為什麼要學習線性代數和高等數學？

12-27

目前一直不知道學習他們有什麼用，能不能給我舉一個實際運用的例子？

偏題來答有什麼意思呢各位？題主可能是真的不理解數學工具的用處。
就算題主是偷懶，一句「不要去偷懶」能打發誰？

=~~~~~~認真答題的分割線~~~~~~=

首先題主要知道，任何數學工具的發明，無論它看起來多複雜，最終都是為了簡化問題而存在的。
高數這種看起來自己虐自己和線性代數這種看起來脫了褲子放屁的東西，也是如此。

為什麼要用這麼複雜的工具來簡化問題？因為現實問題實在太特么複雜了。

我來舉一個實際的例子：

如圖，桿m被兩個彈簧k固定在地上，假設桿只在豎直平面內運動，求其振動方程。
（所謂運動方程，就是桿的兩個彈簧連接點的位移x1、x2對於時間t的函數）

當然題主也可以說這麼無聊的問題毫無意義，但實際上這個看似無聊的問題本身也是一個簡化模型：如果你把桿看成汽車，兩個彈簧分別代表前後輪的減震彈簧，是不是瞬間就有實際意義了？我們用方程來輔助優化汽車的振動情況，可以帶來更舒適的駕駛體驗——這可是真金白銀的技術。

好吧回到問題，怎麼解？題主你試試脫離高數和線代來解啊。

貼段解法讓題主感受一下：
（圖片太大，目測一般人需要載入一會兒）

差不多夠了，既用到了高數又用到了線代，有沒有滾回去看書的衝動？（我知道大部分人都是直接跳過了圖片……學這玩意字裡行間的血淚悲傷你們不會懂……）

作為一個一直學習純數學並且向來以所研究的數學「無用」而驕傲的數學工作者，我實在沒有資格回答這個問題。寫下這個答案只圖拋磚引玉，希望能有更多的熟知理工和經濟等學科的知友寫下更加令人滿意的答案。
引入線性代數最初的目的是簡化多變數情況下的代數運算，以高斯消去法為例。數學的一大目的是解方程，而最早被徹底解決的是線性方程。一元一次方程容易，二元一次方程也不難（雞兔同籠問題），三元一次方程也還行？？那麼n元一次方程呢？？......？？沒有學過線性代數的同學估計會覺得越來越困難吧。而線性代數告訴我們：這些問題本質上只是數字的加減乘除運算。也就是說，如果你足夠耐心，一元一次方程和n元一次方程一樣簡單！！！稍微說遠一點，線性代數基本是處理大量數據時的第一想法，比如線性規劃（在線性約束條件下尋找最優解，類似於利益最大化），統計分析中的線性回歸模型等。最後，線性代數也是純數學眾多方向的起點。群，環，域的基本概念，多項式，環上的模，代數擴張，切向量空間，張量等等代數和幾何對象都可以從線性代數開始。
高數（我這裡主要理解為微積分）的實際應用就更廣了。簡單來說，微積分是用來理解連續變化的對象。從簡單的例子開始，我們知道怎麼計算正方形、矩形、圓的面積，也知道求正方體，圓柱體甚至圓錐體的體積（你確定你會求圓錐體的體積嗎？），可是怎麼求橢圓的面積？怎麼求橋拱的表面積？正餘弦函數與x軸的面積？......？更具體的，如何求函數在指定區域內的最大最小值（如果只是多變數的線性函數，線性規劃就能告訴你答案）？這些都是微積分能夠教會你的。此外，你知道工程中廣泛應用到的傅里葉變換嗎？你知道哪些在經濟學中廣泛用到的微分方程模型？至於物理學上的方程那就更多了。值得指出的是，微積分與線性代數也是有著重要聯繫的，比如說多重微積分就會引入雅克比矩陣。至於純數學，微積分關於連續的思想幾乎是進入高等數學的標誌，還有各類基本函數和性質的引入，無窮級數的收斂和發散問題，複分析，並最終進入流形上的微積分而真正開始現代數學的探索。

誠然，絕大多數人不需要處理複雜的數據，也不需要時刻用經濟學的各種模型幫助自己省錢或賺錢，更不需要用方程來理解這個世界上發生的各種物理現象。是嘛？如果你確定你真的不需要，那麼首先請不要忘記你的日常生活廣泛受益於這些背後的數學理論。（你確定你真的一輩子也不需要嗎？在你需要的時候永遠都會有人忙你解決嗎？）
然後我還是想說說線性代數和微積分對於思維方式的影響。由具體到抽象，從低維到高維，從特殊到一般，數學首先想要改變的是你的思維角度。然後是鍛煉歸納邏輯的演繹方式，為什麼可以從這一步到下一步？這裡讀者可以具體思考高斯消去法與解n元一次方程的關係。而經過一段邏輯演繹之後，你是否會為你最終得到的如此簡單而優美的表達式而感嘆？這裡可以以歐拉恆等式為例，相對簡單一點的概念是求逆矩陣為什麼可以輕鬆的解所有n元一次方程和積分為什麼能帶給你面積或體積公式。

最後補充幾句個人觀點。答主一向以為，數學是為了更簡單的理解和處理問題，而這個「簡單」是建立在全面具體並且準確嚴謹的了解分析之上。目前來說，在數學上還有很多超出我們理解的地方，這時常讓我們這群探索數學的人感到絕望卻又充滿希望。就像人一樣，我們很少有人說能掌控自己的未來（能掌控的未來似乎也不會很有趣，是吧？），可是我們大多數人在大多數時候都會充滿希望的期待未來的每一個變化。

與諸位知友共勉！題主可以從學好線性代數和高數開始，O(∩_∩)O~。

受評論區影響的更新：
此更新是針對 @林勉的評論。
我想稍微談一談的是應用數學和純數學。這是一個很大的課題，請原諒我這裡只能淺嘗輒止。
在我看來，一個基本的區別是應用數學處理具體數據，力求對具體的問題給出數值解或具體的描述；而純數學更抽象，追求的是數學對象之間本質的不同。（請注意此處我並沒有將數學在理論物理中的應用看成是應用數學的一部分，概因理論物理的很多部分跟純數學已經糾纏不分。）
現實應用里特別值得指出的是航天和計算機。事實上，給定數據，目前的數學水平是可以進行有效的數值模擬的，而主要的理論基礎是微積分和線性代數（尤其是航天和各類工程領域），這裡的一個重點是計算的複雜性（數學能告訴你什麼是可計算的，而具體的計算一般還是需要計算機去實現）。一般來說，計算機技術用到的更多是離散數學。當然，數學和物理水平的提升很可能會帶來進一步的突破。
而純數學關注的對象大部分很抽象。有無窮，有整體和局部的幾何或代數或拓撲關係，並且我們經常要求對所有對象成立，因此一般很困難。比如說，一個基本而古老的問題是多項式方程整數根的存在性，以費時300年的費馬大定理為例。更一般的，無數數學家試圖理解的還有多元多次多項式方程的零點集在不同係數下的分類問題，這可以稱得上是當前數學最主流的方向。其它廣為人知的還有哥德巴赫猜想，孿生素數猜想等等。

仍然歡迎有興趣的朋友在這裡留下評論和對數學的想法。

說實話，你學的那點高數和線代可能真沒啥用，因為現在絕大多數可靠的科學理論工程技術中用到的數學，都遠超過了你課程的要求。不是高數現代無用，是你學的高數和現代距離「有用」標準還有很大距離。

數學是科學和工程的語言。你只認識幾個字或者單詞能說語言有什麼用嗎?

這是很多專業的必修課。他有一個神奇的名字，《物理化學》（Physical Chemistry）。

很遺憾，我就教這門課。

每年掛掉三分之一到四分之一的學生，這還是考試嚴重放水的結果。

每當學這門課的時候，無數學生高喊，我當初為什麼沒好好學數學！為什麼沒好好學數學？！

這是這門課的日常：

九月初辭職後一直在家，一邊思考人生一邊看數學，從三卷《古今數學思想》到三卷《程序員的數學》（第一卷看了目錄就塞一邊了）再到菲赫金哥爾茨的《微積分學教程》，中間還翻了翻其他很有意思的書比如《統計與真理》，誠然一部分動機是為了程序員職業生涯進階，但也體會到求知若渴了。
一本書+一打稿紙就能體會到超凡的前人們智力結晶，比天天去巨蛋聽音樂會還令人愉悅啊。
幾百上千的音樂會門票都有人買了自己聽，為什麼居然還會有人覺得數學沒用？
沒錯，數學在我看來就是藝術……

經濟學學渣怒答，雖然微積分現代概率統計都只有70來分……但是真的很有用誒！
微積分可以計算奔跑中的西紅柿所做的功……並沒有。微積分里有一個非常棒的思想，化無限為有限，讓原本千頭萬緒無從下手的問題可以被一步步去解決。這個思想了不起。學到牛頓萊布尼茲公式的時候，看啊看，看啊看，終於看懂的時候掀桌驚嘆，天才！這特么也可以！
線性代數……AB不等於BA，事件發生的順序會影響最終結果，這特么簡直是哲學啊！人生就是在矩陣中隨機行走有沒有！矩陣直接啟發了量子力學有沒有！看看例題你也曉得矩陣是能求最優解的，找出最有效路徑多特么重要！
概率論與數理統計就更不用說啦，計量模型和統計學在看著你么么噠。
哎，答得好傷心……怎麼學都不能理解更多，只能對著高數嘆為觀止，努力理解自己搞懂的那一點點知識。只恨腦子不夠，學不會更高深的數學呢。

這是一種思維方式。
這是描述科學的語言。
這是人類智慧的結晶。

轉。侵刪。不過我寫過一個學習馬原毛概作用的答案。

今天來點宇宙級乾貨，介紹簡單的高等數學概念在股市裡的應用。

大家本科都學過微積分，學過數學期望的概念，理科生可能還學過概率論和離散數學。不過我想大部分人可能和我一樣，覺得這些東西是普通人一輩子都用不到的知識。

我之前炒股也從來沒想過這些知識和炒股有關係，不過後來接觸德州撲克後才意識到數學期望在博弈中的應用是多麼重要。

據說在有限注德州撲克已經被科學家計算出最優解了，不過無限注德州撲克目前還沒有，因為變數太多變化範圍太大，即使不考慮對手選擇的變數，最優解目前還沒有人敢說能得到。股票中的變數就更多了，最大的問題是根本沒辦法進行統計，根本不可能得到最優解。

我認為纏論最大的問題就是假定市場有最優解，企圖分解市場來得到最佳行動，我後來認識到這是不可能的，優雅的豬說的很好，纏論是在造永動機，這是纏論最大的問題，不過我也很喜歡這句話：人類在製造永動機的過程中生產處了100多種實用工具。所以我認為纏論的價值還是很大。

先解釋一下數學期望吧。以下例子全是為了舉例隨口瞎編。

以德州撲克常見的AK這手牌來說，假設翻牌前全下，AK對AA 全下勝率小於1% 對KK勝率約為30%，對其他口袋對牌勝率為50%，對任意兩高張勝率在67%-80%之間。

假如你遇到一個對手和你籌碼量相當，翻牌前加註下了自己10%的籌碼，你手持AK,以你對對手的了解，你能模糊的估計出對手50%的可能性是小對子，10%的可能性是AA KK以及40%的可能性任意兩高張之間。

你是沒辦法100%準確的判斷他的手牌的，只知道AK對他有很大的勝率，假設約莫50%左右。
這時候你有兩個選擇，
1 平跟，翻牌後如果中A,你獲勝的可能性進一步提高，但是翻牌後前三張牌後擊中AK約為30%。這意味著你放棄了70%贏下這個pot的可能性。而且如果擊中A，而對手是小於A的對子的話，看到A可能放棄，很可能你只能贏到翻牌前加註的錢，假如對手是AAKK，翻牌後擊中AK,你基本上輸會輸光自己全部籌碼。

2 再加註3bet全下，這時候就把難題留給他了，這時候他就要考慮你手牌的可能性了。如果他是小口袋對，他面對假設你是兩高張或者大口袋對，他來跟住，勝率在20%到50%之間,跟住是負數學期望的。（如果
你是大口袋對，他跟住的數學期望是-80%自己的全部籌碼，如果你是兩高張，他的數學期望是110%,棄牌的數學期望是-10%）
綜合考慮，如果他是個理性的人，並且你的形象不錯，手持小口袋對棄牌的幾率就會很大。

在這種情況下，第二種選擇製造了一種「對手棄牌的可能性」，多了一些無風險獲取對手10%籌碼的可能性。數學期望比平跟稍高，但是現實中不能這麼一概而論，這個舉例很不科學，實戰中要更複雜的多，我只是在介紹一種基於「數學期望」的思考方式。
德州撲克高手之間對決，數學期望是很微妙的，很難判斷對手可能持牌的範圍，即使判斷對了，對手是還會採取很多策略迷惑你。但是如果一個職業牌手，也可以認識到，如果牌桌上都是普通玩家，大部分人沒有你的水平，在大部分牌桌上，你可以只玩勝利的數學期望非常高的手牌和和只用數學期望非常高的策略即可，對手會犯錯。當然對手如果也是職業級的，你就必須爭奪非常微妙的數學期望並不高的一些手牌，追求一些最優解。

實際上在股票市場里，也不存在絕對意義上的絕對正確的選擇，不過你的對手是整個市場以及少數主力，對手的手牌範圍有很多時候是很容易計算的，他們的行動並不那麼一致，會有大量的錯誤，你只要做一些數學期望絕對值較高的選擇就行。

比如說，你現在就非常容易計算，4000點附近有強拋壓，有大量的套牢盤，突破4000點需要大資金帶頭突破來解放套牢盤，雖然現在大盤縮量，跌下去有國家隊護盤，在4000點有可能突破，也可能假突破，突破再度調整。
但是在3990點全倉的數學期望就比3700點全倉的數學期望就比在3900點全倉的數學期望低，（至少低15%）。
接下來就全是瞎猜的假設：
猜測一下，由於4200點還有強壓，一般主力不敢在這個時候帶領某個板塊突破，帶領整個大盤上攻，直接長陽上攻的可能性並不大（除國家隊外）。

1假設還是有10%的可能性，大盤在國家隊的帶領下上攻突破上攻4500%（可能性幾率純粹猜測，無任何依據）
那麼發生這種情況下，考慮到個股比大盤漲的要凶，你的數學期望是10%~15%

2 有20%的可能性大盤在合力之下猶猶豫豫的上行到了4200，再度調整到3800.
在這種情況下的數學期望是5%。

3假設沒人敢繼續加倉，4000點附近沒人敢再加倉，國家隊的任務只是護盤，沒有興趣強拉股指，於是又分為兩種情況
3.1 30%的可能性在4000點盤很久。這種情況下你全倉的數學期望為0
3.2 剩下35%的可能性盤整一天半天后還是始終沒人敢加倉，大盤開始下跌，回落到3800點國家隊再度護盤，這情況下你的數學期望是-15%

假如我舉例的可能性的幾率都是真實的，綜合考慮，目前震蕩區間，有效的策略是接近4000點就減倉，回落下去就加倉。如果你減倉了如果大盤確突破了4000點，仍然要等他確認是有效突破，不能輕易追高。實在不行就放棄哪10%的可能性直接衝擊4500獲利15%的數學期望。
綜合考慮在3990點滿倉獲利的數學期望是負數。

但是這些舉例仍然很虛，假如你對自己手裡的股票很了解很有信心，相信即使大盤暴跌，他還是會無量漲停，那麼以上計算全是狗屎。而且我這些說的這些個可能性，也是存粹瞎猜，數據沒有可靠性。

我個人覺得，由於股票是複利疊加的，所以假如能夠迴避所有的負數期望行為，避免回撤，即使只做小部分數學期望非常高的行動，最後的收益也非常可怕，所以大盤寬幅震蕩期間多看少動是好策略。

1. 為什麼要學高等數學

現行中學階段的數學多屬於初等數學。它只能分析和處理不變的與均勻變化的事物。只要我們涉及到不均勻變化過程中的瞬時變化率與區間累積（幾何意義就是曲線的斜率與曲邊圖形的面積），如果只用有限步的四則運算與開方、對數的話，顯然是無法直接表示出來的。而函數就是描述因變數隨自變數變化的數學概念。為了讓這類問題的求解思路形式化、套路化，一個很自然的想法就是對函數定義導數和積分，而它們又可以被定義為兩類特殊的極限。於是，以極限為基礎，以微分、導數與積分為核心的高等數學的基礎框架就這樣形成了。它是系統性研究變數的必備工具。微積分是高等數學的核心之一。

不均勻變化在自然界與社會中普遍存在。引入高等數學之後，我們就可以廣泛地對變化中的事物利用數學手段進行研究。

2. 為什麼要學線性代數

在計算機廣泛應用的今天，計算機圖形學、計算機輔助設計、密碼學、虛擬現實等技術無不以線性代數為其理論基礎和演算法基礎。隨著科學的發展，我們不僅要研究單個變數之間的關係，還要進一步研究多個變數之間的關係，各種實際問題在大多數情況下可以線性化，而由於計算機的發展，線性化了的問題又可以計算出來，線性代數正是解決這些問題的有力工具。線性代數的計算方法也是計算數學裡一個很重要的內容。

「如果進入科研領域，你就會發現，只要不是線性的東西，我們基本都不會！它是人類少數可以研究得非常透徹的數學基礎性框架。學好線性代數，你就掌握了絕大多數可解問題的鑰匙。有了這把鑰匙，再加上相應的知識補充，你就可以求解相應的問題。不學線性代數，你就漏過了 95% 的人類智慧！非線性的問題極為困難。如果能夠把非線性的問題化為線性的，這是我們一定要走的方向。」，萬門大學校長童哲如是說。

事實上，微積分「以直代曲」的思想就是將整體非線性化為局部線性的一個經典的例子，儘管高等數學定義微分時並沒有用到一點線性代數的內容。很多實際問題的處理，最後往往歸結為線性問題，它比較容易處理。由於科學研究中的非線性模型通常可以被近似為線性模型，使得線性代數被廣泛地應用於自然科學和社會科學中。

上信號與系統的時候，老師是大牛，老愛給我們扯一些抽象的數學，記得很清楚他跟我們說的一句話

「買菜是用不著微積分，但你的人生不可能永遠買菜」

很簡單，高數和線性代數是統計學，運籌學，數值分析，計算機演算法，機器學習，大數據分析等等無數學科的必備基礎

記得在知乎上看到一句話：「你讀過的書，經歷過的事，等時間長了，那些細枝末節你都忘了，剩下來的，就成了你的素質。」

高數和線代肯定是有用的，看題主這麼問，你多半不是工科，理科生。跟你說多了你也不理解。

很多知識都是沒有直接作用的，但是這些東西都潛移默化地融入了我們的思維，影響著我們的思考方式和世界觀。除了考試，你可能一輩子都不會直接用到線代和高數，但是它已經融入了你的思維中，開啟你的智力。

而且，我覺得某些基礎學科的知識，比如高數，物理，化學等，就像紅燈停，綠燈行一樣，是一個作為21世紀的人必須知道的。

大一的時候也沒發現這東西有什麼用，所以沒好好學，掛科補考重修，費時費財，所以千萬別掛科！！
後來上了大三發現，不論考研還是出國，這兩門都是非常重要的，尤其是出國有績點要求，成績要在85分以上。
選擇工作的話，理工科的考一些專業證書也必然會考到這些內容，學金融會計的也會。

一門課程里可能有相對重要或者不重要的內容，但整體而言，這門課程既然出現在你所學專業的基礎必修課程裡面，那它對於你今後的學習、深造、工作一定是有用的！

另外，我雖然討厭數學，但是一直反感那些人叫囂著「數學有什麼用？你買菜要用微積分嗎？」
難道你這輩子就打算買菜做飯不做別的工作？

孩子，好好學習，不要為你的懶惰逃課找借口~~~＜

大一高數沒學好，一路兵敗如山倒。你打地基的時候，的確看不到那大樓究竟什麼模樣。

你手機能掃二維碼就是線性代數的功勞。你手機能打電話，也是線性代數的功勞。你聽mp3能調模式也是線性代數的功勞。至於高數..廣泛的運用在上述領域，還需要舉例更多麼？沒高數，你家電壓就會不穩...你感覺對你沒有用..是因為你的認識還沒到這個範圍....

打基礎，為以後表白用。比如

在世間千萬個耦合電路的輸入端與負載當中，我偏偏遇見你，不多不少，一切剛好

海綿寶寶之所以這麼快樂，是因為派大星才是他生命中最珍貴的傅里葉變換

排名第二的答案相當好。

不知道題主的「有用」指的是對你工作上有用？普通人日常生活有用？還是包括所有範圍的有用？
那我當作是全範圍的疑問吧。

首先這兩門課對於你學習生活（學分/績點/考研等）的重要性我就不贅述了，題主應該也心裡有數。先說說學校為什麼要教授我們這些課。
無論是何等院校何種專業，基本都有高數的課程，只不過要求不同。就我所知，大部分情況下，與數學相關的理工科專業外的專業的數學課程被當作公共課或選修課來處理，說明普遍院校都將其視為必修通識教育。總的來說，他們不奢望你能用它在以後做出什麼成就，只希望你大概知道「有這麼回事」就行了。
那高數為什麼會被採用為這種大學通識教育課程？最大的原因是它是大眾認知中的基礎學科。基礎學科的特點簡單地來說就是對比非基礎學科它顯得抽象且通用，在為更高級學科的學習打基礎的同時也能起到鍛煉思維的作用。高數的加入也完全契合國內院校的「全面教育」方針。

既然學校要教授這門課程，被教授的我們總該知道我們為什麼要學習它，換句話就是我們學習這些課程對我們自身有什麼作用？
文科的學生與學習純數學理論的學生會感到困惑，很難感知到數學在現實生活中到底起到什麼作用。而學習與數學相關的交叉應用學科的學生則會對數學感受頗深。有如下例子

而文科方面的話相同模型圖中的豎線間恐怕就要打叉了。可見，數學在這些理工人的學生生活或者未來的工作生活中正在創造價值使得他們對於這一點更加感性。而這裡面也正正體現高數最重要的一個用處，就是高效處理繁瑣且重要的問題。實際例子的話本題答案已經很多了，不贅述。高數是否能夠在我們精神生活中起到積極作用，也就是其他人說的鍛煉思維？以個人的經歷來說是有的。假設題主很認真看過高數課本的話，肯定不陌生裡面曾經出現過的「當且僅當」、「有且只有」、「幾乎處處」、「充分必要」等一些非常拗口但是仔細想想又非常合理的術語。當我生活上遇到類邏輯問題的時候，也會自然而然地使用這些術語來思辨問題。這是從高數表面上所得到的。
更深層地，比如繁瑣的計算突出細心推理，創造性地證明體現奇思妙想。鍛煉一多了很容易遷移到一些其他領域裡面，比如邏輯辯論、數據挖掘。並且，一旦將高數運用到創造利益的高度出來的成就感相當高。

學習線性代數是為了研究向量空間，高等數學比較複雜，簡單的說除了初等數學以外所有的數學都是高等數學，內容很多，主要是解決無窮級數問題、微積分、空間解析幾何問題。我說的這些可不是理論，就是線代和高數的實際應用，雖然你可能不信覺得還不夠實際，但是事實就是如此，線性系統分析和買菜多少錢一斤一樣都是實際問題，只不過後者比較容易聽懂，但是後者不屬於線性代數和高數的範疇

我只能說：同學，上學總要看教科書吧。可是，如果你看了教科書就不會有這樣的問題的。任何一本教科書的例題和習題上都會舉出很多例子。比如買菜的時候很有用。