泰勒展開，級數發散能怎麼樣？

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最近在讀卓里奇的數學分析，發現這個問題。
f(x)=ln(x+1)泰勒展開，當|x|&>1時此級數發散。
級數里講，發散級數，有無窮和或者說和不存在，那對於這個ln(1+x)在|x|&>1的情況下，比如說x=2，那麼ln3是存在的。這是什麼情況？

或者說泰勒展開在某種情況級數發散意味著什麼？
初學者望大佬不吝賜教

一個簡明的論證，就是在別的點重新做泰勒展開【這個叫做解析延拓】。

比如你從x=1的地方的泰勒展開【收斂半徑=1】已經知道ln(1.5)是存在的，那麼就在x=1.5的地方做泰勒展開【收斂半徑應該是1.5】，這樣你就能知道比如ln(2.5)是存在的。然後在x=2.5的地方再做泰勒展開【收斂半徑應該是2.5】，這樣就知道ln(3)是存在的了。。

完整的討論應當在複平面上進行，將泰勒級數拓展為洛朗級數。【建議學習複變函數】

由於x=1本身不是ln函數的奇點，所以在x=1處做洛朗展開，其級數和泰勒級數是一樣的。

由於ln函數在0處有奇點，所以在x=1處展開的時候，收斂圓|z-1|【收斂半徑這個名字的來源】在複平面上最大只能擴張到0處，因此會有在x=1處展開的泰勒級數【洛朗級數】的收斂半徑是1的結果。。

要注意的是，ln函數在x=1處展開的泰勒級數【洛朗級數】的收斂半徑是1，並不意味著ln(1+1)或者ln(1+2)就不存在，只是說明收斂圓|z-1|在擴張中的時候，在半徑=1的時候碰到了ln函數的奇點0導致收斂圓不能變得更大而已。。

那麼如何論證ln(1+1)或者ln(1+2)是存在的呢，這就需要解析延拓了。。

起碼ln(1+0.5)是存在的，接下來在x=1.5的地方重新做泰勒展開【洛朗展開】就好了，這個時候就會發現，收斂半徑變大了，成了1.5，這是因為ln函數在複平面上只有x=0和x=無窮兩個奇點，自然收斂圓的半徑就會變大了。。這個時候，就把ln(1+1)包括進來了。。

同樣的，你可繼續在別的點做展開，把你想要的ln(1+100)什麼的全包進來。。

初學者，說得簡單點。
泰勒展開是用多項式對任意函數模擬，除了多項式它裡面還有一餘項你忘了么？佩亞諾余項趨於0，其他展開的話你還得考慮這個余項是不是趨於0。
你的誤區在於，以為函數泰勒展開得到的多項式就和原函數相等了，你卻忘了展開的多項式還帶著個余項。簡單的說，多項式加余項=原函數，一般情況下余項趨於0就變成了多項式等於原函數，但是有的時候即在有的區間這個余項即誤差不趨於0甚至趨於無窮大，也就是說你如果再用這個多項式去算原函數的值會有不趨於0或者無窮大的誤差！
簡而言之，你說的矛盾這裡右邊是一個無窮大的多項式—無窮大的余項=左邊的ln(1+x)當x趨於+∞。
在我看來它並不矛盾。