有哪些不定積分的運算（心算）技巧？

12-27

本題想請教各位的是不定積分的運算（心算）技巧，不是計算方法（指湊微分法等）和不定積分公式表，本人在做微分時能心算，但做逆運算不定積分時總要湊出原函數才行，效率很低，各位一般能心算不定積分嗎？都是用什麼方法算的呢？

常用積分法匯總

樓主問的是運算技巧（心算技巧），也就是碰見什麼樣的類型應該往哪裡想、解題套路。基於此，寶刀君將常見積分法進行了分類，然後以例題講解的形式說下各個題型應該怎麼操作。

【注1】：帖子內容有些長，全部閱讀完預計20分鐘，建議大家耐心一些看，有紙和筆的小夥伴最好嘗試著做下，這樣便於比較技巧方法是否有幫助~

【注2】：以下內容來源於宇哥課堂上所講內容的整理，在此謝謝宇哥考研團隊！

【注3】：後期若在學習中有新的經驗總結，我會及時整理！備註於2017年6月16日

（一）湊微分法

湊微分法在考研裡面也叫第一類換元法，但是叫湊微分其實更能說明本質特徵，因為它不是真正意義上的換元。

常見的公式表之類的，我就不貼了，這裡僅僅提供一些湊微分法解題過程中總結的常用公式（課本沒有），這樣做題時碰見了，可以立馬寫出來，節省時間（如果對三角函數湊微分推不出來的，我可以附帶推導過程）

掌握了上面的湊微分公示表，那麼基本的題目都可以處理。下面說一些稍微複雜的，如下面這道題：

簡單的題目，你可以試探性的湊微分，這種複雜的，你拿到題，瞬間感覺無從下手。

這裡給大家介紹一個常用的做題技巧：對被積函數中的複雜項進行試探性的求導！

為什麼這樣做呢？

因為你對複雜項求導後，一般會發現被積函數表達式中含有求導後的項，這樣就可以進行約分。

比如對於這個題，複雜部分就是分母了，尤其是分母中的第二項，我們嘗試著對這個主要矛盾進行求導：

現在的問題是：求導後得到的，只是原式的一部分，並不是全部！因此，這時候就需要湊了，即上下同時乘以（除以）相同的因式，用恆等變形的辦法以達到湊微分的目的。

所以，本題的完整操作步驟如下：

總結一下學好湊微分的技巧：

1 背熟常見的湊微分公示表，靈活運用；

2 對被積函數中的複雜項（主要矛盾）進行試探性的求導！如果求導後不是被積函數表達式中某些量的倍數，可以考慮分子分母同時乘以（除以）相同的因式，用恆等變形來達到湊微分的目的。

（二）換元法（考研考試的主體）

換元法的引出，是在湊微分法（第一類換元法）失效時出現的，數學上當一個積分很複雜，又無法用湊微分的形式做出來時，就需要考慮採用換元法了，即換自變數。

換元法的解題套路主要有3個：

1 三角代換

2 倒代換

3 複雜項的整體直接代換

下面詳細解釋下這三個：

1--三角代換：一般被積函數有根號的，出現平方和或者平方差時，採用三角代換。這一點估計大多數學生都有這種感覺，都能掌握，在此不做啰嗦。

三角代換書上給了好多常見的處理思路，如圖：

倒代換：一般出現分式，且分子分母次數不一致，分子次數低、分母次數高時，考慮使用倒代換。

關於這個倒代換，很多在這塊沒有達成一致，因為大部分人對這個「倒」的理解是用1/t代替x,也有人對這個「倒」的理解是用新的變數求出不定積分後，再將新變數還原成原來的變數，即「倒回去了」，這是一種廣義的理解。因為換元法的三個解題套路的最後一步都是要還原回去呀！

這裡為表述方便，作者自創性的提出新的名詞：正代換和倒代換。

倒代換在這裡的意思是：

最常見的就是換成n=1的情形了。

正代換在這裡的意思是

因為有些時候用正代換更好處理，比如下面這個題：

可以看出對上題，用正代換處理起來更方便一些。

複雜項的整體直接代換：這是一個不太容易想得到的技巧，但是考研的輔導書中的習題解答上經常出現。

哲學是所有學科之首，哲學理念告訴我們，遇到問題時，應該抓住解決問題的主要矛盾，換元積分法中的複雜項整體代換體現的就是這個思想。

什麼意思呢？舉幾個例子就明白了：

比如說碰見這樣一個題：

拿到手後感覺無從下手啊！怎麼辦？做複雜項的整體代換！誰是複雜項？當然是根號那個式子了！於是就有如下的解題步驟：

再舉一個例子：

又如：

先判斷誰是複雜項？複雜項是分母的根式，做整體複雜項的代換。就令分母為t，試試看：

這種思路還是很巧妙地，如果其他方法都沒有頭緒時，可以考慮使用此方法。

（三）分部積分法

關於分部積分法，技巧或者說學生經常疑惑的地方就是兩個：

1 學生知道「反對冪三指」這個口訣，但是具體應用時總是將時間浪費在這個排序上，太耗時了，也就是說：想找個簡易的判斷誰當U，誰當V的辦法。

2 學生已經判斷出U和V了，但是接下來的積分過程比較慢，想要個快速展開分部積分表達式的方法。

首先我們要想清楚的是：分部積分應用在哪些場景呢？換句話說，在什麼情況下，我們會考慮到使用分部積分？

主要有兩個原因：

1 被積函數表達式出現了不同類型函數的乘積；

2 在1的基礎上，求udv的積分困難，但是求vdu的積分好求時。

基於以上兩點，我們的數學系前輩們發明了分部積分。

我們先弄明白了分部積分的誕生來源，接下來需要考慮的是，考研真題或者說平時做題過程中，都會遇到哪些類型的函數進行相乘呢？

A.如何快速判斷出U和V？

基本上常見的就是這幾種類型，或者是這幾個混搭，大學裡老師在教這塊時，經常會告訴大家一個口訣，叫做：「反對冪三指」，也有的叫：「反對冪指三」。意思是說，當這幾個類型的函數相乘時，取U的順序就按這個來，誰排在前面，就選誰當做U。比如說：反三角函數和對數相乘求積分，一般要設反三角為U，對數為V，這樣再積分才容易計算。

根據分部積分的推導過程，寶刀君用通俗易懂的話來解釋下：這個U和V就好像是兩個人一起幹活，一個干求導，一個干積分，現在的目標是積分求出他們兩乘積的原函數，你是主人，要協調好這兩個人，選出那個易於求導的U和還易於積分的V，讓他們干自己容易乾的活。諾，你看，現在的情況是出現了dv（對v求導）困難了，而對U求導比較簡單（du），因此才出現了分部積分公式。

就拿上面的那3個類型進行說明吧，比如對於第一種類型，多項式和其他類型相乘時，我們選誰當做U呢？當然是選擇求導簡單的當做U了，而多項式和三角函數、指數函數相乘時，很明顯對於多項式更容易求導，因此我們選擇多項式做為U。

對於第二種類型，指數函數和三角函數相乘，這兩個求導和積分都差不多，選這個當做U或者當做V，都不是什麼困難的事，這就是口訣為什麼有「反對冪三指」和「反對冪指三」兩個版本的原因。

對於第三種類型，多項式和對數或者反三角在一塊，你這時候就要留意了，因為對於多項式來講，對它求導或者積分都不是什麼困難的事，但是對於反三角函數來說，對它求積分好像確實是有點困難，反倒是對反三角求導比較簡單一些。因此，在類型3中，我們往往將對數和反三角函數作為U。

總結一下：當我們碰到一個被積函數為兩個不同類型的相乘時，下意識要使用分部積分了，此時你可以不用背口訣，你就簡單的想，我讓誰去求導且剩下的那個人干積分還不是很困難，那我就選誰當做U。

B.如何快速展開分部積分表達式？

大家耐心一些，先舉三個例子，看明白就知道怎麼快速展開了：

可以看出，這個表格的第一行是寫容易求導的人，對U不斷地求導，第二行是寫容易積分的人，對V不斷地做積分，那麼，根據表如何寫出下來的表達式呢？

口訣就是：「以U為起點，左上右下，錯位相乘，正負相間，最後一項寫積分」。

有同學會問：我求導到啥時候？正負號如何規定的？用這個表怎麼寫展開式呢？

對於本題來講，第一行要對多項式求導至0,。正負號是這樣規定的，規定第一項為正，接下來是負號，就這樣按順序寫就行。表格的最後一項是積分，被積函數是U的最後一項和V的最後一項的乘積。按順序寫完後，依次寫下去整理即可。

再看第二個例子：

由於三角函數在求兩次導後，會出現原型，因此，這類一般第一行「求導至循環」。

最後，再來第三個例子：

對於反三角函數或者對數函數做U求導，一般只求一次導，即求導至反三角符號和對數符號消失為止。

通過以上3個例子的介紹，相信大家對這個分部積分的推廣公式如何使用應該有了一定的印象，寶刀君本不想列上這個推廣公式的正式寫法，但是為表嚴謹，還是寫出來：

總結一下：對於兩個不同的函數乘在一起做積分，我們就要權衡好誰來求導簡單一些，誰做積分更容易一些，然後用分部積分的推廣公式來展開。

大家可以不用死記硬背分部積分那麼長的推廣公式，你就記住一點：我對第一行求導，對第二行做相應的積分，求導到什麼程度呢？多項式一般是求導到0，三角函數一般是求導至循環，反三角和對數是求導至符號消失，最後利用口訣：「以U為起點，左上右下，錯位相乘，正負相間，最後一項寫積分」的原則，就可以快速、正確的寫出分部積分的表達式！

（四）有理函數積分法

這個積分方法不難理解，但難的是因式分解後的係數計算量，凡是涉及到大型考試的，基本上共同的特點就是計算量大！

這裡介紹一個因式分解後快速計算係數的方法：恆等式特殊值代入法。舉兩個例子，大家可以體會下：

先舉個簡單的例子：

如果用恆等式特殊值代入法，那麼這個題就可以快速求出A、B、C參數值。

比如，我么可以對***式分別代入：

這個相比剛才的演算法，計算量少了好多。

也許有人會問，你這種方法的理論依據是什麼？其實就是恆等式，因為在恆等式中變數x以任何值代入，等號兩邊均應相等，因此給X以適當的值，可以得到關於因式分解參數的更為簡便的條件。

再舉一例，相信大家對此的感觸就更深了。

因此結果為：

總結一下：以上幾個方法就是在不定積分領域出現的積分方法，各有各的特徵，大家拿到題後，對號入座，哪個合適用哪個。

當然，這只是不定積分的積分法，如果擴展到定積分裡面，這四個方法照用（只不過在換元法中要注意變數的正負號問題，這個後期再展開講），另外，定積分的積分法中對定積分的性質得掌握要求更多一些，比如：

以上內容呢，就是常見的積分法匯總。

最後，總結一下這篇帖子里主要講解的積分技巧：

1、湊微分法中：碰見複雜的，嘗試對複雜項進行求導，再進一步用恆等變形的思路處理被積表達式，往往有意外的收穫~

2、換元法中：根據抓住問題的主要矛盾的思想，對複雜項考慮整體代換；

3、分部積分法：U和V如何取捨？如何快速展開？（快速展開這個技巧會非常受益，哈哈，誰用誰知道哦~）

4、有理函數積分法：因式分解後，如何快速求解各個係數？（利用恆等式的思想代入特殊值）

宇哥所講的「換元法中對複雜項進行整體代換」、以及「」有理函數積分法中利用恆等式的思想求解係數「令人耳目一新，如果學習複變函數的同學，其實也知道係數也可以用留數法進行求解。而分部積分法的列表格展開，和寶刀君大一學習高數時，高數老師講的如出一轍。

好啦，以上那個就是現階段整理的（打了這麼多字，貼了這麼多圖，好辛苦呀），後期如果學習過程中還有新的學習體會，寶刀君（歡迎大家關注我的微信公號：BDJ0501）還會再回來更新，如果您覺得這篇帖子對您學習或者考試有幫助，麻煩伸出可愛的手指頭點個贊，鼓勵我繼續創作，謝謝啦！

（2016年12月6日更新）

解決題主的問題，需要解決的問題是熟記積分表和明確的是要將不定積分向著什麼方向轉化，所以我把之前寫過的一篇介紹不定積分計算方法的文章貼出來，希望對題主有幫助。

計算不定積分實際上就是根據導函數找原函數。求導的計算方法有一定的套路，對於任給的初等函數都套這些求導法則都可以找到導函數。但是不定積分不然。不定積分的兩種運算律——換元積分法和分部積分法——都只是告訴你你可以怎麼算，但是並沒說這麼算一定能算出來。因此，不定積分的計算有十分強的技巧性。

遇到不定積分的時候要注意並不是所有的不定積分都能求出來，有的函數的原函數無法用初等函數的形式表示出來，因而相應的不定積分也就算不出來，比如 $int_{}^{} frac{sinx}{x} dx$ , $int_{}^{} e^{x^{2} } dx$ , $int_{}^{} frac{1}{lnx} dx$ , $int_{}^{} sqrt{1-k^{2} sin^{2}x } dxleft( 0<k^{2} <1 ight)$ 等。但一般在練習題和考試題見到的不定積分都是能算的，即便是遇到不能算的積分，題目也會有其他做法讓你不計算不定積分也能做出來。

在學不定積分的時候，有一位老師曾教過我三句話：背好口訣表，用好運算律，總結計算方法。如果說不定積分有什麼計算的套路，應該就是這三句話了。

若要想熟練計算不定積分，先熟練背誦並應用基本的不定積分的積分表是基礎，積分表不光應包括由常見微分公式導出的那些，還應包括常見的不能直接求出來的一些函數的積分公式。積分公式背得多，做不定積分的時候被積函數轉化成熟悉的函數就更容易一些，遇到熟悉的形式就可以直接寫出答案，而不用現推了。

二、不定積分的運算律要靈活運用，尤其是換元積分法。在簡單的情況下，可以直接把d()當成一個筐子，直接把數放進裡邊就是了，然後再在前面添係數（即湊微分，比如 $xdx=frac{1}{4} dleft( 2x^{2} -3 ight)$ )，至於怎麼放，一切為計算服務。分部積分法要想用好，需要記住 $int_{}^{} f$ 這個公式。相比於 $int_{}^{} udv=uv-int_{}^{} vdu$ ,它的意義更鮮明一些，並且用的時候會幫你減少一些盲目性。

做不定積分的時候，你會發現很多題目的思路都是類似的，這些思路就是需要你去總結的，比如遇見三角函數，往往需要使用三角函數本身的公式來轉化；見到根式，就需要用換元法來脫根號；在用換元積分法沒有思路的時候，試試分部積分法可能就做出來了。

除了上面所說的方法，計算不定積分還需要多練習，這樣才能積累經驗，更快地找到解題方法。

下面介紹幾種類型的不定積分的計算方法。

一、湊微分類型

如果f(x)容易積分，那麼 $int_{}^{} f(g(x))g$ 類型的不定積分需要用湊微分法做，但做之前需要能識別出這種類型的積分，識別出這種積分做出來也就不難了。識別這種積分的關鍵就在於熟練掌握各種基本的積分，即上面第一點所說的。

二、分部積分類型

處理不定積分不能只想著換元法，有時也需要用分部積分法。

（一）如果對某些式子的其中一部分積分，對另一部分求導，對所得的新的式子求不定積分會變得比原來更簡單，那麼這種情況就可以使用分部積分法，例如 $int_{}^{} xarctanxdx$ 。

（二）有一些式子求導的結果有一定周期性，如 $e^{x}$ 、sinx、coshx等。當所求的不定積分含有這些因子時，可以考慮使用分部積分法。需要說明的是在處理這種題目時，計算的某一步中又會出現最初所要求的那個積分，這時應將這一步所得結果和第一步等式之前的式子看做一個方程，通過解方程的方式解出所要求的不定積分結果。當被積表達式含有正整數次冪時，這樣做得到的可能不是方程，而是一個遞推公式，進而得到要求的積分。

三、只含三角函數的分式

處理這種問題的方法是先利用三角函數的公式降冪，使用萬能公式將各種三角函數統一為「 $tanfrac{x}{2}$ 」再將其換元，轉化為普通的多項式做分子分母的分式的情況。注意轉化時要化成同角的三角函數。

但在這些題中， $int_{}^{} frac{Asinx+Bcosx}{Csinx+Dcosx} dx$ 這種類型的積分可以用更簡單的方法處理。取合適的係數使Asinx+Bcosx=p(Csinx+Dcosx)+q(-Dsinx+Ccosx)，，從而將原積分化為便於計算的 $int_{}^{} pdx$ 和 $int_{}^{} frac{qd(Csinx+Dcosx)}{Csinx+Dcosx}$ 兩部分。

三、正弦餘弦高次冪

計算三角函數的積分常常使用三角函數本身的一些公式來化簡，最常用的是二倍角公式和和差角公式，但在這裡由於冪次較高，用這些公式顯然很不方便。為了將正弦餘弦的高次冪化為一次，可以使用歐拉公式和二項式定理

（歐拉公式及其推論）

四、有理分式

（一）、分母的次數高於分子的次數

1、分子為常數，分母為Δ&<0的二次多項式的k次方

處理這種問題的思路是將二次多項式配方，轉化為 $int_{}^{} frac{dx}{left( x^{2} +1 ight) ^{k} }$ 的形式，再用x=tant換元求出結果

2、分子有一次項和常數，分母是Δ&<0的二次多項式的k次方

解決這種類型的積分的思路是把被積函數分成兩部分，一部分利用湊微分法 $int_{}^{ } frac{dleft(ax^{2}+bx+c ight)}{left(ax^{2}+bx+c ight)^{k} } dx$ 來來做，另一部分使用分子是常數，分母為二次多項式的方法處理。拆的過程可以使用多項式長除法，用分子除以2ax+b。

3、分母為大於二次的多項式

三次及以上的多項式都能因式分解。處理這種問題時首先用待定係數法、賦值法等方法將原來的有理分式分解成部分分式裂項，再對每一項分別積分。當分母比分子高一次時，可以先把用分母的導數除分子，分離出一個可湊微分的部分，再將剩下的部分用上面的方法分解成部分分式處理。

（二）、分母的次數不高於分子的次數

遇到分母的次數不高於分子的次數的情況是需要使用多項式長除法轉化為分母次數高於分子次數的情況。

五、只含三角函數的分式

處理這種問題的方法是先利用三角函數的公式降冪，使用萬能公式將各種三角函數統一為「 $tanfrac{x}{2}$ 」，再將其換元，轉化為普通的多項式做分子分母的分式的情況。注意轉化時要化成同角的三角函數

但是在這些題中， $int_{}^{} frac{Asinx+Bcosx}{Csinx+Dcosx} dx$ 類型的積分有一種相對簡單的處理方法。取合適的係數使Asinx+Bcosx=p(Csinx+Dcosx)+q(-Dsinx+Ccosx)，從而將原來的積分轉化為容易求的 $int_{}^{} pdx$ 和 $int_{}^{} frac{qdleft( Csinx+Dcosx ight) }{Csinx+Dcosx}$ 兩部分

六、含有根號的式子

（一）、根號內只有一次項（和常數項）的二次根式

處理這種問題可以將根號整體換元來脫根號

（二）、根號內只有二次項和常數項的二次根式

這樣的式子一般運用第二類換元積分法來脫根號。換元時可以換成三角函數或雙曲三角函數（主要是雙曲正弦和雙曲餘弦）。

（三）、根式內為一般二次多項式的二次根式

處理這種問題，需要將根式內配方化為根號內只有二次項和常數項的情況，也可以使用歐拉代換。歐拉代換是解決這種類型問題的通法，但使用這種方法也需要提前做好要做大量運算的心理準備。

（四）根號內為一次齊次分式的根式

將根號整體換元來脫根號，這種方法對大部分含有 $sqrt[n]{frac{ax+b}{cx+d} } left( nin N^{*},n>1<br /> ight)$ 的積分都適用。有些積分沒有直接給出這樣的形式，需要往這個方向湊。

七、其它

不定積分有很多種，因此也難以將他們的解題方法全部歸納出來。一般的不定積分，其計算方法往往是由其特徵決定的，根據其特徵，根據以往的處理類似積分的經驗，就可以去嘗試相應的方法。注意這裡只能說是嘗試，並不保證一定能做出來，因為有些積分形式相似卻不一定有相似的處理方法。下面列舉了一些不定積分可以嘗試的方向。

當被積的分式分母次數減分子次數之差大於1時，也可以嘗試倒代換（即設 $x=frac{1}{t}$ ）

當被積表達式中含有對數、指數、反三角函數時，可以將其設為新的變數，也可以嘗試分部積分法。

當被積表達式同時含有sinxcosx和sinx+cosx時，可以利用將它們統一起來。

當被積表達式含有 $left( ax+b ight) ^{2} +1$ 時（尤其是a=1,b=0的時候），可以嘗試設ax+b=tant

參考資料：

歐拉代換的簡單介紹

華東師範大學數學系.數學分析.北京：高等教育出版社2010，196-198頁

胡志興，鄭連存，蘇永美，孟艷等.高等數學，北京：高等教育出版社，2014.292頁

這本書值得你擁有：《積分的方法與技巧》書名即直接坦白地交代了這本書要做什麼事情Orz。我想這種書也只有USTC會出版了。膜拜南七技校。

分部積分有一個方便的技巧（不適用於所有情況）。網上隨便找了張圖。

我最近在複習考研，很明確地告訴你，有變數替換法和分部積分法這兩種最主要的方法，第一類換元法、第二類換元法、三角替換、倒替換其實都是換元法，除非非常簡單的，其它的都不可能心算的，起碼我是沒見過，教授也說了，有些演算法還是自己摸索體會出來的，所以勒，想要提高，還是做一些典型例題，分析一些典型方法比較靠譜。

第五章不定積分 - 幕布

多練練吧，時間長了我也經常翻書

有時間請不要浪費在無聊技巧上。多掌握數學的重要概念。心算這就是算術，毫無意義，Mathematica/maple或者其它CAS做這些都比你心算快得多。