m| < epsilon$ 。
《高等數學》同濟版

柯西收斂準則和數列極限最大的不同是，不需要知道極限值是多少，這樣判別收斂的實用性更強。

選擇數列中的某一項，比如說 $x_ N$ ，過 $x_ N$ 作一根平行於橫軸的直線，以 $epsilon$ 為距離，上面各作一根平行於橫軸的線：

3 總結

柯西收斂準則，是判斷收斂的重要條件，所以我們也稱收斂數列為柯西數列。

我覺得一個柯西數列不一定收斂，但是收斂數列一定是柯西數列。因為他可能收斂不到他所在度量空間里的點。如果柯西列所在的空間是緊的，那此柯西列就是收斂的。然後我們把柯西列收斂的的空間稱為完備的complete。然後在歐式空間里Rn里，柯西數列也是一定收斂點的。

在歐氏空間中兩者是等價的，我感覺題主的問題在於這兩者形式上相似，實際上有什麼區別。
儘管形式上很像，但數列極限的定義中，必須找到這個極限才能判定。因此用定義判斷收斂後，也就知道了極限的具體值。而柯西準則中，只需要驗證數列中已有的各種xn和xm之間的關係，不必找出具體的極限值。
柯西收斂準則的一個好處在於，很多極限的值都很難顯式表達出來，而我們很多時候只需要判斷一個極限是否收斂，不用知道具體收斂到哪個數。

後驗地說，因為我們對實數就是這樣構造的，所以是這樣。實數可以看成有理數空間做度量空間完備化，而後者的意思就是要讓柯西列能收斂（在完備化之後的空間里）。

把等價的雙向證明看一遍如果能不看書自己寫出來肯定就懂了

上圖上圖，我來說明一下柯西準則是怎麼來的