網劇《你好，舊時光》第一集當中的題目是否真的需要將「連續」修改為「可導」才能求解？

12-27

有點小意思啊，還有這麼好玩的劇。。

———————————不想看數學的可以直接拉到最後——————————————

首先貼一張原劇中比較完整的題目和解答圖

真不知道編劇腦洞開在了那顆星球才會覺得需要改條件（可能是覺得題目里那個lim符號並不能說極限存在吧，有道理……個頭啊！）（貌似最後答案還錯了啊摔）

然後樓上的解答也是對的，雖然個人很反感等價無窮小代換，但這裡至少沒用錯。

然而事實上，這裡連續的條件也不需要加，因為既然極限存在，指數上是無窮大，底數的極限必須是1，這就能推出連續性。嚴格來說，如果我自己來寫的話，我會首先取對數，得到

$lim_{h ightarrow0}frac{log(f(x+hx))-log (f(x))}{h}=frac 1 x$

然後令 $g=log f$ ，就有

$lim_{h ightarrow0}frac{g(x+hx)-g(x)}{hx}=frac{1}{x^2}$

從而g可導（-&>連續），並且 $g$

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數學命題成立與否，與給出的條件關係非常密切。在平時的研討中，我們時常會對某個對象做出一定的假設或要求，或者會問放鬆某個條件之後命題是不是還成立。而在數學競賽史上，題目出錯也不少見。但是，通常對於錯題，一般的描述都是「某國的某某在考場上給出了一個反例」諸如此類。若這姑娘當真認為連續的條件不對，則應當大膽站出來，給出一個滿足條件但結論不對的反例，這才是真有魄力，又有水平。而隨意的加強條件，無異於丟盔卸甲，落荒而逃。雖然滿眼的數學字，可這一點也不「數學」。

不需要，這一點其他人都講得很清楚了。這充分暴露了國產網劇不注重細節的毛病，讓人看了齣戲。06年韓劇《雪之女王》裡面有類似的情節，但是人家至少比這個用心。老師設計了一個題目，都是韓文我就不仔細寫了，也就是如果

$f(x+y)=f(x)+f(y)$ ,

然後求解 $f$ 。男二寫出了 $f(x)=xf(1)$ , 但是男一告訴他，這個得連續才行。

當然了，這個問題不假設「連續」可以成立，其實下面四個條件的任意一個也可以推出 $f(x)=xf(1)$ 。

順帶一提，上面那個女性不是女主角，這個時候的女主角還是蘿莉一個。她要變成男一的「女王」還得過個幾年。裡面有一個情節是男主角最後利用兩個「原本不太相關的」不同領域的東西解決了一個難題，然後他導師告訴他這個論文審稿起來很麻煩，因為兩個領域都懂的人不多，這個設計也是比較符合實際情況的。我覺得至少這個劇是有顧問的。

我想說，找一個有點數學水平的顧問很難嗎？這個網劇裡面的問題，一個水平稍微高一點的數學系大一上學期本科生都可以回答了，當然了，我覺得一些厲害的高中生也能搞定。只是編劇和導演太不細心了，也懶得下功夫。

其他答主說的很詳細了，這裡做一點微小的延伸，大一版本情景：

如果女主角換成大一新生，同時場下有N多保送來的XXO金牌選手，那麼可以出一道初等函數極限計算題

尷尬又不失禮貌的微笑

我覺得應該是不需要的，原因如下：

根據題目的條件，對極限的兩段取對數可以得到

$logleft(lim_{h o0}left{ {frac{f(x+hx)}{f(x)}} ight}^{frac{1}{h}} ight)=frac{1}{x}$

然後根據對數函數的連續性得到

$lim_{h o0}logleft(left{ {frac{f(x+hx)}{f(x)}} ight}^{frac{1}{h}} ight)=frac{1}{x}$

也即

$lim_{h o0}left{ frac{1}{h}logleft({frac{f(x+hx)}{f(x)}} ight) ight}=frac{1}{x}$

然後根據 $f(x)$ 的連續性和等價無窮小替換可以得到

$lim_{h o0}left{ frac{1}{h}left({frac{f(x+hx)-f(x)}{f(x)}} ight) ight}=frac{1}{x}$

也即

$frac{1}{fleft(x ight)}lim_{h o0}left{ left({frac{f(x+hx)-f(x)}{h}} ight) ight}=frac{1}{x}Rightarrowlim_{h o0}left{ left({frac{f(x+hx)-f(x)}{h}} ight) ight}=frac{fleft(x ight)}{x}$