為什麼曲面積分裡面的ds=（1+zx2+zy2）?dxdy呢？

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不同於《高等數學》書中的方法，本文通過線性變換的思想來推導一下曲面積分公式。

先明確下問題。

1 曲面面積公式

對於一個三維的光滑曲面 $S$ ，有：

$displaystylemathop{iint}_{S}dS=mathop{iint}_{D_{xy}} sqrt{1+(frac{partial f}{partial x})^2 +(frac{partial f}{partial y})^2}mathrm{d}xmathrm{d}y$

其中 $D_{xy}$ 是 $S$ 在 $xy$ 平面的投影。

我們來看一下這個公式是怎麼推出來的。

2 基本思想

比如 $S$ 是這麼一個三維光滑曲面：

將曲面無限細分為 $n$ 份，每一份的面積我們姑且認為就是 $dS$ （嚴格來說，在積分里 $dS$ 是沒有什麼幾何意義的，不過出於直觀理解為面積是可以的）：

所以 $displaystylemathop{iint}_{S}dS$ 的意思是把所有的 $dS$ 累加起來，就得到了 $S$ 的面積。

微積分的思想就是「以直代曲」，比如說在一元的時候：

從一元開始推廣到多元這個思想依然成立。從這個思想出發，我們要找到 $dS$ 的直。

我在某個切分出來的小塊，比如叫做 $S_i$ 吧，在其中隨便找一個 $A$ 點，做此點的切平面：

此塊切平面的面積我們記作 $dA$ ：

切平面 $dA$ 實際上是 $dS$ 的微分（這一點可以參看我的答案如何理解全微分），根據微分的定義有： $dAapprox dS$ ，並且有：

$displaystylemathop{iint}_{S}dS=mathop{iint}_{S}dA$

這就是「以直代曲」，在積分中，可以直接用切平面來代替原曲面。

下面我們來看下 $dA$ 怎麼計算。

3 通過線性變換來計算 $dA$

下面我的解釋為了直觀犧牲了嚴格性。

關於線性變換可以參考下我另外一個答案：行列式的本質是什麼？

簡單來說呢，線性變換可以把一根直線變成另外一根直線：

在三維中，也可以把一個平面變為另外一個平面：

$dA$ 在 $xy$ 平面上的投影為 $dD_{xy}$ ：

$dD_{xy}$ 通過線性變換可以得到 $dA$ ，而這個線性變換就是導數，關於這點可以參看我的回答如何理解導數的概念。

這裡需要補充說明的一點是， $dD_{xy}$ 實際是通過仿射變換可以得到 $dA$ 的，不過這點並不妨礙我後面的說明。關於仿射變換可以參看我的回答：如何理解仿射變換？

那麼如果能知道 $dD_{xy}$ 的面積，再進行線性變換就能得到 $dA$ 的面積了（這裡把 $dA$ 即當作面積，也當作了小方塊的代稱，請根據上下文理解）。

4 具體做法

$dD_{xy}$ 的面積計算：

同樣的可以算 $dA$ 的面積：

剛才我說過，這裡面的線性變換 $T$ 實際上就是導數，也就是雅可比矩陣，因此我們可以完成下面的推導：

我們可以得到：

$dA=|overrightarrow{du} imesoverrightarrow{dv}|= ||(-frac{partial f}{partial x}dxdy,-frac{partial f}{partial y}dxdy,dxdy)||= sqrt{1+(frac{partial f}{partial x})^2+(frac{partial f}{partial y})^2}dxdy$

從而得到我們的曲面面積公式：

$displaystylemathop{iint}_{S}dS=mathop{iint}_{S}dA=mathop{iint}_{D_{xy}} sqrt{1+(frac{partial f}{partial x})^2+(frac{partial f}{partial y})^2}mathrm{d}xmathrm{d}y$

$intint_{S} f(x,y,z) dS= intint_{x,y} f(x,y,z(x,y))|frac{partial f}{partial x} imes frac{partial f}{partial y}|dxdy$ (這裡的乘是叉積)
$|frac{partial f}{partial x} imes frac{partial f}{partial y}| = ||(1,0,frac{partial z}{partial x}) imes (0,1,frac{partial z}{partial y})||$
$=||(-frac{partial z}{partial x},-frac{partial z}{partial y},1)|| = sqrt{(frac{partial z}{partial x})^2 + (frac{partial z}{partial y})^2 +1}$

勾股定理三維版。 $S_4^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2$ .
微分形式： $ds^2=(dydz)^2+(dz dx)^2+(dxdy)^2$ .
化簡即得 $ds=sqrt{z_x^2+z_y^2+1} dxdy$ .

我相信答主既然這麼問，很可能是高數的初學者，希望能用更簡單的思路去理解這個問題。所以我上面給出一個簡單直觀的解答，不夠嚴謹，但是只需中學幾何知識背景即可理解，對初學者確實有幫助（反正我大一時是這麼理解的）。以下稍作展開。
一般情況下，任意曲面都可以用一系列三角面逼近，直到微元情況下，高階小量可揚棄。從最簡單的情況出發，如上圖所示（自己畫的，渣配色，請諒解）。坐標軸與一平面相截，得到三個直角三角形和一個普通三角形，面積分別為 $S_1$ 、 $S_2$ 、 $S_3$ 和 $S_4$ ，由三維空間勾股定理有：
$S_4^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2$ .
如果以上一切都是微元，則有：
$ds^2=(dydz)^2+(dz dx)^2+(dxdy)^2$
提出因子 $(dxdy)^2$ ，有：
$ds^2=(dxdy)^2((frac{dydz}{dxdy})^2 +(frac{dzdx}{dxdy})^2 +1)$
$=(dxdy)^2(z_x^2+z_y^2+1)$
從而 $ds=sqrt{z_x^2+z_y^2+1} dxdy$ .
(答主註：分子分母消去那一步不嚴謹，源於 $Delta$ 、 $d$ 、 $partial$ 的細緻區別。另外 $dxdy$ 等其實應為 $dxwedge dy$ ，畢竟有方向性。這裡忽略嚴謹，是為了方便理解。)
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那麼三維空間勾股定理怎麼回事呢？
如圖，對各個直角三角形，有：
$d = sqrt{a^2 + b^2}, e = sqrt{b^2 + c^2} , f = sqrt{c^2 + a^2}$ ;
$S_1=bc/2,S_2=ca/2,S_3=ab/2$ .
對普通三角形ABC，由海倫公式（Heron，或稱海倫－秦九韶公式）：
$S_4=sqrt{p(p - d)(p - e)(p - f)}$
其中 $p=(d+e+f)/2$
以上各式，聯立可得：
$S_4^2=S_1^2+S_2^2+S_3^2$
(實際上，勾股定理還可以推廣到更高維度)
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至於海倫公式，初中時是從配方法推得，高中時是從餘弦定理推得。這裡就不作詳解了。
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第一次在知乎上打公式，手指好累……純吐槽……這個問題也是我當初學習時遇到和思考過的，深有感觸。希望這個解答對讀者有所幫助，加油！