什麼是數學中的抽象？

12-27

個人認為，抽象的意義就是可以把重要的結構單獨提取出來進行研究，以得到盡量一般化的結論。

比如說你想要證明一個對於所有整數都成立的命題，證出來以後經過思考發現這個事只跟加減法有關係，就可以只留下整數的加法結構變成一個(交換)群，然後你就有可能發現了一個其實對很大一類(交換)群都對的結論，如果能夠證明就可以再反過來"應用"到其他的擁有相同結構的對象上得到類似的結論。類似的，如果你的證明過程其實也有用到乘法結構，那抽象出來的框架就不再是群了，而是環。

我覺得這在某種意義上也就是類比精神，像Banach說的:
A mathematician is a person who can find analogies between theorems; a better mathematician is one who can see analogies between proofs and the best mathematician can notice analogies between theories. One can imagine that the ultimate mathematician is one who can see analogies between analogies.

而抽象的過程依本人拙見也就是所謂類比的第一步了。

謝邀。我就舉一個幾乎trivial的數學陳述的例子：半單李代數都是單李代數的直和。

為了理解這句話，你首先要知道什麼是「李代數」，而為了理解李代數，你要有基本的抽象代數知識，比如說，你要知道什麼是「群」，什麼是「交換群」，什麼是「域」，什麼是「線性空間」等。而為了理解群，你首先得知道什麼是集合（這個是數學的原初概念，沒法定義），什麼是二元運算。然後，假設你已經理解了什麼是李代數，那麼你還得知道什麼是單（為了知道這個你得先知道理想是什麼），什麼是半單，什麼又叫做直和。

所以你可以看到數學裡面的抽象是什麼含義：一個概念依賴於一個個下層概念，然後又依賴於更下層的概念，就像金字塔一樣，而金字塔的底端是直觀的、易於理解的，但金字塔的頂端已面目全非。

然後你如果明白了那句數學陳述里的每一個單詞是什麼意思，你就會覺得，這個句子確實是顯然成立的。

現在你大概想問數學上搞這麼抽象的東西有什麼卵用。嗯，你可以請學物理（如果覺得物理還是太抽象不切實際，那就去問學力學的）的同學給你解釋一下，「李代數理論」這麼抽象的東西，到底有什麼卵用。

以前小學數學的書裡面講的例子：
一隻蛤蟆一張嘴，兩隻眼睛四條腿，撲通一聲跳下水……
兩隻蛤蟆兩張嘴，四隻眼睛八條腿，撲通一聲跳下水……
三隻蛤蟆六張嘴，六隻眼睛十二條腿，撲通一聲跳下水……
……

我們可以統一描述成：
N只蛤蟆N張嘴，2N隻眼睛4N條腿，撲通一聲跳下水……
這個就叫做抽象

以前看一個新聞，某個犄角旮旯裡面的少數民族，比如說是太平洋某島國的少數民族，裡面的人計數，只能算到123，超過三個就算不出來了。（同樣的，人類為什麼10進位，因為人有10個手指。並不是10有什麼特別的優勢。）

對於這個民族的人而言，12 + 21 = 33 就是極為抽象的事情，他無法理解，或者要通過努力學習現代知識才能理解。

1， 2， 3 就是抽象。世界上不存在任何物質對應著1，2，3.
1既不是一個蘋果，也不是一個人，也不是一個星球。1是一種物質的數量屬性，它不單獨存在，它必須依賴於物質物體而存在。所以1就是抽象。

什麼是圓形，圓形既不是太陽，也不是地球，也不是一個燒餅。圓形是這些物體的空間屬性的刻畫。

什麼是抽象，抽象本質上就是萬事萬物的數學（數量，空間，結構）屬性。你無法直接看到它，你可以發明一套新的數學術語來定義它，但是它就在那裡，它刻畫了客觀存在的數學屬性。

抽象就是把事物變得可以被理解和敘述
信息→抽象→知識

比如最早的關於算數的誕生，在麥子，牛群，遠近，日子中抽象出了堆，群，距離，日等單位。再在基礎上總結出了抽象的"計數"系統。通過繩結和算數符號敘述。在此基礎上，脫離具體單位的"數"可以被理解: 一萬群馬，五千年這樣，完全沒見過的東西，也可被古人理解，創造。

語語言本身就是抽象的結果。

數學中的抽象，要求更嚴格一些。嚴謹些說：是符合二階邏輯體系的語言。相當於加了些約束：要求良好定義，有邏輯量詞，可以演繹，遞歸之類。

幾個答案里的例子：

@Yuhang Liu 半單李代數都是單李代數的直和

這是一個數學抽象，可以通過ZFC這樣的公理系統判斷他是真的。當然做到這一點很不容易，嚴格數學的邏輯基礎花了幾代人的時間。

@匿名用戶遺傳信息不能由蛋白質轉移到蛋白質或核酸之中

這是一個抽象，但不是數學抽象。它的真假並不能通過邏輯演繹得出，是要靠大量的實驗保證的。

同樣，不是句子里有一堆數學名詞，就是屬於數學抽象了。在很多書里會看到很多「感覺」：
「代數就是坐標化」
「示性類描述的是整體的性質」
「量子物理對應非交換幾何」
這些也是一種抽象，有些是很有意義的洞察。但是應該不是嚴格意義上的數學抽象：
「域的有限擴張構成一個群」
「在Abel範疇上都可以做同調代數」
能把「感覺」和「洞察」描述成真正的數學理論，應該是一種基礎能力吧。

感覺類似的可以更具相關學科的範疇和語境，定義「物理抽象」，「化學抽象」，「計算抽象」，「生物抽象」之類吧。

抽象就是模型。

只把事物「存在」中你關心的部分拿出來，捨去你不關心的，就是抽象。

但哲學科學都無法解釋事物的「存在」和自我意識的「關心」到底是什麼。所以最後只能把抽象歸結成：為了在有限的時間達成「關心」目標，對事物存在的拆解-重組-變換-簡化過程。

謝邀。
數學本身就是抽象的產物，數學中的每一大發展（代數、函數等）又是進一步的抽象，不明白問啥。

抽象就是對接收到的信息構思編碼演算法

用一代表多

從地球到球，就是一種抽象。

現實：xx手游十一連，出SR以上概率4%
抽象：X～b(11，0.04)

就是為了使一些東西嚴格化或者純粹化，比如說為了嚴格化delta函數，抽象出了廣義函數。為了純粹化數量的概念，人類發明了各種數，自然數、實數之類的。抽象是為了簡單和純粹，或者是為了更具概括性

我認為《頭腦總動員》里對頭腦的抽象的描述很好：抽象就是你不知道它具體是什麼但在起作用的東西
你不會知道2+2裡面的2是你的腿還是性格，但它就是可以求解出來，你不用扳手指數數就可以知道

點，線，面

抽象相對於具體。數學的名詞由來就孕育了抽象和具體。就好比龜兔賽跑的那個悖論，現實中空間不可無限分割。而我認為，數學的目的就是為了將具體抽象化也就是得到方法論，然後再將抽象方法論具體化，對於歷史發展的推動有所作用。

我感覺數學中所有的東西都讓我一臉懵逼的抽象

抽象其實是一個操作，而一切操作都是可以變成函數的（函數和映射一個意思）。

而名為【抽象】的映射其實是一個同態映射。舉個上面有人舉過的例子——從【一個黑框眼鏡，一筐辣椒，一秒】等概念中抽象出的1，就是U到U0的一個同態映射，U的一個子集A被映射成為1這個元素。而這只是這個映射的一部分，整個全集U到另一個集合U0的映射就是「整個」的抽象這個操作。

而由第一同構定理，這個同態映射其實等價U的商集到U0的同構，而取商集（集合除等價關係），也是抽象的一個描述，我們把等價的東西看成相同的，在不同的等價意義上面就會有不同的商集，也就是不同的映射，所以任何【抽象】的操作都是一個可以嚴格寫出來的映射。

提問是「什麼是數學中的抽象」，假如提問者想要得到的回答是數學特有的抽象，那麼前面 @Yuhang Liu 舉的例子並不能顯示出數學特有的抽象，人類任何領域的知識都是類似的抽象方法。我隨便舉一個其它的例子：「遺傳信息不能由蛋白質轉移到蛋白質或核酸之中」，你可以將這句話中的每一個術語都展開，其層級並不比前面數學陳述小。如果是問「數學中抽象的示例」，那就忽略我說的話吧。不過我覺得可能前面 @Yuhang Liu 等人都沒明白這點，以為數學的抽象才叫抽象。

輔助線！
明明看不見
卧槽完全是直覺啊哈哈哈