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數學經典教材有什麼？

12-27

國內的或國外的，個人覺得北大丘維聲的《高等代數》很不錯。
大家在數學各個方面覺得有什麼經典的入門教材以及高級教材嗎？比如在數學分析，在高等代數，在平面幾何，在立體幾何，在數論，在近世代數，在離散數學，拓撲學，金融數學等。以及有什麼數學方面的科普或者數學史方面的書讓人能愛上數學。當然了數學史方面也可以推薦《幾何原本》這樣的經典。

謝邀。
我只推薦一下我看過的而且覺得非常值得一讀的。每個人對數學教材的品位不同，所以這些只是我個人的觀點。為了讓各位初步了解每本書的特點，我稍微寫了下我自己的感受。
另：我會不定期更新這個答案，刪掉或補充一些書，代表我重新回來看的時候一些不一樣的看法。

數學分析：
Spivak《Calculus》入門最佳，很多定理給出的是「感性」的證明，習題又多又好
Rudin 《Principles of Mathematical Analysis》練級，主要是前八章
提一下卓里奇，俄羅斯這邊的人說他們都不怎麼用卓里奇了。可能大一一上來就學那麼多東西確實有些「殘忍」。

多元分析與流形：
Munkres《Analysis on Manifolds》第三章第四章太啰嗦但其它章出奇的好，第一章我認為是寫的最好的對拓撲和線性代數的review，講Tensor那章也是很好，注意一點，學習這本書之前最好有過一些多元微積分的基礎，否則看第三四章的時候有點空中樓閣的感覺
Loring Tu《An Introduction to Manifolds》簡練易懂，且不需要多少點集拓撲的知識，有些notation很奇怪，比如開區間。對我來說，這本書最大的優點就在於它的誠實。很多書前言會寫不需要太多prerequisites，但你讀著讀著就會發現作者在開玩笑。這本書作者真的就做到了。還有它的習題量合理，難度適中，且都有hint，極為適合自學。總之強推。
Nigel Hitchin《Differentiable Manifolds》這只是一個講義，但是寫的很好。

線性代數：
《Linear Algebra Done Right》必備，目前為止最喜歡的數學書
Hoffman《Linear Algebra》字典，能用到的這都有，但有些老，有些過於代數

抽象代數：
Vinberg《A Course in Algebra》很幾何，適合自學，習題穿插文中，是我很喜歡的風格
Robert Ash《Basic Abstract Algebra》這個書很適合自學和複習，題不多但很精緻，並且都有答案。所有的證明都是範本一樣的書寫，並且選取的都是最好的證明。內容上不多，即使自學也不會覺得迷失。我當時期末複習就靠這本書和老師的筆記。
DummitFoote《Abstract Algebra》例子多，是個定理的，是個結論的這書里都有。就是太厚了，習題多到做不完，好在都有答案
Rotman 《Advanced Modern Algebra》這個書AMS現在出第三版了，國內出過第一版，運氣好能找到第一版。這個我現在覺得是寫得最好的，但是前提是你得有點基礎。Rotman的書都不錯
Mathematics -- J.S. Milne這裡面的lecture notes處理都很現代，Milne出品，業界良心。
說一下Lang的大部頭，我的教授是這麼說的：This is not a book for reading.他覺得Lang的書主要是reference book，所有定理的證明基本上選取的都是最簡潔的，而不是最易懂的。另外，Lang也可以用來檢查自己哪裡還沒有學懂。

拓撲：
Munkres《Topology》聖經
John Lee《Introduction to Topological Manifolds》不失幾何觀點，同時又不像Hatcher全是YY。多補充一句我為什麼不喜歡Hatcher這種風格。一本書寫得再難懂，你多想想還有可能懂，但是如果是形象化的靠想像的證明，你想不出來就是想不出來。

複分析：
Stein 《Complex Analysis》借用我同學的一句話，讀這本書就像讀小說一樣，相當流暢。但深度不足，有些證明並不嚴謹，所以天賦高的可以考慮下面的這本：
Markushevich 《Theory of Functions of a Complex Variable》又是蘇聯人留給數學界的一個完美的作品。Amazon全五星評價，細緻入微，證明嚴謹友好。總之哪裡學不懂，來這裡找，肯定有，也肯定講得更好。缺點就是太厚了，鋪墊太多，前兩百頁左右其實可以直接跳過去。

實分析：
Zygmund and Wheeden《Measure and Integral》這本書寫得很好，風格有點像Rudin，很concrete。我最喜歡這本書的一點是該有的定理和性質都會給證明，不像有些書放在習題里，沒有老師的話就錯過了。最近出了新版，是Wheeden一個人寫的。
Donald Cohn 《Measure Theory》作者並不是一流數學家，但是書寫的難得的好，挑不出毛病來。國內應該能買到第一版。
Piemarco Cannarsa and Teresa D"Aprile 《Introduction to Measure Theory and Functional Analysis》這書我覺得大部分人應該都沒聽說過吧……但是我為了複習實分析大概的讀了一些，感覺寫的很好。內容上不貪多，所用符號不亂，給出的證明簡潔。

概率論與隨機過程：
GrimmettStirzaker 《Probability and Random Processes》這本算是本科和研究生都可以看的概率書，題是真多，不過有配套的答案，開刷吧！
Robert Ash 《Probability and Measure Theory》這是一本既可以當實分析教材又可以當概率論教材的書，Ash寫的所有書沒有不好的，這本也一樣。這本書證明都非常的標準，習題也均有答案，選取的topic也很恰當，很適合自學。我非常推崇Ash的書的一個原因就是他寫的東西都是很標準的，是正確地學這個東西的方式。Ash有個習慣，就是學完一個東西就寫本書，所以他寫的書跨度極大，什麼方向都有。
Rick Durrett 《Probability: Theory and Examples》初學概率論不覺得這本書寫得好，現在才覺得是真好啊。習題給勁，證明簡介，結構清晰，選題恰當。對於初學者不甚友好，但是有過很好的測度論基礎和一些概率基礎之後再看，才會明白為什麼北美基本所有學校都用這本書當教材。
Erhan Cinlar 《Introduction to Stochastic Processes》
Durrett 《Essentials of Stochastic Processes》
兩本標準的隨機過程書，都很好，而且不assume測度論。

組合學：
Miklos Bona《A Walk Through Combinatorics》沒看過幾本組合書，但我認為這本很好

ODE：
Arnold《Ordinary Differential Equations》初學有點難（如果初學ODE這本書能讀懂，那內功真的很深厚了），不過不像其他ODE書那麼無聊

更多的東西可參考：
Chicago Undergraduate Mathematics Bibliography Chicago undergraduate mathematics bibliography
另外說一下，抽象代數還可以看一下Benedict Gross的視頻，你不可能聽到更清楚地講解了。
值得最後一提的是，ETHZ的很多老師寫的講義都很好，比如Dietmar Salamon等，Nigel Hitichin寫了幾個雖短但是精緻的lecture notes，善於從網上找資源，也是很好的，畢竟免費。

stein的傅立葉分析，學完數學分析後就可以學，讀起來有趣具有啟發性^_^
GH的代數幾何原理，代數幾何領域的聖經。
放兩張圖，感謝@phosphate友情出鏡

GTM84，對想了解數論的小白很值得擁有，絕對的！！《 A classical introduction to modern number theory》
讓你迅速從二次剩餘高次剩餘，進入代數數論，然後順下L-function和一些簡單的丟潘圖方程，最後分析了最簡單形式的橢圓曲線和局部情況，當然只是初窺門徑，但確是爽的飛起。
對於想學解析數論的小白，當然Apostol的《introduction to analytic number theory》，太經典。
好吧我上學期讀的就是這兩個，最後我覺得本科生不容錯過的還有Neukirch的《class field theory》,說到p-adic number 大家可能會覺得高大上，但是A.Baker的《introduction to p-adic numbers and p-adic analysis》還是比較平易近人的。

龔升的《簡明複分析》，足夠薄，足夠簡明。

謝妖~

前面幾位答主的建議已經其實已經很詳實了，我在這裡就根據自己的經驗寫一點吧。

  • 數學分析
  • baby Rudin 和 Apostol 的 Mathematical Analysis 被稱為西方數學分析教材的「雙壁」。
  • 菲爾金格爾斯的《微積分學教程》 非常適合初學者自學，例子很豐富，也交給你很多技巧，非常難得的好書。當然第三卷對於多元微積分部分的處理不夠現代，也可以不看。

  • 代數
  • Groups and Symmetry, Amstrong 學群論不讀這本書不完整，只讀這本書不充分。
  • Algebra, Serge Lang 代數的經典教材。Ken. Ribet 評價為「代書聖經」，也是我的第一本代數書。可以和作者 Undergraduate Algebra一起看。
  • Abstract Algebra, Dummite Foote比上面那本好讀，例子和習題也多不少但是有的地方寫的太羅嗦。不過依然是一本極好的書。
  • Introduction to Commutative Algebra, Atiyah Mcdonald 無須解釋的經典，關鍵是要好好做書後習題。
  • An Introduction to Homological Algebra, Weibel。很好的同調代數入門。

  • 數論
  • A Course in Arithmetic, Serre。這本書是作者給巴黎高師大二的學生開課的講義，非常經典。特別是最後關於模形式的部分，收到很多數論大家推崇，比如 Richard Borcherds。貌似還有人說 "Anyone interested in modular forms should begin with the last part of Serre"s book."
  • 《數論導引》，華羅庚。書是老了一點，估計現在不再出版了。內容很齊全，也側重一些技巧的介紹。有意思的是作者的語言很風趣，貌似在二次互反律一章李作者寫道「故高斯氏不特老謀，而且深算。」
  • Rational Points on Elliptic Curves, Silverman Tate. 橢圓曲線的入門，貌似也是僅有的 Tate署名的書中的一本。寫的很基礎，比較側重直觀的感覺，有的定理沒有嚴格的證明，書後有大量習題。唯一的遺憾可能就是筆誤有點多吧。。。

其實數學裡面的經典書籍很多的，如果真的分門別類地介紹是要花很多功夫的，比如
Chicago undergraduate mathematics bibliography

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更新一下關於幾何和拓撲部分的材料吧，雖然不是做這個方向的。。。

  • Lectures on Elementary Topology and Geometry,I.M. Singer, J.A. Thorpe. 作者之一是 著名的Atiyah-Singer之一的Singer。這本書的內容在基礎的拓撲學和幾何學中dense。
  • Complex Algebraic Curves, Francis Kirwan. Kirwan女神是Atiyah的著名學生之一，這本書是作者給牛津大學大三學生上課的講義。非常精美的一本書。
  • Algebraic Topology, A. Hatcher. 無需多言的經典，特別是對初學者。講得很細緻，但是有點過於啰嗦。不過如果你能耐下心來閱讀，就會發現作者其實很苦口婆心地叫你怎麼樣去理解拓撲。下功夫看這本書可以得到很好的幾何上的直覺。
  • 我沒學過微分幾何，就不推薦相關了。。。你們不要嘲笑我。。。

好吧，再說一點表示論和李理論吧

  • Linear Representations on Finite Groups, Serre. 又是 Serre的書。基礎知識要求很少，任何一個大一學生都能看。
  • Representation Theory: a First Course, Fulton Harris. Richard. Borhcerds 推薦的表示論入門。裡面有非常多的例子，炒雞喜歡~
  • Lectures on Lie Algebras, J.Bernstein. Bernstein大神的名字如雷貫耳。這份notes很短，但是從最最基礎的李代數的定義一直講到Verma module 以及 Weyl Character Formula。看完之後就可以直接進入 BGG Category O 的學習了。
  • Representations of Semisimple Lie Algebras in BGG Category O, Humphreys. 其實作者還有一本Linear Algebraic Groups 也是經典。
  • D-Modules, Perverse Sheaves, and Representation Theory, Ryoshi Hotta etc. 第一部分是D-module 的理論介紹，還有perverse sheaves 的介紹。不過當時是大二，不懂同調，所以很多東西沒好好看。。。第二部分講geometric aspects of representation theory.非常好的入門，但是有日本數學家寫書的通病，有的地方太過technical，整體上的想法反而不夠突出。。。但無論如何是一本好書。

所以真正重要的是，挑一兩本是很自己的書，把它們讀懂，讀透徹，最忌諱每本書都看一點，哪本書也沒學通。

一復旦的牛人的總結，有點長，但精華很多


復旦大學的一位牛人的數學教材推薦,其中部分教材已經出新版了.我是在北大的網站上找到的,在我的電腦上放了一年多了,今天整理了一下,貼上來和大家共享!

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從數學分析的課本講起吧.


1．復旦自己的課本應該可以從六十年代上海科技出的算起(指正式出版),那本書在香港等地翻印後反應據說非常好,似乎丘成桐先生做學生的時候也曾收益與此. 到90年代市面上還能看到的課本裡面,有一套陳傳璋先生等編的,可能就是上面的書的新版,交大的試點班有幾年就拿該書做教材.

2．另外有上海科技版的歐陽光中(谷先生的連襟),秦曾復,朱學炎三位編的課本,好象後來數學系不用了,計算機系倒還在用.那本書裡面據說積分的第二中值定理的陳述有點小錯. 總的說來,這些書裡面都可以看到一本書的影子,就是菲赫今哥爾茨的"數學分析原理",其原因,按照秦老師的說法,是最初在搞教材建設的時候,北大選的"模本"是辛欽的"數學分析簡明教程",而復旦則選了"數學分析原理". 後來自然有歐陽先生和姚允龍老師的那本數學分析.我不否認那是一種嘗試,但是感覺上總有點彆扭.以比較新的觀點來看數學分析這樣經典的內容在國際上的確是一種潮流,但是從這個意義上說該書做得並不是非常好.而且從整體的課程體系上說,在後面有實變函數這樣一門課的情況下是否有必要引入Lebesgue積分值得商榷.

3. 菲赫今哥爾茨 "微積分學教程","數學分析原理".L標 題: 數學分析-高等數學(二) 下面開始講一些課本,或者說參考書 前一本書,俄文版共三卷,中譯本共8本; 後一本書,俄文版共二卷,中譯本共4本. 此書堪稱經典."微積分學教程"其實連作者(莫斯科或者列寧格勒大學的教授,門下弟子無數,包括後來得諾貝爾經濟學獎的著名數學家Kantorovitch)都承認不太合適作為教材,為此他才給出了能夠做教材的後一套書,可以說是一個精簡的版本(有所補充的是在最後給出了一個後續課程的簡介).相信直到今天,很多老師在開課的時候還是會去找"微積分學教程",因為裡面的各種各樣的例題實在太多了.如果想比較紮實的打基礎的話,可以考慮把裡面的例題當做有答案的習題來做,當然不是每道題都可以這麼辦的.如果你全部做完了那裡的題目然後考試的時候碰到你做過的可別怪我.毫無疑問,這套書代表了以古典的方式處理數學分析內容(指不引入實變,泛函的觀念)的最高水平,考慮到在中國的印數就以十萬計,可能在世界範圍內也只有Goursat的書可以與之相比了.這兩套書在理圖裡面都有.

4.Apostol
"Mathematical Analysis" 在西方(西歐和美國),這應該算得上是一本相當完整的課本了,在總書庫裡面有.

5.W.Rudin
"Principles of Mathematical Analysis" (有中譯本:盧丁"數學分析原理",理圖裡有) 這也是一本相當不錯的書,後面我們可以看到,這位先生寫了一個系列的教材.該書的講法,(指一些符號,術語的運用)也是很好的. 這裡附帶說一句,因為在理基裡面當年念的是後來複旦出版社出的秦老師和余躍年編的"高等數學",雖然我一向認為該書編的很是不好,但是在這裡想引秦老師的一句話,希望能對非數學專業的ddmm有所幫助:就是學完"高等數學"以後,可以找一本西方advanced calculus水平的書來看,基本上就能夠達到一般數學系的要求了.當時秦老師曾特別指出Rudin的書. 說到Advaced Calculus,在這個標題下面有一本書也是可以一看的,就是 L.Loomis和S.Sternberg的Advanced Calculus,其第一版在總書庫裡面有不少,第二版在理圖外國教材中心有一本,系資料室是不是有不清楚.這本書的觀點還是很高的,畢竟是人家Harvard的課本. 標 題: 數學分析-高等數學(三)

6．."數學分析"(北大版)方企勤,沈燮昌等 "數學分析習題集","數學分析習題課教材". 北大的這套課本寫得還是可以的,不過最好的東西還是兩本關於習題的東西.大家知道,吉米多維奇並不是很適合數學系的學生的,畢竟大多是計算題(一個比較有意思的地方是那套被廣大教師痛罵的習題解答其實有一個題的第二小題是沒答案的,原因好象是編書的人也沒做出來,好象是關於級數收斂的一個題目).相比之下北大的這本習題集就要好許多,的的確確值得一做.那本習題課教材也是很有意思的書,包括一些相當困難的習題的解答,96年那會理圖裡面有一本,現在不知道怎麼樣了.

7.克萊鮑爾"數學分析" 記得那是一本以習題的形式講分析的書,題目也很不錯.理圖裡有.

8.張築生"數學分析新講"(共三冊) 我個人認為這是中國人寫的觀點最新的數學分析課本,張老師寫這書也實在是嘔心瀝血,手稿前後寫了差不多五遍.象他這樣身有殘疾的人做這樣一件事情所付出的是比常人要多得多的.以致他自己在後記中也引了"都雲作者痴,誰解其中味".在這套書里,對於許多材料的處理都和傳統的方法不太一樣.非常值得一讀.唯一的遺憾是,按照張老師本人的說法,北大出版社找了家根本不懂怎麼印數學書的印刷廠,所以版面不是很好看.理圖裡有. 標 題: 數學分析-高等數學(四)

9a.尼柯爾斯基"數學分析(教程?)" 理圖裡有,是清華的人翻譯的,好象沒翻全.那屬於80年代以後蘇聯的新潮流的代表,不管怎麼說,人家是蘇聯科學院院士.


9b."數學分析" 忘了是誰寫的了, 也是蘇聯的,莫斯科大學的教材.理圖裡面有第一卷的中譯本,分兩冊.那裡面從極限的講法(對於拓撲基的)開始就能夠明顯得讓人感覺到觀點非常的"高".

10.狄多涅"現代分析基礎(第一卷)" 那是一套二十世紀的大家寫的一整套教材的第一卷,用的術語相當"高深",可能等以後學了實變,泛函再回過頭來看感覺會更好一些.

11.說兩句關於非數學專業的高等數學. 這裡強烈推薦理圖裡面幾本法國人寫的數學書.因為在法國高等教育系統裡面,對於最好的學生,中學畢業以後念的是兩年大學預科,這樣就是不分系的,所以他們的高等數學(比如理圖裡面有J.Dixmier院士的"高等數學"第一卷)或者叫"普通數學"(理圖裡面有一套書就是這個標題),其水平基本上介於國內數學系和物理系的數學課之間. 標 題: 數學分析-高等數學(五)

12.再補充一個技術性的小問題.對於函數項級數收斂,一致收斂是充分而非必要的,有一個充要條件叫"亞一致收斂性",在"微積分學教程"裡面提了一句,其詳細討論,似乎僅見於魯金(Lusin)的"實變函數論"裡面,總書庫裡面有.

13.華羅庚先生的"高等數學引論"第一卷這套書(其實沒有完成最初的計劃)是六十年代初華先生在王元先生的輔助下對科大學生開課時的講義.那時候他們做過一個實驗,就是一個教授負責一屆學生的教學,所以華先生這書裡面其實是涉及很多方面的(附帶提一句,另外兩位負責過一屆學生的是關肇直先生和吳文俊先生).也是出於一種嘗試吧,華先生這書裡面有一些不屬於傳統教學內容的東西,還包括一些應用.可以一讀.理圖裡有.

14.何琛,史濟懷,徐森林 "數學分析" 這應該是科大的教材,雖然好象影響不是很大,我本人還是很喜歡的,高一的時候第一次學數分就是用的這套書,感覺是條理清晰,配的習題也很好.印刷質量也相當不錯.可惜的是學校裡面沒有,所以放在最後. 標 題: 空間解析幾何(上) 空間解析幾何實在是一門太經典,或者說古典的課.從教學內容上說,可以認為它描述的主要是三維歐氏空間裡面的一些基本常識,包括最基本的線性變換(那是線性代數的特例),和二階曲面的不變數理論.在現行的復旦的教材,蘇先生,胡先生他們編的"空間解析幾何"裡面,最後還有一章講射影幾何. 這本書非常之薄.但是內容還是比較豐富的.特別是有些習題並不是非常容易.最後一章射影的內容還不是很好念的. 當然,這裡還要提到十來年前大概做過教材的一本書:項武義,潘養廉等"古典幾何學".這書的內容與課本不是很一樣,不過處理方法還是很不錯的.項先生應當算做很能侃的那種類型的. 可以考慮的參考書包括:

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解析幾何學


1.陳(受鳥) "空間解析幾何學" 內容基本上和課本差不多,不過要厚許多,自然要好念點.陳先生是吳大任先生(大猷先生的堂弟,南開多年的教務長)的夫人,也是中國早期留學海外的女學者.

2.朱鼎勛 "解析幾何學" 這本書基本上只在歐氏空間裡面討論問題.優點是非常易懂,連二維的不變數理論也在附錄裡面交代得異常清楚.那裡面的習題也比較合理,不是非常的難(如果我沒有記錯的話).朱先生相當有才華,可惜英年早逝. 標 題: 數學分析-高等數學(補) 關於數學分析的習題,

3．還有一本書,就是 G.Polya(波利亞),G.Szego(舍貴)的"數學分析中的問題和定理"在學習數學分析的階段,可以考慮其第一卷的前面一半,後面就全是復變的東西了.該書的內容還是非常豐富的.在歷史上,這是一套曾經使好幾代數學家都受益匪淺的經典著作.這套書的一個好處就是題目難歸難,後面還是有答案或提示的. "微積分學教程"的第一卷有一冊在理圖裡面似乎很少, 到總書庫裡面去看看吧!

4． Loomis-Sternberg的書的書號是O172 L863 標 題: 空間解析幾何(下)

5．如果想了解比較"新"的動態,可以考慮Postnikov
"解析幾何學與線性代數(?)"(第一學期) 這是莫斯科大學新的課本,從課程形式就可以看出,解析幾何這樣一門課如果不是作為對剛進大學的學生的一個引導,給出一些具體的對象的話,遲早是要給吃到線性代數裡面去的.海外教材中心有一本英文本. 我個人以為,現在教委的減輕學生負擔的做法遲早是要遭報應的.中國的中學教育水平也就比美國最糟糕的中學好點,從整體上說,比整個歐洲都要差.我相信所謂三維的"解析"幾何的內容總有一天要下放到高中裡面去. 上面的書如果撐不飽你,你又不想學其它的課程的話.可以考慮下面兩本經典.其好處是看過以後可以對很多幾何對象(當然具體說是指三維空間裡面的二次曲面)有相當深刻的了解.

6.狄隆涅 "(解析)幾何學" 這套三卷本的大書包括了許多非常有意思的討論,記得五年前看的時候感覺非常有意思.這位蘇聯科學院院士真是夠能寫的.總書庫裡面有.

7.穆斯海里什維利 "解析幾何學教程" 這套書在上面提到的陳先生的書裡面就多次引用了.具體的說特別值得參考的是它裡面關於射影的一些觀點和講法(比如認為橢圓也是有漸近線的,只不過是"虛"的而已).

標 題:高等代數-線性代數(一)


高等代數可以認為處理的是有限維線性空間的理論.如果嚴格一點,關於線性空間的理論應該叫線性代數,再加上一點多項式理論(就是可以完完全全算做代數的內容的)就叫高等代數了.這門課在西方的對應一般叫Linear Algebra,就是蘇聯人喜歡用高等這個詞,你可以在外國教材中心裏面找到一本


1．Kurosh(庫落什)的Higher Algebra.

2．現在用的課本好象是北大的"高等代數"(第二版?).


用外校的課本在基礎課裡面是不常見的.這本書可以說是四平八穩,基本上該講的都講了.但是你要說它有什麼地方講的特別好,恐怕說不出來. 值得注意的是95-96學年度,北大現在的校黨委組織部長王傑老師(段學復先生的弟子)給北大數學科學學院95級1班開課時曾經寫過一本補充材料,把空間理論的講得非常清楚.如果誰能搞到的話翻印出來是件很好的事情(我的那本舒五昌老師給96開課的時候送給他了,估計是找不到了).


好象上面有一點說得不對,就是北大的書用的還是第一版.第二版在書店裡似乎看見過.

從這門課的內容上說,是可以有很多種講法的.線性空間的重點自然是線性變換,那麼如果在定義空間和像空間裡面取定一組基的話,就有一個矩陣的表示.因此這門課的確是可以建立在矩陣論上的.而且如果要和數值搭界的話還必須這麼做.復旦以前有兩本課本就是這麼做的.


1.蔣爾雄,吳景琨等 "線性代數" 這是那時候計算數學專業的課本,其教學要求據說是比數學專業相應的課程要高的.因為是偏向計算的緣故,你可以找到一些比較常用的演算法.我個人以為還是比較有意思的.理圖裡有.

2.屠伯塤等 "高等代數" 這就是在上海科技出版的一整套復旦數學系教材里講高等代數的那本.不記得圖書館裡面有,不過系裡可能可以買到翻印的. 這本書將80%的篇幅貢獻給矩陣的有關理論.有大量習題,特別是每章最後的"選做題".能獨立把這裡面的習題做完對於理解矩陣的各種各樣的性質是非常有益的. 當然這不是很容易的:據說屠先生退休的時候留下這麼句話:"今後如果有誰開高等代數用這本書做教材,在習題上碰到麻煩的話可以來找我."有此可見一斑.

如果從習題方面考慮,覺得上面的書太難吃下去的話, 那麼下面這本應該說是比較適當的.


3.屠伯塤等 "線性代數-方法導引" 這本書比上面那本可能更容易找到,裡面的題目也更"實際"一些.值得一做. 另外,講到矩陣論.就必須提到

4.甘特瑪赫爾"矩陣論" 我覺得這恐怕是這方面最權威的一本著作了.其中譯者是柯召先生. 在這套分兩冊的書裡面,講到了很多不納入通常課本的內容.舉個例子,大家知道矩陣有Jordan標準型,但是化一個矩陣到它的Jordan標準型的變換矩陣該怎麼求?請看"矩陣論".這書裡面還有一些關於矩陣方程的討論,非常有趣.總書庫里有. 圖書館裡面還有一本書的名字和矩陣論沾邊.

5.許以超 "線性代數和矩陣論" 雖然許先生對復旦不甚友好(高三那會他對我說要在中國念大學數學系要麼去北大,要麼去科大--他是北大畢業的,現在數學所工作--我可沒聽他的),但是必須承認這本書還是寫得很不錯的,習題也不錯.必須指出,這裡面其實對於空間的觀念很重視.不管怎麼樣,他還是算華先生的弟子的. 標 題: 高等代數-線性代數(四)

6.華羅庚 "高等數學引論" 華先生做數學研究的特點是其初等直觀的方法別具一格,在矩陣理論方面他也有很好的工作.甘特瑪赫爾的書裡面你只能找到兩個中國人的名字,一個是樊畿先生,另一個就是華先生.可能是他第一次把下述觀點引進中國的數學教材的(不記得是不是在這本書裡面了):n階行列式是n個n維線性空間的笛卡爾積上唯一一個把一組標準基映到1的反對稱線性函數.這就是和多線性代數或者說張量分析的觀點很接近了. 高等代數的另外一種考慮可能是更加代數化的.比如

7.賈柯勃遜(N.Jacobson) Lectures on Abstract Algebra ,II:Linear
Algebra GTM(Graduate Texts in Mathematics)No.31 ("抽象代數學"第二卷:線性代數) 這裡想說的是,這套書的中譯者黃緣芳先生,大概數學系裡面已經沒多少人還記得文革前復旦有這麼一位代數學教授了.此書英文版總書庫里有,中文版(字體未完全簡化)理圖裡有.

8.Greub Linear Algebra(GTM23) 這裡面其實更多講的是多線性代數.裡面的有些章節還是值得一讀的.

9.丘維聲 "高等代數"(上,下) 北大94級的課本,相當不錯.特點是很全,雖然在矩陣那個方向沒有上面提到的幾本書將得深,但是在空間理論,具體的說一些幾何化的思想上講得還是非常清楚的.多項式理論那塊也講了不少.

10.李炯生,查建國 "線性代數" 這是中科大的課本,可能是承襲華先生的一些傳統把,裡面有一些內容的處理在國內可能書屬於相當先進的了.

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標題: 常微分方程(一)


從常微分方程開始,數學課就變成沒底的東西,每一個標題做下去都是數學研究裡面龐大的一塊.對於一門基本課程應該講些什麼也始終討論不斷. 這裡我打算還是從現行課本講起.


常微分方程這門課,金福臨先生和李迅經先生在六十年代寫過一本課本,後來在八十年代由控制那一塊的老師們修訂了一下,變成第二版,就是現在常用的課本. 上海科技出版社出版.應該說,金先生他們的第一版在今天看來還是很好的一本課本(這本書估計受了下面的一本參考書的不小的影響), 該書在理圖老分類的那一塊里有. 但是第二版有那麼點不敢恭維.不知為什麼,似乎這本書對具體方程的求解特別感興趣,對於一些比較"現代"的觀點,比如定性的討論等等相當地不重視.最有那麼點好笑的是在某個例子中(好象是介紹Green函數方法的),在解完了之後話鋒一轉,說"這個題其實按下面的辦法解更簡單..."而這個所謂更簡單的辦法是根本不具一般性的.

下面開始說參考書,毫無疑問,我們還是得從我們強大的北方鄰國說起.


1.彼得羅夫斯基 "常微分方程講義" 在20世紀數學史上,這位前莫斯科大學校長佔據著一個非常特殊的地位.從學術上說,他在偏微那一塊有非常好的工作,五十年代谷先生去蘇聯讀學位的時候還參加過他主持的討論班.他從三十年代末開始就轉向行政工作.在他早年的學生裡面有許多後來蘇共的高官,所以他就利用和這些昔日學生的關係為蘇聯數學界構築了一個保護傘,他本人也以一個非共產黨員得以做到蘇聯最高蘇維埃主席團成員.下面將提到的那個天不怕地不怕的Arnold提起他來還是滿恭敬的.他這本書在相當長的時期里是標準教材,但是可能和性格,地位有關吧,對此書的一種評論是有學術官僚作風,講法不是非常活潑.

2.龐特里亞金 "常微分方程" 龐特里亞金院士十四歲時因化學實驗事故雙目失明,在母親的鼓勵和幫助下,他以驚人的毅力走上了數學道路,別的不說,光看看他給後人留下的"連續群","最佳過程的數學理論",你就不得不對他佩服得五體投地,有六體也投下來了.他的這本課本就是李迅經先生他們翻譯的.此書影響過很多我們的老師輩的人物,也很大的影響了復旦的課本.如果對沒有完全簡化的字不感冒的話絕對值得一讀.

歐美方面, 3.Coddington Levinson "Theory of
Ordinary Differential Equations" 這本書自五十年代出版以來就一直被奉為經典,數學系裡有.說老實話這書里東西太多,自己看著辦吧. 比較"現代"的表述有

4.Hirsh
Smale "Differential Equations ,Linear Algebra and Dynamical Systems"
(中譯本"微分方程,線性代數和動力系統")這兩位重量級人物寫的書其實一點都不難念, 非常易懂.所涉及的內容也是非常基本,重要的.關於作者嘛, 可以提一句,Smale現在在香港城市大學,身價是三年1000萬港幣.我想稱他為在中國領土上工作的最重要的數學家應該沒有什麼疑問.圖書館裡有中譯本. 標 題: 常微分方程(四)

5.Arnol"d
"常微分方程" 必須承認,我對Arnol"d是相當崇拜的.作為Kolmogorov的學生,他們兩就佔了KAM里的兩個字母.他寫的書,特別是一些教材以極富啟發性而著稱.實際上,他的習慣就是用他自己的觀點把相應的材料全部重新處理一遍.從和他的幾個學生的交往中我也發現他教學生的本事也非常大.特別是他的學生之間非常喜歡討論,可能是受他言傳身教的作用吧.他自己做學生的時候就和其它幾個學生(都是跟不同的導師的)組織了討論班,互相教別人自己的專長,想想這裡都走出來了些什麼人物吧:Anosov,Arnol"d,Manin,Novikov,Shavarevich,Sinai...由此可見互相討論的重要性.從學術觀點上說,他更傾向於比較幾何化的想法,在這本書裡面也得到了相當的體現.近年來,Arnol"d對於Bourbaki的指責已經到了令大家瞠目結舌的程度.不過話說回來,在日常生活中他還是個非常平易近人的人,至少他的學生們都是這麼說的.這本書理圖裡有中譯本,不過應當指出譯者的英文水平不是很高,竟然會把"北極光"一詞音譯,簡直笑話. 再說一句,Arnol"d的另外一本書,中文名字叫"常微的幾何方法...." 的,程度要深得多. 看了半天,講來講去都是外國人寫的東西,有中國人自己的值得一看的課本嗎?答曰Yes.

6.丁同仁,李承治 "常微分方程教程" 這絕對是中國人寫的最好的常微課本,內容翔實,觀點也比較高.在復旦念這本書還有一個有利的地方,袁小平老師是丁先生的弟子,有不懂的話不愁找不到人問.附帶提一句,理圖裡面有這書,但是是第一次(?)印刷的,裡面有一個習題印錯了,在後來印刷的書裡面有改動. 標 題: 常微分方程(五) 再說一句,就是真的對解方程感興趣的話不妨去看看

7.卡姆克(Kamke) 常微分方程手冊,那裡面的方程多得不可勝數,理圖裡有. 對於變係數常微分方程,有一類很重要的就是和物理里常用的特殊函數有關的.對於這些方程,現在絕對是物理系的學生比數學系的學生更熟悉.我的疑問是不是真有必要像現在物理系的"數學物理方法"課里那樣要學生全部完全記在心裡.事實上,我很懷疑,不學點泛函的觀點如何理解這些特殊函數系的"完備性",象

8.Courant-Hilbert
"數學物理方法"第一卷可以說達到古典處理方法的頂峰了,但是看起來並不是很容易的.我的理解是學點泛函的觀點可以獲得一些統一的處理方法,可能比一個函數一個方法學起來更容易一些. 而且,

9.王竹溪,郭敦仁 "特殊函數概論" 的存在使人懷疑是不是可以只對特殊函數的性質了解一些框架性的東西,具體的細節要用的時候去查書.要知道,查這本書並不是什麼丟人的事情,看看揚振寧先生為該書英文版寫的序言吧:"(70年代末)...我的老師王竹溪先生送了我一本剛出版的"特殊函數概論"...從此這本書就一直在我的書架上,...經常在裡面尋找我需要的結論..."連他老先生都如此,何況我們? 上面這兩本書理圖裡面都有,9.的英文版系資料室有一本.

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標題: 單複變函數(一)


單複變函數論從它誕生之日(1811年的某天Gauss給Bessel寫了封信,說"我們應當給"虛"數i以實數一樣的地位...")就成為數學的核心,上個世紀的大師們基本上都在這一領域裡留下了一些東西,因此數學的這個分支在本世紀初的時候已經基本上成形了.到那時為止的成果基本上都是學數學的學生必修的東西.


復旦現在這門課是張錦豪老師教.張老師是做多復變的.毫無疑問,多復變在二十世紀的數學裡也佔有相當重要的地位,不僅它自身的內容非常豐富,在其它分支中的應用也是相當多的--舉個例子就是Penrose的Spinor理論,基本上就是一個複分析的問題.這就扯遠了,就此打住. 張老師用的是他自己的講義,那書要到今年夏天才能印出來.所以還是這兩年上過這門課的ddmm來談談感受比較好. 現在具體的情況我不是很清楚,復旦以前有一本

1.
范莉莉,何成奇 "複變函數論" 這是上海科技出版的那套書裡面的復變.今天回過頭來看,這本書講的東西也不是很難,包括那些數量很不少的習題.但是做為第一次學的課本,應當說還不是很容易的.總的說來,從書的序言裡面列的參考書目就可以看出兩位先生是借鑒了不少國際上的先進課本的. 不知道數學系的學生還發這本書嗎?

2.
如果要列參考書的話,單復變的課本 真是多得不可勝數,從比較經典的講起吧: 2.普里瓦洛夫 "複變函數(論)引論" 這是我們的老師輩做學生的時候的標準 課本.內容翔實,具有傳統的蘇聯標準 課本的一切特徵.聽說過這麼一個小故事: 普里瓦洛夫是莫斯科大學的教授,一次 期末口試(要知道,口試可比筆試難多了, 無論是從教師還是從學生的角度來說), 有一個學生剛走進屋子,就被當頭棒喝 般地問了一句"sin z有界無界?"此人 稀里糊塗地回答了一句"有界",就馬上 被開回去了,實在是不幸之至. 這書不在理圖就在總書庫裡面.

3.
馬庫雪維奇 "解析函數論(教程?)" 這本厚似磚頭的書可以在總書庫里找到. 它比上面這本要深不少.張老師說過, 以前學復變的學生用2.做課本,學完 後再看3.,然後就可以開始做研究了. 這本書的一個毛病是它喜歡用自己的 一套數學史,所以象Cauchy-Riemann方程 它也給換了個名字,好象是Euler-D"Alembert
吧!

4.
再說點西方的: 4.L.Alfors(阿爾福斯) "Complex Analysis(複分析)" 這應該是用英語寫的最經典的複分析教材.Alfors是本世紀最重要的數學家之一(僅有的四個既得過Fields獎又得過Wolf獎的人物之一),單復變及相關領域正好是他的專長.他的這本課本從六十年代出第一版開始就好評如潮,總書庫裡面有英文的修訂本,理圖裡面是不是有中譯本(好象是張馳譯的)記不清了,建議還是看英文的. 這裡需要說明的是,複分析在十九世紀的三位代表人物分別對應三種處理方式:Cauchy--積分公式;Riemann--幾何化的處理;Weierstrass--冪級數方法.這三種方法各有千秋,一半的課本多少在其中互有取捨.Alfors的書的處理可以說是相當好的.

5.
H.Cartan(亨利.嘉當) "解析函數論引論" 這位Bourbaki學派碩果僅存的第一代人物在二十世紀複分析的發展史上也佔有很重要的地位.他在多復變領域的很多工作是開創性的.這本課本內容不是很深,從處理方法上可以算是Bourbaki學派的上程之作(無論如何比那套"數學原理"好念多了:-)) 標 題: 單複變函數(四)

6.
J.B.Conway "Functions of One Complex
Variable"(GTM 11) "Functions of One Complex Variable,II"(GTM
159) (GTM=Graduate Mathematics Texts,是Springer-Verlag的一套叢書,後面的數字是編號)第一卷也是1.的參考書目之一.作者後來又寫了第二卷.當然那裡面講述的內容就比較深一點了.這本書第一卷基本上可以說是Cauchy+Weierstrass,對於在1.中佔了不少篇幅的Riemann的那套東西要到第二卷裡面才能看到.

7.
K.Kodaira(小平邦彥) "An
Introduction to Complex Analysis" 這就是四年前張老師給我們94理基的7個人開課是用的課本.Kodaira也是一位複分析大師,也是Fields+Wolf.這本書屬於"不深,但該學的基本上都有了"的那種類型.總書庫或系資料室有.需要注意的是這本書(英譯本)的印刷錯誤相對多,250來頁的書我曾經列出過100多處毛病.由此我對此書的英譯者F.Beardon極為不滿,因為同樣Beardon自己的一本"Complex
Analysis"我就找不出什麼錯.

8.
偶記得國內的復變教材還有北大庄圻泰的&<&<複變函數&>&>, 不記得是不是和張南嶽合寫的。應該是不錯的， 習題較多。科大嚴鎮軍也有一本&<&<複變函數&>&>也不錯。其他的復變書都大同小異，偶還記得有本鍾玉泉的館藏考貝最多。

9.
下面說說習題 9.G.Polya(波利亞),G.Szego(舍貴)的"數學分析中的問題和定理"第一卷的後半段就是單復變的相當高質量的習題,第二卷的大部分也是,只不過那就有點太過專門了而已.看看這本書的序言就可以多少體會到單復變的地位了.一般來說,裡面的題目都有答案或提示,不過我以為一般來說還是可以獨立做出來的.

10.
"解析函數論習題集" 實在不好意思,作者(大概是三個蘇聯人)的名字忘了,這本書裡面的題目相當多.理圖裡面有,系資料室有一本英文的.其它的書我認為可以翻翻的包括

11.
張南嶽,陳懷惠 "複變函數論選講" 這是北大出版的研究生課本,基本上可以說和上面提到的Conway的第二卷屬於同一水平.從內容上來看,第一章"正規族",第二章"單連通區域的共形映射"都是直接可以看的,第五章"整函數"同樣如此.看一點第七章"Gamma函數和Riemann zeta函數"(這部分內容在6.裡面也有),然後去看

12.
J.-P. Serre(塞爾) "A
course of Arithmetics"(數論教程)第二部分的十來頁東西就可以理解下述 Dirichlet定理的證明了:"a,b互素,則{am+b}里有無窮多個素數"Serre也是本世紀傑出的複分析,代數幾何,代數專家.他28歲得Fields獎的記錄至今還沒有人能夠打破.他寫的書一向以清晰著稱.

13.
在不牽涉到複流形理論和多復變的情況下, 理圖裡面還有 13.庄圻泰,何育瓚等 "複變函數論(專題?)選講" 差不多的題目應該有兩本,一本肯定理圖 裡面是有的,比較薄,從Cauchy積分公式的 同倫,同調形式講起,屬提高性質.另外一 本記憶中就覺得太專門了點. 除此之外,講單復變的還有兩本書, 不過可能第一遍學的時候不是很適合看. 圖書館裡面都有.

14.
W.Rudin "Real and Complex Analysis" 必須承認,Rudin很會寫書,這本書裡面他把 對應與我們的復變,實變,泛函的許多東西 都串在一起了.用泛函方法處理復變的基礎 是某一個Riesz表示定理,在復旦的課本裡面 你要到研究生的泛函課本里(還不一定教) 才能找到那個命題.所以還是到學泛函的時候 再談吧!

15.
L.Hormander "An Introduction to Complex
Analysis in Several Variables" 這是本標題下出現的第三位Fields+Wolf的人物. 他的這本多復變的課本也是經典,其工具主要是 微分運算元的L^2估計.這裡有用的是它的第一章, 可以說第一次看這部分講單復變的內容一般都會 有一種耳目一新的感覺.講個細節,就是Cauchy 積分公式對於一般可微函數的推廣叫Cauchy-Pompeiu 公式,基本上多復變的課本都會提到而單復變的 書都不講.其實只要你看一下它的形式就會知道 這個公式的用處是很大的,不妨試試拿它來算一些 奇異積分.

16.
Titchmarch "函數論" 這是一本老書,相當有名.書中一半多的篇幅是講復變的,看看可以知道二十世紀上半葉的函數論是什麼樣子.除此之外的意義是,程民德先生在他給陳建功先生做的傳中寫到:"(三十年代的浙大)陳先生開的複分析課程幾乎包括Titchmarch函數論除實函數外的全部內容.."關於陳先生這位對今天復旦數學系的地位有至關重要影響的先驅,等說實變的時候再談吧!

17.
戈魯辛 "複變函數幾何理論" 這本書也很老了.但是這本書的價值並不因時間的推移而改變.作者也是很好的數學家,夏道行先生當年在蘇聯做得最好的工作之一就是解決了戈魯辛的兩個猜想.總書庫裡面應該有,標題可能略有出入.

18.
最後講一本書,不知道復旦有沒有: 18. R.Remmert "Complex
Analysis"(GTM,reading in mathematics) Remmert是德國的多復變專家,他的這本書一點也不深,其最大特色是收集了很多歷史資料,把許多概念的來龍去脈交代的異常清楚.

PS: 12.的作者J.-P. Serre成為第五位既得過Fields獎又得過Wolf獎的數學家. (前面四位是L. Alfors;K.
Kodaira; L. Hormander;J. Milnor)

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組合基礎(一)


1.I.Tomescu "組合學引論" 的話,倒還是想說兩句的.首先,這是本很好的書,不管上不上這門課都值得一讀. 其次,這本書的習題不是很好做的,特別是沒有答案:)(嚴肅的說,當你看到許多習題後面都標有人物,年代,就該知道這些結果不是那麼平凡的了)作為補充,可以考慮

2.I.Tomescu "Problem
in graph theory and combinatorics(???)" 這本書有比較詳細的提示和解答,裡面的題目也非常好,高二的時候曾和一個哥們把裡面的題目抄了一遍(當時條件簡陋,沒法複印的說...//sigh).不過復旦是不是有我不是最清楚. 但是我可以肯定的是,下面這本書總書庫裡面有很多:

3.Lovasz "Problems in
Combinatorics(?)" 這是本相當好的習題集,作者Lovasz是唯一一個得過wolf獎的組合學家.唯一的可能有麻煩的地方這本書的塊頭大了點,不過千萬不要被嚇倒!

(這裡應當聲明,已經快五年沒好好看過組合書了,所以腦子裡面的印象難免有所偏差,還望大家原諒)有一些書是講圖論的,其中比較好的書大概可以算 4.Bondy,Murty "Graph Theory and
Applications(?)" (中譯本:圖論及其應用,科學出版社,理圖裡有) 這本書內容翔實,寫得很容易讀,而且有許多難度適當的習題,注意這些習題不僅在書後(好象)有簡短的提示,而且在圖書館裡面還有一本

5."圖論及其應用"習題解答做得還算不錯吧.翻譯成中文的書裡面,還有上海科技出版的

6.Harary(哈拉里) "Graph Theory"(圖論) 這本書裡面的習題基本上都是從人家的論文裡面直接找來的,所以有相當難度,雖說那裡給出了非常詳細的文獻來源,但是有些還是很不好找的.這本書其實已經有點專著的味道了. 講到圖論,還有象

7.B. Bollobas "Graph
Theory"(GTM 63)這本書世界圖書剛剛重印,市面上應該還能見到不少.Bollobas現在是在劍橋吧,國際數學家大會上也是做過45分鐘報告的.(作為參照,改革開放以來,從大陸出去做過45分鐘報告的好象才兩個人--在國外工作的加上去也不到十個吧)

8.G.Chartrand,L. Lesniak
"Graph and Digraphs" 是本好書,淺顯易懂. 此外還有

9.C. Berger "Graph
and Hypergraph" 是這裡的框架性著作,至少在外國教材中心裏面有一本. 標 題: 組合 基礎(三) 還有一些不講或不專講圖論的組合書, 中文的有

10.李喬 "組合數學基礎" 我們的這位校友(華宣積老師的同學)文革期間在中科大吃過很多苦頭,現在在上海交大.他這本書寫得很不錯,不過一個小小的遺憾,就是這書的書脊上印的是"組合數學礎基".

11.I. Anderson "Combinatorics of Finite
Sets"

12.Bollobas
"Combinatorics" 這兩本書國內影印過,所以我想總書庫裡面會有. 理圖裡面還能找到一本薄得要死的名著

13.Ryser(賴瑟) "組合數學" 這裡面記得有一些講組合設計的章節還是很簡單明了的. 標 題: 組合基礎(四) 至於象

14.魏萬迪 "組合論"這書感覺好象篇幅太大了點,而且你很快就會發現其實這書很不好看. 著重演算法的書很多就是計算機類的了,比如

15.朱洪等 "演算法設計和分析"

16.盧開澄 "組合數學--演算法與分析" 印象中該書第一版是上下兩冊,第二版就只剩下一半篇幅了,沒有很仔細得比較過前後兩版,所以也說不出究竟變了點什麼. 組合數學有不少書是可以看著玩的,比如外國教材中心裏面有一本書好象叫"Graph theory from Euler to
Konig"(等於就是說講現代圖論的史前史),等等. 標 題: 組合基礎(五) 如果要求不是很高,那麼下面的書可能可以算篇幅不大,內容不深,但多少也講了些東西的:

17.I. Anderson "A First Course in
COmbinatorial Mathematics"

18.C.Berger "組合學原理"(上海科技)

19.C.L.Liu(劉炯朗,現新竹清華大學校長) "組合學引論" 這書是魏萬迪翻的,就是印刷質量差了點.其它都還好,在北美的評價也不錯. 此外,最近剛剛看到出了一本

20.Lovasz,et al.(ed.)
"Handbook of Combinatorics" 厚厚的兩大本,裡面有很多人的文章,算得上是包羅萬象了. 組合裡面還有一個非常有名的東西--四色定理,關於它就是是不是被證明了爭論了很多年,當真是仁者見仁,智者見智.當年的兩位主角Appel 和Haken寫過本書,就叫

21.Appel ,Haken
"Every Planar Map is Four Colorable" 如果你覺得這書塊頭太大,可以先翻翻他們在

22.Steen(ed.)
"mathematics today" (中譯本:今日數學,上海科技)裡面的一篇通俗的文章,寫得非常的好. 最後補充canetti指出的

23.Reinhard Diestel
"Graph Theory"(GTM173)這本書裡面講到了概率方法,這個感覺是一個很有希望的方向,有很多人在做,包括98年得Fields獎的T.Gower(這位是靠Banach空間理論得獎的,但是他的組合功夫本來就很深,現在好像乾脆就轉向組合了)


發信站: 日月光華站 (Thu Mar 30 06:48:04 2000), WWW-POST@129.104.34.3

抽象代數


抽象代數 有的地方管這叫"近世代數",反正近不近各人自己看著辦吧!從歷史上說,可以認為嚴肅的討論是從伽羅華開始的,他在決鬥前夜寫下的那封著名的信件(裡面有"你可以公開向Jacobi或者Gauss提出請求,不是就這些結果的正確性,而是重要性,給出意見....",現藏法國國家圖書館).在後來的發展過程中,代數結構話的語言逐步滲透到數學的各個角落.到今天這已經是一門無處不在的分支了. 不止一個老師教導過我們: 在復旦,你們受到的分析訓練將是很多的(充不充分要看各人的要求了),但是代數...恐怕你們自己還要多下點功夫. 現行教材是我的本家寫的,總的說來作為初學還很可以一讀,原因將在下面說

北大的課本1.丁石孫,聶靈沼 "代數學引論" 這本書的特點和北大的那本高等代數一樣,就是沒什麼自己的特色,原因是這本書從體例到習題在很大程度上參考了

2.N.Jacobson
"Basic Algebra I,II" 這書在總書庫裡面有不少,理圖裡面也有前面幾章的中譯本,應該是叫"基礎代數學"吧,不過翻譯質量一般.Jacobson在代數領域也屬於權威,是華先生同時代的人.這本書從觀點上說是相當現代化的,比同作者的那本

3.N. Jacobson
"Lectures on Abstract Algebra"(GTM.30,31,32) (中譯本:抽象代數學,共三卷,理圖裡有)要改進不少. 有興趣的話不妨那我的本家先生的書和2.去比較一下.

從習題的角度上說,可以看 4.徐誠浩 "抽象代數--方法導引" 這本書可以說比較適合在復旦學這門課. 可以羅列的參考書還有很多,綜合性的課本有名氣很大的

5.S.Lang
"Algebra" Lang寫書以清晰著稱,他的這本書還得過AMS發的Steel優秀圖書獎. 6.莫宗堅 "代數學(上,下)" 北大數學叢書裡面的一本,沒有很仔細地看過,但是感覺不錯.北大的一些同學對此書推崇倍至,認為比1.寫得好.

6.熊全淹 "近世代數" 這本書的好壞不敢評論,不過這本書有個很大的特點,就是作者收集了很多小文章,比如許多American
Mathematical Monthly上的短文.依他開列的參考文獻到系資料室去找,可以看到很多有趣的東西.

7.庫洛什 "群論" 注意這本書第二版和第三版中譯本的封面一模一樣. 或者段學復先生的導師Robinson寫的

8.Robinson
"A course in the theory of Groups"(GTM 80) 再有象(群,代數)表示論,環論,模論等等,都有專著,不過我是一竅不通的了.還望這裡的高手多多指點. 對於Galois理論,有一本

9.E.Artin
"伽羅華理論" 非常薄,講得很精彩,絕對是本傳世佳作. 還有

10.Edwards
"Galois Theory"(GTM 101) 這本書很有趣,它是循著Galois的原始想法寫的,因此和一般通行的教本裡面的講法不是很一樣.

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實變函數論與泛函分析(一)


這是數學系的學生學到的第一門完全屬於二十世紀的課程.這門課程的重要性是不言而諭的.對於這門課程在中國的發展,許多和復旦有密切關係的前輩都做出過重要貢獻. 在復旦開實分析課的第一人毫無疑問是陳建功先生(1893-1971).作為中國現代數學的先驅者,他在1914-1929年間三赴日本學習現代數學,是在日本獲得理學博士學位的第一個外國學者.此後他回到浙大,和31年回國的蘇先生一起為中國現代數學的發展做出了極其重要的貢獻.即便是在抗戰最困難的時期,他們也沒有放棄學術研究.李約瑟當時稱讚西南聯大和浙大是東方的Oxford 和Cambridge,陳先生在浙大的大弟子程民德先生說到"這一光輝的稱號,可以說是用難以數計的微弱的桐油燈光所照亮的".程先生為陳建功先生在 1."中國現代數學家傳"(第二卷) 裡面做了一篇傳記,不可不讀. 陳先生在浙大擔負著極重的教學任務,在五十年代他把歷年使用的講義遍成書出版,這就是

2.陳建功 "實函數論" 今天看來,這裡面的內容是相當古典的,但是其中很多東西的講法到今天還是很好的. 陳先生門下弟子無數,早期(20年代)的學生包括中國現代數學的另兩位重要人物王福春先生和曾炯之先生.後來從浙大到復旦,我們可以列出一串長長的名單:程民德,葉彥謙,秦元勛,張鳴鏞,夏道行,龔升,李訓經... 前校長楊福家先生在某次會上說過"復旦人不會忘記,五十年代,復旦造了兩幢小樓,一幢是給陳建功先生的,一幢是給蘇步青先生的,正是他們使復旦的數學變了樣...."那兩幢房子現在還在第九宿舍裡面.一幢蘇先生家人還住著.另外的那幢在陳先生58年搬去杭州以後就空著,據說曾有某位今天在復旦也是大名鼎鼎的人物搬進去過,但不久就因為實在"擺不平"又搬了出來--陳先生和蘇先生的地位可見一斑. 標 題: 實變函數論與泛函分析(二) 今天在數學系裡還能找到陳先生的一些遺迹,比如那套Gauss全集就是陳先生出讓給浙大圖書館的(見內頁題字) 現在用的課本是

3.夏道行,嚴紹宗,吳卓人,舒五昌 "實變函數論與泛函分析"第二版,上,下冊 這是,在我看來,復旦為中國的數學事業貢獻的最重要的課本.從1978年第一版出版開始,這就是中國最標準的實變與泛函課本.受益與此書的學生不可計數. 夏先生是陳先生五十年代初的研究生.當年陳先生開實分析課的時候夏先生做助教,也是跟班從頭聽到底(和今天CS的TA的要求差不多,不是嗎?*_^)夏先生50年代中期赴蘇聯進修,師從I.M.Gelfand.那是泛函分析還處於發展的初期,Gelfand又是這個領域的泰山北斗.所以夏先生不僅在在蘇聯的兩年間做出了相當好的工作,而且回國後在復旦建立了一個相當強的泛函研究小組.具體可以看

4.楊樂,李忠編 "中國數學會六十年"裡面嚴紹宗先生和李炳仁先生寫的文章. 六十年代初,夏先生就已經是"現代數學叢書"的編委了,那時候他才30出頭一點.今天的中國數學界,沒有一個這個年齡的數學家有夏先生當年的學術地位! 夏先生做單復變和概率的功夫也是非常深的.在80年當選學部委員的時候,他的專業就寫的是這三樣.

我們一章一章來看:


第一章"集和直線上的點集"這是很美妙的東西,數學系的學生從這裡開始嚴肅地接受關於無限的教育.具體的問題是教師一般都要在這一章上面花不少時間,部分是因為這些搞腦子的東西學生以前根本沒有接觸過.我想今後可能的話應該在第一二年的課程裡面講一些這一章的內容,象實數理論和極限論,等價關係,直線上的開,閉集,等等.這樣一是可以省下很多時間,其次的確你翻翻許多數學分析的書也能看到這些內容. 大概一定要留到這裡來講的包括Zorn引理, 在

5.E.Hewitt,
K.Stromberg "Real and Abstract Analysis"(GTM 25)裡面有相當清晰簡潔的關於選擇公理及其等價命題的敘述.那裡寫到"The axiom of choice does not perhaps play a
central role in analysis, but when it is needed, it is needed most
urgently".這是很有道理的. 這個方向上擴展出去可以看

6.那湯松 "實變函數論" 在下冊裡面還有關於超限歸納法的描述.這本書是徐瑞雲先生翻譯的.據說當年陳建功先生對他的這位女弟子的譯做讚不絕口.徐先生不幸於文革中自殺身亡.總書庫裡面有. 另外,對於很多具體的點集的例子,有許多書可以參考,比如

7.汪林 "實分析中的反例" 這是本非常非常好的書,在以後的幾章裡面我們也都要引用這本書.作者是程民德先生的弟子.要記住的是,這不僅僅是一本講例子的書!

理圖裡有. 和一些習題集和解答,比如 8."實變函數論習題解答" 這是那湯松的書的習題解答.質量一般,不過好歹是本習題解答吧.

9."實變函數論的定理與習題" 記不清是誰寫的了,應該是某個蘇聯人.裡面有詳細的解答,質量相當高.

實變函數論與泛函分析(四) 第二章"測度" 這是這本書上冊的核心. 測度在這裡的講法,從環上的測度講到測度的擴展,基本上屬於 10.P.R.Halmos
"Measure Theory"(GTM 18) (中譯本:測度論)的框架裡面.這本書實在不敢評論,自己看吧!這本書裡面還有一些精選的習題,有膽子和時間的話值得一做. 集環的理論 一本相當有趣的書可以看看,就是

11.J.Oxtoby
Measure and Category(GTM2) 這裡的"category"不是指代數裡面的範疇,而是集合的"綱",講了很多有趣的東西. 現在可以來談談

12.周民強 "實變函數"(第二版) 這本書寫得不錯,總的說來最大的好處恐怕就是習題很多,而且都是能做的習題--復旦的課本裡面的習題初學好象是難了點,特別是在沒有答案的情況下:) 還有一本很好的書,可惜至今只打過幾個照面,但是可以肯定的是絕對是好書:

13.程民德,鄧東皋 "實分析" 我見過這書裡面的一個測度的題目:$m^*(E_1cap
E_2)+m^*(E1cup E_2)leq m^*(E_1)+m^*(E_2)$,還是很有趣的,還難住過我們的一個老師哦! 此外,上一章裡面的參考書都可以搬過來. 需要注意的一點是,有些書是純講Lebesgue積分的,比如6.12.等,有些細節上注意一下L與L-S的差別還是有用的.

第三章這就是真正的實分析了.這裡面應該說每一節都是重要的. 在全面引用上兩章的參考書的同時,還可以考慮下面的:


14.I.E. Segal,
R.A. Kunze "Integrals and Operators" 和

15.A.N.
Kolmogorov,S.V. Fomin "函數論與泛函分析初步" 這些作者應該說都是相當好的數學家了. 比較遺憾的是一般由於課時安排等種種原因,最後三節都不能好好講.其實這些都是很有趣的東西.廣義測度和R-N定理更是非掌握不可的. 最後問個小問題: "L^1(R)是R上全體可積函數全體構成的空間" 這句話對嗎?

在直線(或者更一般的局部緊群上),是有可能 先建立積分理論再導出測度的.比如下面 將要講到的 16.夏道行,嚴紹宗,舒五昌,童裕孫 "泛函分析第二教程" 裡面就有一些這方面的內容.

此外還有象 17.夏道行,嚴紹宗 "實變函數與泛函分析概要(?)" (上海科技出的那套教材裡面的一本, 理圖裡面有)好象就是按照先積分 再測度的辦法講的.

另外用這一體系的書好象還有 18.Riesz,B.Sz.-Nagy "泛函分析講義"(Lecons d"analyse fonctionnelle) 這也是不錯的書.


對測度感興趣的話,還可以看一些 動力系統裡面講遍歷理論(ergodic theory) 的書,"那是真正的測度論"(J.M.Bony).

實變函數論與泛函分析(七) 第四章從這裡開始算泛函分析的課了.不過這一章是不是一定要以這樣的篇幅在這裡講值得討論.其實很多度量空間的概念在數學分析課裡面就可以解決掉,在這裡應該只要強調有限維和無限維的差別就可以了. 上面的許多參考書在這裡一樣可以用,還應該加上的是:


19.汪林 "泛函分析中的反例" 第十節一般不講,不過這東西實在是基本,整個泛函的體系都可以建立在上面,理圖裡面有一本

20.夏道行,楊亞立 "拓撲線性空間" 不過那書基本上是第二作者寫的,所以建議有興趣的化還是看下面幾本

21.N.Bourbaki
"Topological Vector Space"Chpt. 1-5 布爾巴基寫書是一章一章出的,這書能一次就包含五章,實屬罕見.而且估計今後也不會有後續的內容了.

GTM裡面也有兩本是講拓撲線性空間這個題目的: 22.H.H.Schaefer Topological Vector
Spaces(GTM3) 和

23.J.L. Kelley,
I.. Namioka Linear Topological Spaces(GTM36) 16.裡面有一章也是講這東西的. 其它許多以"泛函分析"為標題的書也是以此為出發點的,

比如 24.S.K. Berberian "lectures in Functional Analysis and
Operator Theory"(GTM15) Berberian 也是很好的數學家,他翻譯的Connes的"Noncommutative
Geometry"是一個很好的版本.儘管後來Connes自己出了個內容更多的英文本.

或者 25.W. Rudin "Functional Analysis" 這本書裡面也有很多非常有趣的內容.Rudin的書都是很好的.

26.L.V.Kantorovitch,G.P.Akilov
"Functional Analysis" (英文版系資料室有一本,中譯本在理圖有很多)不少人都說Nobel經濟學獎有不少是給數學家的,這話一點不錯,不過給計劃經濟體制下的數學家恐怕就Kantorovitch一位了.這是本很清晰簡潔的書,中譯本的質量也很不錯.

此外還有 27..J.B. Conway "A Course in Functional
Analysis"(GTM96)

不好意思，也許是個傻問題，不過偶還是想問問。: GTM是什麼啊？這問題不傻,因為在寫數學分析,高等代數的時候就提過,所以這裡我就沒有重複.GTM=Graduate
Texts in Mathematics 是Springer-Verlag出的一套數學教材叢書,其中有很多都是人家已經成名的教材它把版權拿過來重印的,因此有一些還是經典著作.現在大概出到第200號左右,前120本世界圖書出版公司都是影印的(早期是完全盜版,後來開始買版權了),後面的只有部分影印.老的那些(120號以前)總書庫裡面一般都能找到.

實變函數論與泛函分析(九) 第五章這一章講述Banach空間上的有界線性運算元理論.這一內容的框架性著作毫無疑問是 28.Dunford,Schwarz "Linear Operators"I
這書在系資料室運氣好的話能找到一到兩本.注意有一些結論是可以把Banach空間減弱為Frechet空間的,不過好象據說實際應用中除了廣義函數空間是個Frechet空間以外其它用得並不多. 前面列的各中標題是泛函分析的書這裡都可以用. 汪林的書19.裡面有許多有趣的例子. 不自反的空間的例子在系資料室可以查到,應該是在某期Proc. of Nat.
Acad. of Sci.上.

再補充一下前面漏掉的一本書: 29.W.Rudin "Real and Complex
Ananlysis" 在講單復變的時候我們已經提到過這本書了,這裡面可以看到不少實分析或者說泛函方法在復變中的應用.這書現在已經有第三版了,老的版本總書庫裡面有很多.

第六章 Hilbert空間由於其上存在一個內積,可以發展的性質比Banach空間要多得多.從空間本身來講,線性代數學好點對本章前面幾節有很大幫助,學的過程中密切注視維數無限導致的各種反例就是了. 運算元理論其實也一樣,腦子裡面清楚哪些有限維的性質是可以推廣到無限維的對整個體系的理解很有用. 本科階段一般也就教半章,這也沒有辦法,如果第四章能省下的點時間的話還是能夠講一些運算元譜理論的.


這裡可以做的習題非常多,特別是 30.P.R. Halmos
A Hilbert Space Problem Book (GTM19) 算得上一本傑作."The only
way to learn mathematics is to do mathematics"就出自這裡.

再往下去研究運算元代數的話,就實在"是沒有底的東西了"(陳曉漫)在16.裡面有一章講些基本概念.這一塊的文獻也是浩如煙海,因為學得太少,不敢妄加評論,只想指出一本書, 31.G.K.
Pedersen "C*-Algebras and their Automorphism Groups" 這書連A.Connes都說好,我想決不會差到哪裡去.

再說兩句A.Connes,關於他的工作,或者說整個運算元代數往後來的非交換幾何的發展歷史,特別是這一分支從其開始的階段就和量子物理的聯繫,可以看 32.Vaughan Jones(Fields 90) and Henri Moscovici "Riview
of Noncommutative Geometry by Alain Connes"

AMS
Notice,v.44(1997),No.7 33.A.Lesniewski "Noncommutative Geometry" AMS
Notice,v.44(1997),No.7

34.Irving Segal
Book Review, Non commutative geometry by Alain Connes AMS
Bulletin,v.33(1996),No.4

因為 35.Alain Connes(Fields 82) "Noncommutative
Geometry" 可以說是這一塊的里程碑式的著作,(33.中甚至說今後人們會用今天看Riemann的就職演說的眼光看這本書)所以對於這本書的評論很多也就把整個分支都評論進去了,不妨看看.Jones說這書是"A
milestone for mathematics. Connes has created a theory that embraces most
aspects of `classical" mathematics and sets us out on a long and exciting
voyage into the world of noncommutative mathematics".做為老前輩,Segal的書評裡面有一些批評,也值得

實變函數論與泛函分析(十二) 第七章這一章一般不講,在本科階段不講,在研究生階段也不講,實在奇怪,不是嗎? 主要問題是,就事論事地討論廣義函數恐怕不是非常地有趣,要緊的還是這套框架在偏微分理論中的應用.現在的狀態就是你在復旦數學系基礎專業念四年出來可以還沒聽說過什麼叫Sobolev空間,儘管大家都承認復旦的偏微是很強的...\sigh 在廣義函數的標題下最有名的應該是 36.I.M.Gelfand等 "廣義函數"(Generalized
Functions,I-V) 大概I-IV都有中譯本吧!理圖裡面應該是有的,英文本系資料室有.從泛函的角度,據說是第二本最有意思.

另外還有兩本好書,不光是這一塊內容,從整體上講也是很好的泛函課本 37.K.Yosida(吉田耕作)
"Functional Analysis" 他也過兩種不同"規格"的書,一本比較厚,一本比較薄,都很好.其中有一本的第六版去年世界圖書剛剛影印.

38.H.Brezis
"Analyse Fonctionelle" Brezis是我校名譽教授,法國科學院院士,非線性偏微的權威.他的這本書很見功力.如果能念法語的話絕對值得一讀. 在Rudin的書25.裡面也講了不少廣義函數的內容,特別有一章講Tauberian
Theory,很有意思.

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標題: 數學物理方程(一)


這是講偏微分方程的課的名稱.顧名思義,就是說這裡的方程原則上最早都是從物理裡面來的.這個分支裡面的東西豐富之至(當然往反面說就是有時候會顯得結果比較零散).

現行課本是 1.谷超豪,李大潛,譚永基(?),沈緯熙,秦鐵虎,是嘉鴻 "數學物理方程"(上海科技) 這本書在這樣一個水平上(指不引進廣義函數,弱解等泛函裡面的概念)是相當不錯的.注意那些經典方程的推導裡面多少有一些近似的過程,這其實從某種意義上反應了所對應的微分運算元的某些性質的穩定性.比如,對於經典的波動方程,


3維及以上的奇數維成立惠更斯(Huygens)原理(這可以看作經典物理的時空裡面空間維數必須是奇數的一個證據),你在其它一些書(或者說以後)可以看到,差不多二階雙曲方程裡面只有波動方程有這樣的性質--但是別忘了,高維波動方程的推導裡面是有近似的,這說明什麼? 一階偏微分方程似乎是安排在常微的最後教的,常微的最後教不教我課不知道,有些東西還是很有趣的,象Cauchy-Kowaleskaya定理,Ekeland拿來證明微觀經濟模型的合理性,然後說他看不出有存在C^infty推理的可能--數學經濟是怎麼回事,可見一斑.你能說社會活動中的數據都是按t解析的嗎???!!!


學這門課的那個學期在忙著各種各樣考試(比如T,G等等),故此沒能夠看太多的參考書.北大的課本也沒有看過,不過據一位北大的師兄說,和復旦的課本相比較,可能北大那邊相對更注重一些解的漸進估計等等,而復旦這裡對於顯式解講得更多些. 注意在圖書館裡面可以找到一本內容相當接近的書

2.谷超豪,李大潛,陳恕行,譚永基(?),鄭宋穆,??? "數學物理方程"(人民教育?高等教育?)這書的題材,難度,例題,習題等等和1.非常接近.特別指出這本書的原因是在復旦的課本中據我所見,只有這本是曾經出過一本"官方的"習題解答的,那是80年代初,油印本.能不能搞到就看各位本事了.那本解答對於做作業是很有幫助的. 比較容易找到的書裡面,

3.陳恕行,秦鐵虎 "數學物理方程--方法導引" 是一本非常好的講習題的書.裡面的習題如果能夠全部做一遍的話,應付考試是綽綽有餘了.

還有 8.O.A. Ladyzhenskaya "The Boudary Value Problems of
Mathematical Physics" 和

5.一樣,都很經典.當然你要說它們陳舊我也沒話可說. 既然這課叫數學物理方程,多少和物理沾點邊吧,在這個方向上我以為

9.李大潛,秦鐵虎 "物理學與偏微分方程"(高教) 還是很不錯的,上冊已經出版,下冊也就要付印了.該書的起點並不高,所以應該比較容易看.據說該書的責編(北大畢業的)極為負責,認真到連裡面的公式都一個個去推導的地步. 從課程設置的角度上說,其實有一些深度介於本科課程和研究生的那門偏微基礎課之間的書(包括不少經典)都可以在這段時間裡面看看的.

10.L.Bers, F.
John, M. Scheter, "Partial Differential Equations" Bers是個很有趣的人,可以看看

11.L.Steen, ed.
"今日數學"(Mathematics Today) 裡面的文章.附帶說一句,這本書是最好的數學普及讀物之一,絕對值得一看, 中譯本的質量也不錯.

12.F. John
"Partial Differential Equations" 這本書系資料室肯定有. 剩下兩本應該是比較容易找到的,因為世界圖書剛剛印,雖說貴了點.不過還是值得一看的.

13. J. Rauch
"Partial Differential Equations"(GTM128)

14. M. Taylor
"Partial Differential Equations I"(Applied Mathematical Sciences 115)
後面這本看前一半就可以,後一半也看當然更好:-)) 引G. Lebeau的一句話,這書比

15. L.
Hormander "Linear Partial Differential Operators, I" 要好念多了.(當然基本上人人都是這麼認為的,只不過這位的來頭比較大而已--法國科學院通訊院士,46歲)

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標題: 拓撲學(一)


我拓撲學得很差(從總體上說), 因此這裡我也說不出太多東西. 大概也就點集拓撲還算過得去, 我以為這一方面我們的現行課本:


1.李元熹,張國(木樑) "拓撲學" 的前兩章還是不錯的.至少該講的東西 都講了,而且後面羅列(我想不出還有 什麼更好的形容詞)了許多習題, 做上一遍是很有趣的一項工作. 中文的參考書裡面好象

2.熊金城 "點集拓撲講義" 是比較好的.該書也有些名氣. 不過要好好學,可能還是看下面的兩本 比較經典的書:

3.J.L. Kelley
"General Topology"(GTM 27) 此書名頭很響,55年出版的時候應該算得 上是把這一領域裡面的結果做了個 很好的總結.該書是想寫成課本的, 因此每章後面都有習題,按A,B,C,D,...編號.只是....真要做起來未免有些困難. 聽說過這樣一個故事,就是曾有一位 華裔數學家回國講學的時候於酒席間 說他的老師要他去學拓撲,指明看Kelley的 書,而且要習題全做.結果大家都笑了, 因為大家都明白這目標不是很現實. 我個人的經驗是,在那個學期陷入各類 考試的重圍中之前,還做了前面兩三章 的題目.是比較困難,但是做起來也非常 有趣. 標 題: 拓撲學(二) 再補充一本中文的書,內容和1.差不多

4.尤承業 "基礎拓撲學" 是北大的教材.

5.I.M.Singer,
J.A.Thorp "Lecture notes on elementary topology and geometry (中譯本:(基礎?)幾何學與拓撲學講義,干丹岩譯) 這是本極好的教材,應該可以用深入淺出來形容吧!第一作者Singer就是和Atiyah一起證指標定理的那位,說是重量級人物當無疑義. 如果你只想查結果,我覺得可以去找

6.R.Engelking
"General Topology" 這書是七十年代末寫的,內容翔實,至少對我來說是有包羅萬象的感覺,當然對做這一塊的人就不一定了. 按照蕭先生的速度,大概第二章還是能講大半的.這裡屬於代數拓撲的起始部分, 參考書一下子就比前面的多多了.講代數拓撲的書,可能

7.Greenberg
"Lectures on Algebraic Topology" 屬於寫得很通俗易懂,配置合理的那一類. 還有象GTM裡面的

8.W.S.Massay
"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56) 也是寫得很好的書. 我能寫的大概就這點了,還望大家多多補充. 標 題: 拓撲學（dhj補充版，一） 這個學期剛剛在學拓撲，做些補充的說。:) 拓撲學是在十九世紀末興起，並在二十世紀中蓬勃發展的數學分支，現在已與近世代數，近世分析共同成為當代數學理論的三大支柱。如果先要對該學科有一個感性的認識的話，建議看《拓撲學奇趣》巴爾佳斯基 葉弗來莫維契 合著這本書只有不到兩百頁，可是覆蓋的面很廣，也有一定數量的有啟發性的題目。 M.A.Armstrong的《基礎拓撲學》也是一本不錯的書。由於該書中的討論範圍有很多是基於Hausdorff空間，有些是甚至是在度量空間里討論問題的，所以一些定理的證明就變的比較簡單易懂，例如Urysohn引理。由於側重點不同，這本書對復旦現在的課本是很好的補充。


Spanier"s
"Algebraic Topology" can not be neglected. It is a classic in this
field, though it is not easy to read. Aleksandrov"s 「Combinatorial Topology」is
very good for beginner. It is an authority in history.but it is too large, it
contains 3 volumes. Bredon"s 「 Topology and Geometry」(GMT139) is praised as the
successor of Spanier"s great book.


按照蕭先生的速度,大概第二章還是能: 講大半的.這裡屬於代數拓撲的起始部分,參考書一下子就比前面的多多了.講代數拓撲的書,可能

7.Greenberg
"Lectures on Algebraic Topology" 屬於寫得很通俗易懂,配置合理的那一類.還有象GTM裡面的

8.W.S.Massay
"Algebraic Topology: An Introduction"(GTM 56) 也是寫得很好的書.能寫的大概就這點了,還望大家多多補充.

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標題: 微分幾何(一)


幾何是非常美妙的,通常人們提到幾何的時候會把直觀兩個字加上去.這其實是很有道理的,在微分幾何中也不例外.具體的說,就是雖然微分幾何往往會使人感覺被淹沒在計算的汪洋大海,但是有一個幾何的"感覺"是很有幫助的.現在用的課本應當是


1.蘇步青,胡和生等 "微分幾何" 這書寫得不錯,至少比北大陳維桓的那本"微分幾何初步"要好多了.這很大程度上應當感謝本書的主要作者,也就是書上列的第三作者沈純理先生,他現在在華師大.應當承認這本書,特別是第三章,取材受

2.Do Carmo(多卡模) "曲線和曲面的微分幾何學"
"Differential Geometry of Curves and Surfaces" 這是本絕對的好書,胡先生他們把這本書翻譯出來實在是功德無量.在總書庫裡面有一本英文本,如果懷疑有什麼翻譯問題的話可以去對照. 1.第三章裡面有個習題是從2.的中譯本上搬過來的,不過有題意不清之嫌.做的時候要小心.

還有一點要注意的是1.裡面曲面論基本定理的證明中有個地方漏印了兩項,具體去問黃宣國老師吧. 一般說來,看上面兩本書也就夠了,可以考慮的擴充部分包括在

2.的末尾所開列的參考書目.這是我很少見到的帶書評的書目.裡面提到的一些經典的著作在數學系資料室都能找到, 比如

3.Eisenhart
"Diffenrential Geometry(?)" 谷先生讀書的時候就念過這本. 還有象

4.Darboux
"Lecons sur la theorie generale des surfaces" 在系資料室里偏偏缺最常被引用的第二卷. 古典微分幾何的開山之做是

5.Gauss
"Disquisitiones generales circa superficies curvas" 這是拉丁文的(Gauss只有晚年最後的一些東西是用德文寫的),所以雖然系裡有Gauss全集,我也不認為有人能看懂,不過現在我們有下面的

6.P.Dombrowski
"150 years after Gauss" "Disquisitiones generales circa superficies
curvas" " 這裡面有完全的英文翻譯和裡面的結果到20世紀70年代末的發展情況.

7.吳大任 "微分幾何學(?)" 或者五十年代翻譯蘇聯的課本等等,內容都差不多,而且微分幾何的特點是各人都喜歡用自己的一套符號,許多符號,象曲率等等,常會有正負號的差異,所以建議認定一兩本,其它簡單翻翻即可. 所以說想找講解詳細的書還不如看

8.沈純理,黃宣國 "微分幾何"(經濟科學出版社,97) 雖然說這本書是自學考試的教材.那裡的習題也是有較詳細解答的. 更難一些的習題可以在

9.姜國英,黃宣國 "微分幾何100例" 裡面的題目全部做下來的話,應付期末考試絕對是沒有問題的.而且,如果老師有心考點難題的話,說不定就會有裡面的題目. 此外還有兩本蘇聯人的書

10. A.S. Mishenko,
A.T. Fomenko "微分幾何與拓撲學教程" (中譯本,第一冊,第二冊)我沒有看到過是否有第三冊,反正這書是沒有翻全.其處理方法別具一格.我想這書要不是非常好的話胡先生也不會去翻它.

9.姜國英,黃宣國 "微分幾何100例" 裡面的題目全部做下來的話,應付期末考試絕對是沒有問題的.而且,如果老師有心考點難題的話,說不定就會有裡面的題目.呵呵，師兄真是料事如神啊 此外還有兩本蘇聯人的書

10. A.S.
Mishenko, A.T. Fomenko "微分幾何與拓撲學教程" (中譯本,第一冊,第二冊)我沒有看到過是否有第三冊,反正這書是沒有翻全.其處理方法別具一格.我想這書要不是非常好的話胡先生也不會去翻它.這本書確實不錯，可我沒有全部看完：（ 標 題: 微分幾何(四) 忻元龍老師有時候會開一門"極小曲面",這裡的特點是甚至可以不引進流形等概念,出現的最難的工具有時候就是單復變的一些結果.這門課的參考書大概首推

11.R.Osserman"Lectures
of Minimal Surfaces" 此書篇幅不大,但內容豐富. 其它還有

12.J.C.C.Nitsche
"Lectures on Minimal Surfaces"(Vol.1) 這書學校裡面肯定有.這裡面關於Plateau問題講得很全,可惜至今我沒見到第二冊,而原來的德文版又看不懂(上面寫的是英譯本):-( 注意到微分幾何有許多東西並不象大家想像的那樣古老,比如第三章裡面提到的Fray-Milnor定理,那J.Milnor還好好活著呢?再比如說等溫參數,幾乎必引的文獻就是陳省身先生55年的文章.這些文獻,系裡的資料室裡面都是有的,看原始文獻可以讓人逐步體會一樣東西在它剛剛出現的時候是個什麼樣子,這和經過無數再處理後寫進課本的講法往往是不一樣的.

13．《微分幾何》 蘇步青 原著 姜國英 改寫就是那本黃顏色封面的，理圖裡有借。這本書的原版據說晦澀難懂，但即使改寫以後，根據潘老師的講法，看起來也比較費勁。印象比較深的有，書中單獨的一節講了Bertrand曲線，對於等周問題，該書也給出了好幾種不同的證法。（最近的幾期美國數學月刊里，對於該問題也集中給出了幾個比較初等的證明和若干相關命題）


另外，該書的一個特色是幾乎每道練習題都附有最先證明該命題的人名和時間。使人能夠感受到微分幾何發展的脈搏。

《微分幾何一百例》確實是一本很好的書，這本書很薄，所以可以在兩三天裡面看完。但是建議在看解答的時候最好先自己想一想，因為書中有些題目的解法並不是最簡潔的。yjyao師兄猜得很准啊，我們上個學期考試的時候有一道題目就是來源於這本書，當時做出的人不多。（不過往往是這樣，難的題目分值就少，真是%^*@） hehe，就補充這些了 標 題: 微分流形 現在想來講兩句"微分流形",我想大概給94開的是第一次,當時是作為基礎專業的選修課的,我是逃了三分之一的抽象代數課去聽的(當然,應該解釋為為聽這課逃掉了三分之一的抽象代數課,由於其他原因的還不算在內*_^),最後參加考試,因為沒選這課,所以就和黃老師商量,如果沒有A的話就算了,結果就是我這課沒有成績--那課只有今年要去Stanford的哥們拿了個A. 說正經的,微分流形可以認為是"(微分)流形上的微積分與微分幾何初步".在目前教材尚未確定的情況下,我們只能來看一下具體的內容了:-((當然我想說還是有本教材的好,這樣至少有個明確的目的,不然儘管大家都可以直接把筆記拿來當講義,但總是有點彆扭的,我以為)首先自然是流形的概念,我們自然不能指望從Bourbaki的"流形"開始念,一般來說,在任何一本講微分幾何的書裡面都有這一概念的介紹,只不過詳略不同而已. 復旦曾經有相當長的一段時間用

1.W.M.Boothby
"An Introduction to Differentiable Manifolds and Riemannian Geometry"
作為微分幾何課本,從某種技術性的觀點來說這書可能太羅嗦,講到流形上的向量場就用了100多頁的篇幅,但是我覺得初學看這書還是很好的,畢竟講得相當詳細,幾乎所以的東西都是有詳細證明的.理圖總書庫裡面有不少. 講到流形總是有兩種引進方法,一是從一開始就講一個局部和歐氏空間中的開集同胚的Haussdorf空間....然後再講微分結構等等. 中文書裡面有

2.陳省身,陳維桓 "微分幾何初步" 很有大師風範,只是印刷質量不算太好.(至於陳維桓自己寫的那本北大教材,我比較傾向於引用北大一位師兄的說法:"陳還寫過一本微分流形,給人的感覺是話說了很多,但還是摸不著頭腦,例如dx,dy究竟是何意",所以,還是免了吧) 另外被認為寫得比較好的中文書有

3.白正國,沈一兵,水乃翔,郭效英 "黎曼幾何初步" 這書的特點--要說就在於沒有特點,那實在是太過分點了--我認為還是在於很細緻,既然不用象Boothby那樣在拓撲流形上花時間,進入正題可以說比較快,而且有不少習題,書末更有一個索引,實在是本好書. 有胃口的話,還可以看看

4.B.A.
Dubrovin, A.T. Fomenko, S.P. Novikov "Modern Geometry--Methods and
Applications" 的第一,二卷(GTM 94, 103,世界圖書新印過). 該書的作者都是名家,除了對於這門課就事論事來說可能難了點外應該說不出有什麼不好.至少可以看看第二卷的第一章. 二是從歐氏空間中的子流形開始講.這樣的好處應該說是可以馬上看到很多例子,另外畢竟大多數情況下流形只有放在仿射空間或者射影空間裡面才有點意思(至少在開始階段是這樣),從這一角度出發寫的微分幾何課本中有一本

5.Gallot,
Hulin, Lafontain "Introduction to Riemannian Geometry"(?) 是Springer-Verlag的Universitext中的一本,應該說寫得很好,評價(我聽到的)也很不錯. 用這種觀點(其實用前一種觀點也一樣,多元函數的反函數定理,隱函數定理都是要明白的. J.Milnor曾經寫過兩本很有意思的書,裡面的講解都是非常精彩的,

6.J.Milnor
Topology from a differential point of view (中譯本:從微分觀點看拓撲).

7.J.Milnor
Morse Theory (中譯本:莫爾斯理論) 如果還沒給賠光的話理圖裡面應該都是有一些的. 講到微分形式,自然可以講流形上的積分,以及Stokes公式等等.這裡有.

8.Spivak
"Calculus on Manifolds"(?) (中文名字就叫"流形上的微積分")可以一看. 有一點,就是大家千萬不要只會用Stokes公式,真給你一個流形上的體積元去積一下反而不會,這千萬要不得.作為練習,不妨試試復射影空間CP^n上的Fubini-Study形式積出來是多少?

9.V.I.Arnold
"Mathematical Mathods of Classical Mechanics" 裡面關於微分流形,微分形式等等的介紹也很簡單明了. 還可以一看的書有.

10.R.Narasimhan
"Analysis on Real and Complex Manifolds" (中譯本:實流形和複流形上的分析,科學,1986) 陸柱家翻譯這書是花了功夫的,連印刷錯誤都一一糾正.我想至少前一百頁是可以看的. 11.蘇競存 "流形的拓撲學" 此書塊頭很大,內容翔實,而且有很多作者加的話,很有意思. 有一本書,可能不入高手法眼,不過我覺得是很不錯的,

12.C. von
Westenholz "Differential forms in Mthematical Physics" (這書有兩個中譯本,書名都是數學物理中的微分形式,理圖裡面至少有一個版本) 這是寫給念物理的人看的,因此只有條條框框,很多定理都沒有證明.但是好處在於:條理是清楚的,例子是豐富的(雖然很多例子沒有展開,但是至少開始階段該有的基本上都有了),而且這書里還能給人一個大概的概念,這些東西學了都可以幹什麼用(主要是寫了一些在理論物理中的應用).對於到考試前還有點不知所云的人(比如說我那時候),應該說幫助不小. 至於侯伯元,侯伯宇的那本"物理學家用微分幾何",可能是太深了點,非物理學家不能理解.

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參考書目:階段性總結(yjyao版) 大學裡面念過的本科的課程,基本上就全部寫完了,感謝大家在這幾個月里(默默地?)承受了我的"酸"勁.\bow 其實嚴格說來這裡面除了參考書的名字和簡短的評論外,我還寫了一大堆從某種意義上說屬於"題外"的話.我的想法是,在我的意識中,數學不光是那些定義和公式,數學還包括了為數眾多的數學家的思想,經歷.僅僅局限於技術性的細節是做不好數學的,我以為. 從技術上說,大學數學系的課程還有很多沒有寫到,即使寫到的這些,也有很多需要補充,修改的地方,只不過...我是沒那心思了:-)至少在近階段.希望有興趣,胃口,功夫,...的大俠們多多貢獻,在這裡先予感謝

One Dimensional Real and Complex Dynamics（實與復動力系統）的經典學習資料：

複分析基礎：本科生課程
(1) Complex Analysis, 3rd Edition, Lars V. Ahlfors

(2) Complex Analysis, Elias M. Stein

進階複分析：研究生課程
(1) Lectures on Riemann Surfaces (GTM 81), Otto Forster

(2) Lectures on Quasiconformal Mappings, Lars V. Ahlfors

實分析基礎：本科生課程
(1) Real Analysis, Rudin

(2) Real Analysis, Elias M. Stein

專業書籍：
實動力系統：
(1) One Dimensional Dynamics, Welington de Melo Sebastian VanStrien

(2) Mathematical Tools for One-Dimensional Dynamics (Cambridge Studies in
Advanced Mathematics), Edson de Faria / Welington de Melo

復動力系統：
(3) Dynamics in One Complex Variable, John Milnor

(4) Complex Dynamics, Lennart Carleson

(5) Complex Dynamics and Renormalization, Curtis T. McMullen

(6) Renormalization and 3-Manifolds Which Fiber over the Circle, Curtis T.
McMullen

(7) Iteration of rational functions (GTM 132), Alan F. Beardon

遍歷論：
(8) An Introduction to Ergodic Theory (GTM 79), Walters Peter

Milnor Serre

佔個坑，有時間來補上介紹以及其他暫時沒想到的。暫時只講本人讀過的。（讀過不等於讀完）
先說一部分
數學史
可以看Kline的 Mathematical Thought From Ancient to Modern Times，有中譯本四冊。

分析
數學分析
《微積分學教程》 經典著作，很厚，內容很多，講的也詳細。
國內有張築生的《數學分析新講》，北大的《微積分學講義》也不錯。
Zorich的《數學分析》也不錯，有中譯本也有英譯（原文俄文），我只看過中譯不知是否英譯譯得更好。
歐美的也很多，這裡就先推薦一本Rudin的《數學分析原理》吧，作為Rudin分析學三大經典教材之一還是很值得看的。
實分析
Rudin的《實分析與複分析》，非常經典，三本的第二本。
國內的可以看看夏道行的《實變函數與泛函分析》，也可以看看周民強的《實變函數論》。
俄羅斯的有那湯松的《實變函數論》。
Holomos的《測度論》也可以看看。
泛函分析
Rudin的《泛函分析》，不多說，但是不推薦初學者。
Conway的《泛函分析》。
還有上面說的夏道行的。
此外王聲望的《實變函數與泛函分析》也不錯。

經典的書確實比較多，我一時難以列舉

張賢科老師的高等代數學，絕對值得一看

謝謝goinsanee同學邀請，最近幾天比較忙所以沒寫。

其實我讀的數學書很少...而且大多數是囫圇吞棗，很少有書是我從頭到尾認真理解每個證明和推論地看完的（或者說接近這麼仔細地讀其實也基本沒有）。

但是我覺得確實同樣的精力花在不同的書上得到的是不一樣的。這倒不是說書有嚴格的好壞之分，而是一個人適不適合一本書的問題。當然了，有的書確實是比較渣，這種就不討論了。在公認的好書裡邊，大多數並不是適合所有人的。

舉個例子，本科最開始的導師的PhD是數論方面的，他畢業的學校也是公認最好的，在二十世紀最好的數論學家之一手下畢業。但是在那之後，他基本沒有做過研究，一生至今未婚，把主要的精力放在教書和寫書上。他寫過一本多變數微積分的書（暫時沒出版，不過他有在考慮），這本書已經用了至少十幾年吧，一直在教書過程中不斷改進。

當我剛進學校的時候，一個大四的物理學長對他和他的書給了極高的評價，說這個老師重新定義了他心中的數學。抱著這份景仰之情(...)，大一的時候我在上他的多變數微積分，並且花了一個寒假好好看了他的筆記。當時我覺得那本書寫得真是好。對很多數學上的推理給了很好的heuristic上的解釋。

後來，大一的暑假，因為看到很多人推薦Baby Rudin（也就是Principles of Mathematical Analysis），我就在暑假好好看了，也當做複習一下一些微積分，同時學一些新的，比如後邊幾章的Lebesgue integration之類的東西。這本書給我的第一感覺其實不好，雖然很多人推薦，但是感覺看著很奇怪，書中大量使用反證法，而直接證明的相對較少。不過還是認真地基本看完了這本書，還會仔細思考裡邊的一些概念和證明。

過了幾年，回過頭來重新看的時候，我總感覺，我導師的那本書給我帶來的成長其實很少，而Baby Rudin其實讓我對分析的一些東西理解得比原來要好很多。因為當時做grader的緣故，會接觸到其他類型的微積分的書，比如Spivak之類的，我總覺得那些書可能是給學微積分的學生一個更好的入門。誠然，他們沒有在數學上很複雜，對於定理也不一定會完整講證明，相比之下，導師的書是直接把inverse function theorem和implicit function theorem的證明都完整寫在書里的...在後邊講幾個積分的大定理(Green, Stoke, Gauss)，他是直接講differential forms然後證明general stokes...這些處理方法讓這本書在數學上比很多其他的同類微積分的書籍要難一些，但是這種困難未必總是能讓人更有效率得學習的。

這並不能說明這本書不好，事實上剛好相反，有很多好學生很喜歡這本書。其中讓我印象深刻的是一個比我大好幾屆的，現在在芝大讀純數PhD的師兄，他對這本書的評價是對他影響最為重大的數學書。有些時候真的是要看你適不適合這本書，你的學術上的背景，對哪個方向比較熟悉，在哪個方向上訓練不足，你學數學是為了數學研究，物理研究，其他研究，還是工程應用，還是個人純愛好，等等，這些都能影響一本書對你的價值。所謂的經典教材未必對你是好書。

所以我覺得還是要在不同書裡邊多試試，找出那本好的。也找出自己的風格（這句話聽著好扯。。。）

不過總體上，如果你讀的過程很痛苦，讀完之後清楚地理解了，那這本書給你帶來的成長大概是很大的。

回到具體的推薦上，我認真看的真的不多。請酌情參考。。。

抽象代數入門有Dummit and Foote，然後Artin的Algebra也是廣受好評。當然了因為不需要用到抽代我都沒好好看。。

微積分，就主流那些吧。。想要難的用俄羅斯的想要簡單的用美國的。

分析類：Rudin的三件套，如果你有精力都讀了會變得分析很好的。。然後是Shakarchi和Stein的四本書（據我前導師的八卦消息其實這幾本書基本都是Shakarchi寫的），Serge Lang的複分析我覺得也還不錯吧。Kreszig的泛函不錯，簡單易懂。然後據說陶哲軒寫得幾本都非常好。

微分方程：PDE就Evans吧，應該是公認的PDE標準教材了。ODE可以考慮一下Arnold的ODE，那本書非常的幾何，而且偶爾會加入一些對Bourbaki school的嘲諷，畫風和別的ODE教材非常地不同，不過也要難一些。數值的話Iserles的非常好，不過裡邊PDE的東西不多。

概率和統計：請直接看這個list。。。Recommended Books 不過有一些書其實是存在異議的，比如Durrett那本書基本上我問了幾個做統計/隨機過程的教授都很推崇，但那本書其實更接近於工具書，給學過的人看比較好。

大概就是這些吧，可以有空好好看數學書還是很好的，我太懶了 T.T

計算機的推薦《Concrete Mathematics》計算機基礎數學（中譯 具體數學），講解遞歸推導，特殊數列，基礎數論等。習題質量很高，斯坦福教材。

門外漢覺得M Artin的algebra算是值得一看

謝邀。
抱歉就我現有的資料無法回答。我接觸的外校教材並不多，沒有比較。
再次謝邀，希望我可以回答下一個你邀請的問題。

不是數學專業的，不敢推薦專業教材，只說科普讀物。

首先還是那本經典的「什麼是數學」，看了看你的要求，這本書大概八成都覆蓋上一些了吧。有一定基礎的非常合適看這本書。讀這本書也需要一定的數學基礎。

然後重中之重的推薦是克萊因的三卷「高觀點下的初等數學」，雖然名字里有初等數學幾個字，但這本書的內容一點都不初等。簡單地說說目錄，有：算術、代數、分析、幾何流形、幾何變換、幾何體系和系統、實變函數、平面幾何、應用幾何、作圖幾何等等。幾乎覆蓋了中學大學數學除概率論以外的所有知識點。按照克萊因的話說，他是用高等數學的觀點來解釋初等數學的知識點，所以這本書適合中學老師和大學本科生來讀。鑒於這本書的高質量，我相信只要對數學有一定興趣的人，讀了這套書以後對數學的理解絕對會再加深一個檔次。

最後拿克萊因的一句話來結尾吧：教師應該具備更高的數學觀點。理由是，觀點越高，事情越顯得簡單。

更新一下，分割線後寫一些具體的。


先說注意事項：
忌諱迷信一本書，每本書的觀點，程度都有差異，而且書總是看不完的。
我們要用現代的辦法去學習過去的東西，所以你要提前了解了一個分支或多個分支的關係網，這個工作是值得稍微花時間做的，然後教材都不是特別重要的事情，當然，我們得承認經典。
比如本科階段分析，有人說Stein的分析四本書好，有人就是喜歡Rudin,其實可以都看看，最重要的是把Basic topics聯繫到一起，同時積累下來Classic teniques.比如本科分析就可以嘗試用Stein的書把以下東西關聯起來:Lebesgue積分，微分理論–Fourier分析–Hilbert 空間–波方程，熱方程，Laplace方程，解析開拓–Zeta函數–橢圓函數–解析數論，Lp空間–distribution-振蕩積分。
學習的時候都是嘗試自己證明定理，否則隔一段時間你會忘記你應該記住的東西，基本跟沒學一樣，嘗試構建網路，以後等你做東西時候你才會發現什麼定理和技術經常用到，什麼東西忘了關係也不大，再去翻翻書就行，所以好書可能在以後當reference更現實，學的時候都不拘泥於一本。代數也是，了解你想要懂哪些，教材觀點不一樣，都看看，等你可以用不同觀點解釋同一個東西，這部分就算紮實了，個人是Hungerford,Artin,Serge Lang，趙春來四本結合看。還有推薦的拓撲和幾何的東西，我也不怎麼懂，但是目的都是一樣的。
GTM200本，你一輩子也刷不完，所以還是目的明確一些比較好，這樣的話也學的動機充分，畢竟你是做數學，不是當知識的搬運工。

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我想分幾個層次，每個層次動機不一樣。
第一層次:不管你以後做什麼方向，公認的基礎課程—數分，高代。都不僅要懂定理，還要掌握做題技巧，因為後續課程很多思想都能在這些看似初級的技巧中尋到蹤影，這要靠你自己體會。數分裴禮文，大家都知道，題很經典，而且技巧類型很全，暫時不過時。高等代數我推薦北大藍以中的高等代數和他的習題全解或者張賢科的高等代數，他們寫書的觀點容易和後續課程比如泛函，微分幾何，抽象代數接軌。習題千萬不要做楊子胥那本。另外，如果以後用到概率論，可以學習Ross的概率論，題很多，很有代表性。

第二層次：稍微現代一些的基礎課程，傅立葉分析，複分析，實分析，泛函分析，PDE，ODE，抽象代數，微分流形，基礎拓撲。對於想多了解一些分析的，我推薦一個策略，嘗試把上述前6門課聯繫起來，你可以嘗試讀Stein的前三本，關於這三本書怎麼把動機串起來的，可以參考一下"如何評價Stein四套分析教材"那個問題，而且讀完這三本不需要太多時間，最多兩年。其次，如果你有能力了解這些學科的動機，完全可以遵循注意事項里所說的"直接從高觀點角度學習"，比如說如果你了解為什麼實分析喜歡先講Lebesgue測度，為什麼要定義測度，那麼可以直接去讀Halmos的測度論，直接學最一般的結果，以後方便使用。
然後推薦一些具體的:1.Lax的泛函分析，雖然它有點中式風格(定義-定理-推論)，但是如果你在高等代數和數學分析的銜接工作做得不錯(舉個例子，你自己想到過特徵值特徵向量推廣到無限維空間，歐式空間推廣到無限維，這些自然成了泛函里Hilbert空間，線性運算元的譜的概念來源。)，Lax的書看起來沒有毫無動機的感覺，反而很簡潔。而且你可以跳躍得看感興趣的章節，不知道的概念回去找，有一定獨立性。再者，不像日本農民的書，是字典風格，Lax的教材可以給初學者用。2.Artin的代數，我想它幾個突出的優點是容易懂，內容全，例子多。群論，模論初步，有限群表示初步，有限情況下Galois理論，應該是需要掌握的。抽象的概念，如果沒有例子，動機和應用，就跟天書一樣，然而Artin的書寫的足夠詳細了。中文教材推薦李文威老師的《代數學方法》卷一。 3.複分析，龔昇的《簡明複分析》，一句話：內容多，頁數少。如果你想入門解析數論，看Stein的複分析，最後幾章，而且前三章處理的很簡單。

第三層次：和方向接軌的專業課。如果前兩個層次做得好，你的自學能力和知識基礎都應該不錯了，看相關的Gtm應該不會太吃力。至於各個方向有哪些好書，知乎上有很多大神的答案，可以參考。至少就本科來說，做紮實前兩層次就不錯了。
待更新

GTM52

說實話能賣到中國的外文書都是好書，那可是漂洋過海啊。
所以找個適合自己看的就行。
當然若是要我推薦，當然是stein大師的了

有幸做過丘爺爺的學生

有一節課，本來從9:50上到11:25

他讓我們早點去

硬生生從8:00上到了12:50！！

於是乎 我們就一個學期上完了高等代數

工科線性代數都兩個學期的

說正題

卓里奇的 《數學分析》
阿姆斯特朗的《基礎拓撲學》

只說自己看過的

《陶哲軒實分析》，從自然數的定義開始構建整個實分析大廈，對工科學生來說思維一定會受到震撼而有飛躍進步。語言通俗，不沉悶，就像一個師兄給你講題，深入淺出，娓娓道來。

《複分析:可視化方法》不同於一般複分析課本，這裡用一種獨創的視角去解釋複分析理論，有很多在其他課本看不到的真知灼見，比如「傅里葉展開和泰勒展開是同一事物的不同角度的看待」。語言也是娓娓道來，閱讀很輕鬆，可以當飯後小說看

《最優化方法》（何堅勇/清華大學出版社）這本書主要講三方面內容:線性規劃、非線性規劃、動態規劃。內容組織由一個實際問題開始，引出疑問，一步步構建數學模型，閱讀起來很順暢。

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