什麼是漂亮的數學公式？漂亮是怎麼體現的？

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能否通俗易懂的向文科生解釋這個問題。。ps.漂亮是否有用呢？

有用也漂亮的例子：stokes公式

就是對稱的好記的公式，比如海倫公式，公認的優美的公式。
實際上哪有那麼多恰好的東西，尤其在物理化學裡面，大多數情況下是這樣的：
啊數據擬合不上怎麼辦！老子可是做了兩百多組實驗啊！
沒關係我來再給它添一個校正因子，差不多了哈哈哈。
啊怎麼過了這個範圍又對不上了，
沒關係我把模型再加一個參數，差不多了哈哈哈。
然後經過了一段時間另一個傢伙發現這個公式在xxx情況下不成立，然後自己又弄了一個出來。
然後題目就得先說明在xxx系統中如何如何。
你要是問難道就沒有牛人弄出普適的公式嗎？
有啊，但是我記性不好數學也不好。
所以大多數公式都是很難看的，偶爾出現幾個恰好對稱的簡直就是和尚喵裡面出現了個美女，那當然是漂亮了

$e^{ipi }+1=0$

意料之外的規則。

比如自然數的負偶數次方求和是有理數乘以圓周率的偶次方。

但奇數次現在也沒簡單結果。

很多人提到了 $e^{ipi }+1=0$ 這個公式。

我打算就講這個公式好了

1988年，一本數學雜誌《數學信使》組織了一次投票：史上最優美數學定理，該公式位列第一

2004年《物理世界》雜誌，把這個方程和麥克思韋方程組位列最偉大的公式的前兩名

被無數學家們奉為經典！！

這個公式，準確的說是一個定理

讓數學中最重要的五個常數聯繫在了一起

$0, 1, pi , e, i$
(其中e、i 是歐拉的首創，還有f(x)這種表示方法)

我們知道在微積分中有一個非常重要的函數
也是非常特殊的函數，
導數和積分都是本身的函數
指數函數 -----exp（x）

而exp（x）這個函數實際上是通過微積分來定義的

e的pi次看起來有些不可思議，但是依舊可以用微積分來計算。

更不可思議的是冪函數的虛數次！

對於冪函數的虛數次處理，歐拉恰恰就應用了他最擅長的函數和無窮級數的方法

我們知道虛數的冪次方的特點是
$i^2=-1,i^3=-i,i^4=1...$

然後把exp（x）中的x用ix替換，然後展開，就可以得到下面這個等式

$exp(ix)=1+ix-1/2 x^2-1/6 ix^3+1/24 x^4+...$

然後把不帶 i 的項和帶有 i 的項分離就得到了另一個更為重要的公式

$exp(ix)=cos(x)+iullet sin(x)$

這個函數才是被歐拉本人所認可的重要函數！！
在其理論著作中佔據了重要的地位！！
在微積分中至少能排進top5！！

最後，只要把 $x=pi$ 帶入，就可以得到開頭寫的那個等式

$e^{ipi } =exp(ipi )=cos(pi )+isin(pi )=-1+0=-1$

這個漂亮的公式更多的是偏向數字公式，簡潔的就像是一個神人寫出來的……

這就是數學之美。

哦，對了，當年《數學信使》的投票結果里除了位列榜首的這個歐拉公式以外，

在top5 裡面還有三個也是歐拉寫的

其中一個後來成了「拓撲不變數」歐拉示性數

另一個是歐拉乘積公式

而位列第五的就是另一位答主提到的 $frac{pi ^{2} }{6}$ 的展開公式

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關於公式漂亮是否有用呢？

數學本身有兩類，一類是為了數學運算而產生的數學工具，往往追求的就是數學中的優美與簡潔！
還有一類就是為了解決實際問題而產生的。

上述公式更多的是側重數學的優美性
相比起勾股定理，愛因斯坦的質能方程，麥克斯韋方程組，牛頓第二定律而言確實缺少了一些實用性，但是這個公式所帶來的數字內涵確實最為深刻的！

當然每個人都有自己認定的美的標準，不同學者的角度自然也是不一樣的，不過歸根到底也離不開簡潔和能夠被人理解這兩個特點，一個只會讓人產生困惑的公式，是很難產生美感的。

最後安利一發歐拉：

歐拉是一個數學巨人，他不光在理論數學方面創造了歷史，也在應用數學領域頗具貢獻，其中最著名的莫過於歐拉的《力學》，他的成果豐富到在去世後的五十年間，科學院還在一直發表他的文章。

作為一個文科生，你只要能寫出漂亮的文章就okay了，誰知道那些人的腦子裡裝的都是什麼。

最美的公式其實就是最能表達結構性質的公式並不是最簡單或者對稱的公式。比如矢量分析裡面體現正交性，歸一性的那兩組基矢量運算。德摩根定律，加法原理等等都是美麗的，只要是一種結構都可以使用公式表達出來。

其實我覺得和差化積也很美。。。

第一個絕對是歐拉公式呀 $mathrm e^{ipi}+1=0$

證明：

The identity is a special case of Euler"s formula from complex analysis, which states that for any real numberx:

where the values of the trigonometric functionssine and cosine are given inradians.In particular, when x = π, or one half-turn (180°) around a circle:

Since

and

it follows that

which yields Euler"s identity:

第二個，1=2
證明（總覺得哪裡不對）：
x + x + x + .... + x (n個) = n*x
So,
x + x + x + .... + x (x 個) = x*x
兩邊同時對x微分
1 + 1 + 1 + ..... + 1 (x 個) = 2x
x = 2x
1 = 2

$E=M imes C^{2}$

對於文科生來說，可能簡潔或者對稱就好了。對於搞物理的來說，參數越少，越美麗。

如果我說所有的數學公式都很美大家覺得怎麼樣？

有些基本的公式很「漂亮」，比如 $mathrm e^{ipi}+1=0$ ,比如 $a^2+b^2=c^2$
主要是因為他們解決的問題很簡單，因而公式很簡潔。

可這些東西不能被真正的稱為beautiful，因為他們太缺乏內涵。
beautiful的數學公式甚至是數學理論,應當是能用簡潔的內容來解決複雜的問題。
根據這一點，
stokes公式
maxwell方程組
Lagrange方程
都可以算是美麗的公式。